Repaso Exam 11 Dominio Y Recorrido De Funciones

Curso: Funciones y Modelos

Esc. Dr. Juan J. Maunez - Naguabo

Unidad I: FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES Conceptos: Dado la función determinar el Dominio y Recorrido

Sr. J. Pomales

A.PR.11.3.2

REPASO EXAMEN # 11 I. SELECCIONA LA MEJOR CONTESTACIÓN (12 PREGUNTAS): TEORÍA DE CONJUNTOS (4 preguntas) Ejemplos: 1) Al matemático alemán Georg Cantor se le atribuye la teoría de: a. Intervalos b. Conjuntos c. Relatividad d. Dominio 2) Conjunto es: a. colección de subconjuntos con un característica en común b. un ente de un conjunto c. colección de elementos con una característica en común d. un grupo de cosas 3) Es una representación pictórica de los conjuntos. a. Diagrama de Dispersión b. Sistema de Coordenadas c. Sistema Infinito d. Diagrama de Venn 4) El símbolo U es crear un nuevo: a. conjunto sin elementos b. conjunto con todos los elementos c. conjunto con todos los elementos sin repetirlos d. elemento de los conjuntos

INTERVALOS (4 preguntas) Ejemplos: 5) Un intervalo es: a. espacio entre dos momentos o puntos b. un infinito c. espacio entre dos momentos infinitos d. espacio entre dos puntos iguales 6) ¿Qué significa (-∞ , 3) U (3 , ∞)? a. Va del infinito negativo al infinito positivo. b. Es el dominio. c. Es una gráfica infinita. d. Incluye a todos los valores menos al 3 7) Otra forma para representar { x │x > 2} a. [ 2 , ∞) b. [ ∞ , 2) c. ( ∞ , 2) d. ( 2 , ∞) 8) ¿Qué significa [ -1 , 1 ] ? a. Incluye al -1 y 1 además de todos los números entre ellos. b. Incluye al -1 y 1 . c. No incluye al -1 y 1 pero si a todos los números entre ellos. d. No incluye al -1 y 1 .

DOMINIO Y RECORRIDO DE FUNCIONES (4 preguntas) Ejemplos: 9) Dominio es: a. un número infinito b. un espacio infinito c. valores que puede tomar la variable dependiente “ y ”, partiendo de los valores de “ x ” . d. valores que puede tomar la variable independiente “ x ”, que hacen un “ y ” real. 10) Recorrido es: a. un número infinito b. un espacio infinito c. valores que puede tomar la variable dependiente “ y ”, partiendo de los valores de “ x ” . d. valores que puede tomar la variable independiente “ x ”, que hacen un “ y ” real. 11) La asíntota vertical se relaciona con el: a. dominio b. recorrido c. infinito constante d. cero 12) ¿Cuál de todas estas NO es una ley inviolable discutida en clase? a. El numerador nunca puede ser cero. b. El denominador nunca puede ser cero. c. El radicando de una raíz de índice par debe ser mayor o igual que cero. d. El argumento del logaritmo tiene que ser mayor que cero.

II. PROVEE LA CONTESTACIÓN (8 PREGUNTAS): Si el resultado es una fracción conviértelo a decimal. Escribe su contestación en la cuadrícula y sombrea. 13) En la función f ( x)

14) En la función f ( x )

2 2x 3

, qué valor tiene que ser excluido. x ≠ _______

3 x , 18 , para qué valores de x la función es real. x ≥ _______

15) Si el argumento del logaritmo tiene que ser mayor que cero entonces qué valor debe tener x en la función f ( x) log(4 x 11) . x > _____

Para los próximos cinco (5) ejercicios tienes que realizar todos los cómputos que justifiquen la contestación final que proveas. Suponga que x es la variable independiente y y la variable dependiente. Halla el dominio y recorrido de las siguientes funciones. Expresa su resultado en forma de conjunto e intervalo: 16)

f ( x)

x2

17)

f ( x)

8x 7 2x 1

18)

f ( x)

19)

f ( x)

3 4x 8

20)

f (x)

3

3x 2

x 1

SOLUCIONES

1) 2) 3) 4) 5) 6)

b c d c a d

7) d 8) a 9) d 10) c 11) a 12) a

1

●

5

● 13)

●

6

● 14)

2

●

7 5

● ●

●

15)

16)

f ( x)

x2

3x 2

Esta función es continua. DOMINIO: Como es una función cuadrática el dominio siempre será D = (-∞ , ∞)

ó

D={x|x

}

RECORRIDO: Como el coeficiente de la variable cuadrada es positivo su gráfica tendrá un punto mínimo. Calculando el eje de simetría podremos calcular el valor mínimo: b 3 3 x 1.5 2a 2(1) 2 Sustituimos este valor en la función original: 2

f ( x)

x

3x 2

( 1.5) 2 3( 1.5) x 2 2.25 4.5 2 2.25 2 0.25 Por lo tanto el recorrido de R = [ - 0.25 , ∞ )

f ( x) ó

x2

3x 2

será

R = { y | y › -0.25 }

17)

f ( x)

8x 7 2x 1

Es discontinua (no continua). Esta tiene dos regiones. EL DIVISOR NUNCA DEBE SER CERO. Como tiene variable en el divisor, la gráfica tendrá ASÍNTOTA VERTICAL. Para conseguirla igualamos el denominador a cero y despejamos la variable. Con ese valor podremos identificar el DOMINIO. DOMINIO:

2x 1 0 2x

1

x

1 2

0. 5

Por lo tanto: D = (-∞ , -0.5) U (-0.5 , ∞)

ó

D = { x | x ≠ - 0.5 }

RECORRIDO: Al verificar y comparar el grado del polinomio del numerador (n) con el grado del polinomio del denominador (m) encontramos que n = m . Esto me permite determinar cómo es la ASÍNTOTA HORIZONTAL. Para coef . principal n hacer esto calculamos y En este caso: y 82 4 coef . principal m Por lo tanto: R = (-∞ , 4) U (4 , ∞) 18)

f ( x)

ó

R={y|y≠4}

x 1

Son continuas. DOMINIO: Como EL RADICANDO TIENE QUE SER MAYOR O IGUAL QUE CERO hacemos ese cómputo para conocer dónde comienza el dominio.

x 1 0 x 1

Por lo tanto:

D = [ 1 , ∞)

ó

D={x|x>1}

RECORRIDO: Sustituimos el valor mínimo de x y resolvemos Por lo tanto R = [ 0 , ∞)

ó

R={y|y>0}

f (1)

x 1

f (1)

1 1

f (1) f (1)

0 0

19)

f ( x)

3 4x 8

Es discontinua (no continua). Esta tiene dos regiones. EL DIVISOR NUNCA DEBE SER CERO. Como tiene variable en el divisor, la gráfica tendrá ASÍNTOTA VERTICAL. Para conseguirla igualamos el denominador a cero y despejamos la variable. Con ese valor podremos identificar el DOMINIO. DOMINIO:

4x 8 0 4x 8 x

Por lo tanto:

2

D = (-∞ , 2) U (2 , ∞)

ó

D={x|x≠2}

RECORRIDO: Al verificar y comparar el grado del polinomio del numerador (n) con el grado del polinomio del denominador (m) encontramos que n < m . Así que la ASÍNTOTA HORIZONTAL será y = 0 , es decir el eje de x. Por lo tanto: R = (-∞ , 0) U (0 , ∞)

20)

f (x)

ó

R={y|y≠0}

3

Esta función es constante por lo que se comporta muy parecida a las funciones lineales. Su DOMINIO será: D = (-∞ , ∞)

ó

D={x|x

}

pero su RECORRIDO siempre será (en este caso) R = -3

ó

R = { -3 }

RECOMENDACIÓN: Para verificar tus contestaciones de la Parte II, puedes utilizar el recurso del GeoGebra , dibujar su gráfica e interpretarla. También lo puedes hacer con la calculadora gráfica.