Radicales
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RADICALES 1.1 Radicales 1.2 Transformaciones de radicales 1.2.1 Teorema fundamental de la radicación 1.2.2 Simplificación de radicales 1.2.3 Reducción de radicales a índice común 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario
1.3
Operaciones con radicales 1.3.1 Producto de radicales. 1.3.1.1
Extracción de factores fuera del signo radical
1.3.1.2
Introducción de radicales dentro del signo radical
1.3.2 Cociente de radicales 1.3.3 Potencia de un radical 1.3.4 Raíz de un radical
1.4
Racionalización de denominadores 1.4.1 Denominadores con monomios 1.4.1.1
Con una única raíz cuadrada
1.4.1.2
Con una única raíz n-ésima
1.4.2 Racionalización de binomios. Pares conjugados
1.5 Adición y sustracción de radicales. Radicales semejantes
1.1
Radicales
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Si una potencia es: an = b La radicación es la operación que tiene que obtener a conociendo b y n. Se expresa: f : an = b → f −1 : a = n b Se llama raíz n-ésima de un número real b a otro número real a cuya potencia n-ésima es igual a b
b=a
n
n b : es el radical b : es el radicando n : es el índice a : es la raíz
Un radical puede llevar coeficientes que formen parte de el como por ejemplo 3n b donde 3 es el coeficiente y forma parte del radical. Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice Si n = 3, es la raíz cúbica Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente Como consecuencia de las reglas sobre los signos de las potencias de exponente natural y base negativa tenemos que •
Toda raíz de índice impar de un número tiene el mismo signo que el radicando 3 8 = 2 ya que 2 3 = 8 − 8 = −2 ya que ( −2) 3 = −8 Toda raíz de índice par de un número positivo tiene doble signo 16 = ±4 ya que 4 2 = ( −4) 2 = 16 Toda raíz de índice par y radicando negativo no es real 4 − 64 3
• •
Ejercicios: Calcula el valor de los siguientes radicales identificando en cada uno de ellos índice, radicando y raíz: 1. 2.
3
3. 4. 5.
3
9
9.
−8
10.
64
11.
125 256
12. 13.
4
625 256 729 125 3 − 512 5 7776 3 0.064
1.2
6.
4
256
14.
7.
5
− 32
15.
8.
4
81 256
16.
5
1024 243 8 125
−
3
0.0004
Transformaciones de radicales
1.2.1 Teorema fundamental de la radicación Si se multiplica o divide el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número entero, el valor aritmético del radical no varía. Demostración Sea el radical n A p = b Por definición de raíz: A p = b n
( ) = (b )
Elevamos los dos términos de la igualdad a una potencia q: A p o sea: A pq = b nq .
q
n q
Extraemos la raíz de índice n ⋅ q : A p⋅q = b nq = b Luego queda demostrado (por definición de raíz) nq
nq
n
Ap =
nq
A pq
(1) Este teorema permite la simplificación de radicales, definir la potenciación de exponente fraccionario y la reducción a índice común. Ejemplos: a)
3a = 4 (3a )2 = 4 9a 2 ;
c) 5 x 2 + y 2 = 10 ( x 2 + y 2 ) 2
b) 3 2 a 2 ( x 2 + y ) = 6 2 2 a 4 ( x 2 + y ) 2 ; d) 4 36 = 4 6 2 = 6
e) 10 32 = 10 2 5 = 2
Ejercicios: Escribe tres radicales iguales a cada uno de los siguientes radicales: 17)
3xy
18) 3 2 x 2 z
19) 4 5 xy 2 z
20) 3 2ab 2
21) 4 3xy 3 z 2
22) 5
xy 2 z3
1.2.2 Simplificación de radicales Para simplificar un radical se divide el índice del radical y el exponente del radicando por sus factores comunes (por el m.c.d).
Ejemplos: a)
6
324 = 6 2 2 ⋅ 3 4 = 6 (2 ⋅ 32 ) 2 = 3 2 ⋅ 3 2 = 3 18
b)
18
27 a 9 = 18 33 ( a 3 ) 3 = 18 (3a 3 ) 3 = 6 3a 3
9b 2 = x2y4
c)
32 b2 = x2 ( y2 ) 2
2
3b (3b ) 2 3b = 2 = 2 2 2 ( xy ) xy xy
Ejercicios: 25)
x2 y 20
16a 4 49b 8 c 2
28)
81a 2b 2c 8 144 x 2 y 6
125x 12 29) − 64( a − b) 9
30) 5 − 243( a + b) 10
31)
32) 6 8x 3 y 3
33) 9 64 x 3 y 6
34) 10 32a 5
16a 8 35) 81b 4
27 m3 n 6 36) 125a 6b 9
37) 5
23)
25a 4 b 6 c10
24) 3 27 a 3b 9c 12
26)
25m 2 n 6 81a10 x 4
27)
3
12
15
4
25x 2
−1 x 5 y 15
1.2.3 Reducción de radicales a índice común Se opera de manera similar a la de reducción a común denominador en fracciones: • •
El índice común será el m.c.m de los índices. Se divide el índice común por cada índice y el cociente se multiplica por el exponente del radicando.
Ejemplos: a) Reducir a índice común 3, El m.c.m (2, 3, 4) = 12 12 12 12 =6 =4 =3 2 3 4 b) Reducir a índice común El m.c.m (2, 6, 4) = 12
3
5,
4
7
⇒ 12 36 ,
12
54 ,
3ax 3 , 6 3( x − 2 a) y
12
4
73
5a 3 b 2
12 =6 2 12
12 =2 6
(3ax 3 ) 6 ,
12
12 =3 4
( 3( x − 2a )) 2 y 12 (5a 3b 2 ) 3 ⇒ 12 3 6 a 6 x 18 ,
12
3 2 ( x − 2a) 2 y
12
5 3 a 9b 6
Ejercicios: Reduce a índice común los siguientes radicales: 38) m ,
3
m2 , 4 m3 , 6 m5 ,
8
40) 3 3x 2 y , 4 5xy 3 , 6 7 x 2 y 5 , 42)
4
xy ,
6
m3
39) x , 5 2 x , 8 3 x 3 , 10 4 x 7 ,
6x5 y 4
9
20
3x 9
x , 5 x 3 , 15 x 2
41)
xy3 , 15 xy 2
1.2.3 Potenciación de exponente fraccionario Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical cuyo índice es el denominador del exponente y cuyo radicando es la base elevada al numerador del exponente
(2)
Ap n = n Ap
Demostración: Si dividimos el índice y el exponente del radicando de un radical por el índice tenemos que: Ap = Ap n = Ap n Esto nos permite poner los radicales en forma de potencias y operar con ellos utilizando las reglas de la potenciación. nn
n
Ejemplos: 2 3
a) 8 = 8 3
( )
2
b) ab
2 2 3
=
3
(ab )
2 2
= a b 3
2
4
c) x
−
1 3
1 1 =3 13 x x
=
Ejercicios: Escribe como potencias los siguientes radicales: 43) 2x ;
44) 3 x 2 ;
45) 4 ab 2 ;
46) 5
a +1 ; a −1
47) 3 x x ;
48)
2b3 3 x 3 x
Escribe como radicales las siguientes potencias: 2
49) 3 3
5
50) ( 2 − x) 2
51) 5
−
2 5
2
52) (−2) 3
53)
3 + 2 −1 3−4
−
1 5
1
54) 4 x 2 y
−
1 2
3
z4
1.3
Operaciones con radicales
1.3.1 Producto de radicales a) De radicales homogéneos (de igual índice) Sean los radicales de igual índice n A y n B . Se tiene que: n A = r ⇒ r n = A n n B =s⇒ s =B Multiplicando ordenadamente: r n ⋅ s n = (r ⋅ s )n = A ⋅ B
Extrayendo la raíz n-ésima: n ( r ⋅ s ) n = r ⋅ s = n A ⋅ B Sustituyendo r y s por su valor:
n
A ⋅n B = n A⋅ B
(3)
El producto de radicales de igual índice es otro radical que tiene el mismo índice y por radicando el producto de los radicandos de los factores. b) De radicales no homogéneos Si los radicales no tienen igual índice se reducen previamente a índice común. Ejemplos: a) 3 5 ⋅ 3 7 = 3 35 b) 4 a ⋅ 4 a 2 = 4 a 3 Reducimos a índice común. m.c.m (2, 3, 4) = 12
c)
3 ⋅2
3
2 ⋅54 2
36 ⋅ 2 12 2 4 ⋅ 5 12 2 3 = 10 12 36 ⋅ 2 7 Observa que se multiplican por un lado los coeficientes (5 y 2) y por otro lado los radicales 12
Ejercicios: Efectúa los productos siguientes: 55) 2 ⋅ 3 ⋅ 5
56) a ⋅ a ⋅ a
2 ⋅3 3 ⋅3 5 2 3 2 4 3 62) ⋅ ⋅ 3 5 4
60) 6 3 ⋅ 3 4 ⋅ 4 5 x y 63) 4 ⋅ 6 ⋅ 3 xy y x
59)
3
2
3
5
57)
a b2 ⋅ 2b a
58)
a ⋅ 3 a ⋅ 4 a3
61) 2 x ⋅ 3 3 x 2 ⋅ 6 x 5 64) 5 ab 2c 3 ⋅ 5 a 2 b 2 c 2 ⋅ abc
66) 33 a 2 b ⋅ 24 a 2b 2
65) 2 a a ⋅ ab3 b ⋅ c5 abc 1.3.2.1
3
Extracción de factores fuera del signo radical
La expresión (3) nos permite simplificar radicales cuando uno de los factores tiene raíz n-ésima exacta: 12 = 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 2 3 4
a 7 = 4 a 4 ⋅ a 3 = 4 a 4 ⋅ 4 a3 = a4 a3
• • •
Se divide el exponente del radicando por el índice de la raíz. El cociente se escribe como exponente del factor fuera del signo radical. El resto de la división se escribe como exponente del factor dentro del radical.
Ejemplo:
5
x17
Hacemos la división 17/5 y obtenemos de cociente 3 y de resto 2 por lo tanto 5
x 17 = x 3 5 x 2
El proceso paso a paso sería: •
separamos x 17 en dos factores , de tal forma que uno ellos sea el múltiplo del índice más próximo al exponente del radicando
x 17 = 5 x 15 x 2
x 15 ⋅ 5 x 2
•
aplicamos la expresión (3)
•
simplificamos el primer radical:
5
5
55
x15 5 ⋅ 5 x 2 = x 3 ⋅ 5 x 2
Si el radicando tiene varios factores, se efectúa la división del exponente de cada factor por el índice de la raíz Ejemplos: x 3 y 5 z 2 = xy 2 z xy
3 ⇒ cociente1 resto1 2 5 2 ⇒ cociente 2 resto1 2 2 ⇒ cociente1 resto 0
3x 5 y 8 z 15 = z 2 y 6 3 x 5 y 2 z 3 Observa que los factores 3 y x 5 quedan íntegros dentro del radical por tener exponentes menores que el índice. 6
Si el radicando es un número, se descompone en factores primos y se procede como se ha indicado. Ejemplo: 3888 = 2 4 ⋅ 3 5 = 2 2 ⋅ 3 2 3 = 36 3
Ejercicios: 32
67) 3 16x 5
68) 4 64 x 5 y 6
69) 4 m 6 n 4
a 6b 9 c 12d 15
71) 2 a 4 b 6 c 2
72) 3 81a 6b 12c 3 d 4
73) 3 − a 9b 6 c 10
74) 5 5a14b 10c 5
75) 3a 5b 3c 2
76) 3 27 a 2b 3 c 4 d 5
77) 2 16a 3
78) 53 8 x 4 y 3 z 5
79) 3xy 8x 3 y 4 z
80) 2 xy 2 x 5 y 3
67) 70)
6
1.3.2.2
Introducción de factores dentro del signo radical
Para introducir dentro del signo radical un factor que multiplica a una raíz, se multiplica el exponente del factor por el índice de la raíz y se escribe el producto como exponente del factor dentro de la raíz. Demostración: a m n b = n (a m ) n ⋅ n b = n a nm b Ejemplos: a) a 3 a 4 = 3 a 3 a 4 = 3 a 7 b) 7 x 2 5 x 3 = 5 (7 x 2 ) 5 x 3 = 5 7 5 x 10 x 3 = 5 7 5 x 13 3
c)
2a 3 3b 2 3 2a 3b 2 3 2 3 a 3 3b 2 2a 3 3 6a = = =3 = 2 2 3 2 2 b 4a b 2 a b b b 4a
Ejercicios: 81) 2 a 2 a
82) 3x 3 4 x 2
83) ( a + b ) ( a + b)
84) 3a 2 b ab 2
85) x 3 a 2bcx
86) − 2ab 5 a 2b
87) x 2 y 2 xy
88) a 2 bc 3 3 3a 2b
89) 2 a 5ab 2
90) 2 x
93)
2x 3y 3y 2x
94)
1 3x
a 3 2bc 2b a
96) ( x − y )
x+ y ( x − y)
97)
x+ y x− y
99) ( a + b)
a −b a2 −b2
100)
91)
2a 3 ab 2 c 3b 2d 3
95)
3 xyz xy 6
x− y x+ y
98) ( a + b)
92)
2 25 x 3 5 4y
1 a −b2 2
a +1 a −1 a −1 a +1
1.3.2 Cociente de radicales a) De radicales homogéneos (igual índice) Sean los radicales de igual índice n A y n B . Se tiene que: n A = r ⇒ r n = A n n B =s⇒ s =B n
rn r A Dividiendo ordenadamente: n = = s B s n
r r Extrayendo la raíz n-ésima: = = s s Sustituyendo r y s por su valor: n
n n
n
A B
A A ⋅=n B B
El cociente de radicales de igual índice es otro radical que tiene el mismo índice y por radicando el cociente de los radicandos .
(4)
b) De radicales no homogéneos Si los radicales no tienen igual índice se reducen previamente a índice común. Ejemplos: 3 16 16 3 a) 3 = 3 = 4 4 4 3 1 3 1 b) : = : = 2 2 2 2
6 = 3 2
c) 2 : 2 = 2 : 2 = 6
3
6
3
2
6
23 6 = 2 22
Ejercicios: 101)
a 3 a : 2b b
104) 2 72 : 32
2 3 3 102) ⋅ 3 : 4 3 5 4
103)
105) 2 x 2 y 3 : 3 xy
106) 18 : 72
5 4 3 2 6 8a bc : a ab c 2
107) 16 x 3 y 4 : 4 x 2 y 2
108) 5 a 2b 3c 4 : 5 ab 2c
109) 2 3 a 2b : 3 ab
110) 3 a 2bc 2 d : abcd
111) 3 a 2bc 3 : 4 a 2 bc 3
3 3 2 112) : 3 ⋅ 4 5 3 4
Para extraer factores de un radical con radicando en forma de fracción se realiza primero el cociente de radicales y después se extraen independientemente los factores del numerador y del denominador. Ejemplos 33
27 27 a) = = 16 16 2
4
5
8x y z b) = 4 81a b
2
3
3
3
4
2 y z
3
3 3 22
=
4
5
2 yz 3 yz
2
2 yz = = 3 4 4 3a 3a 3ab 3 a b
3
yz 2 3ab
Ejercicios: 113) 3x 2 y 117) 3
16 x 3 y 3 9
a 6 b8 c 10 27b 6
114)
2ab 5c
118) 3
25a 3 bc 5 4
− a 4 b 3c 2 12d 5 f 4
115)
3a 2bx 3 7c2
119) 5
49ab 3c 4 9x 6
116) 5
− a 6 b10 32b15
64a 6b 7 c 8 729 x 3 y 6 z 9
1.3.3 Potencia de un radical Sea el radical r = n A . Por definición de raíz r n = A
( )
Elevando los dos miembros a la potencia p: m r n
p
= A p ⇒ r np = A p ⇒ ( r p ) n = A p
Extrayendo la raíz n-ésima: n ( r p ) n = n A p ⇒ r p = n A p Sustituyendo r por su valor:
( A)
p
n
= n Ap
(5)
Otra forma de obtener esta expresión es desarrollando la potencia regla del producto de radicales:
( A) n
p
( A) n
p
y aplicando la
n n = n1A4⋅ n4A4⋅2 A A = a1A4⋅ A ⋅2 A........ ⋅3 A = n Ap 4..... 4⋅43 4 4 444 p veces
p veces
Para elevar una raíz a una potencia se eleva el radicando a esa potencia
( )
n
Una potencia muy usada es: n a cuadrada
( a)
Ejemplo: a)
(
3ax
2
)
4
= n a n = a . Y en particular en el caso de la raíz
= a2 = a
= ( 3ax ) 4 = 81a 4 x 4
Ejercicios: Calcula las potencias y simplifica el resultado haciendo: • primos entre sí el índice y el exponente del radicando • extrayendo todos los factores posibles 120)
(
(
2ab
(
)
3
2 3
124) 2a 3b c
3
2
121) 3a b
)
(
5
2 2 3
122) 3 2a b c 2
)
2ab bc 2 3 126) ab 2 3 ( a − b) 125) c 2a
3
2 128) 3 x 2 y 3 9x2 y 2
)
2
2
(
3
3
3
a 123) 4 b 2c 3d 2
)
1 127) ( x − y ) x−y
3
2
10
129) 4ab 3a 130) 5 2 x 4b y− z
1.3.4 Raíz de un radical Sea el radical r = m
n
A.
Por definición de raíz r m = n A
( )
Elevamos a la potencia n ambos miembros : r m
n
= A ⇒ r mn = A
Extraemos la raíz de índice m. n: r = nm A Sustituyendo r por su valor: m n
A = mn A
(6)
La raíz m-ésima de la raíz n-ésima de un número es la raíz mn-ésima de dicho número.
Ejemplos:
3 12 3 = 5 5 b) Estos ejercicios se empiezan a resolver desde el radical más interior a) 4
3
5 + 14 + 1 + 9 = 5 + 14 + 1 + 3 = 5 + 14 + 4 = 5 + 14 + 2 5 + 16 = 5 + 4 = 9 = 3 c) En estos ejercicios se combina la raíz de una raíz con la introducción/extracción de factores del radical.
27 a 2 b
3
9a 4 b 2 = 27 a 2 b 3 3a 2b = 81a 4b 4 = 9a 2 b 2 (Extracción)
a 3 2a 2 =
3
a 3 2a 2 = 6 2 a 5 (Introducción)
Ejercicios 131)
2a 3
132)
3
3 5 ab 2
133) 4
3
2 ax 3
134) 20 + 21 + 8 + 64
135) 19 − 4 + 32 − 49
136) 5a + 21a 2 + 16a 4
137) 5 x 2 + 32 x 4 − 256 x 8
138) a 3 a
139) 16 8 4
140) ab 8ab 4a 2b 2
141) 2 2 2 2
142)
145) 2 2 2
1 2
3
146) 3 3
1 3 3 3
147) a 4
13 a a
149) 3
a2 b
1.4
Racionalización de denominadores
b ⋅ b3
a2 b2
143) 2 a 5 a 2
16
150) 3
a b2
b : b3
144) 3 ab 3 2a
148) x
a b2
La racionalización de denominadores es la operación que elimina las expresiones radicales que pueden aparecer en los denominadores.
13 x x
1.4.1 Denominadores con monomios 1.4.1.1 Con una única raíz cuadrada Para eliminar el radical se multiplican numerador y denominador por la raíz que aparece en el denominador. a a b a b a b = = = 2 b b b⋅ b b Es conveniente extraer todos los factores posibles del radical antes de racionalizar.
( )
Ejemplos: 7 7 3 = 3 3 5 5 2 5 2 5 2 b) = = = 6 3 2 3 2 2 3⋅ 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 c) = = = = = 9 27 33 3 3 3 3 3 3⋅ 3 5 5 15 5 15 15 d) = = = 15 3 15 15 15 3 3 3⋅ 5 15 e) = = = 5 5 5 5⋅ 5 a)
Ejercicios: 151) 157)
163)
3 2
152)
6 3 5xy
158)
2 3a 3a a
164)
2 3 xy 5 zt
3a 5
2 3
153) 159)
2 xy
3x 2y x
3
3 2− x
155)
160)
x− y 2 161) 2 x+ y 2
166)
a b b a
3 3y
165)
27 8
154)
167)
156) 162)
2 27 8
2 3xy 3 x
1.4.1.2 Con una única raíz n-ésima Si el exponente del radicando es m se multiplica numerador y denominador por la raíz n-ésima del radicando elevado a n-m. a n
bm
=
a n
n
b n− m
b m ⋅ n b n −m
=
a n
n
b n −m
b m ⋅ b n− m
=
a n
n
b n− m
b m+ n− m
=
a
n
b n −m
n
bn
a n b n− m = b
2− x 2+ x
Ejemplos: a) 4 b)
3 4 2 4−1 3 4 23 3 4 23 3 4 23 3 = = = = 4 2 2 4 2 ⋅ 4 2 3 4 2 ⋅2 3 24 6x
5
c) 5
6 x 5 ( ab 2 x 3 ) 4
=
ab 2 x 3
5
=
ab 2 x 3 ⋅ 5 ( ab 2 x 3 ) 4
3 5 2 4 10 3 5 ⋅ 10 ( 2 4 ) 2 = = 2 2
3 = 2
10
6 x 5 a 4b 8 x12 6 xbx2 5 a 4b 3 x 2 65 a 4b 3 x 2 = = ab 2 x 3 ab 2 x 3 ab
35 ⋅ 28 2
Ejercicios: 168)
173)
3
2 3
4
7 xa 3
2
5
x a b
2 2 179) 8 25
3
169)
2
3
x y
xy
174) 4
180) 7
2
3
6 xy
170) 5
3
3x + y
171)
2
3
9x y z
( x − y)
2
3
172) 6
2 3 177) 3 5 2
( x + y )5
7
175) 4 x −3
176) 5 4 x −4
xy z
178)
6
1 x5
3
x2
8 23
1.4.2 Racionalización de binomios. Pares conjugados Estaremos en este caso cuando el denominador sea un binomio con radical de índice dos. Se eliminan los radicales del denominador multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador. Pares conjugados: (a + b) y (a - b) son expresiones conjugadas entre sí. Tienen la propiedad de que su producto es igual a la diferencia de los cuadrados de a y b con lo que si a o b son radicales de índice dos, las raíces desaparecerán al realizar el producto.
(a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − ab + ba − b 2 = a 2 − b 2 Ejemplos: a) Si el denominador es 2 + 3 ,su conjugado es 2 − 3 y el producto de conjugados dará como resultado:
(2 + 3 )⋅ (2 − 3 ) = 2 − ( 3 )
2
2
= 4−3=1
con lo que desaparece el radical. b) Si el denominador es 2 − 3 , su conjugado es ( 2 − 3) ⋅ ( 2 + 3) =
c) Si el denominador es conjugados:
( 2)
2
2 + 3 y el producto de conjugados
− 3 = 2 − 9 = −7 2
2 − 3 su conjugado es
( 2 − 3) ⋅ ( 2 + 3 ) =
2 + 3 y el producto de
( 2) − ( 3) 2
2
= 2 − 3 = −1
d) Si el denominador es 3 2 + 2 3 , su conjugado es 3 2 − 2 3 y el producto de conjugados:
( ) − (2 3 )
(3 2 + 2 3 ) ⋅ (3 2 − 2 3 ) = 3 2
2
2
= 32
( 2)
2
− 22
( 3)
2
= 9 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 = 18 − 6 = 12
Ejercicios: 3 5 6 2 1 2 182) 183) 184) 185) 186) 2−2 3− 2 5 +1 3+ 7 2− 3 3− 5 3− 2 3− 2 2−2 x 2− 3 187) 188) 189) 190) 191) 2 −5 2+ 3 2 2+3 3 2− x 2+ 3 x+ y 2y 3 2+2 3 3 3 192) 193) 194) 195) 3 2−2 3 2− 3 2− y 2− y 181)
196)
1 2− 3+ 5
197)
2− 3 2+ 3+ 5
DE AHORA EN ADELANTE EN TODOS LOS EJERCICIOS DE RADICALES LOS RESULTADOS APARECERÁN SIMPLIFICADOS AL MÁXIMO, ESTO QUIERE DECIR QUE: • • •
El índice y el exponente del radicando serán primos entre sí (1.2.2) Extraer del radical todos los factores posibles Racionalizar denominadores
1.5 Adición y sustracción de radicales. Radicales semejantes Para sumar o restar radicales estos han de ser semejantes. Son radicales semejantes los que tienen el mismo índice y el mismo radicando Son semejantes:
4
2a 3 ; x 5 2a 3 ( y − z )5 2a 3
También son semejantes
2 y
8 ya que
8 = 23 = 2 2
La adición o sustracción de radicales semejantes da como resultado otro radical semejante, cuyo coeficiente se obtiene sumando o restando los coeficientes de los radicales Si los radicales no son semejantes, se deja la operación indicada. Para buscar radicales semejantes usaremos la simplificación, la extracción de factores, la introducción y la racionalización de denominadores.
Ejemplos:
1 4 , 9 , 54 3 1 4 2 3 3, 2 2 3, 2 33 , , 3 , 33 ⋅ 2 ⇒ 3, 2 3, 2 6 , , 3 ,3 6 3 3 Son semejantes por un lado: 1 3 4 3, 12 = 2 3 , = , 9 = 3, 3 3 y por otro: 24 = 2 6 y 54 = 3 6 a) Agrupa los radicales semejantes:
3, 12 , 24 ,
b) 2 3 + 3 3 − 3 + 4 3 = ( 2 + 3 − 1 + 4) 3 = 8 3 c)7 50 − 2 32 − 3 2 − 4 18 = 7 2 ⋅ 52 − 2 25 − 3 2 − 4 32 ⋅ 2 = 7 ⋅ 5 2 − 2 ⋅ 22 2 − 3 2 − 4 ⋅ 3 2 = 35 2 − 8 2 − 3 2 − 12 2 = (35 − 8 − 3 − 12) 2 = 12 2 d) 5ab 3 + 4a 2b 2 + 8ab 5 + 32a 3b 5 = b 5ab + 2ab + 2b 2 2ab + 4ab 2 2ab = b 5ab + 2ab + ( 2b 2 + 4ab 2 ) 2 ab
Ejercicios: 1 3 2 1 5+ 5− 5+ 5 3 5 3 5
198) 8 2 − 4 2 + 2 2 − 2
199)
13 1 2 2+ 3 2− 3 2 2 4 3 202)4 18 + 2 8 − 3 32
201) 2 5 − 3 45 + 3 20
204) x 8 x − 3 50 x 3 + x 18 x
205) 2 a 3a − 27 a 3 + a 12a
200)
203) 7 3 16 + 33 54 − 2 3 128
206) 5a 3 − 3 3a 2 + 12a 2
207)2 3 16x 5 − x 3 54 x 2 + 6 256 x 10 3 1 2 4 208) 3 7 − 2 5 + 4 7 + 20 − 28 + 45 209) xy − 4 xy + 9 xy − xy 2 3 5 3 y y y 1 210) 18 y − + − 211) 5 6 8 − 3( 4 + 10 32 ) − 8 8 16 + 2 8 18 8 9x x 2 1 212) 3 x − 4 x + 2 36 x − 5 x − 213) + − + 8x 25 2 x 2x 2x 3x 6x 125x x 3x 214) 3 3 −2 3 +53 215) 6 3 −9 3 + 5 3 9 4 125 9 9 125 3 2 1 5a 5b a 5 ab 216) + − 6+ 217) − + + − 2 3 6 b a 5b ab 5 218) ( x − y)
x+y x + y 25 xy 2 − 25 y 3 + 9x 2 − 9y 2 + x−y x−y x+ y
1.3
Operaciones con radicales 1.3.1 Producto de radicales. 1.3.1.1
Extracción de factores fuera del signo radical
1.3.1.2
Introducción de radicales dentro del signo radical
1.3.2 Cociente de radicales 1.3.3 Potencia de un radical 1.3.4 Raíz de un radical
1.4
Racionalización de denominadores 1.4.1 Denominadores con monomios 1.4.1.1
Con una única raíz cuadrada
1.4.1.2
Con una única raíz n-ésima
1.4.2 Racionalización de binomios. Pares conjugados
1.5 Adición y sustracción de radicales. Radicales semejantes
1.1
Radicales
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Si una potencia es: an = b La radicación es la operación que tiene que obtener a conociendo b y n. Se expresa: f : an = b → f −1 : a = n b Se llama raíz n-ésima de un número real b a otro número real a cuya potencia n-ésima es igual a b
b=a
n
n b : es el radical b : es el radicando n : es el índice a : es la raíz
Un radical puede llevar coeficientes que formen parte de el como por ejemplo 3n b donde 3 es el coeficiente y forma parte del radical. Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice Si n = 3, es la raíz cúbica Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente Como consecuencia de las reglas sobre los signos de las potencias de exponente natural y base negativa tenemos que •
Toda raíz de índice impar de un número tiene el mismo signo que el radicando 3 8 = 2 ya que 2 3 = 8 − 8 = −2 ya que ( −2) 3 = −8 Toda raíz de índice par de un número positivo tiene doble signo 16 = ±4 ya que 4 2 = ( −4) 2 = 16 Toda raíz de índice par y radicando negativo no es real 4 − 64 3
• •
Ejercicios: Calcula el valor de los siguientes radicales identificando en cada uno de ellos índice, radicando y raíz: 1. 2.
3
3. 4. 5.
3
9
9.
−8
10.
64
11.
125 256
12. 13.
4
625 256 729 125 3 − 512 5 7776 3 0.064
1.2
6.
4
256
14.
7.
5
− 32
15.
8.
4
81 256
16.
5
1024 243 8 125
−
3
0.0004
Transformaciones de radicales
1.2.1 Teorema fundamental de la radicación Si se multiplica o divide el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número entero, el valor aritmético del radical no varía. Demostración Sea el radical n A p = b Por definición de raíz: A p = b n
( ) = (b )
Elevamos los dos términos de la igualdad a una potencia q: A p o sea: A pq = b nq .
q
n q
Extraemos la raíz de índice n ⋅ q : A p⋅q = b nq = b Luego queda demostrado (por definición de raíz) nq
nq
n
Ap =
nq
A pq
(1) Este teorema permite la simplificación de radicales, definir la potenciación de exponente fraccionario y la reducción a índice común. Ejemplos: a)
3a = 4 (3a )2 = 4 9a 2 ;
c) 5 x 2 + y 2 = 10 ( x 2 + y 2 ) 2
b) 3 2 a 2 ( x 2 + y ) = 6 2 2 a 4 ( x 2 + y ) 2 ; d) 4 36 = 4 6 2 = 6
e) 10 32 = 10 2 5 = 2
Ejercicios: Escribe tres radicales iguales a cada uno de los siguientes radicales: 17)
3xy
18) 3 2 x 2 z
19) 4 5 xy 2 z
20) 3 2ab 2
21) 4 3xy 3 z 2
22) 5
xy 2 z3
1.2.2 Simplificación de radicales Para simplificar un radical se divide el índice del radical y el exponente del radicando por sus factores comunes (por el m.c.d).
Ejemplos: a)
6
324 = 6 2 2 ⋅ 3 4 = 6 (2 ⋅ 32 ) 2 = 3 2 ⋅ 3 2 = 3 18
b)
18
27 a 9 = 18 33 ( a 3 ) 3 = 18 (3a 3 ) 3 = 6 3a 3
9b 2 = x2y4
c)
32 b2 = x2 ( y2 ) 2
2
3b (3b ) 2 3b = 2 = 2 2 2 ( xy ) xy xy
Ejercicios: 25)
x2 y 20
16a 4 49b 8 c 2
28)
81a 2b 2c 8 144 x 2 y 6
125x 12 29) − 64( a − b) 9
30) 5 − 243( a + b) 10
31)
32) 6 8x 3 y 3
33) 9 64 x 3 y 6
34) 10 32a 5
16a 8 35) 81b 4
27 m3 n 6 36) 125a 6b 9
37) 5
23)
25a 4 b 6 c10
24) 3 27 a 3b 9c 12
26)
25m 2 n 6 81a10 x 4
27)
3
12
15
4
25x 2
−1 x 5 y 15
1.2.3 Reducción de radicales a índice común Se opera de manera similar a la de reducción a común denominador en fracciones: • •
El índice común será el m.c.m de los índices. Se divide el índice común por cada índice y el cociente se multiplica por el exponente del radicando.
Ejemplos: a) Reducir a índice común 3, El m.c.m (2, 3, 4) = 12 12 12 12 =6 =4 =3 2 3 4 b) Reducir a índice común El m.c.m (2, 6, 4) = 12
3
5,
4
7
⇒ 12 36 ,
12
54 ,
3ax 3 , 6 3( x − 2 a) y
12
4
73
5a 3 b 2
12 =6 2 12
12 =2 6
(3ax 3 ) 6 ,
12
12 =3 4
( 3( x − 2a )) 2 y 12 (5a 3b 2 ) 3 ⇒ 12 3 6 a 6 x 18 ,
12
3 2 ( x − 2a) 2 y
12
5 3 a 9b 6
Ejercicios: Reduce a índice común los siguientes radicales: 38) m ,
3
m2 , 4 m3 , 6 m5 ,
8
40) 3 3x 2 y , 4 5xy 3 , 6 7 x 2 y 5 , 42)
4
xy ,
6
m3
39) x , 5 2 x , 8 3 x 3 , 10 4 x 7 ,
6x5 y 4
9
20
3x 9
x , 5 x 3 , 15 x 2
41)
xy3 , 15 xy 2
1.2.3 Potenciación de exponente fraccionario Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical cuyo índice es el denominador del exponente y cuyo radicando es la base elevada al numerador del exponente
(2)
Ap n = n Ap
Demostración: Si dividimos el índice y el exponente del radicando de un radical por el índice tenemos que: Ap = Ap n = Ap n Esto nos permite poner los radicales en forma de potencias y operar con ellos utilizando las reglas de la potenciación. nn
n
Ejemplos: 2 3
a) 8 = 8 3
( )
2
b) ab
2 2 3
=
3
(ab )
2 2
= a b 3
2
4
c) x
−
1 3
1 1 =3 13 x x
=
Ejercicios: Escribe como potencias los siguientes radicales: 43) 2x ;
44) 3 x 2 ;
45) 4 ab 2 ;
46) 5
a +1 ; a −1
47) 3 x x ;
48)
2b3 3 x 3 x
Escribe como radicales las siguientes potencias: 2
49) 3 3
5
50) ( 2 − x) 2
51) 5
−
2 5
2
52) (−2) 3
53)
3 + 2 −1 3−4
−
1 5
1
54) 4 x 2 y
−
1 2
3
z4
1.3
Operaciones con radicales
1.3.1 Producto de radicales a) De radicales homogéneos (de igual índice) Sean los radicales de igual índice n A y n B . Se tiene que: n A = r ⇒ r n = A n n B =s⇒ s =B Multiplicando ordenadamente: r n ⋅ s n = (r ⋅ s )n = A ⋅ B
Extrayendo la raíz n-ésima: n ( r ⋅ s ) n = r ⋅ s = n A ⋅ B Sustituyendo r y s por su valor:
n
A ⋅n B = n A⋅ B
(3)
El producto de radicales de igual índice es otro radical que tiene el mismo índice y por radicando el producto de los radicandos de los factores. b) De radicales no homogéneos Si los radicales no tienen igual índice se reducen previamente a índice común. Ejemplos: a) 3 5 ⋅ 3 7 = 3 35 b) 4 a ⋅ 4 a 2 = 4 a 3 Reducimos a índice común. m.c.m (2, 3, 4) = 12
c)
3 ⋅2
3
2 ⋅54 2
36 ⋅ 2 12 2 4 ⋅ 5 12 2 3 = 10 12 36 ⋅ 2 7 Observa que se multiplican por un lado los coeficientes (5 y 2) y por otro lado los radicales 12
Ejercicios: Efectúa los productos siguientes: 55) 2 ⋅ 3 ⋅ 5
56) a ⋅ a ⋅ a
2 ⋅3 3 ⋅3 5 2 3 2 4 3 62) ⋅ ⋅ 3 5 4
60) 6 3 ⋅ 3 4 ⋅ 4 5 x y 63) 4 ⋅ 6 ⋅ 3 xy y x
59)
3
2
3
5
57)
a b2 ⋅ 2b a
58)
a ⋅ 3 a ⋅ 4 a3
61) 2 x ⋅ 3 3 x 2 ⋅ 6 x 5 64) 5 ab 2c 3 ⋅ 5 a 2 b 2 c 2 ⋅ abc
66) 33 a 2 b ⋅ 24 a 2b 2
65) 2 a a ⋅ ab3 b ⋅ c5 abc 1.3.2.1
3
Extracción de factores fuera del signo radical
La expresión (3) nos permite simplificar radicales cuando uno de los factores tiene raíz n-ésima exacta: 12 = 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 2 3 4
a 7 = 4 a 4 ⋅ a 3 = 4 a 4 ⋅ 4 a3 = a4 a3
• • •
Se divide el exponente del radicando por el índice de la raíz. El cociente se escribe como exponente del factor fuera del signo radical. El resto de la división se escribe como exponente del factor dentro del radical.
Ejemplo:
5
x17
Hacemos la división 17/5 y obtenemos de cociente 3 y de resto 2 por lo tanto 5
x 17 = x 3 5 x 2
El proceso paso a paso sería: •
separamos x 17 en dos factores , de tal forma que uno ellos sea el múltiplo del índice más próximo al exponente del radicando
x 17 = 5 x 15 x 2
x 15 ⋅ 5 x 2
•
aplicamos la expresión (3)
•
simplificamos el primer radical:
5
5
55
x15 5 ⋅ 5 x 2 = x 3 ⋅ 5 x 2
Si el radicando tiene varios factores, se efectúa la división del exponente de cada factor por el índice de la raíz Ejemplos: x 3 y 5 z 2 = xy 2 z xy
3 ⇒ cociente1 resto1 2 5 2 ⇒ cociente 2 resto1 2 2 ⇒ cociente1 resto 0
3x 5 y 8 z 15 = z 2 y 6 3 x 5 y 2 z 3 Observa que los factores 3 y x 5 quedan íntegros dentro del radical por tener exponentes menores que el índice. 6
Si el radicando es un número, se descompone en factores primos y se procede como se ha indicado. Ejemplo: 3888 = 2 4 ⋅ 3 5 = 2 2 ⋅ 3 2 3 = 36 3
Ejercicios: 32
67) 3 16x 5
68) 4 64 x 5 y 6
69) 4 m 6 n 4
a 6b 9 c 12d 15
71) 2 a 4 b 6 c 2
72) 3 81a 6b 12c 3 d 4
73) 3 − a 9b 6 c 10
74) 5 5a14b 10c 5
75) 3a 5b 3c 2
76) 3 27 a 2b 3 c 4 d 5
77) 2 16a 3
78) 53 8 x 4 y 3 z 5
79) 3xy 8x 3 y 4 z
80) 2 xy 2 x 5 y 3
67) 70)
6
1.3.2.2
Introducción de factores dentro del signo radical
Para introducir dentro del signo radical un factor que multiplica a una raíz, se multiplica el exponente del factor por el índice de la raíz y se escribe el producto como exponente del factor dentro de la raíz. Demostración: a m n b = n (a m ) n ⋅ n b = n a nm b Ejemplos: a) a 3 a 4 = 3 a 3 a 4 = 3 a 7 b) 7 x 2 5 x 3 = 5 (7 x 2 ) 5 x 3 = 5 7 5 x 10 x 3 = 5 7 5 x 13 3
c)
2a 3 3b 2 3 2a 3b 2 3 2 3 a 3 3b 2 2a 3 3 6a = = =3 = 2 2 3 2 2 b 4a b 2 a b b b 4a
Ejercicios: 81) 2 a 2 a
82) 3x 3 4 x 2
83) ( a + b ) ( a + b)
84) 3a 2 b ab 2
85) x 3 a 2bcx
86) − 2ab 5 a 2b
87) x 2 y 2 xy
88) a 2 bc 3 3 3a 2b
89) 2 a 5ab 2
90) 2 x
93)
2x 3y 3y 2x
94)
1 3x
a 3 2bc 2b a
96) ( x − y )
x+ y ( x − y)
97)
x+ y x− y
99) ( a + b)
a −b a2 −b2
100)
91)
2a 3 ab 2 c 3b 2d 3
95)
3 xyz xy 6
x− y x+ y
98) ( a + b)
92)
2 25 x 3 5 4y
1 a −b2 2
a +1 a −1 a −1 a +1
1.3.2 Cociente de radicales a) De radicales homogéneos (igual índice) Sean los radicales de igual índice n A y n B . Se tiene que: n A = r ⇒ r n = A n n B =s⇒ s =B n
rn r A Dividiendo ordenadamente: n = = s B s n
r r Extrayendo la raíz n-ésima: = = s s Sustituyendo r y s por su valor: n
n n
n
A B
A A ⋅=n B B
El cociente de radicales de igual índice es otro radical que tiene el mismo índice y por radicando el cociente de los radicandos .
(4)
b) De radicales no homogéneos Si los radicales no tienen igual índice se reducen previamente a índice común. Ejemplos: 3 16 16 3 a) 3 = 3 = 4 4 4 3 1 3 1 b) : = : = 2 2 2 2
6 = 3 2
c) 2 : 2 = 2 : 2 = 6
3
6
3
2
6
23 6 = 2 22
Ejercicios: 101)
a 3 a : 2b b
104) 2 72 : 32
2 3 3 102) ⋅ 3 : 4 3 5 4
103)
105) 2 x 2 y 3 : 3 xy
106) 18 : 72
5 4 3 2 6 8a bc : a ab c 2
107) 16 x 3 y 4 : 4 x 2 y 2
108) 5 a 2b 3c 4 : 5 ab 2c
109) 2 3 a 2b : 3 ab
110) 3 a 2bc 2 d : abcd
111) 3 a 2bc 3 : 4 a 2 bc 3
3 3 2 112) : 3 ⋅ 4 5 3 4
Para extraer factores de un radical con radicando en forma de fracción se realiza primero el cociente de radicales y después se extraen independientemente los factores del numerador y del denominador. Ejemplos 33
27 27 a) = = 16 16 2
4
5
8x y z b) = 4 81a b
2
3
3
3
4
2 y z
3
3 3 22
=
4
5
2 yz 3 yz
2
2 yz = = 3 4 4 3a 3a 3ab 3 a b
3
yz 2 3ab
Ejercicios: 113) 3x 2 y 117) 3
16 x 3 y 3 9
a 6 b8 c 10 27b 6
114)
2ab 5c
118) 3
25a 3 bc 5 4
− a 4 b 3c 2 12d 5 f 4
115)
3a 2bx 3 7c2
119) 5
49ab 3c 4 9x 6
116) 5
− a 6 b10 32b15
64a 6b 7 c 8 729 x 3 y 6 z 9
1.3.3 Potencia de un radical Sea el radical r = n A . Por definición de raíz r n = A
( )
Elevando los dos miembros a la potencia p: m r n
p
= A p ⇒ r np = A p ⇒ ( r p ) n = A p
Extrayendo la raíz n-ésima: n ( r p ) n = n A p ⇒ r p = n A p Sustituyendo r por su valor:
( A)
p
n
= n Ap
(5)
Otra forma de obtener esta expresión es desarrollando la potencia regla del producto de radicales:
( A) n
p
( A) n
p
y aplicando la
n n = n1A4⋅ n4A4⋅2 A A = a1A4⋅ A ⋅2 A........ ⋅3 A = n Ap 4..... 4⋅43 4 4 444 p veces
p veces
Para elevar una raíz a una potencia se eleva el radicando a esa potencia
( )
n
Una potencia muy usada es: n a cuadrada
( a)
Ejemplo: a)
(
3ax
2
)
4
= n a n = a . Y en particular en el caso de la raíz
= a2 = a
= ( 3ax ) 4 = 81a 4 x 4
Ejercicios: Calcula las potencias y simplifica el resultado haciendo: • primos entre sí el índice y el exponente del radicando • extrayendo todos los factores posibles 120)
(
(
2ab
(
)
3
2 3
124) 2a 3b c
3
2
121) 3a b
)
(
5
2 2 3
122) 3 2a b c 2
)
2ab bc 2 3 126) ab 2 3 ( a − b) 125) c 2a
3
2 128) 3 x 2 y 3 9x2 y 2
)
2
2
(
3
3
3
a 123) 4 b 2c 3d 2
)
1 127) ( x − y ) x−y
3
2
10
129) 4ab 3a 130) 5 2 x 4b y− z
1.3.4 Raíz de un radical Sea el radical r = m
n
A.
Por definición de raíz r m = n A
( )
Elevamos a la potencia n ambos miembros : r m
n
= A ⇒ r mn = A
Extraemos la raíz de índice m. n: r = nm A Sustituyendo r por su valor: m n
A = mn A
(6)
La raíz m-ésima de la raíz n-ésima de un número es la raíz mn-ésima de dicho número.
Ejemplos:
3 12 3 = 5 5 b) Estos ejercicios se empiezan a resolver desde el radical más interior a) 4
3
5 + 14 + 1 + 9 = 5 + 14 + 1 + 3 = 5 + 14 + 4 = 5 + 14 + 2 5 + 16 = 5 + 4 = 9 = 3 c) En estos ejercicios se combina la raíz de una raíz con la introducción/extracción de factores del radical.
27 a 2 b
3
9a 4 b 2 = 27 a 2 b 3 3a 2b = 81a 4b 4 = 9a 2 b 2 (Extracción)
a 3 2a 2 =
3
a 3 2a 2 = 6 2 a 5 (Introducción)
Ejercicios 131)
2a 3
132)
3
3 5 ab 2
133) 4
3
2 ax 3
134) 20 + 21 + 8 + 64
135) 19 − 4 + 32 − 49
136) 5a + 21a 2 + 16a 4
137) 5 x 2 + 32 x 4 − 256 x 8
138) a 3 a
139) 16 8 4
140) ab 8ab 4a 2b 2
141) 2 2 2 2
142)
145) 2 2 2
1 2
3
146) 3 3
1 3 3 3
147) a 4
13 a a
149) 3
a2 b
1.4
Racionalización de denominadores
b ⋅ b3
a2 b2
143) 2 a 5 a 2
16
150) 3
a b2
b : b3
144) 3 ab 3 2a
148) x
a b2
La racionalización de denominadores es la operación que elimina las expresiones radicales que pueden aparecer en los denominadores.
13 x x
1.4.1 Denominadores con monomios 1.4.1.1 Con una única raíz cuadrada Para eliminar el radical se multiplican numerador y denominador por la raíz que aparece en el denominador. a a b a b a b = = = 2 b b b⋅ b b Es conveniente extraer todos los factores posibles del radical antes de racionalizar.
( )
Ejemplos: 7 7 3 = 3 3 5 5 2 5 2 5 2 b) = = = 6 3 2 3 2 2 3⋅ 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 c) = = = = = 9 27 33 3 3 3 3 3 3⋅ 3 5 5 15 5 15 15 d) = = = 15 3 15 15 15 3 3 3⋅ 5 15 e) = = = 5 5 5 5⋅ 5 a)
Ejercicios: 151) 157)
163)
3 2
152)
6 3 5xy
158)
2 3a 3a a
164)
2 3 xy 5 zt
3a 5
2 3
153) 159)
2 xy
3x 2y x
3
3 2− x
155)
160)
x− y 2 161) 2 x+ y 2
166)
a b b a
3 3y
165)
27 8
154)
167)
156) 162)
2 27 8
2 3xy 3 x
1.4.1.2 Con una única raíz n-ésima Si el exponente del radicando es m se multiplica numerador y denominador por la raíz n-ésima del radicando elevado a n-m. a n
bm
=
a n
n
b n− m
b m ⋅ n b n −m
=
a n
n
b n −m
b m ⋅ b n− m
=
a n
n
b n− m
b m+ n− m
=
a
n
b n −m
n
bn
a n b n− m = b
2− x 2+ x
Ejemplos: a) 4 b)
3 4 2 4−1 3 4 23 3 4 23 3 4 23 3 = = = = 4 2 2 4 2 ⋅ 4 2 3 4 2 ⋅2 3 24 6x
5
c) 5
6 x 5 ( ab 2 x 3 ) 4
=
ab 2 x 3
5
=
ab 2 x 3 ⋅ 5 ( ab 2 x 3 ) 4
3 5 2 4 10 3 5 ⋅ 10 ( 2 4 ) 2 = = 2 2
3 = 2
10
6 x 5 a 4b 8 x12 6 xbx2 5 a 4b 3 x 2 65 a 4b 3 x 2 = = ab 2 x 3 ab 2 x 3 ab
35 ⋅ 28 2
Ejercicios: 168)
173)
3
2 3
4
7 xa 3
2
5
x a b
2 2 179) 8 25
3
169)
2
3
x y
xy
174) 4
180) 7
2
3
6 xy
170) 5
3
3x + y
171)
2
3
9x y z
( x − y)
2
3
172) 6
2 3 177) 3 5 2
( x + y )5
7
175) 4 x −3
176) 5 4 x −4
xy z
178)
6
1 x5
3
x2
8 23
1.4.2 Racionalización de binomios. Pares conjugados Estaremos en este caso cuando el denominador sea un binomio con radical de índice dos. Se eliminan los radicales del denominador multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador. Pares conjugados: (a + b) y (a - b) son expresiones conjugadas entre sí. Tienen la propiedad de que su producto es igual a la diferencia de los cuadrados de a y b con lo que si a o b son radicales de índice dos, las raíces desaparecerán al realizar el producto.
(a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − ab + ba − b 2 = a 2 − b 2 Ejemplos: a) Si el denominador es 2 + 3 ,su conjugado es 2 − 3 y el producto de conjugados dará como resultado:
(2 + 3 )⋅ (2 − 3 ) = 2 − ( 3 )
2
2
= 4−3=1
con lo que desaparece el radical. b) Si el denominador es 2 − 3 , su conjugado es ( 2 − 3) ⋅ ( 2 + 3) =
c) Si el denominador es conjugados:
( 2)
2
2 + 3 y el producto de conjugados
− 3 = 2 − 9 = −7 2
2 − 3 su conjugado es
( 2 − 3) ⋅ ( 2 + 3 ) =
2 + 3 y el producto de
( 2) − ( 3) 2
2
= 2 − 3 = −1
d) Si el denominador es 3 2 + 2 3 , su conjugado es 3 2 − 2 3 y el producto de conjugados:
( ) − (2 3 )
(3 2 + 2 3 ) ⋅ (3 2 − 2 3 ) = 3 2
2
2
= 32
( 2)
2
− 22
( 3)
2
= 9 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 = 18 − 6 = 12
Ejercicios: 3 5 6 2 1 2 182) 183) 184) 185) 186) 2−2 3− 2 5 +1 3+ 7 2− 3 3− 5 3− 2 3− 2 2−2 x 2− 3 187) 188) 189) 190) 191) 2 −5 2+ 3 2 2+3 3 2− x 2+ 3 x+ y 2y 3 2+2 3 3 3 192) 193) 194) 195) 3 2−2 3 2− 3 2− y 2− y 181)
196)
1 2− 3+ 5
197)
2− 3 2+ 3+ 5
DE AHORA EN ADELANTE EN TODOS LOS EJERCICIOS DE RADICALES LOS RESULTADOS APARECERÁN SIMPLIFICADOS AL MÁXIMO, ESTO QUIERE DECIR QUE: • • •
El índice y el exponente del radicando serán primos entre sí (1.2.2) Extraer del radical todos los factores posibles Racionalizar denominadores
1.5 Adición y sustracción de radicales. Radicales semejantes Para sumar o restar radicales estos han de ser semejantes. Son radicales semejantes los que tienen el mismo índice y el mismo radicando Son semejantes:
4
2a 3 ; x 5 2a 3 ( y − z )5 2a 3
También son semejantes
2 y
8 ya que
8 = 23 = 2 2
La adición o sustracción de radicales semejantes da como resultado otro radical semejante, cuyo coeficiente se obtiene sumando o restando los coeficientes de los radicales Si los radicales no son semejantes, se deja la operación indicada. Para buscar radicales semejantes usaremos la simplificación, la extracción de factores, la introducción y la racionalización de denominadores.
Ejemplos:
1 4 , 9 , 54 3 1 4 2 3 3, 2 2 3, 2 33 , , 3 , 33 ⋅ 2 ⇒ 3, 2 3, 2 6 , , 3 ,3 6 3 3 Son semejantes por un lado: 1 3 4 3, 12 = 2 3 , = , 9 = 3, 3 3 y por otro: 24 = 2 6 y 54 = 3 6 a) Agrupa los radicales semejantes:
3, 12 , 24 ,
b) 2 3 + 3 3 − 3 + 4 3 = ( 2 + 3 − 1 + 4) 3 = 8 3 c)7 50 − 2 32 − 3 2 − 4 18 = 7 2 ⋅ 52 − 2 25 − 3 2 − 4 32 ⋅ 2 = 7 ⋅ 5 2 − 2 ⋅ 22 2 − 3 2 − 4 ⋅ 3 2 = 35 2 − 8 2 − 3 2 − 12 2 = (35 − 8 − 3 − 12) 2 = 12 2 d) 5ab 3 + 4a 2b 2 + 8ab 5 + 32a 3b 5 = b 5ab + 2ab + 2b 2 2ab + 4ab 2 2ab = b 5ab + 2ab + ( 2b 2 + 4ab 2 ) 2 ab
Ejercicios: 1 3 2 1 5+ 5− 5+ 5 3 5 3 5
198) 8 2 − 4 2 + 2 2 − 2
199)
13 1 2 2+ 3 2− 3 2 2 4 3 202)4 18 + 2 8 − 3 32
201) 2 5 − 3 45 + 3 20
204) x 8 x − 3 50 x 3 + x 18 x
205) 2 a 3a − 27 a 3 + a 12a
200)
203) 7 3 16 + 33 54 − 2 3 128
206) 5a 3 − 3 3a 2 + 12a 2
207)2 3 16x 5 − x 3 54 x 2 + 6 256 x 10 3 1 2 4 208) 3 7 − 2 5 + 4 7 + 20 − 28 + 45 209) xy − 4 xy + 9 xy − xy 2 3 5 3 y y y 1 210) 18 y − + − 211) 5 6 8 − 3( 4 + 10 32 ) − 8 8 16 + 2 8 18 8 9x x 2 1 212) 3 x − 4 x + 2 36 x − 5 x − 213) + − + 8x 25 2 x 2x 2x 3x 6x 125x x 3x 214) 3 3 −2 3 +53 215) 6 3 −9 3 + 5 3 9 4 125 9 9 125 3 2 1 5a 5b a 5 ab 216) + − 6+ 217) − + + − 2 3 6 b a 5b ab 5 218) ( x − y)
x+y x + y 25 xy 2 − 25 y 3 + 9x 2 − 9y 2 + x−y x−y x+ y
