Radicales

GUIA DE RADICALES Radicación: Es la operación inversa de la potenciación. Llamamos raíz n-ésima de un número dado “a” al número “b” que elevado a “n” nos da “a” n

a = b ⇔ a = bn

Donde: n: Índice de la raíz. a: Cantidad sub-radical. : Radical. Operaciones con Radicales

Extracción de factores fuera del radical. Pueden extraerse factores fuera del radical; cuando los factores de la cantidad sub-radical contiene un exponente igual o mayor que el índice del radical, para ello debemos tomar en cuenta la siguiente propiedad: a

m n

= n am .

Ejemplos: 2

4 = 22 = 2 2 = 2 8 = 22 * 3 = 2 3 3

6

12

8*a *b

= 2 *a *b 3

3

6

12

3 3

6 3

= 2 *a *b

12 3

= 2 * a 2 * b4

Introducción de factores dentro del radical. Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.

Ejemplos:

a n b = n an * b a 5 = a2 * 5 b2 * a 3 a * b =

3

(b ) * ( a ) 2 3

3

( a * b) = 3 b 6 * a 3 * a * b = 3 a 4 * b 7

Conversión de radicales al mínimo común índice.

Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice. Para eso, hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos cada cantidad sub-radical a la potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada radical. Ejemplos: 2 ; 33 ; 65

1) Los índices son 2, 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices. El m.c.m es 6 2) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical. 6/2=3, 6/3=2, 6/6=1 Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los índices. 6

6

23

32

6

5

3) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical. 6

6

8

9

6

5

Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes. Ejemplos:

−

2 7 3 5, 5, -2 5, 5 3 2 4

Suma y resta de radicales. Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus coeficientes acompañado del radical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera. Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales son únicamente semejantes. Ejemplos: a)

5 +3 5 −

1 1 1 15   5 = 5 + 3 −  5 = 8 −  5 = * 5 2 2 2 2  

b) 45 − 27 + 20 = 32 * 5 − 27 + 22 * 5 = 3 5 − 27 + 2 5 = ( 3 + 2) 5 − 27 = 5 5 − 27

2 5 2 c) 5 2 5 2 5

5

x 6 y 2 + 3 5 32 x 6 y 2 −

5

x 6 y 2 + 3 5 32 x 6 y 2 −

5

x 6 y 2 + 3 5 32 x 6 y 2 −

5

x 6 y 2 + 3 5 32 x 6 y 2 −

1 4 1 4 1 4 1 4

2 5 6 2 15 6 2 x y x y + 3 5 25 x 6 y 2 − 5 4 2 15 6 2 x y = 5 x 6 y 2 + 3*2 5 2 x 6 y 2 − 5 4 1 2 =  + 6 −  5 x6y 2 4 5 123 5 6 2 x y = 20

5

x6y2 =

5

x6y2

5

x6y2

5

x6y2

Multiplicación de radicales. Caso I: Multiplicación de radicales del mismo índice: se multiplican previamente los signos, luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades subradicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera. n

a · nb =

n

a·b

Ejemplos: a) 3 64 * 27 = 3 64 * 3 27 = 3 26 * 3 33 = 22 * 3 = 12

b) 5 x5 y10 z = 5 x5 * 5 y10 * 5 z = x * y 2 * 5 z

Caso II: Multiplicación de radicales compuestos de distinto índice: primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice. Ejemplo: a) 6 x3 y 2 * 4 x 2 y 2

6

m.cm (6,4)=12, por lo tanto:

x3 y 2 = 6*2 ( x 3 y 2 )2 = 12 x 6 y 4

3

y

4

x 2 y 2 = 4*3 ( x 2 y 2 ) = 12 x 6 y 6 multiplicamos ahora las

expresiones halladas: 12

x 6 y 4 * 12 x 6 y 6 = 12 ( x 6 y 4 ) * ( x 6 y 6 ) = 12 x10 y12 = y12 x10

División de radicales. Caso I: División de radicales del mismo índice: se dividen previamente los signos,

luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas

dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera. Matemáticamente es: n n

a b

=

n

a b

Ejemplos: 52 y 4 5 y 2 25 y 4 = = 2x 4x2 22 x 2

a)

b)

3

3 4 x3 4 x3 x3 4 = = 27 y 9 3 33 y 9 3 y3

Caso II: División de radicales de distinto índice: primero se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice. Ejemplo: 4

x2 y2

6

x3 y 2

a)

4*3 6*2

m.cm (6,4)=12, por lo tanto:

( x 2 y 2 )3 ( x3 y 2 )2

=

12

x6 y 6

12

x6 y 4

= 12

x 6 y 6 12 2 = y x6 y 4

Raíz de una raíz: Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos. Matemáticamente es: n m

a =

n·m

a

Ejemplos: a) 5 x10 y 20 = 10 x10 y 20 = xy 2 b) 3 64 x12 y 8 = 6 26 x12 y 8 = 6 26 x12 y 2 y 6 = 2 x 2 y 6 y 2

Racionalización: Consiste en convertir expresiones de denominador irracional en expresiones equivalentes de denominador racional.

Caso I: cuando el radical es una raíz cuadrada. Ejemplos:

a)

3 5 x2

b)

3

=

ax

5

*

5

5

x2

=

=

ax

ax

ax

3 5 ( 5) =

3 5 5

=

2

x ax

(

ax

)

2

=

x ax ax = ax a

Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizador del denominador, en éste caso por sí mismo.

Caso II: cuando el radical tiene índice diferente de dos. Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical.

Ejemplos: a)

b)

6 a 8 x3

=

6

8

a 8 x3

8

x 7

=

a3 b4 c 2

x5 x5

6 8 x5 a 8 x5 8 x3

x 7 a 4 b3 c5

x 7

=

a3 b4 c 2

7

a 4 b3 c 5

=

=

6 8 x5 a 8 x 3 x5

=

6 8 x5 ax

x 7 a 4 b3 c5 7

a 4 b3 c5 a 3 b 4 c 2

=

x 7 a 4 b3 c 5 7

a 7 b7 c 7

=

x 7 a 4 b3 c5 abc

Caso III: Cuando se tiene una suma o resta en el denominador, pudiendo ser esta un binomio. Se debe multiplicar por la conjugada el denominador y el denominador, siendo la conjugada la expresión que esta en el denominador pero cambiando el operador suma o resta. Ejemplo: La conjugada de 3+ x es 3- x

Ejemplos: a)

b)

1 4− 3

=

x −5 2 x +3

1

4+ 3

4− 3 4+ 3 =

4+ 3

=

16 −

x −5 2 x −3 2 x +3 2 x −3

=

( 3)

2

=

4+ 3 4+ 3 = 16 − 3 13

x (2 x − 3) − 5(2 x − 3) 2

(2 x) − 9

=

2 x − 13 x + 15 4x − 9

Guía de Ejercicios 1-. Simplificar: 1.

30

32x 10y 15

R.xy 2y

2.

12

64m 6n 18

R. n 2mn

3.

6

343a 9 x 12

R. ax 2 7a

4.

15

m 10n 15 x 20

R. nx m 2 x

5.

4

9

R. 3

6.

6

4

R.3 2

7.

9

27

R.3 3

8.

8

16

R. 2

9.

312 64

R.3 2

10.

4

25a 2b 4

R. 5ab

6

R.5 7ab 2

11. 12.

5 49a 2b 4 8

81x 4y 8

3

3

R.y 3x

2-. Multiplicar: 1.

1 2 14 × 21 2 7

R. 6

2.

3

12 × 3 9

R.3 3 4

3× 6

R.3 2

4. 5 21 × 2 3

R.30 7

5. 5 12 × 3 75

R.450

6. 3 6 × 14 × 2 35

R.84 15

3.

3-. Simplificar: 80 − 2 252 + 3 405 − 3 500

1.

2. 7 450 − 4 320 + 3 80 − 5 800 45 − 27 − 20

3.

4. 175 + 243 − 63 − 2 75

R. 5 − 12 7 R.5 2 − 20 5 R. 5 − 3 3 R.2 7 − 3

5.

1 1 3 1 12 − 18 + 48 + 72 2 3 4 6

R.4 3

6.

3 2 1 1 176 − 45 + 320 + 275 4 3 8 5

R.4 11 − 5

7.

1 1 3 − + 3 2 4

8. 2 700 − 15

9.

1 5 1 +4 − 56 45 16 7

25ax 2 + 49b − 9ax 2

R.

5 1 3− 2 6 2

R.12 7

R.2x a + 7 b

10. 2 m 2n − 9m 2n + 16mn 2 − 4mn 2

R.2n m − m n

11. a 320 x − 7 5a 2 x − ( a − 4b ) 5 x

R.4b 5 x

9x − 9 + 4 x − 4 − 5 x − 1

12.

R.0

13. 2 a 4 x + 3 ya 4 y − a 2 9 x + 27 y + 25a 4 x + 75a 4 y R.4a 2 x + 3 y 14.

3

54 − 3 24 − 3 16

R.3 2 − 23 3

15.

3

40 + 3 1029 − 3 625

R. 7 3 3 − 3 3 5

16. 23 250 − 4 3 24 − 63 160 + 3 2187

R. 3 3 − 23 2

17. 5 3 48 − 3 3 3645 − 23 384 + 43 1715

R.23 6 + 3 5

18.

3

81 − 33 375 + 3 686 + 23 648

19.

13 2 3 1 24 − 3 54 + 3 375 − 3 128 2 3 5 4

20.

3

1 31 3 2 + − 4 3 27

R.73 2 R.43 3 − 33 2

R.

13 1 2+ 39 6 3

4-. Multiplicar:

1.

3

x × 2x 2

R.x 6 4 x 4

4

2. 3 2ab × 4 8a 3 6

3.

3

9 x 2 y × 81x 5

4.

3

a 2b 2 × 2 3a 3b

5.

4

25 x 2 y 3 × 125 x 2

6. 7.

R.24a 2ab 2 R.3 x 6 9 x 3 y 2

4

12

R.2a

6

R.512 x 10 y 9

23 35 4m 2 × 16m 4n 3 4 1 3 2 × x 2x

15

R.m 128m 7n 3 R.

16 8x 2

5-. Dividir:

1. 4 6 ÷ 2 3

R. 2 2

2. 2 3a ÷ 10 a

R.

1 3 5

R.

2 3y 3

3.

1 3 3 xy ÷ x 2 4

4.

75x 2 y 3 ÷ 5 3 xy

R. y x

3

R.

3a 2

R.

1 3 8

3

5. 3 16a 5 ÷ 4 2a 2

6.

5 1 10 2 ÷ 6 2 3 3

6-. Dividir: 1.

1 16 2x ÷ 16 x 4 2 4

R.

16 32x 5 x

2.

3

R.

16 32 2

R.

16 81x 5 x

R.

6

3

9x ÷ 3 x 2

3.

4.

2÷ 2

3

4

8a 3b ÷ 4a 2

27a 5b 11

8a 3b 2

7-. Racionalizar:

1

1. 5

R.

8a 4 5n 2

2.

R.

3 mn 1

3.

4

5a 25 x

1 25ax

R.

1 3 3

R.

5 2 2

R.

3 5 20

3

5.

5 2 3

6.

4 5

5n mn 8. 3m

R. 3

1

4.

1 5 4a 7. 2a

4

x 259.

2a

1 2ax x

10.

R.

5 3 2a 2a

11.

R.

1 3 3x 2 3x

12.

R.

2ax 5 3

4a

2

1 3

9x

8-. Racionaliza el denominador de: a − a +1

1.

a + a +1 x+2 + 2

2.

x+2 − 2 a+4 − a

3.

a+4 + a a+b − a−b

4.

a+b + a−b

R.2 a 2 + a − 2a − 1 R.

x + 4 + 2 2x + 4 x

R.

a + 2 − a 2 + 4a 2

R.

a − a2 −b2 b

3− 2

5.

1+ 2 5+2 3

6.

4− 3 2− 5

7.

2+ 5 7+2 5

8.

7− 5

R.4 2 − 5 R.2 + 3 R.

2 10 − 7 3

R.

17 + 3 35 2

R.

19 − 7 10 3

R.

95 2 + 76 3 2

2 −3 5

9.

2 2+ 5 19

10. 11.

5 2 −4 3 3 2 7 2 −6 3

R. −

9 6 + 21 5

3 4

R.

9a 6

53 3 x x 4

27 x

2

14 3 9a a

R.

2 3 9x 2 5x

R.

14 3x 2 3

9-. Efectuar:

1. 2 3 1024 − 3 2000

R. 6 3 2

2. 3 3 189 + 6 3 448

R. 33 3 7

3.

3

2 + 33 2 + 5 3 2

R. 9 3 2

4.

3

24 + 3 81

R. 5 3 3

5. 2 3 48 + 3 432 − 3 384

R. 6 3 2

6 3 16 + 3 250

R. 7 3 2

7.

3

648 + 3 1029

R. 13 3 3

8.

3

40 + 3 1715 + 3 320

R. 13 3 5

9.

13 1 16 + 3 250 2 3

R.

83 2 3