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EJERCICIOS RESUELTOS DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE elrincondelaciencia.es

1. Una masa de 200g oscila horizontalmente y sin fricción en el extremo de un resorte horizontal para el cual k=7,0 N/m. La masa se desplaza 5,0 cm de su posición de equilibrio y luego se suelta. Encontrar: a) su maxima rapidez y su maxima rapidez a 3cm de la posición de equilibrio b) Aceleración en cada uno de los casos Del principio de conservación de la energia: 2

2

2

1 / 2 kx0 = 1/2 mv +1/2 kx

Donde k=7,0 N/m x0= 0,050 y m= 0,200g. Resolviendo para v 2

v=

2

(x0 - x )( k/m)

a) La rapidez es máxima cuando x = 0, esto es, cuando la masa pasa por la posición de equilibrio v = x0

(k/m)

v= 0,296 m/s b ) Cuando x= 0,030 m, 2

v=

v=

2

(x0 - x )( k/m)

2

2

(0,050 -0,030 )(7,0 / 0,200) = 0,237 m/ s

c) Utilizando F=ma y F=kx, se obtiene a = (k/m) x = (35 s-2)(x) Y da como resultado a = 0 cuando la masa esta entre x= 0 y a= 1,05 m/s2 cuando x = 0,030m 2. Una masa de 50 g sujeta al extremo de un resorte oscila con Movimiento armonico simple (M.A.S). La amplitud del movimiento es 12 cm y el periodo es T = 1,70 s. Calcular: a) La frecuencia b) La constante k del resorte c) La maxima rapidez de la masa

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d) La aceleración máxima de esta e) La rapidez cuando el desplazamiento es de 6 cm f) La aceleración cuando x = 6 cm Solución: a) f = 1/T = 1/1,70 = 0,588 Hz b) De la fórmula: T=2π (m/k) 2

2

2

2

k=(4π m)/T = 4π (0,050) / 1,7 = 0,68 N/m c) v0 = x0 (k / m)= (0,12) (0,68 / 0,050)= 0,44 m/s d) De la ecuación a = -(k/m)x se puede ver que la magnitud de a es máxima cuando la magnitud de x tambien es máxima. Esto sucede en los puntos en los que x = +- x 0. De este modo: a0 = (k/m)x0 = (0,68 / 0,050)(0,12) = 1,63 m/s2 e) De la ecuación:

v=

v=

2

2

(x0 - x )( k/ m) =

2

2

(x0 - x )( k/m) 2

2

(0,12 - 0,06 )(0,68 / 0,050) = 0,38 m/ s

f) a0 = - (k/m) x = - (0,68 / 0,050) (0,06) = - 0,82 m/s2

3. Como se muestra en la figura, un resorte ligero y largo de acero esta fijo en su extremo inferior y tiene amarrada una pelota de 2 kg en la parte superior. Se requiere una fuerza de 8 N para desplazar a la pelota 20 cm de su posición de equilibrio. Si el sistema entra en Movimiento armonico simple cuando se libera: a) Calcular la constante k del resorte b) El periodo de oscilación de la pelota

Solución:

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20 cm

8N

k = Fuerza externa fext / desplazamiento x = 8 / 0,20 = 40 N/m T=2π (m/k) = 2π (2 / 40) = 1,40 s 4) Un motor eléctrico de 20 kg se monta sobre cuatro resortes verticales, teniendo cada uno de ellos una constante del resorte de 30 N/cm. Calcular el período con el cual oscilará verticalmente. Solucion: T=2π (m/k) = 2π (20 / 12000) =0,256 s 5. Calcular la aceleración de la gravedad en un lugar donde un péndulo simple de 150,3 cm de longitud efectua 100 ciclos en 246,7 s Solución: Se tiene: T= 246,7 / 100 = 2,467 s Elevando al cuadrado la expresión: T = 2π (L / g) 2

2

Y resolviendo para g, obtenemos:

g = (4π / T ) (L) = 9,75 m/s

2

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6. Una masa de 200g se empuja hacia la izquierda sobre el suelo comprimiendo un resorte que esta apoyado en una pared, 15 cm a apartir de la posición de equilibrio. Entonces se libera el sistema y la masa sale disparada hacia la derecha. Si despreciamos la fricción contra el suelo. ¿Qué tan rápido se moverá la masa conforme se aleja? Suponer la masa del resorte muy pequeña. k= 400 N/m Solución: Cuando el resorte se comprime, almacena energía en su interior. La energia está dad por 1/2 kx02 donde x0 = 0,15 m. Despues de soltar el sistema, esta energia se comunica ala masa en forma de energia cinética EC. Cuando el resorte pasa por la posición de equilibrio, toda la EPR se convertirá en EC. ( como la masa del resorte es pequeña, su energia cinética se puede despreciar). Por esta razón: EPR original = EC final de la masa 1/2 kx02 = 1/2 mv2 1/2(400)(0,15)2 = 1/2(0,200)v2 v= 6,7 m/s 6.1. Ahora supongase que la masa de 200 g se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 8 m/s. Choca contra el resorte quedando sujerta a este. a)¿Cuánto se mueve el resorte? b) Si el sistema entra en oscilación cual es su amplitud Despreciar la fricción y la masa del resorte . k = 400 N/m Solución: a) Ya que la masa del resorte es despreciable, toda la EC de la masa se utiliza para comprimir el resorte. Por erso podemos escibir: EC original de la masa = EPR final 1/2 kv02 = 1/2 kx02 Dondce v0 = 8m/s y x0 es la máxima compresión del resorte. Para m= 0,200 kg y k = 400 N/m, la relación anterior nos da x0 = 0,179 m. b) El resorte se comprime 0,179 m desde su posición de equilibrio. En esta posición la energia del sistema masa - resorte es EPR. Conforme el resorte empuja a la masa

regresándola a la derecha, esta pasará por la posición de equilibrio. La masa se detendrá en un punto a la derecha de la posición de equilibrio donde toda la energía se ha convertido otra vez en EPR. Como no existen pérdidas, la energia almacenada en el resorte estirado debe ser la misma que la almacenada en el resorte comprimido. Por esa razón el alargamiento sera x0 = 0,179 m medido desde la posición de equilibrio. La amplitud de oscilación es por tanto 0,179 m. elrincondelaciencia.es

7. Un resorte se estira 10 cm cuando una masa de 1,5 kg cuelga de él. Ahora, supongase que una masa de 4 kg cuelga del resorte y entra en oscilación con una amplitud de 12 cm. Calcular: a) La constante k de fuerza del resorte b) La fuerza que actua sobre el cuerpo que oscila c) El período de oscilación d) La máxima rapidez y la máxima aceleración del cuerpo que oscila e) La rapidez y aceleración cuando el desplazamiento es de 9 cm Soluciones: a) 147 N/m b) 17,6 N c) 1,04 s d) 0,73 m/s 4,4 m/s2 e) 0,48 m/s 3,3 m/s2 8. Una masa de 2,5 kg entra en oscilación con MAS y efectua 3 oscilaciones cada segundo. Calcular la aceleración y la fuerza restauradora que actuan sobre el cuerpo cuando se desplaza 5 cm de la posición de equilibrio. Soluciones: 17,8 m/s2 44 N 9. Una masa de 300 g en el extremo de un resorte oscila con una amplitud de 7 cm y una frecuencia de 1,8 Hz. Calcular: a) La rapidez y la aceleración máxima b) La rapidez cuando se encuentra a 3 cm de la posición de equilibrio Soluciones: a) 0,79 m/s 8,94 m/s2 b) 0,715 m/s 10. Una masa de 500 g esta sujeta al extremo de un resorte vertical, inicialmente sin alargar, para el cual k = 30 N/m. Despues se suelta la masa, de modo que cae y alarga el resorte. ¿Cuanto caera antes de detenerse.? (Sugerencia: la EPG perdida por la masa debe aparecer como EPR). Solución: 33 cm 11. Una escopeta que dispara balas de corcho utiliza un resorte para el cual k = 20 N/cm. Cuando está cargado el resorte se comprime 3 cm. ¿Altura que alcanzará el proyectil de 5 g disparado? Solución: 18,4 m

12. Calcular la frecuencia de oscilación en Marte de un péndulo simple de 50 cm de longitud. El peso de los objetos en Marte es de 0,40 veces el peso en la Tierra. Solución: 0,45 Hz