Euler

Soluciones

Soluciones y"

1.

Escriba la ecuación diferencial ordinaria y' =

-:,

en la forma

v-

P(x, y)dx + Q(x, Y)dY = 0

y halle su solución general. Exprésela en forma de función y en forma de curva integral.

Solución.

Poniendo

,dy 'dx

resulta

d,

_*"

dx= y'

Multiplicamos por y'dx,paradejar la EDO en la forma pedida'

x'dx+y'dy-0, Para resolver esta EDO, devolvemos la variable quierda y la variable x al de la derecha

y al miembro de la

Y'dY=-f¿x Integrando ambos miembros se obtiene .1

!- =-!-+c

33

En consecuencia, la solución general viene dada por

y=tJC} en donde C es una constante arbitraria (tenemos infinitas soluciones). Obsérvese que no es necesario poner 3C en vez de C, porque también 3C representa una constante arbitraria.

4.

soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

Apartirdelaecuación(1),esfácilponerlasoluciónenformadecurva intLgral, es decir, como una familia de curvas 11

x' +! =C

33

2. l

(x' v)' con v = xy'para resolver el Aplique el cambio de variables (¡, y) + siguiénte problema de valores iniciales (

{'ly, = -I+./x x l.Y(4) =

t

l, Solución. puesto que ]* = t.n"-o

,r' = ff'

sustituyendo en la

ecuación diferencial del enunciado

w'-!__r,r

*rt,t

f

Simplificando resulta

v'=

x3l2

y al integrar

l'-

/, -5t2 LA

-+L Deshacemos ahora el cambio de variable cordando que es indiferente poner C o 5C

,\) =

y

2xt't +C __r_

En consecuencia, la solución general es

-

v-

206

2.[7 +C )-r

agrupamos la constante'

Soluciones

Para que la solución pase por el punto de coordenadas ne que cumPlir

,

¡

= 4' y =

l'se tie-

244'+C

'==l-

LasolucióndeestaecuaciónesC=44y,porlotanto'lasolucióndel problema de valores iniciales es

24x' t:__r_ 44

Compruébesequeestafunciónsatisfacelascondicionesrequeridas.

3.

Las ecuaciones lineales de primer orden son de la forma

y'* ao!),

= g(x)'

SeaFunaprimitivadelafunciónrl9,esdecir,unafuncióncuyaderivada (-r, y) + (x' v)' con v = yeF para ' sa& a¡.Aplíquese el cambio de variables hallar la solución de la EDO lineal de primer orden'

Solución.

Si derivamos la función y(x) = v(x)e-'@ ' resulta

!'=v'e-'Al sustituir

F've-'=v'e-F - agv €

F'

en la EDO queda

(r' n-' -

ao v e

F)

+ ao(ve') = 8.

Simplificando,v'= g eo. Alintegrar se obtiene v --l s@)

e'@)

dx' Final-

mente

\)=¿-Ftt)Ig(x)etG)dx

4.

problema de Aplíquese la fórmula hallada en ejercicio 3 para resolver el valores iniciales cos .t 1+ ¡ cos {l'* l o = IY(zr) =

-x

4.

Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

i

(c)

El error que se comete al reemplazar y(-r) con

i,(¡)

es

e(x)=ly(¡)-Í,(.x)l Recordando cómo se suman los términos de una progresión geométrica, podemos escribir la solución exacta de la siguiente manera

Y(x) =

t..trt

-;:1+x+"'+"r'

+

t-

x

En consecuencia, Para 0 < -r < I

e(r) = ]

"'

*? x' +!

-tu

+

*'.*

¿9¡

obsérvese que el error se hace enorme si x se acerca a L EI método sirve para aproximar tanto como queramos la solución en un intervalo i0, 61 siempre que ó < 1. Por supuesto, para conseguir una aproximación tun bu"nu como queramos en el intervalo (0, é) habría qu" to-u, un número suficiente de aproximaciones sucesivas. Por

ejemplo, si 6 =

€(x)

6.

I

i

v calculamos hasta !3, entonces

=i "* *i -r' +|,ro +u* r'.*

Calcule las aproximaciones sucesivas io, valores iniciales del ejercicio 4.

!,,

i, i,

< 7.1 1 x 10-'z

para el problema de

Solución. Enestecasosetiene, lo =Il,lo =Ío =0,

f(x,

210

y')

= | + xcos r - y cos r = 1 + (x -y) cos x

Soluciones

Por lo tanto

Ío(r):)o =0 !,(r) = o+f

{t+{r-lo)

i,(t) =o + f {r+ (¡ - Í') =

f {sen'

.x

cos x) dx cos

=r+cos/+t

sen t

-ft +r

x) dx =

- r cos r sen r +(1r -

1)

cos x) d"t =

i, -izr-J cos r sen r +|t cos' t + (n -1) sen r !,(r) = o+ f {t+{x-i,) cos x) dx = =

=

+ cos' f l, 0 +'¡ @ + n)cos,r |

sen

f - j.r

cos'

l1 nnor t-l =f+;cosf+12,1 ¡ sen t + ) rsen f - ii cos' ¡-6 5

+)@ -1) cos'

t

.x

+ (1 -

z) cos x

sen x) dx

=

¡ cos 'fsenf+

+|-|n

por lo que Se aprecia que los cálculos Se Van complicando enorTnemente,

7.

que el método de las aproximaciones sucesivas tiene más interés teórico práctico. problema de Calcule las aproximaciones sucesivas io,i'ir,Í, Ptra el valores iniciales siguiente

)l'=2xl

lY(o) = I

Solución.

Como ro = 0, yo=

!,f(x,y)=Zxy'

se tiene

!o=)o=l i,(¡) = ),, * l".f(¡, io(r)) clx=l+ loztat =l+t2

i

rG)=v,

* l" .f (¡,

Í, (¡)) dx -- | + lo z'

{r' + l) dx :

t+

t'

+

}t'

211

j

4.

Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

i,(/):

i

-n,

*

J:. .f

ioQ):,r, *J"

.f

(x,l,G) dx=r+f ," (x,1,(x)dx:r+f

I

" = l+f- +_{ + 8.

l^ +-tI 6f

+

[t

x'

++o)*=r+t2

.]* .Ir

,r[t +"'+)'o *!u"')o-:

*

del ejercicio 7' Consideremos de nuevo el problema de valores iniciales Ahora

(a)

se Pide:

Demostrar que la énesima aproximación sucesiva

fr

viene dada por

f,(')=t+ ft) (c)

Hallar la solución exacta y("r) del problema' la soComprobar que el error lfr ('r) - y (-r)l cometido al reemplazar que lución exacta y(x) por la aproximación ñ(x) es menor o igual 1

tn + 1)!

Para todo x

e [0. ll'

Solución.

(a)Parademostrarquelafórmulapropuestaenelenunciadoesconecta, hay que comprobar que satisface las siguientes condiciones

'fo(¡)=Yo

.

l:-'+,Q)=)o*

1""

f(",Í,@))dx

En efecto, tenemos r0 = 0, yo = l,

f (x, y) = 2xy' luego 0

flf

f0

!o(¡)=t:--=-l-l', 'fikt o! -n,

212

* J- frx.Y^(x)) dx= r *

[

2S^tx\ dx :

Soluciones

r*

f ,"2

dx =

r+

l,r|

+ =t*zf l,+dx=...zf

=

=,*á n+l izk

#

o,

:

,ffi=

ffi=,*¿ #=á.8

_: L

l,l

=Z;=Í'i(r) (b)

enunciado como Separamos las variables escribiendo la EDO del

L:2" y

e integramos Para obtener

lnY=fag En consecuencia

Y=l*' C 0' de maneComo debe cumplirse y(0) - 1, hay que seleccionar = es iniciales ra que la solución del problema de valores

Y=f (c)

0 El polinomio de Taylor de orden n alrededor del punto x = de la función exPonencial ! = e' es

P(x)=z*

213

4.

Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

del punto Por lo tanto, el polinomio de Taylor de orden n alrededor x = 0 de la función ) = ¿''- es

+ (.r,),:fLt {:ír"(.u .

i

P(x-\= L

I

En consecue*,",

t.t

m tt,

-,

t,t

n

,"ri., J'""o'

cometido al aproximar la del

función mediante su polinomio de Taylor de orden n alrededor tenemos punto -r = 0. Aplicando la fórmula de Lagrange para el resto' F.?n+2

|

lñ' t*l - v (x)l = (n+1)!l para un cierto

f

-l

desconocido del intervalo [0'

x]' Si 0 < ¡ <

1' enton-

ces0(E
_y

, ,r

(x,t =

II Ptu't Ilb |

g.

f

(r_l)t l= (r*

tX

del proAplíquese el método de Euler para hallar una solución numérica blema de valores iniciales |

)"=)''

l'v(o) = t en el intervalo -r

e (0,

1

) con tamaño de paso h = 0

Solución. comencemos

'

recordando (ejercicio 5) que la solución exacta es 1

'' l-x Vamos a emplear las fórmulas de recurrencia

,f,n=0

)o= I = xL+ 0'05 (xr, yr) _1+r = )r + hf xwt

La estructura de la tabla es la siguiente

214

'O5

Soluciones

X¡

X¡I

r"

to.--l

,- r,

lr,-*l

1

l-

!0

1 I

h=xo*h

yt=yo*h!20

1

xz=xt*h

,r=

Y, + hY1

I

I

l

l"v.-*l

l-x"

t"'

I

I

!zo= lts + hYln

xzo= xtq* h

l1 lI

I

1-

"ro

It"

lyro

-

l-r,-

|

los cálculos En nuestro caso, estos son los resultados de

0,00 0,05

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

0,40 0,45

0,50 0,55

0,60

1,000 1,050 1,105

1,000 1,053

r,166

1,176 1,250 7,333

1,234 1,310

1,396 1,494 1,605 L,734 1,884

2,062 ) )'75

0,65

t

0,70

2,854

0,75

3,26r

0,80 0,85

0,90 0,95

r,00

5??

1,111

1,429 1,538 1,667 1,818

2,000

1))')

2,500 2,857

0,000 0,003 0,006 0,010 0,016

o,023 0,032 0,045 0,061

0,084 0,116 0,160 0,225 0,324

0,479 0,739

3,793

4,000 5,000

4,513 s 5?l

6,667 10,000

2,154 4,469

7,060 9,553

20,000

12,940

1,207

@

215

4.

Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

Se obtiene una buena aproximación cerca de x = 0, pero el error aumenta

descontroladamente según x se acerca a 1. Obsérvese que la solución exacta del problema de valores iniciales no puede prolongarse hasta x = 1.

10.

Aplíquese el método de Euler para hallar una solución numérica del problema de valores iniciales J

8Y'= Y'

l)(l)=l en el intervalo -r

Solución.

e

(1, 2) contamaño de paso h = 0,05.

Vamos a emplear de nuevo las fórmulas de recurrencia

xo= I )o= I Xk+t

= Xk+ 0,05

!ttt = lt+

0,00625

yi

Por otra parte, se puede comprobar que la solución exacta es

y= _al)-J 2

lo que nos permite calcular los errores. Así se obtienen los siguientes resultados

216

Solucíones

1,00 1,05

1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35

1,0126

t,40 r,45

1,0535 1,0608 1,0683

1,50 1,55 1,60 1,65 1,10

r,75

11.

1,0191 1,0257

0,0001

0,0001 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0010

r,0260

1,0325

1,0328

1,0393

i,0398

1,0464

1,0759

1,0468 1,0541 1,0615 1,0690 1,0768

1,0837

r,0847

1,09t7

1,0927 1,1010

1,0998 1,1081

0,0011

0,0012 0,0013 0,0014 0,0016 0,0017 0,0019 0.0020

1,1094

I,IT66

1,1 180

1,1269

1,95

1,1253 1,1342 1,1433

2,00

r,1527

1,154'7

1,80 1,85 1,90

0,0000

1,0000 1,0063 1,0127 1,0193

1,0000 1,0063

r,1359 1 145)

el problema de Aplique el método de Euler para resolver numéricamente valores iniciales del ejercicio 2

l,lv:--f1l y,

1x

[Y(a) =

r,.

1

en el intervalo (4,14) con tamaño de paso h

Solución.

=

1'

Recordemos que la solución exacta es v-

2'[7 -44 5x

217

4.

soluciones aproximadas de ecuacÍones diferenciales

I

Una vez más aplicamos las fórmulas de recurrencta I

xo= 4

)o= 1 X¡¡1 =X¡*I )'r*, = ),t

v,

-a+r,l¡o r!.

para obtener

4,00 5,00 6,00 7,00 8,00

9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00

1,0000

1,0000

2,7500 4,4361 6,1462 7,9139 9,7531

z,7l2l

0,0000 0,0379

4,4121

0,0240

6,15 10

7,9510

0,0047 0,0370

9,8222

0,0691

17,669 13,664 15,739

lr,'169

0,0997

13,793

0,1284 0,1552

17,898

15,894 18,072

20,121

20,325

0,1803 0.2038

I¡

T

:l

t 1

t

t

I I

t

I

|2.ApliqueelmétododeEulerpararesolvernuméricamenteelproblemade

i

valores iniciales

)!'=l-x

I

lY(l)

t

=z

parauntamañodepasogenéricoh.Determinelasoluciónexactay exacta por la nucalcule el error cometido ál reemplazaf esa solución

t

mérica. I I

i

218

Soluciones

Solución.

Las fórmulas de recurrencia son en esta ocasión

Xn= I Vtt-

^ L

x*+t=xt*h

)r,r=)l+fttyr-xr) Aplicándolas resulta

x,=|*kh t(\

-

^L

lt=2*h(2-l)=2+h

+ h)) = 2 + 2h 12= 2 * h + h((2 + h) -(1 '!t 2 + 3h (l --

2h + h((2 + 2h)

2

-

+ 2h)) =

.+ que yk = 2 + kh' Para deExaminando los resultados obtenidos, parece fr' debemos comprobar que mostrar que esta fórmula es válida para todo verifica )t+r

=)r +h$t¡-x¡,)

En efecto

y**hQr,-xr)=2+kh+h(2+kh-(l+kh))=2+kh*h=2+(k+l)h=yfr+r el método de Euler En consecuencia, Ia solución numérica obtenida por escribir como puede se con tamaño de paso h es yt = 2 + kh,lo que también yÁ= I +xr

Parahallarlasoluciónexacta,observamosquesetratadeunaecuación

la fórmula del ejercicio lineal de primer de orden, por lo que recurrimos a que podemos escoger lo por 3. En este caso tenemos ao= -I,8(¡) = -r' general de la que es una primitiva de ao(x) = -l'La solución F(x)

=-r,

EDO

es ,r'

:"'

J

-

xe-' tlx = e'

(e'

+e-' x+C) = 1+ x +Ce-

C de modo que y(L) = 2 Tenemos que determinar el valor de la constante

2=l+l+Ce'+C=0

219

i

4.

díferencíales soluc'tones aproximadas de ecuaciones

I

problema de valores iniciales En consecuencia, la solución exacta del

I i

es

!=l+x Elerrorquesecometealreemplazarlasoluciónexactaporlanuméricaes

e= ly(x*) - yrl = l(1 +-xr) - (1 + -ro)l = 0 Euler proporciona una solución Vemos que, en este caso, el método de exacta.

13.

numérico Estúdiese la convergencia del método lt +t --

lt

+h

(Yo +

f

@u

Y))

en el intervalo [0, 1]'

Solución.EnestemétodotenemosF(h,x¡,yt)=!t,+f(|o,yt).Paraque elmétodo,"u"onu",g"nte,debeserloalaplicarloacualquierproblema problema sencillo con solución. Comencemos por un

lv'=

¿-

0

lY(o): t I'Lasolución

exacta es ob-

= En este caso tenemos'f(x' y) = 0' "ro = de recurrencia l'Lafórmula y viamente la función cln'tánte = 0'

X¡r¡¡

yo

= X¡* h

!*+t --

lt * h lr

Aplicándolas resulta

xt=kh )o= I

It=l *h ^ y2= (l + h)' yk= (l + h)k

220

Solucíones

Si el método fuera convergente para este problema, en particular tendía que cumplirse lo siguiente para k - n, en donde ¡z es el número de partes en que se divide el intervalo [0, 1], esto es, h = lln

límy(.x,)--1, =0 Pero en nuestro caso

I

r)'

\

t1)

límy(x,)-I":1,,íg l-l 1+- =l-e*0 |

Por lo tanto, el método no es convergente al aplicarse a este problema y, en consecuencia, no eS convergente en general. Se trata detnmétodo sin

utilidad alguna. Por supuesto, un método que no eS convergente tampoco eS convergente de ningún orden. Es preciso señalar que, en principio, un método podría se convergente al aplicarse a un determinado problema pero no ser convergente de ningún orden al aplicarse a ese mismo problema.

14.

Estúdiese la consistencia del método numérico

!

¡¡1=

lt

+ h 0o

+

f

(xo,

Y))

en el intervalo [0, 1]. Según se ha visto en la solución del ejercicio 13, en este método se tiene F(h, xt, t-t) = y¡ + f (trr,, y¡). Hemos visto también que la solución exacta es la función constante y(x) = 1. Asimismo, al aplicar el méto-

Solución.

do al problema

{l'=

o

[v(o): t

221

4.

Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

resulta/(-r, y) = 0, F(h, x¡,,yt)=y*' Para que el método sea consistente en general, tiene que serlo al aplicado a cualquier problema con solución. Si el método fuera consistente al aplicarlo al problema anterio¡ en particular, para k= n - 1, siendo n = Ilh, se tendría

\IYYJ-+#)

- F (:'r'-"

;r(x'-' )) = o

Pero en nuestro caso

)(x')-'v(-r'-' ) F( j,,{"-,, y(.r,-,)) 9- ''r 't-' ' a-' : lim ;; lln '--lln '-m

I=

-l * 0

Por lo tanto, el método no es consistente al aplicarse a este problema, por lo que podemos asegurar que el método no es consistente en general. Por supuesto, el método no es consistente de ningún orden'

15.

Aplique la regla del trapecio para resolver numéricamente el problema de valores iniciales

J!'=!' lY(o) = en el intervalo x

solución.

e (0, ll4)

t

con tamaño de paso h = 0,05.

De nuevo tenemos/(x , y) = y2. Las fórmulas de recurrencia

son

Jo=0 -Vo=1

Ir*r = )r *

rW

=

yo

+0,025(yi +yi.,)

i

222

Soluciones

como el método es implícito, hay que resolver una ecuación en cada etapa

lo=1

)r:1*0,025(l+Yl) = )r =1'053 1,053+0,025(1,053'+Y3) :1,112+0,025(t,ll2'z +t¡2r) 1l:

}'z =

+ !. =r,Il2 a = 1'178 "v*¡

},u

= 1,178 +a,025(1,178'z+Yl)

Yo=1,252

-\s

= I,252+0,025

Y, = 1,336

= (1,2522 +ti) :+

Compare estos resultados con los obtenidos en el ejercicio 9, tanto con el método de Euler como con la solución exacta'

16. Aplique el método

de Heun para resolver numéricamente el problema de

valores iniciales

fv' = x' IY(o) = en el intervalo x

e

,*

t

(0, I ) con tamaño de paso h = 0,05

'

En esta ocasión se tiene /(x, y\ = x2y, ro = 0. Las fórmulas de recurrencia del método de Heun son

Solución.

)r*r = ),r . u=!r

OÍ@4@=

* ltf(xo,)o)

:

.,,r

)* +0,05;rf-v,

:

.Io

=

1

'

+0,025 ("rfyo +(x* +0,05)'a) (1+0,05x; ).vr t.

Se puede comprobar que

la solución exacta

es -rt(-x) = el' ,lo

que nos

permite determinar el error que se comete al reemplazar la solución exacta por la numérica.

223

4.

soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

:

I

1,000000 1,000188

1,000000 1,000063 1,000375

1,000000 1,000042

1,000875

1,001188

1,001126

r,002314 r,004757

t,002'752

t,002670

1,005321

1,005222

o?o

t,008462

r,009152

1,009041

0,35

1,013693

1,014511

t,0t4394

0,40 0,45 0,50 0,55 0,60

r,020725 r,029846 t,041365

t,021673 r,030921 t,042583

r,021563

1,055615

1,056914

1,01296L

r,074468

t,057025 r,014655

0,65

t,09547r

1,095862

0,70

1,093808 1,1 18613

1,120441

l,121126

0,75

t,r47892

1,t49891

0,80

r,182238 t,222336

1,184434 1,224739 1,271613

1,150993 1,186095

0,00 0,05

0,10 0,15 0,20 0,25

0,85

1,268983 1,323114 1,385830

0,90 0,95 1.00 L7.

1,000333

1,030841 r,04254',1

t,227167 t,275069

0,002428

t,325995

1,330815

0,003455 0,004820

1,388990

r.395612

0,006622

ApliqueelmétododeHeunpararesolvernuméricamenteelproblemade valores iniciales

l,zy )l :i'"' en el intervalo -r

Solución.

224

0,000000 0,000021 0,000042 0,000062 0,000082 0,000099 0,000112 0,000117 0,000110 0,000086 0,000036 0,000051 0,000187 0,000391 0,000684 0,001096 0,001661

Se

e

j'

(1, 2) con tamaño de paso h = 0'05'

tiene .f(r,y)

=?, x

ro

=l'!o =2'

Soluciones

Las fórmulas de recurrencia del método de Heun son

, ,-.f It*,=!t,ttltt.=

!t,*hf

* 'l

lxo.yo\+.f \xo*,,u:= v +0,025 ?r, .^'"."--["*,xo+0.05,J\

2

(xr,-Y*) = )o

+0,1f! '"k

que nos perSe puede comprobar que la solución exacta es y (x) =2x2'lo la soreemplazar al mite, una vezmás,determinar el error que se comete

lución exacta por la numérica'

u:

Xp I

1.00 1,05 2,200000000 1,10 2,4t4739229 1,15 2,639467026 |

I

|

I

1,20

r,25

Jr

?.x3

2,000000000 2,204761905

2,000000000 2,205000000 2,420000000 2,645000000 2,880000000 3,125000000 3,380000000 3,645000000 3,920000000 4,205000000 4,500000000 4,805000000 5,120000000 5,445000000 5,780000000 6,125000000 6,480000000 6,845000000 7,220000000 7,605000000 8.000000000

2,41951144r 2,644248670

2,878973642 3,1 188881 12 3,123686402

2,874183337

3,378386985 3,643075424

1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65

3,373581314 3,638262907 3,912932863

l,J0

5,77070',7006

1,75 1,80 1,85 1,90 1,95

6,t15294948 6,120148356 6,469871120 6,414728380 6,834435512 6,839296420 7,208988118 1,213852482 7,593528929 7,598396576 7.988057939 7,992928706

2,O0

4,r97591156 4,492237765 4,',l96872670

3,911751746 4,202415974 4,491068128

4,801708227 5,1 1 1495855 5,116336281 5,436107304 5,440952320 5,-175556339

I

error

,,

0,000000000 0,00023 8095 0,000488559 0,00075 1330 0,001 026358 0,001313598 0,001613015 0,00192457 6 0,002248254 0,0025 84026 0,00293187 2 0,00329 r7 7 3 0,003663713 0,004047 680 o,004443661 0,004851644 0,00527 1620 | 0,00s703580 o,ooo r4i srB I | 0,006603424 o,oot ot tzo + I

4.

Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

18.

Estúdiese la consistencia del método de Heun al aplicarse al Problema

l,2y =)l )Y t^

[Y(1) = z con -r

e

[1, 2].

Solución.

Para elmétodo de Heun se tiene

F(h,

xo,r)=

En nuestro caso, .f(-r,

L

9=:.

2l¡

siendo la solución exacta y

=2x',

de ma

nera que/(,t, y(x)) = 4x.En consecuencia

F(h, xu,y(.ro))

-

4xo

+'f(xo + h'2x? + h4x

2

)) = +' o +

?! x,.+h

Por otra parte y(xo*

)-y(,r*) -z(xk+h)2 -zx| -4xnh+2h2 :4x, +2h

hhh

Finalmente:

(, zx,ftll...1 l. ly(-r,*,)-y(¡o) ll= l-# - F\h,-ro,).(_rr))l=l xo +2h-l 4.ru +I

h

| | : 2h' a2¡'

\

xk+n)l

xo+h

pues f¿ +

h)

xt > 1. Por lo tanto, el método de Heun es consistente de or-

den2 al aplicarse a este Problema. Ya sabíamos que el método de Heun era convergente y consistente de orden 2 (en general), por lo que, al aplicarse a este problema concreto no cabía esperar una consistencia de orden menor qte 2'

226

Soluciones

lg.Alintegrarnuméricamente,interpolandoconlosnodos/o=0Ytt=1|2en el miembro derecho de

l'(x**,)

- J'(¡r) = f /(ro +th, tt(x, + th)) dt Jo"

r.

II

Runge-Kutta de dos etapas denominado de recurrencia' del punto medio' Escriba su fórmula se obtiene un método de

método

Solución.LosmétodosdeRunge-Kuttaexplícitosdedosetapastienen la siguiente forma general

,l'u*r-]l _,, =Aoüo+Atlll n

uo=.f u,

(xr,!r)

= f (x r + t 1ll, Y k + ht rtto) 1

ao=t_l 1

-'l

1¡ ",I

punat = l ' Por lo tanto' el método del Si se escoge tt = ll|resulta att = 0' to medio viene dado Por la ecuación

I**, =

20.

)'o +

llf

\xr+!.

l'* + 1 .f{-t*,

't'o,)¡

resolver numéricamente el probleAplíquese el método de Ralston para ma de valores iniciales

l,2y 1- -r

l.r(1) = z i

en el intervalo x

e

(1, 2) con mmaño de paso h = 0'05'

I ;

227

4.

soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

Solución.

Se

tiene

.f

tx, r'¡

:?,

xo

= r, yo :2'

son Las fórmulas de recurrencia del método de Ralston

)'rrr

:

* Llt (uu -rt + h(luo + ¿ur) = -v*

+2u')

un=.f(xo,rrr=+ -trr

u,

= f(x,+]

1,..n* + ]

á,0) =

]fiffi

Recordando que la solución exacta as y = )¡2 ' resulta lr

1,00 1,05

4,000000000

2,000000000 4,144578313 2,20481927'l

4,199655766 4,344471482 2,419629256 4,399325920 4,544358643 2,644429916 r,20 4,599008654 4,144240506 2,879221,470 t,25 4,798702451 4,944111617 3,124003161 1,30 4,998406028 5,143990669 3,318776890

1,10 1,15

1,35 7,40

5,1981 18292 5,343859921 3,643540859

1,55 1,60

5,99703'7343 6,143306547 4,8025055 1 5 6,196781309 6,343161970 5,117223936 6,396529920 6,543015338 5,441933279 6,596282762 6,742866824 5,-t76633552 6,796039473 6,942716584 6,121324763 6,995199729 1,t42564158 6,476006917 1,19556324r 7 ,342411411 6,840680020 7,395329752 7,542256833 7,215344017

5,543725832 3,918295692 t,45 5,597565274 5,143588716 4,203041404 1,50 5,797298488 5,943448870 4,49'1178007

1,65

1,70

t,15 1,80 1,85 1,90 1,95

2.00

228

5,397838310

1,742100945 1,599999092 '7.99464s070 7,794870864 7,941943899

7,595099029

2,000000000 2,205000000 2,420000000 2,645000000 2,880000000 3,125000000 3,380000000 3,645000000 3,920000000 4,205000000 4,500000000 4,805000000 5,120000000 5,445000000 5,780000000 6,125000000 6,480000000 6,845000000 7,220000000 7,605000000 8,000000000

0,000000000 0,000 180723 0,00037 01 44 0,0005 7 0024 0,000778530 0,00099 623 3 0,001 2231r0 0,001 459141 0,001704308 0,001958596 0,002221993 0,002494485 0,00271 6064 0,003066721 0,003 366448 0,003 67 5231 0,003 99 3 08 3

0,004319980 0,004655923 0,005 00090

8

0,005354930

Soluciones

con los nodos /o = 0' tt integrar numéricamente, interpolando tz= l,en el miembro derecho de la igualdad

21. Al

J'(¡**,)

-

-v(-xr)

ht0

=f

.f ("u

+th,y(xo+th))

los nodos e interpolando la segunda vez con

It. = 0' Í. ;:;'

= ll2

ctt

1

se obtiene un

métododeRunge-Kuttadetresetapas.B,".iuususfórmulasderecurrencia'

= 0' h = !12' tz= son de la integración numérica por interpolación

Solución. Si elegimos los nodos

/o

qo

fi rr-il G-Ddt - (o-;)(o-1)

u'

-

-'lr

[l

r¡-olG-Ddt ' = (i-o)

(i-l)

_=[lr¡-o) \t-])dt u2(1_0)(l_i)

l' los coeficientes

I 6 2

;J 1

6

determinar los coeficientes óo Los nuevos nodos, que se emplearán para coffespona i = i (recordemos que el coeficiente

]

d21

cofrespondientes

diente ai=lessiempre dto=l),son

L=0' ) tt r' !.

-112 | =f2 'Enconse-

cuencia, r]:-u *?o

A :'v q2t

liu-It¡¡ '' =U (0 _

l'"

l)

t -ol ¿t =I (]-o)

229

4.

soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

Runge-Kutta de tres etapas Se obtiene así el siguiente método de

- It

Ir*r

=)uuo

+?rur+lu.

,1

uo = .f (xo,

ur=

.f

!

u)

(x¡+l l'' r* +)huo\

u,= .f (xu+h,Yn+hur) obsérvesequesielmiembroderechodelaEDoestásoloenfunciónde regla de Simpson con nodos entonces este método no es otro que la

f,

igualmenteespaciados(integraciónnumérica).Poreso,estemétodopuede Simpson, aunque en ocasiones se de denominarse también coÁo regla métodos' reserva esa denominación para otros

22.Apliqueelmétododelejercicio2|pararesolvernuméricamenteelproblema de valores iniciales

Iv'=y-x' lY(o) =

¡ la solu-

t), para un tamaño de paso /r = 0'05' Determine ciónexactaycalcule"lt"otcometidoalreemplazaresasoluciónexacta

en el intervalo (0,

por la numérica.

Solución.Comencemoshallandolasoluciónexacta.LaEDoeslineal

la fórmula del ejercicio 3 con de primer orden, luego se puede aplicar

ao=-l-

g(x)=-x2'

la solución general de la EDO Integrando y simplificando llegamos a y (x) =

x2

+2x +2 + Ce'

elegir C Para que se veritique y(0) = 3' debemos es exacta del problema de valores iniciales y (x) =

230

i

+2x+2+ d

= 1' luego la solución

Soluciones

Las fórmulas de recurrencia del método del ejercicio 21 son, en nuestro caso,

!n+f uo=!r-xi l¡,*r=

(uo +

ut = !r+A,O25uo

uz=!t

+0,0054,

4ut+u,)

- (-ro +0,02-5)' -(x* +0,05)'

Aplicando estas fótmulas se obtienen los siguientes resultados

,tr:::

It1

a:::.'

0,00 0,05

3,00000

3,07438 7

0,10 0,20

3,15r24 3,3051 I 3,46173

0,25

3,62126

3,22690 3,38211 3,54015 3,10117

0,15

t\1))

3,30508 3,46171 3,62124

lrl 3,00000

3,00000

3,15374 3,3151i

7

3,48423

1577-7

3,31517 3,48433

3,66140

0,70

3,66126 3,18382 3,84634 3,78384 3,86531 3,94961 4,03963 3,94963 4 ¡?)75 4,tr877 4,24129 4,11879 4,20364 4,29148 4,45r50 4,29150 4,31816 4,46191 4,67043 4,46793 4,55651 4,64826 4,89829 4,64829 4,73887 4,83273 5,13526 4,83276 4,92545 5,02153 5,38156 5,02156 5,11647 5,21488 5,63141 5,21491 5,31216 5,41302 5,90305

0,75

5,4i305

5,61619

0,80

5,61622

5,82464 6,46468

6,46554

6,76119 6,25852 7,06855

6,76215

0,30 0,35

0,40 0,45

0,50 0,55

0,60 0,65

0,85

0,90 0,95 1,00

5,51215 5,71850 5,82468 5,92967 6,03869 6,14653 6,25855 6,36939 6,48456 6,59855

6,03866

3,84653

4,03986 4,24157

4,45182 4,67081

4,99872 5,38212 5,63804 5,903',75

6,t1872 6,r1950

1,06960 6,48452 7,38106 7,38821 6,71699 '7;1r702 7,11828

0,00000 0,00003 0,00007 0,00010 0,00014 0,00018 0,00023 0,00027 0,00032 0,00038 0,00043 0,00050 0,00056 0,00063 0,00070 0,00078 0,00087 0,00096 0,0010s 0,00115 0,00126

231

4.

Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

23.

Aplique el método Heun de orden tres para resolver numéricamente el problema de valores iniciales

fv'=v-*' tv(o): ¡ en el intervalo (0, 1), para un tamaño de paso h = 0,05. Calcule el error cometido al reemplazar la solución exacta por la numérica y compiárase con la obtenida en el ejercicio 22.

Solución.

Las fórmulas de recurrencia del método de Heun de orden 3 son, en nuesffo caso,

ln*r=!*+s(ru' +4ur*ur)

uo:!r*x? ur=!r+Yro-1ro +$)' u.,: I r +Tu,- (*o +T)t Aplicando estas fórmulas

se obtienen los siguientes resultados I

, ¡?

¡ I

t

¡

t,

{

t {

x

¡

L t'

f

{t

* *

¡ 1l

.¡ : i ¡

í

232

*¡t

Soluciones

X¡

ü¡,

!*

.ü1

y(xr)

3,0000000 3,0000000 3,1537705 3,1537111 0,10 3,t5r2705 3,2018472 ? ?5?554i 3,3151697 3,3151709 0,15 3,3051697 3,3566447 3,4092800 3,4843323 3,4843342 0,20 3,4618323 3,5r425t7 3,5678629 3,6614000 3,6614028 n?5 3,6214000 3,6748123 3,7294493 3,8465219 3,8465254 0,30 3,7840219 3,8384778 3,894t934 4,0398544 4,0398588 0,35 3,9498544 4,0054075 4,0622569 4,24t5622 4,24t5675 0,40 4,t190622 4,t751688 4,2338r0I 4,4518t84 4,4518247 0,45 4,2918184 4,3491316 4,4090319 4,6708048 4,6108122 0,50 4,4683048 4,5274988 4,5881103 4,8987r28 4,89872I3 0,55 4,6487t28 4,7092469 4,7712432 5,7357433 5,1357530 0,60 4,8332433 4,8951862 4,9586384 5,3821078 5,3821188 0,65 5,0221078 5,0855318 5,1505144 5,6380284 5,6380408 0,70 5,2t55284 5,2805094 5,3471009 5,9037388 5,9037527 0,75 5,4137388 5,4803567 5,5486396 6,t794845 6,1795000 0,80 5,6t69845 5,6853231 5,1553842 6,4655231 6,4655409 0,85 5 R)55)7'7 5,8956713 5,9676017 6,7621278 6,7621469 0,90 6,0396278 6,tt16772 6,1855726 7,0695821 7,A696031 0,95 6,2595821 6,3336307 6,4095921 7,3881866 7,3882097 1,00 6,4856866 6,5618370 6,6399701 7,7182566 1,7182818 0,00 0,05

3,0000000

3,0497222

3,1005463

ernor 0,0000000 0,0000006 0,0000013 0,0000020 0,0000027 0,0000035 0,0000044 0,0000053 0,0000063 0,0000074 0,0000085 0,0000097 0,0000110 0,0000124 0,0000139 0,0000155 0,0000172 0,0000190 0,0000210 0,0000230 0.0000252

Se obtienen mejores resultados con el método de Heun de orden 3 que con el del ejercicio 21.

233

r I N

4.

Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales

24.

Repita el ejercicio 23 con tamaño de paso h = 0,1y compárense los resultados.

Solución.

En la siguiente tabla se recogen los resultados

Ir1

0,00 3,0000000 0,10 3,0000000 0,20 3,305161 I 0,30 3,6213817 0,40 3,9498247 0,50 4,29t7758 0,60 4,6486553 0,70 5,0220333 0,80 5,4136449 0,90 5,8254077 1,00 6.2594409

3,0000000 0,0000000 3,0988889 3,2021481 3,4075554 3,5145537 3,7276499 3,8387806 4,0603745 4,t760719

3,3151611 3,66t381'7 4,0398241

3,3151709

3,6614028 4,0398588

4,4517758 4,45t8247 4,8986553 4,8987213 4,5278018 4,4070572 4,7691660 4,8954886 5,3820333 5,3821188

5,t483233 5,2808104 5,9036449 5,5463220 5,6856220 6,4654077 5,9651435 6,tL19728 7,0694409 6,4069778 6,5621283 7,7180865

5,9037527 6,4655409 1,0696031

7,7t828r8

0,0000098 0,0000211 0,0000341 0,0000489 0,0000660 0,0000855 0,0001078 0,0001332 0,0001623 0,0001953

Puede observarse que el error ha aumentado, multiplicándose aproximadamente por 7,8. No es sorprendente, porque el método es de orden 3 y el tamaño de paso se ha multiplicado por 2, siendo 23 = 8' de Runge-Kufta standard de cuatro etapas para resolver numéricamente el problema de valores iniciales

25. Aplique el método

lv':v-.X' i'to' =

'

en el intervalo (0, 1), para un tamaño de paso h = 0,05. calcule el error cometido al reemplazar la solución exacta por la numérica y compárese con la obtenida en el ejercicio 23.

234

Soluciones

solución.

En esta ocasión tenemos las siguientes fórmulas de recurrencla

],r,r = )'r

+f

(uo

+Lur+2tt" *ur)

uo=!r-x? = ! r + O,025uo- (,r, + 0,025)' ut = ! r + 0,025u.,- (-r, + 0, 025)t

r,t,

Lt,

= ! r,+ 0,054,

-

(x* + 0,05)':

Que dan lugar a los siguientes resultados

3,00000000 3,00000000

0,00 0,05

0,r0 0, l5 0,20 0,25

3,00000000 3,07437500 3,07623438 3,15127r09 3,22692'786 3,22881928 3,305 17090 3,382175r7 3,3841 0028 3,46183421 3,54025507 3,54221559 3,621402'72 3;7013r279 3,7033 I 054

0,30 3,'18402536 0,35 3,94985874 0,40 4,t1906747 0,45 4,29182461 0,50 4,46831208

3,86550100

3,86753'789

4,03298021 4,03505825 4,203919t6 4,2060404s 4,3'7849522 4,55689488

0,00000000

3,1513r172 3,t5377 r09 3,153'77 r10 0,00000001 3,30521205 3,3 1 5 17090 3,4618',1591 3,48433421 3,62144499 3,66140272 3,'78406824 3,84652536 3,94990226 4,03985874

3,3151'7092 0,00000002 3,48433424 0,00000003

3,66140276 0,00000004 3,84652542 0,00000005 4,0398588 1 0,00000006 4,1 1911166 4,24156747 4,24t56'755 0,00000008 4,29186949 4,4s18246r 4,45182470 0,00000009

4,38066 199

4,46835'770 4.6708 1208 4,6'7081219

0,0000001

4,55910945

4,648767s5 4,89872115 4,898'7212'7

0,00000012 0,00000014 0,00000016 0.00000018 0,00000020 0,00000022 0,00000024 0,00000027 0,00000030 0,00000032

4,648'72115 4;73931418 4,',l4157900 0,60 4,83325288 4,92595920 4,9282'7686 0,65 5,02211864 5,n70466r 5, I 1941 981 0,70 s ,1 554nr{5 5,31280417 5 Ir511575

0,55

5,4137525r 5,51347132 5,51596429 0,80 5,61699980 5,71929979 5,'72185729 0,85 5,82554068 5,93055420 5,933179s4 0,90 6,03964658 6,t4'751275 6,1 5020940 0,95 6,25960282 6,3'7046'789 6,37323951 1,00 6,48510934 6.59972707 6,6025'77sr

0;75

4,83330010 5,1357s288 5,r35'.75302 5,3821 1864 5,3821 1880 5.63804065 5,63804083 5,41380244 5,90375251 5,903752'71 5,61705072 6,17949980 6,1'1950002

5,02216672

5 ? 1 55Rq61

1

s,82559266 6,46554068 6,46554093 6,03969966 6,'76214658 6;76214685 6,2596570s 7,06960282 7,069603 1 I '7,38820966 6,485'76479 7,38820934 '7,71828183 0,00000035 7;7r828r4'7 1833821 6,7

El método standard de cuatro etapas, que es de orden cuatro' proporclona mejores resultados que los métodos de orden tres, pero con un mayor coste computacional.