Problemas De Rectas

Problemas Encuentre en cada caso la ecuación de la recta 1.-Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,-1) y es paralela a la recta l1 : 4x-y=1 Solución: Como l1 es paralela a la recta pedida entonces tiene la misma pendiente ,es decir, Si l1 es paralela a l2 entonces m1= m2 Tomamos

l1 : 4x-y=1 y despejamos el valor de y, así -y = 1 -4x Y = 4x -1

Es claro que la pendiente de la recta l1 es m1 = 4 Teniendo en cuenta la teoría l1 es paralela a l2 entonces m1= m2 Tenemos que la recta pedida l2 m2 = 4

pasa por el punto P(1,-1) y tiene pendiente

Utilizamos la Ecuación punto pendiente (Y- Y1) = m(X-X2) Sustituyendo

(Y- (-1)) = 4(X- 1) Y+1 = 4X- 4 Y = 4X -4-1 l2 : Y = 4X-5

La ecuación (1) es la recta buscada

(1)

2.-Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,-1) y es perpendicular a la recta l2 : -5x +y =6 Solución: Como l2 es perpendicular a la recta pedida entonces el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir, Si l1 es perpendicular a l2 entonces m1.m2= -1 1 m1= − m2 Tomamos

l2 : -5x +y =6 y despejamos el valor de y, así Y = 6 +5x Y = 5x +6

Arreglamos

Es claro, que la pendiente de la recta l2 tiene pendiente m2 = 5 Teniendo en cuenta la teoría l1 es perpendicular a l2 entonces m1.m2= -1 Tenemos que la recta pedida l1 pasa por el punto P(1,-1) y tiene pendiente 1 m1 = − 5 Utilizamos la Ecuación punto pendiente (Y- Y1) = m(X-X2) Sustituyendo

(Y- (-1)) = −

1 (X- 1) 5

1 1 Y+1 = − X + 5 5 1 1 Y = X + +1 5 5 l2 : Y =

1 6 X + 5 5

La ecuación (1) es la recta buscada

(1)

3.-Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P(0,1) y Q( -1,4) Solución: Utilizamos la ecuación punto pendiente

(Y- Y1) = m(X-X2)

1) Buscamos la pendiente de la recta con los dos puntos y 2 − y1 x 2 − x1 4 −1 3 = −3 m= m= m= -3 −1− 0 −1 Tomamos el punto P(0,1) y la pendiente m=-3 m=

(Y- Y1) = m(X-X2) (Y -1) =-3(x-0) Y= -3x +1 Si tomamos el punto Q( -1,4)

Ec (1)

(Y- 4) = -3(X- (-1)) Y- 4 = -3 (X+1) Y= -3X -3 +4 Y= -3x +1

Ec (2)

Tomando el punto P ó el punto Q la ecuación de la recta es la misma (Y- Y1) = m(X-X2) Sustituyendo

(Y- (-1)) = −

1 (X- 1) 5

1 1 Y+1 = − X + 5 5 1 1 Y = X + +1 5 5 l2 : Y =

1 6 X + 5 5

(1)

La ecuación de la recta buscada es Ec(1)= Ec(2)

4.-Halle la ecuación de la recta que pasa punto p (7,3) y tiene un ángulo de π inclinación α = . 4 Sabemos que el ángulo de inclinación es la pendiente de la recta la podemos encontrar médiate: Tg α = m=

y 2 − y1 x 2 − x1 1 π -----------------180 º

También que

π -------------------x 4

π .180 π 45 x= 4 º = = 45 π π

X= 45º Tg 45º = m =

y 2 − y1 x 2 − x1

1= m , es decir que la pendiente es m= 1 y pasa por el punto p (7,3) Utilizamos la Ecuación punto pendiente (Y- Y1) = m(X-X2) Sustituyendo

(Y- 3)) = 1(X-7) Y-3 = X- 7 Y = X -7+3 l : Y = X- 4

La ecuación (1) es la recta buscada

(1)

5) Dada la recta r: 7x-5y=5 a) ¿Pertenece a r los puntos P (1,2) y Q(6/7, 1/5) ? b) ¿Cuáles valores deben tomar a y b para que los puntos (a,2) y (0,b) pertenezcan a la recta r? Solución (a) •

P (1,2)

r: 7x-5y=5 entonces r: 7(1)-5(2)= 5 7-10=5 -3≠ 5 Es claro que P (1,2) no pertenece a la recta r •

Q(6/7, 1/5)

•

6 1 )-5( )= 5 7 5 6- 1 =5 5=5 Es claro que Q(6/7, 1/5) pertenece a la recta r r: 7x-5y=5 entonces r: 7(

(b) ¿Cuáles valores deben tomar a y b para que los puntos (a,2) y (0,b) pertenezcan a la recta r? (a,2) tenemos que x=a r: 7x-5y=5 entonces

a debe tomar un valor de 15 ,2) 7

7x-5y=5 entonces 7x-5(2)= 5 7x = 5 +10 7x=15 15 X= 7

15 , es decir el punto que pertenece a la recta es ( 7

(0,b)

tenemos que y=b r: 7x-5y=5 entonces

7x-5y=5 entonces 7(0)-5y=5 -5y= 5 5 Y= − 5

Y= -1 B debe tomar un valor de -1, es decir el punto que pertenece a la recta es (0,(0,-1) r: 7x-5y=5 r: 7(0)-5(-1) =5 0+5=5