Modelo Rectas

1) a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( − 4 ; 2 ) y B ( 8 ; − 13 ) b) Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la anterior y que pasa por el punto

C ( 10 ; 6 ) c) Determinar la ecuación de la recta paralela a la anterior y que pasa por el punto D ( − 5 ; 0 ) d) Representar todas las rectas y puntos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales

y = ma x + ba

1) a)

 y A = x A ma + ba   y B = x B ma + ba

Datos A ( x A = −4 ; y A = 2 ) y B ( x B = 8 ; y B = −13 ) Incógnitas m a ; ba

2 = − 4 ma + ba  − − − − 13 = 8 m + b a a 

Restando miembro a miembro

⇒ 2 − ( − 13 ) = ( − 4 − 8) ma + ( ba − ba ) ⇒ 15 = − 12 ma ⇒ ma = −

15 ⇒ 12

 5 2 = − 4  −  + ba ⇒ ba = 2 − 5  4

5 x−3 4

y = mb x + bb Datos

mb =

C ( xC = 10 ; y C = 6 )

mb =

4 Perpendicular a la anterior 5

4 4 ⇒ 6 = 10 + bb ⇒ bb = 6 − 8 5 5

bb = − 2

y= c)

5 4

ba = − 3

y=−

b)

ma = −

y = mc x + bc Datos

D ( x D = −5 ; y D = 0 )

mc =

4 Paralela a la anterior 5

4 x−2 5

mc =

4 4 ⇒ 0 = ( − 5) + bc ⇒ bc = 0 + 4 5 5

bc = − 4

y= d)

4 x+4 5

AÑO 2007

4to AÑO ECUACION DE LA RECTA

TEMA 1

a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( 5 ; 4 ) y B ( - 1 ; -14).

b) Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la anterior y que pasa por el punto C(3;7) c) Determinar la ecuación de la recta paralela a la anterior y que pasa por el punto D ( - 6 ; -5 ) d) Determinar la ecuación de la recta que tiene pendiente igual a la mitad de la pendiente de la recta del punto a), y que pasa por el punto E ( -2 ; 0 ). e) Calcular la distancia del punto F( -2 ; 8 ) a la recta del ejercicio c) b) Representar todas las rectas y puntos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales.

y = ma x + ba

1) a)

 y A = x A ma + ba   y B = x B ma + ba

Datos A ( x A = 5 ; y A = 4 ) y B ( x B = −1 ; y B = −14 ) Incógnitas m a ; ba

4 = 5 ma + ba  − − − − 14 = − 1 m + b a a 

Restando miembro a miembro

18 ⇒ 6

⇒ 4 − ( − 14 ) = ( 5 − ( − 1) ) ma + ( ba − ba ) ⇒ 18 = 6 ma ⇒ ma =

4 = 5 ⋅ 3 + ba ⇒ ba = 4 − 15

ma = 3

ba = −11

y = 3 x − 11

b)

y = mb x + bb C ( xC = 3 ; y C = 7 )

Datos

mb = −

mb = −

1 Perpendicular a la anterior 3

1 1 ⇒ 7 = − 3 + bb ⇒ bb = 7 + 1 3 3

bb = 8

y= − c)

1 x+8 3

y = mc x + bc Datos

mc = −

D ( x D = −6 ; y D = −5 )

mc = −

1 Paralela a la anterior 3

1 1 ⇒ − 5 = − ( − 6 ) + bc ⇒ bc = − 5 − 2 3 3

bc = − 7

y= −

1 x−7 3

d)

y = md x + bd Datos

mc =

E ( x E = −2 ; y E = 0 )

md =

1 ⋅ 3 Mitad de la pendiente de la recta del ejercicio a) 2

3 3 ⇒ 0 = ( − 2) + bd ⇒ bd = 0 + 3 2 2

bd = 3

y=

3 x+3 2

y = me x + be

e)

me = 3 Perpendicular a la recta del ejercicio c) F ( x F = −2 ; y F = 8 ) b me = 3 ⇒ 8 = 3 ( − 2 ) + be ⇒ be = 8 + 6

Datos

e

= 14

y = 3 x + 14

Intersección rectas c) y e) −

1 x − 7 = 3 x + 14 3

63  3 ⇒ x = − 6,3 x = 21  −  ⇒ x = − 10  10 

⇒ −

1 10 x − 3 x = 14 + 7 ⇒ − x = 21 3 3

 63  y = 3  −  + 14 ⇒  10 

y=−

49 ⇒ 10

Llamamos G al punto intersección G ( xG = −6,3 ; y G = −4,9 ) Distancia del punto F a la recta del ejercicio c)

d=

( xF

− xG ) + ( y F − y G )

d=

( − 2 + 6,3) 2 + ( 8 + 4,9) 2

d=

184,90

2

⇒

2

⇒ d=

( − 2 − ( − 6,3) ) 2 + ( 8 − ( − 4,9) ) 2

⇒ d=

( 4,3) 2 + (12,9) 2

⇒ d=

⇒

18,49 + 166,41 ⇒

d = 13 , 60

y = − 4,9

AÑO 2007

4to AÑO ECUACION DE LA RECTA

TEMA 2

a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( -1 ; 13 ) y B ( 4 ; -12). b) Determinar la ecuación de la recta paralela a la anterior y que pasa por el punto C ( 2 ; -14 )

c) Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la anterior y que pasa por el punto D(5;4) d) Determinar la ecuación de la recta que tiene pendiente igual a 10 veces la pendiente de la recta del punto c), y que pasa por el punto E ( 4 ; 1 ). e) Calcular la distancia del punto F( 4 ; 5 ) a la recta del ejercicio d) f) Representar todas las rectas y puntos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales

y = ma x + ba

1)a)

 y A = x A ma + ba   y B = x B ma + ba

Datos A ( x A = −1 ; y A = 13 ) y B ( x B = 4 ; y B = −12 ) Incógnitas m a ; ba

13 = − 1 ma + ba  − − − − 12 = 4 m + b a a 

Restando miembro a miembro

⇒ 13 − ( − 12 ) = ( − 1 − 4 ) ma + ( ba − ba ) ⇒ 25 = − 5 ma ⇒ ma =

25 ⇒ −5

13 = − 1 ⋅ ( − 5) + ba ⇒ ba = 13 − 5

m a = −5

ba = 8

y = −5 x + 8

b)

y = mb x + bb mb = − 5 Paralela a la anterior Datos C ( xC = 2 ; y C = −14 ) mb = − 5 ⇒ − 14 = − 5 ⋅ 2 + bb ⇒ bb = − 14 + 10

bb = − 4

y = −5 x − 4

c)

y = mc x + bc Datos

mc =

D ( xD = 5 ; yD = 4 )

mc =

1 1 ⇒ 4 = ( 5) + bc ⇒ bc = 4 − 1 5 5

1 Perpendicular a la anterior 5 bc = 3

y=

1 x+3 5

d)

y = md x + bd E ( xE = 4 ; yE = 1 )

Datos

md = 10 ⋅

mc = 2 ⇒ 1 = 2 ( 4 ) + bd ⇒ bd = 1 − 8

1 5

10 veces la pendiente de la recta del ejercicio c) bd = − 7

y =2 x −7

y = me x + be

e)

F ( xF = 4 ; yF = 5 )

Datos

me = −

me = −

1 Perpendicular a la recta del ejercicio d) 2

1 1 ⇒ 5 = − ( 4 ) + be ⇒ be = 5 + 2 2 2

be = 7

y= − Intersección rectas d) y e) 2 x − 7 = −

28  2 ⇒ x = 5,6 x = 14   ⇒ x = 5 5

1 x+7 2

⇒ 2x+

1 x+7 2

1 5 x= 7+7⇒ x = 14 2 2

 28  y =2 −7 ⇒  5

y=

21 ⇒ 5

y = 4,2

Llamamos G al punto intersección G ( xG = 5,6 ; y G = 4,2 ) Distancia del punto F a la recta del ejercicio c)

d=

( xF

− xG ) + ( y F − y G )

d=

( 4 − 5,6) 2 + ( 5 − 4,2) 2

d=

4

2

⇒

2

⇒ d=

⇒ d=

( 4 − ( 5,6) ) 2 + ( 5 − ( 4,2) ) 2 ( − 1,6) 2 + (1,2) 2

⇒ d=

⇒

2,56 + 1,44 ⇒

d= 2