1) a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( − 4 ; 2 ) y B ( 8 ; − 13 ) b) Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la anterior y que pasa por el punto
C ( 10 ; 6 ) c) Determinar la ecuación de la recta paralela a la anterior y que pasa por el punto D ( − 5 ; 0 ) d) Representar todas las rectas y puntos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales
y = ma x + ba
1) a)
y A = x A ma + ba y B = x B ma + ba
Datos A ( x A = −4 ; y A = 2 ) y B ( x B = 8 ; y B = −13 ) Incógnitas m a ; ba
2 = − 4 ma + ba − − − − 13 = 8 m + b a a
Restando miembro a miembro
⇒ 2 − ( − 13 ) = ( − 4 − 8) ma + ( ba − ba ) ⇒ 15 = − 12 ma ⇒ ma = −
15 ⇒ 12
5 2 = − 4 − + ba ⇒ ba = 2 − 5 4
5 x−3 4
y = mb x + bb Datos
mb =
C ( xC = 10 ; y C = 6 )
mb =
4 Perpendicular a la anterior 5
4 4 ⇒ 6 = 10 + bb ⇒ bb = 6 − 8 5 5
bb = − 2
y= c)
5 4
ba = − 3
y=−
b)
ma = −
y = mc x + bc Datos
D ( x D = −5 ; y D = 0 )
mc =
4 Paralela a la anterior 5
4 x−2 5
mc =
4 4 ⇒ 0 = ( − 5) + bc ⇒ bc = 0 + 4 5 5
bc = − 4
y= d)
4 x+4 5
AÑO 2007
4to AÑO ECUACION DE LA RECTA
TEMA 1
a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( 5 ; 4 ) y B ( - 1 ; -14).
b) Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la anterior y que pasa por el punto C(3;7) c) Determinar la ecuación de la recta paralela a la anterior y que pasa por el punto D ( - 6 ; -5 ) d) Determinar la ecuación de la recta que tiene pendiente igual a la mitad de la pendiente de la recta del punto a), y que pasa por el punto E ( -2 ; 0 ). e) Calcular la distancia del punto F( -2 ; 8 ) a la recta del ejercicio c) b) Representar todas las rectas y puntos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales.
y = ma x + ba
1) a)
y A = x A ma + ba y B = x B ma + ba
Datos A ( x A = 5 ; y A = 4 ) y B ( x B = −1 ; y B = −14 ) Incógnitas m a ; ba
4 = 5 ma + ba − − − − 14 = − 1 m + b a a
Restando miembro a miembro
18 ⇒ 6
⇒ 4 − ( − 14 ) = ( 5 − ( − 1) ) ma + ( ba − ba ) ⇒ 18 = 6 ma ⇒ ma =
4 = 5 ⋅ 3 + ba ⇒ ba = 4 − 15
ma = 3
ba = −11
y = 3 x − 11
b)
y = mb x + bb C ( xC = 3 ; y C = 7 )
Datos
mb = −
mb = −
1 Perpendicular a la anterior 3
1 1 ⇒ 7 = − 3 + bb ⇒ bb = 7 + 1 3 3
bb = 8
y= − c)
1 x+8 3
y = mc x + bc Datos
mc = −
D ( x D = −6 ; y D = −5 )
mc = −
1 Paralela a la anterior 3
1 1 ⇒ − 5 = − ( − 6 ) + bc ⇒ bc = − 5 − 2 3 3
bc = − 7
y= −
1 x−7 3
d)
y = md x + bd Datos
mc =
E ( x E = −2 ; y E = 0 )
md =
1 ⋅ 3 Mitad de la pendiente de la recta del ejercicio a) 2
3 3 ⇒ 0 = ( − 2) + bd ⇒ bd = 0 + 3 2 2
bd = 3
y=
3 x+3 2
y = me x + be
e)
me = 3 Perpendicular a la recta del ejercicio c) F ( x F = −2 ; y F = 8 ) b me = 3 ⇒ 8 = 3 ( − 2 ) + be ⇒ be = 8 + 6
Datos
e
= 14
y = 3 x + 14
Intersección rectas c) y e) −
1 x − 7 = 3 x + 14 3
63 3 ⇒ x = − 6,3 x = 21 − ⇒ x = − 10 10
⇒ −
1 10 x − 3 x = 14 + 7 ⇒ − x = 21 3 3
63 y = 3 − + 14 ⇒ 10
y=−
49 ⇒ 10
Llamamos G al punto intersección G ( xG = −6,3 ; y G = −4,9 ) Distancia del punto F a la recta del ejercicio c)
d=
( xF
− xG ) + ( y F − y G )
d=
( − 2 + 6,3) 2 + ( 8 + 4,9) 2
d=
184,90
2
⇒
2
⇒ d=
( − 2 − ( − 6,3) ) 2 + ( 8 − ( − 4,9) ) 2
⇒ d=
( 4,3) 2 + (12,9) 2
⇒ d=
⇒
18,49 + 166,41 ⇒
d = 13 , 60
y = − 4,9
AÑO 2007
4to AÑO ECUACION DE LA RECTA
TEMA 2
a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( -1 ; 13 ) y B ( 4 ; -12). b) Determinar la ecuación de la recta paralela a la anterior y que pasa por el punto C ( 2 ; -14 )
c) Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la anterior y que pasa por el punto D(5;4) d) Determinar la ecuación de la recta que tiene pendiente igual a 10 veces la pendiente de la recta del punto c), y que pasa por el punto E ( 4 ; 1 ). e) Calcular la distancia del punto F( 4 ; 5 ) a la recta del ejercicio d) f) Representar todas las rectas y puntos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales
y = ma x + ba
1)a)
y A = x A ma + ba y B = x B ma + ba
Datos A ( x A = −1 ; y A = 13 ) y B ( x B = 4 ; y B = −12 ) Incógnitas m a ; ba
13 = − 1 ma + ba − − − − 12 = 4 m + b a a
Restando miembro a miembro
⇒ 13 − ( − 12 ) = ( − 1 − 4 ) ma + ( ba − ba ) ⇒ 25 = − 5 ma ⇒ ma =
25 ⇒ −5
13 = − 1 ⋅ ( − 5) + ba ⇒ ba = 13 − 5
m a = −5
ba = 8
y = −5 x + 8
b)
y = mb x + bb mb = − 5 Paralela a la anterior Datos C ( xC = 2 ; y C = −14 ) mb = − 5 ⇒ − 14 = − 5 ⋅ 2 + bb ⇒ bb = − 14 + 10
bb = − 4
y = −5 x − 4
c)
y = mc x + bc Datos
mc =
D ( xD = 5 ; yD = 4 )
mc =
1 1 ⇒ 4 = ( 5) + bc ⇒ bc = 4 − 1 5 5
1 Perpendicular a la anterior 5 bc = 3
y=
1 x+3 5
d)
y = md x + bd E ( xE = 4 ; yE = 1 )
Datos
md = 10 ⋅
mc = 2 ⇒ 1 = 2 ( 4 ) + bd ⇒ bd = 1 − 8
1 5
10 veces la pendiente de la recta del ejercicio c) bd = − 7
y =2 x −7
y = me x + be
e)
F ( xF = 4 ; yF = 5 )
Datos
me = −
me = −
1 Perpendicular a la recta del ejercicio d) 2
1 1 ⇒ 5 = − ( 4 ) + be ⇒ be = 5 + 2 2 2
be = 7
y= − Intersección rectas d) y e) 2 x − 7 = −
28 2 ⇒ x = 5,6 x = 14 ⇒ x = 5 5
1 x+7 2
⇒ 2x+
1 x+7 2
1 5 x= 7+7⇒ x = 14 2 2
28 y =2 −7 ⇒ 5
y=
21 ⇒ 5
y = 4,2
Llamamos G al punto intersección G ( xG = 5,6 ; y G = 4,2 ) Distancia del punto F a la recta del ejercicio c)
d=
( xF
− xG ) + ( y F − y G )
d=
( 4 − 5,6) 2 + ( 5 − 4,2) 2
d=
4
2
⇒
2
⇒ d=
⇒ d=
( 4 − ( 5,6) ) 2 + ( 5 − ( 4,2) ) 2 ( − 1,6) 2 + (1,2) 2
⇒ d=
⇒
2,56 + 1,44 ⇒
d= 2