Transformaciones De Cantidades Termodinamicas En El Regimen De La Teoria Especial De La Relatividad

Revista Colombiana de Física, vol. 40, No. 1, Marzo 2008

Transformaciones de Cantidades Termodinamicas en el Regimen de la Teoria Especial de la Relatividad W. A. Rojas C.1 y J. R. Arenas S.1 1

Observatorio Astronómico Nacional. Universidad Nacional de Colombia

Recibido 22 de Oct. 2007; Aceptado 3 de Mar. 2008; Publicado en línea 15 de Abr. 2008

Resumen Se estudian las transformaciones de Lorentz de cantidades termodinámicas para un sistema sencillo, cuyo estado macroscópico se pueda caracterizar en términos de la energía (E) y el volumen (V) o bien de la temperatura (T) y la presión (P). Las primeras (E y V) se hallan a partir de su naturaleza mecánica y las restantes de principios termodinámicos sin implicar un cambio en los conceptos de éstos. Como una aplicación de las transformaciones se hace un estudio cualitativo de la máquina de Carnot de un gas perfecto en un ciclo reversible que opera entre dos focos que están a diferente temperatura y que cuya definición del Teorema de Carnot debe ser idéntica para dos observadores en movimiento relativo. Palabras claves: Termodinámica Relativista, Máquina de Carnot Relativista.

Abstract The Lorentz transformations of thermodynamic quantities are studied for a simple system whose macroscopic state we can characterize in terms of the energy (E) and the volume (V) or temperature (T) and the pressure (P). The first ones (E and V) are found from their nature mechanical and the remaining ones from thermodynamic principles without implying a change in the concepts of these. As an application of the transformations a qualitative study of the Carnot machine for a perfect gas is made in a reversible cycle that operates between two focuses that are at different temperature and that whose definition of Carnot Theorem should be identical for two observers in relative movement. Key Words: Relativistic Thermodynamic, Relativistic Carnot Machine.

opera bajo un ciclo de carnot, cuyas isotermas y adibátas serán trazadas y comparadas con otra en reposo relativo [2].

1. Introducción En el presente estudio se pretende extender la termodinámica clásica al marco de la Teoría Especial de la Relatividad (TER) y comprender cómo se comportan los sistemas termodinámicos cuando se mueven a velocidades cercanas a c. Lo primero que haceremos es encontrar las transformaciones de cantidades como el calor o la temperatura entre marcos de referencia inerciales. Para ello pártimos del supuesto de que las leyes de la Física son válidas para todos los observadores en movimiento relativo y de la hipótesis de la invariancia de la entropía para un cambio adiabático reversible en la velocidad sin absorción de calor [1,2]. En la segunda parte aplicaremos las transformaciones termodinámicas relativistas al funcionamiento de una máquina que se mueve con una velocidad cercana a c que

2.Transformaciones de cantidades termodinámicas Llenemos un cubo de arista l de un gas ideal y pongámoslo a moverse con una velocidad relativista por lo que el sistema experimenta una corrección del inverso del factor de lorentz1[2]. Tolman en su libro clásico de Relativity Thermodynamics and Cosmology [2] establece como hipótesis 1

Recordemos que el factor de Lorentz esta dado por:

1 1

1

u2 c2

W. A. Rojas C. et al.: Transformaciones de Cantidades Termodinamicas en el Regimen de la Teoria Especial de la Relatividad

que en un proceso adiabático reversible la entropía es constante2 pues la termodinámica requiere que para sistemas en estado de reposo o movimiento uniforme la entropía permanezca ínvariante para un cambio adiabático reversible en la velocidad sin absorción de calor [2]. Para el caso de la temperatura y el calor establece que estas cantidades termodinámicas vienen corregidas por el inverso del factor de lorentz, lo que trae como consecuencia una dismunición de ambas cantidades en función de la velocidad [1-5] sin entrar en contradicción con la invariancia de la entropía. Por otro lado se halla que la presión que ejerce el gas sobre las paredes de este es la misma para dos observadores, uno en reposo relativo y otro que se mueva con el sistema termodinámico, luego ésta constituye un invariante termodinámico si se considera que el observador local puede caracterizar la presión por la ecuación de estado para un gas ideal. En cuanto a la energía se tiene: 

P  g  U 2 U c

velocidad. Es interesante anotar que el área bajo la curva corresponde al trabajo realizado por la máquina durante la expansión y compresión isotérmica; para dicha Figura hemos trazado las trayectorias en la fase de expansión isotérmica en función de la velocidad. Como se observa, el área bajo la curva es mayor para cuando la máquina está en reposo y comienza a disminuir conforme la velocidad de éste aumenta; este efecto se debe a una disminución del volumen del sistema en función de la velocidad 4. Una vez establecidas las trayectorias de las isotermas entre las cuales opera la máquina, nuestro segundo paso es trazar las trayectorias adiabáticas que cierran el ciclo. Para lo cual debemos recordar que el observador que viaja con la máquina trazará las trayectorias adiabáticas de la forma:

p0 V (u)

 u 

(1)

La anterior ecuación expresa la densidad del momentum 

del sistema; el término  U corresponde a la densidad de momentum que acompaña a la masa de fluido que se esta moviendo, y el segundo término está asociado a un momentum adicional que corresponde al flujo de energía resultado del trabajo hecho por la presión sobre el fluido en movimiento y para el trabajo [2]: 



(3)

Donde Po es la presión que es igual para ambos observadores; V(u) corresponde al volumen de la máquina y es función de la velocidad u; (u) es el cociente entre el calor específico a presión constante (Cp) y el calor específico a volumen constante (Cv); (u) esta relacionado con la energía interna del gas y su naturaleza es debida a una disminución en el volumen de la máquina, a su velocidad en si misma, y no como un aumento en la cinemática de las partículas que componen el gas. Una partícula confinada en un recipiente que viaja a cierta fracción de la velocidad de la luz posee tres grados de libertad, por lo que la energía cinética translacional será:



dW  PdV  U  d G

 cte

(2)

EK 

3. Una Máquina de Carnot Relativista Consideremos un cilindro que contiene un gas ideal, el cual se puede comprimir y expandir de manera cuasiestacionariamente en ausencia de efectos disipativos, de tal manera que siga un ciclo de Carnot y que tal sistema se coloque en una nave espacial que viaja a cierta fracción de la velocidad de la luz. Supondremos que la cinemática de la máquina de Carnot es debida al estado de movimiento del sistema como tal y no como producto de su energía interna3. Para describir el ciclo de Carnot que sigue este sistema lo primero que haremos es trazar las trayectorias isotermas entre las cuales se fijará un gradiente de temperatura, es decir establecer los dos focos caloríficos entre los cuales opera la máquina; de acuerdo con la transformación de la presión ésta es igual para ambos observadores, por lo que el efecto percibido por el observador ubicado en la tierra será una disminución en el volumen de la máquina. En la Figura 2 se trazan algunas isotermas en función de la

3 k BT , 2

que corresponde a la energía cinética translacional de una partícula y donde T corresponde a la temperatura del recipiente en la que se está moviendo la partícula. Luego, de acuerdo a la transformación de la temperatura entre los dos observadores se tiene:

Ek 

3 u2 k BT0 1  2 2 c

(4)

Donde To es la temperatura medida por el observador aquí en la tierra, por lo tanto la energía cinética translacional para una mol de gas es:

ET 

3 u2 3 u2 k B ( N A n)T0 1  2  RnT0 1  2 2 c 2 c

(5)

La ecuación 5 indica la energía interna del gas ideal en función de la velocidad y en el límite cuando u tiende a cero ET se reduce al resultado clásico. En este resultado hemos supuesto que tal energía es producto del movi-

2

Ello se debe a que nuestro sistema físico esta operando entre los estados Ei y Ef , los cuales están conectados por las trayectorias R 1 y R2 que constituyen un ciclo reversible de acuerdo al Teorema de Clausius [8]. 3 Es decir el proceso de expansión y compresión del pistón no es comparable con el movimiento del sistema.

4

Se puede demostrar desde este punto que el trabajo realizado por la

máquina esta dado por [8]: W

2

 Q1  Q2

rev. col. fís.(c), vol. 40, No. 1, (2008)

miento del sistema en sí mismo, a una disminución del volumen y no a que se tengan partículas dentro de la cavidad con velocidad relativista. Hemos de entender en este punto que las leyes de la termodinámica son válidas para ambos observadores luego:

Cv Cp CALOR ESPECIFICO (J/Mol*K)

1 dET 3 u2 Cv (u )   R 1 2 n dTo 2 c

2,5E+01

(6)

 (u ) 

Cv (u )



u2 3 1 2 c

1,0E+01

5,0E+00

5,00E+07

1,00E+08

1,50E+08

2,00E+08

2,50E+08

3,00E+08

Figura 1. Dependencia del calor especifico (Cv y Cp) de un gas ideal en función de la velocidad y del coeficiente gamma

3,50E+03

isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0,9 c

PRESION(Pa)

(7)

3,00E+03

isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0,8 c isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0,7 c

2,50E+03

isoterma A-B vista de O a T1=400 K, u=0

2,00E+03 ISOTERMA CLASICA

1,50E+03

1,00E+03

5,00E+02 ISOTERMAS RELATIVISTAS

De igual forma que los resultados anteriores, Cp se reduce al resultado clásico cuando se consideran bajas velocidades en comparación con la velocidad de la luz. Con lo anterior es posible establecer una expresión de (u):

2

1,5E+01

VELOCIDAD(m/s)

C p (u )  Cv (u )  R

C p (u )

Gamma

0,0E+00 0,00E+00

luego la ecuación (6) corresponde al calor específico a volumen constante en función de la velocidad y de manera análoga a lo que sucedía con la energía interna del sistema cuando se consideran bajas velocidades también se reduce al valor clásico descrito por la teoría cinética de gases. Una vez establecido el calor específico a volumen constante se puede calcular Cp:

 3 u2  C p (u )  R 1  1 2  c   2

2,0E+01

1

0,00E+00 0,00E+00

1,00E+00

2,00E+00

3,00E+00

4,00E+00

5,00E+00

6,00E+00

VOLUMEN (m3)

Figura 2 Isotermas en función de la velocidad.

cual disminuye con la velocidad. Una vez establecido (u), el paso siguiente es trazar las adiabatas que cierran el ciclo:

(8)

PO V (u )

 (u )

 u2   P0 V0 1  2  c  

    2  1  2  3 1 u   c 2  8

 cte

(

(9)

) En la Figura 4, se han trazado las adiabátas para una máquina de Carnot relativista 5 que se mueve a 0.9c, lo primero que notamos es que la trayectoria B-C que corresponde la proceso de expansión adiabáticas es menos pendiente que la trayectoria D-A que describe la fase de compresión adiabática, ello indica que la rata de cambio dP/dT es más pronunciada durante la fase de compresión que la de expansión adiabática, tal puede deberse al proceso de compresión del pistón en máquina que hace que el volumen del cilindro disminuya sumado con la contracción relativista del volumen mientras que la otra adiabáta deberá su menos pendiente a que el proceso de expansión del volumen entra del cilindro es contrario a la contracción relativista. En su trabajo, Tolman no indica como es el comportamiento del calor especifico (Cv(u), Cp(u)), las isotermas y las adibatas en función de la velocidad por lo que el resultado aquí presentado es original en ese aspecto [2].

4. Resultados En la Figura 1 se aprecia el comportamiento de Cv(u), Cp(u) y (u) en función de la velocidad, este es decreciente para el caso de Cv(u) y Cp(u); ello es debido a un desempeño decreciente de la temperatura, la cual esta relacionada con la invariancia de la entropía y la presión. Para la misma Figura, se tiene que el comportamiento de (u) es aproximadamente constante en los primeros estadios pero luego crece levemente, esto es efecto a que Cp(u) no está decreciendo en la misma proporción en que lo hace Cv(u). Debemos decir que esto es porque Cp(u) es función tanto de la velocidad como de la presión y ésta es un invariante, mientras Cv(u) es función de la velocidad y el volumen, el

5

Comparece con la Figura 8 que corresponde a la máquina de Carnot clásica.

3

W. A. Rojas C. et al.: Transformaciones de Cantidades Termodinamicas en el Regimen de la Teoria Especial de la Relatividad

Referencias: 2,40E+03

isoterma C-D T2=300 K isoterma A-B T1=400 K adiabata B-C adiabata D-A

A

PRESION (Pa)

1,90E+03

[1] M. PLANCK Ann. Physik 26, 1 (1908). [2] [3] [4]

1,40E+03 ISOTERMA T1

B

D 9,00E+02 ISOTERMA T2

[5]

C 4,00E+02 1,00E+00

2,00E+00

3,00E+00

4,00E+00

5,00E+00

6,00E+00

VOLUMEN (M3)

[6]

Figura 3. Máquina de carnot clásica. 3,0E+03

[7]

Isoterma T1=600 K Isoterma T2=300 K

2,5E+03

Adiabata BC

PRESION(Pa)

Adiabata DA

[8]

2,0E+03 1,5E+03

A ISOTERMA T1

1,0E+03 5,0E+02

B

D ISOTERMA T2

0,0E+00 1,0E+00

2,0E+00

C

3,0E+00

4,0E+00

5,0E+00

6,0E+00

VOLUMEN(m3)

Figura 4. Máquina de Carnot relativista

Conclusiones Se partió de la suposición de que en un proceso adiabático cuasiestacionario reversible sin absorción de calor la entropía debe permanecer invariante. Con esta hipótesis se demostraron la existencia de las demás transformaciones termodinámicas: 1. La temperatura es función de la velocidad, pues T0 viene multiplicada por inverso del factor de Lorentz y en el límite que cuando la velocidad u tiende a c, T tiende a cero sin entrar en contradicción con la invariancia de la entropía. En el caso de la transformación de la energía total se halló que en el límite cuando la velocidad tiende a c, la energía tiende a infinito, ello se debe a un aumento de la energía E0 la cual está asociada a la masa del sistema, que como se sabe está aumenta a medida que crece la velocidad. 2. Se ha mostrado que en un diagrama de P-V el trabajo realizado por la máquina que corresponde al área bajo la curva es menor cuando ésta se halla en movimiento relativo a que cuando está en reposo, lo cual no se ha reportado hasta ahora en la literatura. La energía interna del motor es función de la velocidad del sistema mismo y no una consecuencia de la cinemática de las partículas confinadas dentro del cilindro. 3. Se mostró que Cv(u) Cp(u) y  (u) son funciones de la velocidad del sistema, el cual es un resultado nuevo y no reportado. Por lo tanto las trayectorias adiabátas también los son y ratas de cambio dP/dT son diferentes para la compresión que para la expansión adiabáta en una máquina de carnot relativista, de nuevo tenenos un resultado aun no reportado en la literatura. 4

TOLMAN RICHARD C. Relativity Thermodynamics and Cosmology. Dover Publication, Inc. New York.1987. www.ipc.bas.bg/PPages/Avramov/RelatJrus.pdf www.journaloftheoretics.com/Articles/5-2/commentary52.pdf http://fisica.ciencias.uchile.cl/~gonzalo/cursos/termo_II04/seminarios/alumnos/TermoyRela_CFarias-PMoya04.pdf KUHN THOMAS S. La teoría del cuerpo negro y la discontinuidad cuántica, 1894-1912. Alianza Universidad. Madrid. 1980. OBERT. EDWARD F Y YOUNG ROBERT. Elements of thermodynamics and heat transfer. Mc Graw-Hill. 1962. ZEMANSKY MARK W. Calor y Termodinámica .Aguilar S.A. 1968.