Propiedades Termodinámicas De La Radiación Electromagnética Cerca De Una Superficie De Schwarzschild

Revista Colombiana de Física, vol. 41, No. 2, Abril 2009

PROPIEDADES TERMODINÁMICAS DE LA RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA CERCA DE UNA SUPERFICIE DE SCHWARZSCHILD W. A. ROJAS C.1,2, J. R. ARENAS1 1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA [email protected]

Recibido XXXX; Aceptado XXXX; Publicado en línea XXXX

Resumen Se consideran las correcciones gravitacionales, en el marco de la Teoría General de la Relatividad, de la termodinámica de la radiación electromagnética cerca a una superficie de Schwarzschild. En particular, se discute la noción de fotón con base en la descripción de partículas como aproximación a la termodinámica estadística de los campos, puesto que las longitudes de onda características son pequeñas comparadas con las escalas de longitud del sistema considerado. Como una aplicación de los resultados obtenidos se revisa el artículo de Einstein de 1905 \textit{Sobre un punto de vista heurístico concerniente a la producción y transformación de la luz}. Finalmente, entre otras propiedades termodinámicas de la radiación electromagnética, se muestra que la entropía del sistema considerado es consistente con el principio holográfico. Palabras claves: Radiación electromagnética, fotón, superficie de Schwarzschild, termodinámica.

Abstract In the context of the General Relativity Theory, gravitational corrections to the thermodynamics of electromagnetic radiation close to Schwarzschild surface are considered. In particular, we discuss the notion of photon by using particle description as an approach to the statistical thermodynamics of the fields, since characteristic wavelenghts are small compared to other relevant lenght-scales in the regions of interest to us. We present a review of Einstein's paper On a Heuristic Point of View Concerning the Production and Transformation of Light. Finally, besides other thermodynamic properties, we show that entropy considered in this paper is consistent whit holographic principle. Keywords: Electromagnetic radiation, photon, Schwarzschild surface, thermodynamics. © 2009 Revista Colombiana de Física. Todos los derechos reservados.

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Revista Colombiana de Física, vol. 41, No. 2, Abril 2009

1. Introducción. La termodinámica de agujeros negros se ha desarrollado con base en conceptos relativamente confusos que requieren una revisión fundamental [1]. En particular, muchos de esos conceptos están relacionados con el origen de la entropía de los agujeros negros [2]. Una de las aproximaciones más importantes acerca de este último aspecto es relación con las propiedades del vacío en campos gravitacionales fuertes [3]. En este sentido, el modelo modificado de pared de 't Hooft [4] introduce una técnica semiclásica para aproximar la termodinámica estadística de los campos con base en la descripción de partículas [5]. Para contribuir a la revisión de conceptos y avanzar en técnicas asociadas a la explicación del origen de la entropía de los agujeros negros en el contexto resumido arriba, en este artículo se revisa la noción de fotón introducida por Einstein en 1905 [6], pero en presencia de un campo gravitacional intenso. Se aplica la aproximación considerada de partículas de Einstein, para describir la termodinamica estadística del campo electromagnético, al cálculo de la energía libre y la entropía, entre otras propiedades termodinámicas preliminares,

correspondientes a la radiación electromagnética cerca de una superficie de Schwarzschild.

modifica los modos de los campos según la relación [8]

1/2

vr=v∞f(r)(3)

donde v (r) es la frecuencia local de un modo con frecuencia v∞, muy lejos de la superficie de Schwarzschild. Puesto que las radiaciones de diferentes frecuencias pueden considerar separadas unas de las otras sin realizar ningún trabajo las unas sobre las otras, ni transferencia de calor, la entropía de la radiación S puede representarse por la relación

2. Noción de fotón en un campo gravitacional fuerte Considere la radiación electromagnética térmica confinada entre la superficie reflectora externa de una masa estelar esférica M, de radio R, ligeramente mayor que su radio gravitacional r0, y una segunda superficie reflectora concéntrica a la primera de radio L>>R. Para la región externa a la masa esférica se asume la métrica de la forma (que incluye los casos Schwarzschild, ReissnerNordstrom de Sitter, etc)

S=RL0∞φ(ρv, v)dv4πr2drf(r) (4) donde la función φ depende de v y de la densidad de radiación ρ(r). Para el caso del modelo tipo radiación de cuerpo negro, de ΔS=0, obtiene la ley

ds2=-frdt2+f(r)1dr2+r2dθ2+r2sinθdφ2 (1) la cual describe el potencial gravitacional que genera una temperatura local T(r) para el sistema, de acuerdo con la Ley de Tolman [6], de la forma

∂φ∂ρ=1T(r)= 1T∞f(r)1/2 (5)

Tr=T∞f(r)-1/2 (2)

Considerando las longitudes de onda de la radiación, pequeñas comparadas con las escalas de longitud relevantes del sistema (curvatura espacio-tiempo, tamaño del contenedor), en la región de interes del mismo, se asume la validez

Con T∞ definida como la temperatura del sistema a grandes distancias de la superficie de Schwarzschild considerada. Por otra parte, la presencia de la gravedad

de la ley de Wien corregida gravitacionalmente: ρv,r=8πh(v∞f (r)-1/2)3c3e-hv∞kBT∞ (6) donde kB es la constante de Boltzmann, h la constante de Planck y c la velocidad de la luz. De (5) y (6) se obtiene la expresión φ=kBf(r)1/2ρ hv∞lnρc3f(r)3/28πhv∞3-1 (7) Supongase que se tiene radiación de energía E, con frecuencia entre v y v+dv, que ocupa un volumen V. La entropía de tal radiación se expresa como S=kBf(r)1/2E hv∞lnEc3f(r)3/28πhv∞3Vd v-1 (8) Ahora, considere un volumen V0, en el sentido introducido por Einstein [6], entonces se puede expresar una variación para la entropía ∆S=kB f(r)1/2Ehv∞lnVV0 (9) De acuerdo con el principio de Boltzmann

lnW con

1

∆S=kB (10)

Autor principal et al.: Titulo

W=VV 0N (11) y de (9) expresada en la forma ∆S=kBlnVV 0f(r)1/2Ehv∞ (12) se obtiene que

1/2=hv(r)

EN=hv∞f(r)(13)

3. Termodinámica de la radiación electromagnética en un campo gravitacional intenso. La energía libre para un espacio-tiempo cuadridimensional estático se puede escribir como F=π2kB90h2π3c3T(r)4-gd3x (14) con g definido el determinante de la métrica (1). Para la aproximación considerada en la sección 2, es posible aplicar (14) para el campo electromagnético. Cerca de la superficie de Schwarzschild, donde el campo gravitacional es intenso, la expresión (14) se reduce a F=π2kBc390h2π3T∞4d2σγ3dγ (15)

para lo cual se recurrió a las coordenadas de Rindler [9], cuya coordenada espacial γ se relaciona con la correspondiente coordenada r a través de la expresión 12GMc2r≈k2γ2c4 donde k es la gravedad supercial, G la constante de gravitación universal y el elemento de volumen d3x=dγd2σ, con d2σ= 2 2 dx +dy . De (15) se obtiene F=π2kB4c3180h2π3ε2T∞4k3A (16) donde ε es la distancia propia desde la superficie gravitacional, con radio r0, a la superficie de la esfera con radio R. Ademas A es el área de . Finalmente de (16) se obtiene la entropía del sistema para la región cerca la superficie de Schwarzschild S=∂F∂T∞V=π2kB4c345h2π3ε 2T∞3k-3A (17) Con base en la anterior expresión se puede cálcular otras propiedades de la termodinámica del sistema como la energía interna: E=π2kB4c360 h2π3ε2T∞4k-3A (18)

Se puede mostrar, en el mismo sentido que las capacidades caloríficas son proporcionales a T∞4k-3A y que la presión es proporcional a T∞4k-3A, entre otras relaciones. 2

4. Discusiones El resultado de la expresión (13) muestra que la noción de fotón introducida por Einstein, considerando la aproximación de Wien corregida por la presencia del campo gravitacional, sigue siendo válida en presencia de la gravedad. Cerca de la superficie de Schwarzschild, donde el campo gravitacional es muy fuerte si ε es muy pequeño comparado con las dimenciones del sistema, las energías son fuertemente corregidas por el efecto de la relación (3). El método en Einstein ha resultado consistente con la aproximación semiclásica de la termodinámica de los campos [5]. El resultado de la expresión (17) para la entropía del sistema cerca de la superficie Schwarzschild, muestra una reducción en los grados de libertad asociados a la entropia estadística, puesto que el volumen en (15), por efecto de la gravedad, se reduce al área A en (17). Lo cual ilustra el principio holográfico, actualmente en los cáculos finitos de efectos cuáticos en sistemas fuertemente interactuantes [10, 11]. 5. Referencias

[1] A. Corichi and D. Sudarsky. Mod Phys. Lett A17(2002),1431. [2] J. D. Bekenstein. Phys. Rev D7(1973), 2333. [3] D. V. Fursaev. Phys. Part. Nucl 36(2005),81. [4] G.'t Hooft, Nucl.Phys. B256 (1985), 727. [5] S. Mukohyama and W Israel. Phys. Rev D58(1998),104005. [6] A. Einstein. Am. J. Phys. 33(1965),1. [7] R. C. Tolman. Relativity Thermodynamics and Cosmology. Dover Publications, Inc, New York, 1987. [8] R. Adler and M. Bazin. Introduction to General Relativity. Mc Graw-Hill Book Company. New York, 1965. [9] L. Susskind and J, Lindesay. An Introduction to Black Holes, Informatión, and String Theory Revolution. World Scientific Publishing Co. Ptr. Ltd., London, 2005. [10] S. L. Braunstein. arXiv: 0907.1190v1 [quantph], 2009. [11] E. Halyo. arXiv:0906.237v2 [hep-th], 2009