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CAS. Niño Andres Mateo. Volumen Piramide.

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CALCULANDO EL VOLUMEN DE UNA PIRAMIDE Andrés Mateo Niño Sánchez e-mail:[email protected]

RESUMEN: calcular el volumen de una pirámide con altura h y base en forma de triangulo equilátero de lado a. PALABRAS CLAVE: Volúmenes; pirámides; suma de volúmenes.

CONTENIDO Para resolver este problema, lo primero que se debe tener en cuenta es la expresión geométrica del problema. En la figura 2 se puede evidenciar cómo es la pirámide, y cómo se está usando el método de suma de volúmenes para encontrar la respuesta matemática:

integrales;

INTRODUCCIÓN La integración es un concepto de las matemáticas avanzadas, o del cálculo integral. De este sale el término de integrales, que son la suma infinita de sumandos infinitos, que también es llamada Función Primitiva o antiderivada. Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es:

∫

b

a

f ( x)dx

Las integrales calculan volúmenes debajo de una recta, o también de sólidos por medio de diferentes métodos. Por ejemplo, existen métodos llamados arandelas, de los discos, y suma de volúmenes, entre otros, por los cuales se pueden calcular volúmenes de sólidos en revolución o movimiento, o cualquier otro. En este caso solo se tratara la suma de volúmenes, o volúmenes por rebanadas, ya que en este proyecto se desea hallar el volumen de una pirámide de base triangular, y no de un objeto en revolución. Este método consiste en cortar vertical u horizontalmente la figura en varios volúmenes, para luego sumarlos y encontrar el volumen total del sólido. Para este método solo se necesita conocer un elemento diferencial y la fórmula para hallar su área. La formula general para hallar el volumen es:

∫

h

0

Fig. 2. Existe un método más fácil para hallar el volumen por medio de esta fórmula, donde sólo con saber el área de la base y la altura se puede calcular su volumen:

1 V = • Ab • h 3

(1)

Sin embargo, para solucionarlo por medio de integrales, lo que se debe realizar primero que todo es encontrar un triangulo hipotética dentro de la pirámide dada. Luego de esto, se les asignan valores a los catetos de. En seguida se hace una relación, dado que las caras o bases triangulares son semejantes. La relación se dio de esta manera:

A( x)dx

Fig. 1.

x h = b a Con esta ecuación se puede despejar b, que es la medida de cada uno de los catetos de la base del triangulo pequeño. Luego de realizar esta relación, como ya se calcularon las áreas de los triángulos, se puede calcular el volumen. En la figura 1 se puede ver la pirámide de base triangular, a la cual se le debe hallar el volumen.

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. Para hallar las áreas de la base se utilizaron estas formulas:

Luego, se despejo una variable de la ecuación dada anteriormente, que mostraba la relación entre las 2 caras triangulares.

h2 = a 2 + b2

ax =b h

La formula de Pitágoras para encontrar la altura de los triángulos equiláteros de las bases.

Se vuelve a realizar el primer proceso matemático con el triangulo pequeño de catetos b. y se aplican las formulas indicadas para la suma de volúmenes.

3 2 Ab = a 4 La fórmula para hallar el área de la base, es decir, hallar el área de cualquier triangulo equilátero, donde “a” representa un cateto del triangulo.

X b=

b b − 4

2

2

3 b 2 3 2 Ab = b 4 a2 x2 3 A( x) = h2 4 2 2 h a x 3 V =∫ dx 0 h2 4 Xb =

El primer proceso matemático fue:

a Xa = a − 4

2

2

Xa = Abase

3 a 2 3 2 = a 4

a2 3 h 2 V = 2 ∫ x dx h 4 0 a 2 3 x3 h V= 2 | h 4 3 0

En este proceso se hallo el área de la base de la pirámide grande.

a 2 3 h3 V= 2 h 4 3 a2h 3 V= 12 (1) Lo que se realizó, fue un proceso de sustitución en la ecuación del área del triangulo pequeño. Luego, con la ecuación se integró x, y por ende el resultado Fig. 3 La figura 3 representa la pirámide grande.

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CONCLUSIONES

Para comprobar que esta fórmula funciona, se despeja de la formula normal y así se encuentra la relación. Es decir, la ecuación realizada por integrales es igual a la despejada en la formula básica:

V=

1) Este proyecto realizado permite obtener herramientas que ayuden a solucionar problemas en la vida cotidiana. 2) El trabajo con integrales avanzadas permite encontrar un acercamiento con la vida universitaria. 3) con el desarrollo matemático se encontró una nueva fórmula para encontrar directamente el volumen de una pirámide con estas características.

Ab h 3

a2h 3 V= 12

REFERENCIAS

TERMINOS Y SIGNIFICADOS

AUTORES

Abreviatura h a x b

[1] Universidad de los Andes; Edificio el pentágono. [2] James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, Fifth Edition, Thomson Brooks/Cole, Belmont CA, 2003 p. 454 (Exercise 64 in Section 6.2: Volumes).

Significado Altura pirámide Cateto base pirámide Altura triangulo diferencial Cateto triangulo diferencial Altura base pirámide a Área base Altura triangulo diferencial Área en función de altura

Xa Ab Xb A(x)

Andrés Mateo Niño Sanchez

RESULTADOS Luego de los procesos matemáticos, se puede saber que el volumen de una pirámide con base de triangulo equilátero de catetos a esta medida por esta fórmula:

V =∫

h

0

a2 x2 3 dx h2 4

(2)

Por medio de esta ecuación, se puede evidenciar que con solo la fórmula para hallar el área de la base, y con un objeto diferencial (en este caso el triangulo diferencial) se puede encontrar el volumen de un sólido como una pirámide. Posteriormente, si se evalúa la integral da como resultado:

a2h 3 V= 12 Finalmente, las ecuaciones derivadas de las 2 formulas, la básica y la encontrada por el método de suma de volúmenes, son totalmente idénticas.

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