Phuong Trinh Vi Phan

Muïc luïc 1 Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.1

Môû ñaàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Caùc khaùi nieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Baøi toaùn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm . . . . . . . . . 1.2.1 Phöông phaùp xaáp xæ Picard . . . . . . . . . . 1.2.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm . . . . . . . . 1.3 Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân . . . . . 1.3.1 Caùc ñònh nghóa: . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông trình vi phaân: 1.4 Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 1.4.1 Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly: . . . . . . 1.4.2 Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát: . . . . . . . 1.4.3 Phöông trình vi phaân toaøn phaàn: . . . . . . . 1.4.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp I: . . . . 1.4.5 Phöông trình Bernoully . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Phöông trình Darboux . . . . . . . . . . . . . 1.4.7 Phöông trình Riccati: . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm 2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Caùc PTVP chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm daïng ñaëc bieät . . . . . . . . . 2.1.1 F chæ phuï thuoäc vaøo y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Daïng coù theå giaûi ra ñoái vôùi y hay x: . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 F khoâng phuï thuoäc vaøo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 2.2.1 Tham soá hoaù toång quaùt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Phöông trình Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

5 5 7 7 7 9 12 12 13 14 14 16 18 20 22 23 24

27

27 27 28 29 29 29 31

2

Muïc luïc

2.2.3 Phöông trình Lagrange . . . . . . . . . 2.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I . . . . . . . . 2.3.1 Söï toàn taïi nghieäm kyø dò . . . . . . . 2.3.2 Tìm nghieäm kyø dò theo p−bieät tuyeán 2.3.3 Tìm nghieäm kyø dò theo C−bieät tuyeán

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

3 Phöông trình vi phaân caáp cao 3.1

Phöông trình vi phaân caáp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Caùc khaùi nieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao giaûi ñöôïc baèng caàu phöông: 3.1.4 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao coù theå haï caáp: . . . . . . . 3.1.5 Tích phaân trung gian vaø tích phaân ñaàu: . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính. . . . . . . . . . 3.3 Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Ñoàng nhaát thöùc Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Phöông phaùp bieán thieân haèng soá tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng . . . . . . . . . . . 3.4.1 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát heä soá haèng . . . . . . . . . 3.4.2 Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát: . . . . .

4 Heä phöông trình vi phaân caáp I 4.1

Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Caùc ñònh nghóa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Lieân heä giöõa heä phöông trình vaø phöông trình vi phaân caáp cao: 4.1.3 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình vi phaân: . . . . . . . . . 4.2 Moät soá ñònh lyù cô baûn cuûa phöông trình vi phaân . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Söï toàn taïi nghieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Thaùc trieån nghieäm vaø söï toàn taïi toaøn cuïc: . . . . . . . . . . . . 4.3 Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Heä tuyeán tính thuaàn nhaát: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Heä PTVP tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát: . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Heä PTVP tuyeán tính heä soá haèng soá. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Phöông trình ñaëc tröng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 33 33 34 36

39

39 39 40 40 43 45 46 47 50 51 53 53 55

61

61 61 62 63 64 67 67 68 69 70 72 73 73

3

Muïc luïc

4.4.2

Heä nghieäm cô baûn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân 5.1

Caùc phöông phaùp giaûi tích giaûi gaàn ñuùng PTVP. . . . . . 5.1.1 Xaáp xæ Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Phöông phaùp chuoãi Taylor. . . . . . . . . . . . . . 5.2 Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP. . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Phöông phaùp chuoãi Taylor. . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Phöông phaùp Euler vaø Euler caûi tieán. . . . . . . . 5.2.3 Caùc phöông phaùp Runge−Kutta. . . . . . . . . . . 5.2.4 Caùc phöông phaùp ña böôùc (multi-step): . . . . . . 5.3 Phöông trình vi phaân vaø phaàn meàm tính toaùn MAPLE. . . 5.3.1 Giôùi thieäu chung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Veõ ñöôøng cong tích phaân vaø tröôøng caùc höôùng . . 5.3.3 Giaûi phöông trình vi phaân baèng MAPLE. . . . . . 5.3.4 Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân baèng MAPLE

6 Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân 6.1 6.2

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

79

79 79 81 82 84 85 86 89 90 90 91 91 92

99

Khaùi nieäm chuoãi luyõ thöøa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. . . . . . . 101 6.2.1 Caùc ví duï. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.2.2 Ñieåm kyø dò cuûa phöông trình vi phaân. . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.3.1 Sô löôïc veà khai trieån tieäm caän. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.3.2 Daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm gaàn ñieåm kyø dò khoâng chính qui.111 6.3.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.3.4 Sô löôïc veà phöông phaùp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) . . 114

A Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình vi phaân.

117

A.1 Bieán ñoåi Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.2 Giaûi phöông trình vi phaân baèng pheùp bieán ñoåi Laplace: . . . . . . . . . 119

Taøi lieäu tham khaûo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4

Muïc luïc

Chöông 1 Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.1 Môû ñaàu Trong raát nhieàu lónh vöïc öùng duïng, chuyeån ñoäng cuûa moät heä ñöôïc moâ hình hoaù bôûi caùc phöông trình vi phaân, töùc laø phöông trình coù chöùa caùc ñaïo haøm cuûa aån haøm caàn tìm. Chaúng haïn, trong cô hoïc coå ñieån (ñònh luaät Newton), trong thieân vaên hoïc (söï chuyeån ñoäng cuûa caùc haønh tinh), trong hoaù hoïc (caùc phaûn öùng hoaù hoïc), trong sinh hoïc (söï phaùt trieån cuûa daân soá), trong ñieän töû... Trong haàu heát caùc lónh vöïc nhö theá, baøi toaùn chung nhaát laø moâ taû nghieäm cuûa caùc phöông trình naøy (caû veà ñònh tính laãn veà ñònh löôïng).

1.1.1 Caùc khaùi nieäm Phöông trình vi phaân thöôøng laø phöông trình coù daïng (1.1) trong ñoù y = y(x) laø aån haøm caàn tìm vaø nhaát thieát phaûi coù söï tham gia cuûa ñaïo haøm (ñeán caáp naøo ñoù) cuûa aån. Thoâng thöôøng ta xeùt caùc phöông trình vôùi aån haøm laø haøm soá moät bieán thöïc y = y(x) xaùc ñònh treân khoaûng môû I ⊂ R naøo ñoù; khi ñoù haøm F trong ñaúng thöùc treân xaùc ñònh trong moät taäp môû G cuûa R × Rm+1. Trong tröôøng hôïp aån haøm caàn tìm laø vector-haøm (haøm vôùi giaù trò vector) y(x) = (y1(x), . . . , yn(x))T , F laø moät aùnh xaï nhaän giaù trò trong Rn vaø (1.1) ñöôïc hieåu laø heä phöông trình vi phaân. Trong tröôøng hôïp aån haøm caàn tìm laø haøm nhieàu bieán thì phöông trình vi phaân coøn goïi laø phöông trình ñaïo haøm rieâng Ta noùi moät phöông trình vi phaân coù caáp m neáu m laø caáp lôùn nhaát cuûa ñaïo haøm cuûa aån coù maët trong phöông trình. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I coù daïng toång quaùt (1.2) F (x, y, y
) = 0 F (x, y, y
, y

, . . . , y (m) ) = 0

6

Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

trong ñoù F (x, y, z) ñöôïc giaû thieát lieân tuïc cuøng vôùi caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù treân mieàn G ⊂ R3. Vôùi moät soá ñieàu kieän naøo ñaáy, phöông trình vi phaân caáp I coù theå vieát ñöôïc döôùi daïng sau, goïi laø daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm y
= f (x, y) (1.3) vôùi f lieân tuïc trong moät mieàn D ⊂ R2 . Ví duï: Caùc phöông trình ey + y
2 cos x = 1 y


2 − 2xy = ln x ∂2u ∂2u + =0 ∂x2 ∂y 2

laàn löôït laø phöông trình vi phaân thöôøng caáp I, caáp III vaø phöông trình ñaïo haøm rieâng caáp II. Xeùt phöông trình (1.1), haøm giaù trò vector y : I → R n (I = (a, b) laø khoaûng naøo ñoù cuûa R) laø nghieäm cuûa phöông trình (1.1) neáu noù coù caùc ñaïo haøm lieân tuïc ñeán caáp m treân I vaø thoaû maõn F (x, y(x), y
(x), y

(x), . . . , y (m) )(x) = 0 vôùi moïi x ∈ I (1.4) Trong tröôøng hôïp phöông trình vi phaân caáp I, nghieäm laø moät haøm thöïc moät aån y = y(x) maø khi thay vaøo (1.2), ta ñöôïc moät ñaúng thöùc ñuùng. Ví duï: Deã kieåm tra raèng hoï haøm (phuï thuoäc vaøo hai tham soá tuyø yù) y = C1 cos x + C2 sin x

laø nghieäm cuûa phöông trình vi phaân y

+ y = 0

Ví duï: (Saên moài vaø moài) Söï phaùt trieån cuûa hai quaàn theå ñoäng vaät (chaúng haïn,

laø soá con meøo vaø y Volterra−Lotka sau ñaây x(t)

= y(t)

x=

laø soá con chuoät) ñöôïc moâ taû bôûi (heä) phöông trình

y
= y(α − βx),

x
= x(γy − δ)

(1.5)

vôùi α, β, γ vaø δ laø nhöõng haèng soá cho tröôùc. Ñeå tìm nghieäm cuûa phöông trình naøy ta coù theå xem y nhö laø haøm theo x, phöông trình coù theå vieát döôùi daïng dy y(α − βx) = dx x(γy − δ)

hay

(γy − δ) (α − βx) dy = dx y x

Nghieäm cuûa phöông trình naøy cho bôûi γy − δ ln y = α ln x − βx + C

trong ñoù C laø haèng soá tuyø yù. Hình 1.1 moâ taû caùc ñöôøng möùc cuûa nghieäm khi α = β = γ = 1, δ = 2.

7

1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm

z X

3 2 1

1

2

3

4

y

Hình 1.1: Nghieäm cuûa phöông trình Volterra−Lotka.

1.1.2 Baøi toaùn Cauchy Ta nhaän xeùt raèng noùi chung, nghieäm cuûa moät phöông trình vi phaân phuï thuoäc vaøo moät hay nhieàu tham soá tuyø yù naøo ñoù; noùi caùch khaùc ta coù töøng hoï nghieäm. Ñeå xaùc ñònh nghieäm cuï theå naøo ñoù, noùi chung ta caàn theâm moät hay vaøi ñaëc tröng khaùc veà nghieäm (tuyø theo caáp cuûa phöông trình vi phaân). Chaúng haïn, y = x3 + C laø (hoï) nghieäm cuûa phöông trình y
= x2 . Deã thaáy y = x3 + 1 laø nghieäm (duy nhaát) thoaû ñieàu kieän y(0) = 1. Ta xeùt baøi toaùn sau ñaây ñaët ra ñoái vôùi phöông trình (1.2), goïi laø baøi toaùn Cauchy (coøn goïi laø baøi toaùn giaù trò ban ñaàu): 3

3

Tìm nghieäm y(x) cuûa phöông trình (1.2) thoaû y(x0 ) = y0

trong ñoù (x0 , y0) ∈ D ñöôïc goïi laø caùc ñieàu kieän ban ñaàu.

(1.6)

Caâu hoûi töï nhieân ñaët ra laø vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (1.6), coù hay khoâng vaø bao nhieâu nghieäm thoaû maõn ñieàu kieän naøy. Traû lôøi caâu hoûi naøy töùc laø giaûi baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình (1.2). Ta löu yù raèng khoâng phaûi luùc naøo baøi toaùn Cauchy cuõng coù nghieäm, vaø khi coù nghieäm cuõng khoâng nhaát thieát coù duy nhaát nghieäm. Trong muïc sau ta seõ phaùt bieåu vaø chöùng minh moät ñònh lyù giaûi quyeát troïn veïn baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân caáp I.

1.2 Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 1.2.1 Phöông phaùp xaáp xæ Picard Ta xeùt baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình caáp I daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm: (1.7) y
= f (x, y), y(x0 ) = y0

8

Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

trong ñoù f xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân mieàn môû D ⊂ R2. Giaû söû y(x) laø nghieäm cuûa baøi toaùn (1.7), tích phaân hai veá cuûa phöông trình trong (1.7) ta ñöôïc phöông trình tích phaân cho y(x) laø


x

y(x) = y0 +

f (t, y(t))dt x0

(1.8)

Roõ raøng moãi nghieäm cuûa (1.7) cuõng laø nghieäm cuûa (1.8) vaø ngöôïc laïi, moãi nghieäm cuûa (1.8) ñeàu khaû vi lieân tuïc (töùc laø thuoäc lôùp C 1 ) treân moät khoaûng I naøo ñoù vaø thoaû phöông trình (1.7).

Pheùp laëp Picard−Lindelo¨f. Veà maët toaùn töû, nghieäm cuûa phöông trình tích phaân (1.8) chính laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn ñieåm baát ñoäng cuûa caùc aùnh xaï co trong khoâng gian metric ñaày ñuû (ôû ñaây ta xeùt khoâng gian caùc haøm khaû vi lieân tuïc treân I ) maø lôøi giaûi coù theå cho bôûi phöông phaùp xaáp xæ lieân tieáp Picard−Lindelo¨f sau ñaây. Xeùt daõy caùc haøm xaùc ñònh moät caùch ñeä qui bôûi y0 (x) = y0 (hay  x moät haøm naøo ñoù) yk+1 (x) = y0 + x0 f (t, yk (t))dt, vôùi k ∈ N

Boå ñeà 1.2.1. Giaû söû f lieân tuïc treân hình chöõ nhaät D = {(x, y)/|x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b}   b Ñaët M := max(x,y)∈D |f (x, y)| vaø h := min a, . Khi ñoù vôùi M h, x0 + h] ta coù |yk (x) − y0 | ≤ b, vôùi moïik

moïi x ∈ I := [x0 −

Noùi caùch khaùc, caùc haøm yk khoâng ñi ra khoûi hình chöõ nhaät D.

Chöùng minh: Ta coù, vôùi x0 − h ≤ x ≤ x0 + h: 
 |yk − y0 | = 

x x0


 f (t, yk−1(t))dt ≤

x

|f (t, yk−1(t))| dt ≤ M |x − x0 | ≤ Mh ≤ b

x0




Ví duï: Xeùt phöông trình

1 . y= x+1

vôùi y(0) = 1. Nghieäm chính xaùc cuûa noù laø Vaøi xaáp xæ ñaàu tieân trong pheùp laëp Picard-Lindelo¨f laø y0 = 1, y1 = 1 − x, x3 ...(xem Hình 1.2). Ta nhaän 3 trò x lôùn pheùp laëp laø phaân kyø.

y2 = 1 − x + x2 −

beù, vôùi caùc giaù

y
= −y 2 ,

thaáy caùc xaáp xæ yk hoäi tuï nhanh khi x

9

1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm

Y0(x) Y2(x) Y4(x) Y1(x)

1

Y3(x)

2

3

4

Hình 1.2: Pheùp laëp Picard−Lindelof cho phöông trình y
= −y 2, vôùi y(0) = 1

1.2.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm Trong phaàn naøy ta seõ phaùt bieåu vaø chöùng minh ñònh lyù cô baûn cuûa lyù thuyeát phöông trình vi phaân, khaúng ñònh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy.

Ñònh nghóa 1.2.1. Cho haøm f (x, y) xaùc ñònh treân mieàn D ⊂ R2 . Ta noùi f thoaû ñieàu

kieän Lipschitz treân D theo bieán y neáu toàn taïi haèng soá döông Lipschitz) sao cho: |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L |y1 − y2 | ,

L

(goïi laø haèng soá

vôùi moïi (x, y1), (x, y2) ∈ D

Nhaän xeùt: Ñieàu kieän Lipschitz laø yeáu hôn so vôùi ñieàu kieän giôùi noäi cuûa ñaïo haøm ∂f

∂f

 ∂f 

treân D. Thaät vaäy, giaû söû lieân tuïc vaø   ≤ M . Khi ñoù, aùp duïng ñònh rieâng ∂y ∂y ∂y lyù Lagrange cho haøm f (x, y) theo bieán y ta ñöôïc f (x, y1 ) − f (x, y2 ) = (y1 − y2 )

∂f [x, y1 + θ(y2 − y1 )] ∂y

Töø ñoù suy ra ñieàu kieän Lipschitz.

Ñònh lyù 1.2.2 (Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm). Giaû söû haøm soá

(1.3) lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz theo bieán y treân hình chöõ nhaät

f (x, y)

trong

D = {(x, y)/ |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b}

Khi ñoù nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy (1.7) laø toàn taïi vaø duy nhaát trong ñoaïn I := vôùi h := min(a, Mb ) vaø M := max(x,y)∈D |f (x, y)|.

[x0 − h, x0 + h],

Chöùng minh: Chöùng minh chia laøm hai böôùc:

10

Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

Söï toàn taïi: Ta chöùng minh raèng pheùp laëp Picard hoäi tuï ñeàu treân I ñeán moät nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy. Tröôùc tieân ta chöùng minh, baèng qui naïp raèng − x0 |k+1 , (k + 1)!

k |x

|yk+1(x) − yk (x)| ≤ ML



vôùi moïi x ∈ I 

Vôùi k = 0, baát ñaúng thöùc treân chính laø  xx f (t, yk−1(t))dt ≤ M |x − x0|, baát ñaúng thöùc naøy ñuùng. Giaû söû ta coù ñieàu ñoù vôùi k − 1, khi ñoù vôùi x0 ≤ x ≤ x0 + h ta coù 0


x    |yk+1 (x) − yk (x)| =  [f (t, yk (t)) − f (t, yk−1(t))] dt
xx0
x ≤ |f (t, yk (t)) − f (t, yk−1(t))| dt ≤ L |yk (t) − yk−1 (t)| dt x0 x0
x ≤L |yk (t) − yk−1(t)| dt x0

≤ ML

k




x x0

k+1 |x − x0 |k k |x − x0 | dt = ML k! (k + 1)!

(vôùi x0 − h ≤ x ≤ x0 ta ñaùnh giaù töông töï). Xeùt daõy haøm {yk (x)} treân I , ta coù |yk+p (x) − yk (x)| ≤ |yk+p(x) − yk+p−1(x)| + |yk+p−1(x) − yk+p−2(x)| + · · · + |yk+1(x) − yk (x)|   (L |x − x0 |)k+1 M (L |x − x0 |)k+p +···+ ≤ L (k + p)! (k + 1)! j  (Lh) M ≤ L j! j≥k+1



(Lh)j

laø hoäi tuï, neân phaàn dö cuûa noù maø xuaát hieän trong bieåu thöùc cuoái Chuoåi soá ∞ j=0 j! cuøng coù theå laøm cho beù tuyø yù khi k ñuû lôùn. Theo tieâu chuaån Cauchy, daõy {yk (x)} hoäi tuï ñeàu treân I ñeán haøm y(x). Ñeå chöùng minh y(x) laø nghieäm chæ caàn qua giôùi haïn trong ñaúng thöùc


x

yk+1(x) = y0 +

f (t, yk (t))dt x0

Vì daõy haøm {yk (x)} hoäi tuï ñeàu, f lieân tuïc (ñeàu) treân hình chöõ nhaät D neân daõy haøm {f (t, yk (t))} hoäi tuï ñeàu treân I ñeán haøm f (t, y(t)). Do ñoù coù theå chuyeån giôùi haïn qua daáu tích phaân ñeå ñöôïc ñaúng thöùc (1.8). Vaäy y(x) chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy (1.7).

11

1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm

Tính duy nhaát: Giaû söû baøi toaùn Cauchy (1.7) coøn coù nghieäm z(x), khi ñoù ta coù
y(x) − z(x) =

x

[f (t, y(t)) − f (t, z(t))] dt

x0

Suy ra


 |y(x) − z(x)| = 

x x0

  [f (t, y(t)) − f (t, z(t))] dt ≤ 2M |x − x0 |

Laëp laïi caùc böôùc qui naïp nhö treân, ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng vôùi moïi soá töï nhieân k: |y(x) − z(x)| ≤ 2MLk

|x − x0 |k+1 , (k + 1)!

vôùi moïi x ∈ I

Cho k −→ +∞ ta coù |y(x) − z(x)| = 0 treân I . Nhö vaäy, moät caùch ñòa phöông, nghieäm y(x) laø duy nhaát.


Nhaän xeùt: Ñieàu kieän Lipschitz laø quan troïng, ngay caû khi Chaúng haïn xeùt phöông trình

y
= 2 |y|,

Ta thaáy ngay 1.3) laø

y≡0 

y(x) =

f (x, y)

lieân tuïc treân

R2 .

y(0) = 0

laø moät nghieäm. Ngoaøi ra coøn coù voâ soá nghieäm khaùc (xem hình

(x − C)2 neáu x ≥ C 0 neáu x ≤ C

vaø

 y(x) =

0 neáu x ≥ C −(x − C)2 neáu x ≤ C

Noùi caùch khaùc, tính duy nhaát nghieäm bò vi phaïm. Nhaän xeùt: Thöïc chaát chöùng minh laø duøng nguyeân lyù aùnh xaï co trong caùc khoâng gian metric ñuû.

Ñònh nghóa 1.2.2. Cho khoâng gian metric E vôùi metric d. AÙnh xaï T

goïi laø aùnh xaï co neáu toàn taïi soá α ∈ (0, 1) sao cho vôùi moïi caëp ñeàu coù

: E → E ñöôïc phaàn töû x, y ∈ E ta

d(T x, T y) ≤ αd(x, y)

Ñònh lyù 1.2.3 (Nguyeân lyù aùnh xaï co). Moïi aùnh xaï co ñeàu coù duy nhaát moät ñieåm baát ñoäng. Töùc laø ñieåm T (x∗ ) = x∗

T trong khoâng x ∈ E sao cho ∗

gian metric

ñuû

12

Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

1 -3

-2

-1

1

2

3

-1

Hình 1.3: Nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy y
= 2

|y|,

y(0) = 0

1.3 Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân 1.3.1 Caùc ñònh nghóa: Veà maët hình hoïc, baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân caáp I coù theå hieåu laø tìm nghieäm y = y(x) cuûa (1.3) maø ñoà thò cuûa haøm soá y = y(x) (coøn goïi laø ñöôøng cong tích phaân cuûa phöông trình vi phaân) ñi qua ñieåm (x0 , y0). Noùi caùch khaùc, baøi toaùn Cauchy laø tìm ñöôøng cong tích phaân cuûa phöông trình (1.3) ñi qua ñieåm (x0 , y0) ∈ D cho tröôùc. Ñònh nghóa 1.3.1. Giaû söû D ⊂ R2 sao cho veá phaûi cuûa phöông trình (1.3) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân D. Haøm soá y = y(x, C) phuï thuoäc lieân tuïc vaøo haèng soá C ñöôïc goïi laø nghieäm toång quaùt cuûa (1.3) neáu: a) Vôùi moãi ñieàu kieän ban ñaàu (x0 , y0) ∈ D ta luoân giaûi ñöôïc C döôùi daïng C = ϕ(x0 , y0 )

(∗)

trong ñoù ϕ laø haøm lieân tuïc. b) Haøm y = y(x, C) thoaû maõn phöông trình (1.3) vôùi moãi giaù trò cuûa C cho bôûi (∗) khi (x0 , y0) chaïy khaép D. Khi ñoù heä thöùc ϕ(x, y) = C (hoaëc chính haøm quaùt cuûa phöông trình (1.3).

ϕ(x, y))

ñöôïc goïi laø tích phaân toång

Ví duï: Phöông trình y
+ y = 0 coù nghieäm toång quaùt laø y(x) = Ce−x vôùi C laø haèng

soá tuyø yù.

Ñònh nghóa 1.3.2.

Nghieäm cuûa phöông trình (1.3) maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy ñöôïc thoaû maõn ñöôïc goïi laø nghieäm rieâng.

•

•

Nghieäm cuûa phöông trình (1.3) maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy bò vi phaïm ñöôïc goïi laø nghieäm kyø dò.

13

1.3. Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân

Nhaän xeùt: Töø ñònh nghóa nghieäm toång quaùt, ta suy ra raèng vôùi moãi ñieàu kieän ban ñaàu

(x0 , y0 ) ∈ D ,

ta luoân tìm ñöôïc C0 = ϕ(x0, y0) sao cho y = y(x, C0) laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy töông öùng. Noùi caùch khaùc, baèng caùch choïn caùc giaù trò thích hôïp cho haèng soá, ta coù theå thu ñöôïc caùc nghieäm rieâng tuyø yù cuûa phöông trình, khoâng keå caùc nghieäm kyø dò. Giaûi (hay coøn goïi laø tích phaân) moät phöông trình vi phaân laø tìm taát caû caùc nghieäm (bieåu thöùc nghieäm toång quaùt) cuûa phöông trình ñoù hoaëc nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu cho tröôùc. Ví duï: Tìm nghieäm rieâng y(x) cuûa phöông trình y
= 3y + x thoaû ñieàu kieän y(0) = 1. x

1

Ta deã kieåm tra raèng nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y = − − +Ce3x . 3 9 Ñeå tìm nghieäm rieâng thoaû ñieàu kieän nhö treân ta chæ caàn thay caùc giaù trò ban ñaàu vaø tính C . Suy ra C =

10 , 9

nghieäm caàn

1 1 = y(0) = − + Ce0 9 x 1 10 tìm laø y = − − + e3x . 3 9 9

1.3.2 YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông trình vi phaân: Xeùt phöông trình vi phaân (1.3), vôùi f (x, y) lieân tuïc treân mieàn môû trong R 2. Taïi moãi ñieåm M(x, y) thuoäc mieàn naøy, ta gaùn cho noù moät höôùng vôùi heä soá goùc laø k=

dy = f (x, y) dx

Khi ñoù ta thu ñöôïc moät tröôøng caùc höôùng xaùc ñònh bôûi (1.3), vaø dó nhieân höôùng cuûa tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong taïi moãi ñieåm truøng vôùi höôùng cuûa tröôøng taïi ñieåm ñoù. Giaûi moät phöông trình vi phaân daïng (1.3) veà maët hình hoïc laø tìm taát caû caùc ñöôøng cong sao cho taïi moãi ñieåm cuûa noù höôùng cuûa tieáp tuyeán truøng vôùi höôùng cuûa tröôøng. Ngöôïc laïi, cho tröôùc hoï ñöôøng cong y = ϕ(x, C)

(∗)

phuï thuoäc vaøo tham soá C sao cho qua moãi ñieåm chæ coù duy nhaát moät ñöôøng cong cuûa hoï ñi qua. Ta seõ laäp phöông trình vi phaân nhaän hoï ñöôøng cong naøy laøm nghieäm toång quaùt nhö sau. Ñaïo haøm hai veá cuûa phöông trình treân theo x, ta ñöôïc dy ∂ϕ = (x, C) dx ∂x

Töø phöông trình (∗), vôùi moãi (x, y) ta luoân tìm ñöôïc duy nhaát giaù trò C = C(x, y). Thay vaøo ñaúng thöùc treân ta nhaän ñöôïc

C

y
=

∂ϕ (x, C(x, y)) =: f (x, y) ∂x

14

Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

2 y(x) 1 –3

–2

–1

1

x 2

3

–1 –2 –3

Hình 1.4: Tröôøng höôùng cuûa phöông trình y
= −

y x

vaø ñaây laø phöông trình vi phaân caàn tìm. Ví duï: Tìm phöông trình vi phaân cuûa hoï ñöôøng cong sau: y = Cx2

Ñaïo haøm hai veá theo x ta ñöôïc y
= 2Cx. Khöû C ta thu ñöôïc phöông trình vi phaân: y
= 2

y x

1.4 Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I Trong baøi naøy ta seõ giôùi thieäu moät soá daïng phöông trình vi phaân caáp I maø coù theå tích phaân ñöôïc theo nghóa coù theå vieát bieåu thöùc cuûa nghieäm toång quaùt döôùi daïng töôøng minh hoaëc phuï thuoäc tham soá. Löu yù raèng ta khoâng coù phöông phaùp giaûi toång quaùt cho phöông trình vi phaân, thaäm chí caáp I.

1.4.1 Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly: Phöông trình vi phaân caáp I daïng M(x)dx + N(y)dy = 0

(1.9)

ñöôïc goïi laø phöông trình vôùi bieán soá phaân ly (hay coøn goïi phöông trình taùch bieán).

1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I

15

Caùch giaûi: Caùc haøm M(x), N(y) ñöôïc giaû thieát lieân tuïc treân caùc khoaûng naøo ñoù. Khi ñoù chæ caàn tích phaân hai veá cuûa (1.9) ta thu ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa noù laø





M(x)dx +

N(y)dy = C

Ví duï: Giaûi phöông trình y 2y
= x(1 + x2 ). Phöông trình naøy coù daïng taùch bieán

y 2 dy − x(1 + x2 )dx = 0

Tích phaân hai veá ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt laø: y 3 x2 x4 − − =C 3 2 4

Nhaän xeùt: Phöông trình daïng M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy

(1.10)

cuõng ñöa ñöôïc veà daïng (1.9) vôùi bieán soá phaân ly, baèng caùch chia hai veá cho M2 (x)N1 (y) (vôùi giaû thieát bieåu thöùc naøy khaùc 0) N2 (y) M1 (x) dx + dy = 0 M2 (x) N1 (y)

Do ñoù tích phaân toång quaùt laø


M1 (x) dx + M2 (x)




N2 (y) dy = C N1 (y)

Ví duï: Giaûi phöông trình x(1 + y 2)dx + y(1 + x2 )dy = 0 Chia hai veá cho (1 + x2 )(1 + y 2) ta ñöôïc

ydy xdx + =0 2 1+x 1 + y2

Tích phaân hai veá ta ñöôïc

töùc laø




xdx + 1 + x2




ydy =C 1 + y2

1 1 1 ln(1 + x2 ) + ln(1 + y 2 ) = C := ln C1 2 2 2

Vaäy tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø (1 + x2 )(1 + y 2) = C1 trong ñoù C1 laø haèng soá tuyø yù.

16

Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

1.4.2 Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát: Haøm soá f (x, y) ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát baäc m neáu vôùi moïi t > 0 ta coù f (tx, ty) = tm f (x, y)

Phöông trình vi phaân y
= f (x, y) ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát (hay coøn goïi ñaúng caáp) neáu haøm soá ôû veá phaûi laø haøm thuaàn nhaát baäc 0, töùc laø f (tx, ty) = f (x, y) vôùi moïi t > 0. Nhaän xeùt: Neáu ñaët u := y ta coù f (x, y) = f (± |x| , |x| y ) = f (±1, ±u) =: g(u). |x|

x

Caùch giaûi: Ñaët y = xu, ta coù

dy du = x + u. dx dx

Töø ñoù x

hoaëc döôùi daïng taùch bieán Tích phaân hai veá ta ñöôïc

du + u = g(u) dx

du dx = g(u) − u x


x du   = ln   g(u) − u C

hay


x = C exp

du g(u) − u

vôùi C = 0

y

Thay u = vaøo bieåu thöùc treân ta tìm ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn x nhaát. Ví duï: Giaûi phöông trình (x2 + y 2)dx + xydy = 0 Ta coù theå vieát phöông trình ñaõ cho döôùi daïng dy y x =− − dx x y

Veá phaûi cuûa phöông trình naøy laø haøm thuaàn nhaát. Ñaët y = xu ta coù x

1 du + u + u + = 0, dx u

hay töông ñöông vôùi

dx udu =− x 1 + 2u2

Tích phaân phöông trình naøy ta ñöôïc

x 1   ln   = − ln(1 + 2u2 ) C 4

1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I

Thay u =

y x

vaøo ñaúng thöùc naøy ta ñöôïc nghieäm x4 =

C 4 x2 x2 + 2y 2

vôùi C = 0.

Phöông trình ñöa veà thuaàn nhaát: Caùc phöông trình daïng

ax + by + c dy = f( ) dx a1 x + b1 y + c1

coù theå ñöa veà daïng thuaàn nhaát baèng pheùp bieán ñoåi 

x = ξ + x0 y = η + y0

trong ñoù x0 vaø y0 ñöôïc choïn sao cho: 

Khi ñoù

ax0 + by0 + c = 0 a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0 

 aξ + bη a ξ + b1 η  1   a + b ηξ η =g =f η a1 + b1 ξ ξ

dη =f dξ

vaø ñaây chính laø phöông trình daïng thuaàn nhaát. Ví duï: Giaûi phöông trình (2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0. Tröôùc heát ta xeùt heä phöông trình sau 

2x0 − 4y0 + 6 = 0 x0 + y0 − 3 = 0

Heä naøy coù nghieäm laø x0 = 1, y0 = 2. Tieáp ñeán ta thöïc hieän pheùp ñoåi bieán 

x=ξ+1 y =η+2

Khi ñoù phöông trình ñaõ cho ñöôïc bieán ñoåi thaønh phöông trình thuaàn nhaát: (2ξ − 4η)dξ + (ξ + η)dη = 0

Ñeå giaûi phöông trình naøy ta ñaët η = uξ thì thu ñöôïc (2 − 3u + u2 )dξ + ξ(1 + u)du = 0

17

18

Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

Phöông trình naøy chaáp nhaän nghieäm u = 1 vaø u = 2. Ñeå tìm nghieäm toång quaùt ta chia 2 veá cho 2 − 3u + u2: dξ (1 + u)du =0 + ξ 2 − 3u + u2   3 2 dξ + − du = 0 ξ u−2 u−1

⇔

Tích phaân 2 veá ta ñöôïc ln |ξ| + ln

hay

ξ

|u − 2|3 = ln C1 (u − 1)2

(u − 2)3 =C (u − 1)2

Trôû laïi bieán x, y ban ñaàu ta coù nghieäm toång quaùt (y − 2x)3 = C(y − x − 1)2

cuøng vôùi hai nghieäm y = x + 1 vaø y = 2x töông öùng vôùi u = 1 vaø u = 2.

1.4.3 Phöông trình vi phaân toaøn phaàn: Phöông trình vi phaân daïng (1.11)

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn neáu veá traùi cuûa noù laø vi phaân toaøn phaàn cuûa haøm naøo ñoù, töùc laø toàn taïi haøm U(x, y) sao cho dU(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy

Khi ñoù tích phaân toång quaùt cuûa (1.11) cho bôûi U(x, y) = C

Nhaän xeùt: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå phöông trình (1.11) laø phöông trình vi phaân toaøn phaân laø

∂P ∂Q = ∂y ∂x

Vaø khi ñoù haøm U(x, y) coù theå tìm döôùi daïng:


x

y

P (x, y)dx +

U(x, y) =

hay





x0x

Q(x0 , y)dy y0




y

P (x, y0)dx +

U(x, y) = x0

Q(x, y)dy y0

(1.12)

19

1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I

trong ñoù (x0 , y0) laø moät ñieåm naøo ñoù sao cho caùc tích phaân treân toàn taïi. Ví duï: Giaûi phöông trình (x3 + xy 2)dx + (x2 y + y 3)dy = 0. Ta coù P (x, y) = x3 + xy 2 vaø Q(x, y) = x2 y + y 3 neân ∂Q ∂P = 2xy = ∂y ∂x

Heä thöùc naøy chöùng toû raèng phöông trình ñaõ cho laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn vôùi haøm U(x, y) coù theå choïn laø


x

3




2

0

hay

y

(x + xy )dx +

U(x, y) =

x4 x2 y 2 y 4 + + U(x, y) = 4 2 4

(0.y + y 3 )dy

0

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø (x2 + y 2)2 = 4C1 := C 2

hay

vôùi C ≥ 0

x2 + y 2 = C

Thöøa soá tích phaân: Coù nhöõng tröôøng hôïp phöông trình (1.11) chöa phaûi laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn, nhöng coù theå tìm ñöôïc haøm soá µ(x, y) sao cho phöông trình sau trôû thaønh phöông trình vi phaân toaøn phaàn: µ(x, y){P (x, y)dx + Q(x, y)dy} = 0

Haøm µ(x, y) nhö theá ñöôïc goïi laø thöøa soá tích phaân cuûa phöông trình (1.11). Ñieàu kieän ñeå µ laø thöøa soá tích phaân laø µ phaûi thoaû maõn phöông trình: ∂ ∂ (µP ) = (µQ) ∂y ∂x

Hay töông ñöông

∂µ ∂µ Q −P =µ ∂x ∂y



∂P ∂Q − ∂y ∂x

 (∗)

Khoâng coù phöông phaùp toång quaùt ñeå giaûi phöông trình ñaïo haøm rieâng naøy. Tuy nhieân trong moät vaøi tröôøng hôïp ñaëc bieät ta coù theå tìm ñöôïc µ. Tröôøng hôïp I: µ chæ phuï thuoäc vaøo x. Giaû söû µ > 0, khi ñoù chia hai veá cuûa (∗) cho µ, ta ñöôïc d ln µ = dx

∂P ∂y

− Q

∂Q ∂x

=: ϕ

20

Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

Vaäy tröôøng hôïp naøy chæ thoaû maõn khi veá phaûi cuûa ñaúng thöùc treân khoâng phuï thuoäc vaøo y . Vôùi ñieàu kieän naøy, thöøa soá tích phaân cho bôûi: 


µ(x) = exp

 ϕ(x)dx

Tröôøng hôïp II: µ chæ phuï thuoäc vaøo y .

Laøm töông töï nhö treân, thöøa soá tích phaân cho bôûi: 


µ(y) = exp ∂Q ∂x

−



ψ(y)dy

∂P ∂y

ñöôïc giaû thieát khoâng phuï thuoäc vaøo x. trong ñoù ψ(y) := P Ví duï: Tìm thöøa soá tích phaân roài giaûi phöông trình (2xy +x2 y +y 3/3)dx+(x2 +y 2)dy = 0. Ta coù P (x, y) = 2xy + x2y + y 3/3 vaø Q(x, y) = x2 + y 2 neân ∂P ∂y

− Q

∂Q ∂x



Do ñoù coù theå choïn µ(x) = exp(

=

2x + x2 + y 2 − 2x =1 x2 + y 2

dx) = ex

ñeå cho phöông trình

ex [(2xy + x2 y + y 3/3)dx + (x2 + y 2)dy] = 0

laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn. Tích phaân phöông trình naøy theo coâng thöùc (1.12) ta ñöôïc tích phaân toång quaùt yex (x2 + y 2 /3) = C

1.4.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp I: Trong muïc naøy ta xeùt lôùp caùc phöông trình vi phaân maø bieåu thöùc laø tuyeán tính ñoái vôùi aån vaø ñaïo haøm cuûa noù. Caùc phöông trình nhö theá ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân tuyeán tính. Daïng toång quaùt cuûa PTVP tuyeán tính laø y
+ p(x)y = q(x)

(1.13)

trong ñoù p(x), q(x) laø caùc haøm lieân tuïc treân khoaûng (a, b) naøo ñoù. Neáu q(x) ≡ 0, ta coù PTVP tuyeán tính thuaàn nhaát: y
+ p(x)y = 0

(1.14)

Caùch giaûi: Ta coù theå tìm nghieäm y cuûa (1.13) döôùi daïng tích y = u(x)v(x) (phöông phaùp Bernoully). Thay vaøo phöông trình (1.13) ta ñöôïc u
v + uv
+ p(x)uv = q(x)

(1.15)

21

1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I

Ta choïn haøm v sao cho (1.16)

v
+ p(x)v = 0

töùc laø giaûi phöông trình thuaàn nhaát töông öùng (1.14). Phöông trình naøy coù theå vieát döôùi daïng taùch bieán dv = −p(x)dx v

Tích phaân hai veá ta ñöôïc


p(x)dx + ln |C1 | , 
 |v| = |C1 | exp − p(x)dx

ln |v| = −

hay

vôùi C1 = 0

Dó nhieân v = 0 cuõng laø nghieäm cuûa (1.14), neân nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát laø v(x) = Ce−


Baây giôø coù theå laáy v(x) = e−

p(x)dx




(1.17)

p(x)dx

, khi ñoù phöông trình (3.3.3) trôû thaønh u
v = f (x)

Töø ñoù ta coù




q(x) dx + C v(x)

u=

Thay bieåu thöùc cuûa u, v vaøo y ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt cuûa (1.13) laø −

y=e







p(x)dx




q(x)e



p(x)dx

dx + C

(1.18)

trong ñoù C laø haèng soá tuyø yù. Ví duï: Tìm nghieäm cuûa phöông trình vi phaân y
+ 3xy = x ñi qua ñieåm (0, 4).  Ta coù p(x) = 3x neân p(x)dx = 3x2/2. Do ñoù nghieäm toång quaùt laø −3x2 /2




3x2 /2



dx + C   1 1 3x2 /2 2 −3x2 /2 e + C = + Ce−3x /2 =e 3 3

y=e

xe

Thay x = 0 vaø y = 4 vaøo ñaúng thöùc treân, ta tìm ñöôïc C = laø: y=

1 11 −3x2 /2 + e 3 3

11 3

vaø nghieäm rieâng caàn tìm

22

Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

1.4.5 Phöông trình Bernoully Phöông trình coù daïng (1.19)

y
+ p(x)y = y αg(x)

trong ñoù α laø soá thöïc naøo ñoù, ñöôïc goïi laø phöông trình Bernoully 1. Ñeå giaûi phöông trình naøy ta ñöa veà giaûi phöông trình tuyeán tính (1.13) ñaõ xeùt trong muïc tröôùc. Roõ raøng vôùi α = 0 hay α = 1 thì (1.19) ñaõ coù daïng phöông trình tuyeán tính. Neáu α = 0 vaø α = 1 thì ñaët z = y 1−α

Khi ñoù

z
= (1 − α)y −αy


Chia hai veá cuûa (1.19) cho y −α, roài thay bieåu thöùc cuûa z vaø ñöôïc phöông trình vi phaân tuyeán tính theo z:

z


vaøo ñaúng thöùc ñoù ta

z
+ (1 − α)p(x)z = (1 − α)g(x)

(1.20)

Nhaän xeùt: Chuù yù raèng ta phaûi xeùt rieâng tröôøng hôïp y = 0 tröôùc khi chia hai veá cho ñeå traùnh laøm maát nghieäm naøy. Ví duï: Giaûi phöông trình xy
− 4y = x2 √y Roõ raøng ñaây laø phöông trình Bernoully vôùi α = 1/2 vaø y = 0 laø moät nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Giaû söû y = 0, chia hai veá cho xy 1/2 ta ñöôïc yα

4 1 y −1/2 y
− y 2 = x x

Ñaët z = y ta ñöôïc z
= 1 2

1 −1/2
y y. 2

Thay vaøo phöông trình ñaõ cho, ta coù x 2 z
− z = x 2

AÙp duïng coâng thöùc nghieäm toång quaùt (1.18), ta tìm ñöôïc nghieäm laø 

2

z=x

1 ln |x| + C 2



Do ñoù phöông trình ñaõ cho coù nghieäm toång quaùt laø  4

y=x

1 ln |x| + C 2

vaø nghieäm y = 0. 1

I.Bernoully (1667 1746) laø nhaø toaùn hoïc Thuïy só.

2

23

1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I

1.4.6 Phöông trình Darboux Phöông trình Darboux 2 laø phöông trình vi phaân daïng A(x, y)dx + B(x, y)dy + H(x, y)(xdy − ydx) = 0

(1.21)

trong ñoù A, B laø caùc haøm thuaàn nhaát baäc m vaø H laø haøm thuaàn nhaát baäc nù. Chuù yù raèng neáu n = m − 1 thì phöông trình Darboux chính laø phöông trình thuaàn nhaát. Trong tröôøng hôïp toång quaùt, ta luoân luoân ñöa phöông trình Darboux veà phöông trình Bernoully. Thaät vaäy, ñaët y = z.x, ta coù dy = xdz + zdx,

xdy − ydx = x2 d

y  x

= x2 dz

Do ñoù phöông trình (1.21) coù theå vieát laïi daïng

y y y 2 y  m n =0 x A(1, )dx + x B(1, )dy + x H(1, )x d x x x x m

Hay, sau khi chia 2 veá cho xm vaø thu goïn, ta coù

  [A(1, z) + zB(1, z)] dx + xB(1, z) + H(1, z)xn+2−m dz = 0

Vôùi giaû thieát xB(1, z) + H(1, z)xn+2−m = 0, ta coù theå vieát phöông trình cuoái cuøng döôùi daïng B(1, z) H(1, z) dx + x=− xn+2−m dz A(1, z) + zB(1, z) A(1, z) + zB(1, z)

Ñaây laø phöông trình Bernoully cuûa aån x = x(z) xem nhö haøm theo z. Ví duï: Giaûi phöông trình xdx + ydy + x2(xdy − ydx) = 0 Ñaây laø phöông trình Darboux, ñaët y = xz ta ñöôïc xdx + xz(xdz + zdx) + x4 dz = 0

hay

(1 + z 2 )dx + (xz + x3 )dz = 0

Töø ñoù ta coù

z 1 dx + x=− x3 2 2 dz 1 + z 1+z

Ñaây laø phöông trình Bernoully, giaûi phöông trình naøy (sau khi ñöa veà phöông trình tuyeán tính baäc I) ta ñöôïc nghieäm laø 1 = C(1 + z 2 ) + (1 + z 2 ) arctan z + z x2

Trôû laïi bieán ban ñaàu, ta coù nghieäm toång quaùt cho bôûi 2

2

2

2

C(x + y ) + (x + y ) arctan

vôùi C laø haèng soá tuyø yù. 2

J.G.Darboux (1842−1917) laø nhaø toaùn hoïc Phaùp

y x

+ xy − 1 = 0

24

Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

1.4.7 Phöông trình Riccati: Phöông trình Riccati3 toång quaùt laø phöông trình vi phaân daïng y
= p(x)y 2 + q(x)y + r(x)

(1.22)

trong ñoù p(x), q(x) vaø r(x) laø caùc haøm lieân tuïc treân khoaûng (a, b) naøo ñoù. Nhaän xeùt: Phöông trình Riccati khoâng phaûi bao giôø cuõng giaûi ñöôïc baèng pheùp caàu phöông (töùc laø coù theå bieåu dieãn nghieäm döôùi daïng höõu haïn caùc pheùp laáy tích phaân cuûa caùc haøm töôøng minh naøo ñoù!). Trong vaøi tröôøng hôïp ñaëc bieät nhö p(x) ≡ 0 hay r(x) ≡ 0 ta ñöa veà phöông trình tuyeán tính hoaëc phöông trình Bernoully. Tuy nhieân ta coù keát quaû sau cho pheùp tích phaân phöông trình Riccati neáu bieát moät nghieäm naøo ñoù cuûa noù. Meänh ñeà 1.4.1. Neáu bieát moät nghieäm cuûa phöông trình Riccati (1.22) thì coù theå ñöa noù veà phöông trình Bernoully.

Chöùng minh: Goïi moät nghieäm cuûa (1.22) laø y˜, töùc laø y 2 + q(x)˜ y + r(x) y˜
= p(x)˜

Ta ñaët y = y˜ + z, trong ñoù z laø aån môùi. Thay vaøo phöông trình (1.22) ta ñöôïc y 2 + 2p(x)˜ y z + p(x)z 2 + q(x)˜ y + q(x)z + r(x) y˜
+ z
= p(x)˜

Töø ñoù suy ra

y + q(x)]z = p(x)z 2 z
− [2p(x)˜

vaø ñaây laø phöông trình Bernoully.
Ví duï: Giaûi phöông trình y
+ 2y(y − x) = 1 Ñaây laø phöông trình Riccati. Deã thaáy y = x laø moät nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Baây giôø, ñaët y =x+z

ta ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng z
+ 2z(z + x) = 0

Ñaây laø phöông trình Bernoully vôùi α = 2. Ñaët u = z −1 ta ñöôïc u
− 2xu = 2

Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy theo (1.18) laø x2




u=e

−x2

2e



dx + C

Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø 2

y =x+ 3

e−x  , C + 2 e−x2 dx

J.F.Riccati (1676−1754) laø nhaø toaùn hoïc YÙ

vaø y = x

1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I

25

BAØI TAÄP 1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân taùch bieán: (a) (b) (c) (d)

(xy 2 + 4x)dx + (y + x2 y)dy = 0

2x 1 − y 2 + yy
= 0 y
= ex+y x2 y − y y
= y+1

2. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân thuaàn nhaát sau (a) (b) (c) (d)

y −1 x 2xy y
= 2 x − y2 (y 2 − 3x2 )dy + 2xydx = 0 y xy
= y ln x y
=

3. Tích phaân caùc phöông trình vi phaân sau ñaây: (a) (b)

(x − 2y + 9)dx = (3x − y + 2)dy  2 y+2
y =2 x+y−1

4. Kieåm tra caùc phöông trình sau laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn vaø giaûi chuùng (a) (b) (c) (d)

y dx + (y 3 + ln x)dy = 0 x ey dx + (xey − 2y)dy = 0 2xydx + (x2 − y 2)dy = 0 [(x + 1)ex − ey ] dx = xey dy

5. Tìm thöøa soá tích phaân roài giaûi caùc phöông trình vi phaân sau (a) (b) (c) (d)

(x + y 2 )dx − 2xydy = 0 (y 2 − 6xy)dx + (3xy − 6x2 )dy = 0 y(1 + xy)dx − xdy = 0

xy ln ydx + (x2 + y 2 y 2 + 1)dy = 0

6. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính sau (a) (b)

y
− 4y = x − 2x2 xy
+ y = ex

26

Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I

(c) (d)

1 cos x 2 y dx − (2xy + 3)dy = 0 y
− y tan x =

7. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Bernoully sau (a) (b) (c)

3y
+ y = (1 − 2x)y 4 yy
+ y 2 = x 2√ y
+ y = e 2 y

8. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Lagrange vaø Clairaut sau ñaây (a) (b) (c) (d)

y = xy
+ 12 xy
− y = ln y


y = xy
+ y
2 + 1


yy
= 2y 2 x + 1

9. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Lagrange vaø Clairaut sau ñaây (a) (b) (c) (d)

y = xy
+ 12 xy
− y = ln y


y = xy
+ y
2 + 1


yy
= 2y 2 x + 1

Chöông 2 Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm Trong chöông naøy ta seõ khaûo saùt caùc phöông trình vi phaân caáp moät daïng toång quaùt F (x, y, y
) = 0

(2.1)

trong ñoù F laø haøm ba bieán lieân tuïc trong moät taäp môû G ⊂ R3 cuøng vôùi caùc ñaïo haøm ∂F rieâng cuûa noù, ngoaøi ra
khoâng ñoàng nhaát baèng khoâng. ∂y

2.1 Caùc PTVP chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm daïng ñaëc bieät Ta seõ khaûo saùt moät soá daïng phöông trình vi phaân caáp I daïng chöa giaûi ra ñaïo haøm ñaëc bieät maø coù theå giaûi baèng caàu phöông.

2.1.1

F

chæ phuï thuoäc vaøo y

Xeùt phöông trình daïng F (y
) = 0

(2.2)

Giaû söû F (xem nhö haøm cuûa bieán y
) lieân tuïc vaø coù moät soá höõu haïn caùc khoâng ñieåm (chaúng haïn khi F laø ña thöùc). Khi ñoù moãi nghieäm cuûa y = y(x) cuûa phöông trình (2.2) phaûi thoaû y
(x) = k, vôùi k laø moät khoâng ñieåm cuûa F . Do ñoù y(x) = kx + C vôùi C laø haèng soá tuyø yù; vaø ta coù F(

y−C )=0 x

(2.3)

28

Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm

Ngöôïc laïi, neáu coù ñaúng thöùc (2.3) vôùi moät giaù trò nghieäm cuûa F = 0. Khi ñoù

C

naøo ñoù thì

k :=

y−C x

phaûi laø

y
= k

y = kx + C,

do ñoù F (y
) = 0. Noùi caùch khaùc, coâng thöùc (2.3) cho ta nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho. Ví duï: Giaûi phöông trình y
2 − y
+ 2 = 0. Phöông trình naøy coù nghieäm laø



y−C x

2

−

y−C + 2 = 0. x

2.1.2 Daïng coù theå giaûi ra ñoái vôùi y hay x: Giaû söû (vôùi vaøi ñieàu kieän naøo ñoù) phöông trình (2.1) coù theå giaûi ra ñöôïc Chaúng haïn, y = f (x, y
)

Khi ñoù, ñaët p = y
=

dy dx

y

hay x. (2.4)

vaø xem p nhö tham soá, ta ñöôïc y = f (x, p)

Vi phaân hai veá cuûa ñaúng thöùc naøy ta ñöôïc dy =

∂f (x, p) ∂f (x, p) dx + dp ∂x ∂p

Thay dy = pdx ta ñöôïc phöông trình vi phaân daïng M(x, p)dx + N(x, p)dp = 0

Xem x nhö laø haøm cuûa p vaø giaû söû phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø x = g(p, C). Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (2.4) ñöôïc cho döôùi daïng tham soá 

x = g(p, C) y = f (x, p)

Töông töï nhö theá, caùc phöông trình daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi x x = h(y, y
)

cuõng giaûi ñöôïc baèng caùch ñöa vaøo tham soá p nhö treân.

2.2. Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange

2.1.3

F

29

khoâng phuï thuoäc vaøo y

Xeùt phöông trình

F (x, y
) = 0

Neáu coù theå giaûi ra ñöôïc y
daïng Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa (∗) laø

(∗)

y
= f (x)
y = f (x)dx + C .

Tröôøng hôïp ta khoâng giaûi ra ñöôïc y
nhöng coù theå tìm moät pheùp tham soá hoaù phöông trình (∗) goàm  x = ϕ(t) y
= ψ(t)

sao cho F (ϕ(t), ψ(t)) = 0

Khi ñoù

dy =⇒ dy = ψ(t).ϕ
(t)dt dx trình (∗) cho bôûi daïng tham

ψ(t) = y
=

Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông 

soá

x = ϕ(t) y = ψ(t)ϕ
(t)dt + C

Ví duï: Giaûi phöông trình ln y
+ cos y
− x = 0 Tham soá hoaù y
= t, x = ln t + cos t ta coù dy = tdx

Suy ra

vaø

1 dx = ( − sin t)dt t


y=

(1 − t sin t)dt = t − sin t + t cos t + C

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø 

x = ln t + cos t y = t − sin t + t cos t + C

2.2 Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 2.2.1 Tham soá hoaù toång quaùt: Trong phaàn naøy ta xeùt moät soá phöông trình vi phaân chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm F (x, y, y
) = 0 (2.5)

30

Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm

nhöng coù theå tham soá hoaù ñöôïc döôùi daïng x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v)

vaø y
= χ(u, v)

sao cho F [ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)] = 0

Vi phaân x vaø y theo u, v roài thay vaøo ñaúng thöùc dy = y
dx ta coù   ∂ϕ ∂ψ ∂ψ ∂ϕ du + dv = χ(u, v) du + dv ∂u ∂v ∂u ∂v

Xem u nhö laø haøm cuûa v ta coù phöông trình ∂ϕ ∂ψ − du ∂v ∂v = ∂ϕ ∂ψ dv −χ ∂u ∂u χ

Ñaây laø daïng phöông trình ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm, giaû söû coù nghieäm laø u = ξ(v, C)

Ta thay vaøo bieåu thöùc cuûa phöông trình (2.5) laø

x

vaø y ta ñöôïc nghieäm toång quaùt döôùi daïng tham soá cuûa 

x = ϕ[ξ(v, C), v] y = ψ[ξ(v, C), v] 2

Ví duï: Giaûi phöông trình y = y
2 − y
x + x2

Ta coù theå tham soá hoaù phöông trình baèng caùch ñaët x = x, y
= p vaø y = p2 − px + (xem x vaø p laø hai tham soá). Khi ñoù, vi phaân ñaúng thöùc cuoái ta ñöôïc

x2 2

dy = (x − p)dx + (2p − x)dp

Ñeå yù raèng dy = pdx, töø ñaúng thöùc treân, neáu 2p − x = 0 ta coù Do ñoù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y= x

dp = 1, dx

suy ra p = x + C .

x2 + Cx + C 2 2

Neáu 2p − x = 0 ta coù p = , thay vaøo bieåu thöùc tham soá hoaù ta coù nghieäm 2 nghieäm naøy laø nghieäm kyø dò.

y=

x4 , 2

31

2.2. Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange

2.2.2 Phöông trình Clairaut Phöông trình Clairaut laø lôùp caùc phöông trình vi phaân daïng (2.6)

y = xy
+ f (y
)

trong ñoù, noùi chung, f laø moät haøm phi tuyeán. Ta seõ tìm nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy baèng caùch ñaët p = y
. Khi ñoù y = px + f (p)

Vi phaân hai veá ñaúng thöùc naøy, vôùi chuù yù raèng dy = pdx ta ñöôïc hay

pdx = pdx + {x + f
(p)} dp {x + f
(p)} dp = 0

Töø ñoù ta suy ra dp = 0 hay x + f
(p) = 0. Neáu dp = 0 thì p = C , thay vaøo (2.6) ta ñöôïc nghieäm toång quaùt y = Cx + f (C)

(∗)

vaø ñaây laø moät hoï ñöôøng thaúng. Neáu x + f
(p) = 0, cuøng vôùi (2.6), ta thu ñöôïc moät nghieäm cho döôùi daïng tham soá 

x = −f
(p) y = −pf
(p) + f (p)

Ngöôøi ta chöùng minh raèng neáu f

(p) lieân tuïc vaø khaùc khoâng thì nghieäm cho döôùi daïng tham soá laø bao hình cuûa hoï ñöôøng thaúng (∗). Ví duï: Xeùt phöông trình y = (x − 1)y
− y
2 Ñaây laø phöông trình Clairaut vôùi f (t) = −t2 − t. Thay theá y
bôûi C ta ñöôïc nghieäm toång quaùt laø hoï ñöôøng thaúng y = C(x − 1) − C 2

Ñeå tìm nghieäm kyø dò, töùc laø bao hình cuûa hoï ñöôøng thaúng treân ta xeùt heä 

x = 2C + 1 y = C(x − 1) − C 2

Khöû C töø heä phöông trình naøy ta ñöôïc bao hình laø parabol 2.1).

y=

(x − 1)2 4

(xem Hình

32

Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm

3

0

-3

3

-3

Hình 2.1: Nghieäm cuûa phöông trình Clairaut vôùi f (t) = −t2 − t.

2.2.3 Phöông trình Lagrange Phöông trình vi phaân caáp I maø laø tuyeán tính ñoái vôùi x vaø y daïng y = ϕ(y
)x + ψ(y
)

(2.7)

ñöôïc goïi laø phöông trình Lagrange 1. Giaû söû ϕ(y
) = y
, neáu khoâng phöông trình ñaõ cho laø phöông trình Clairaut maø ta ñaõ xeùt treân ñaây. Cuõng töông töï nhö tröôøng hôïp phöông trình Clairaut, ta ñaët p = y
. Khi ñoù phöông trình (2.7) trôû thaønh y = ϕ(p)x + ψ(p)

(∗)

Vi phaân hai veá theo x ta ñöôïc p=

dp dy = ϕ(p) + {ϕ
(p)x + ψ
(p)} dx dx

Xem p laø bieán soá ñoäc laäp ta coù phöông trình tuyeán tính maø aån laø x = x(p) nhö sau: ϕ
(p) ϕ
(p) dx + x= dp ϕ(p) − p p − ϕ(p)

Tích phaân phöông trình tuyeán tính naøy theo phöông phaùp ñaõ bieát ta ñöôïc nghieäm toång quaùt x = h(p, C), vôùi C laø tham soá tuyø yù. Keát hôïp vôùi (∗) ta coù nghieäm toång quaùt cuûa (2.7) cho döôùi daïng tham soá tham soá hoaù theo tham soá p:  y = ϕ(p)h(p, C) + ψ(p) x = h(p, C)

1

J.L.Lagrange (1736 − 1813) laø nhaø toaùn hoïc noåi tieáng ngöôøi Phaùp.

33

2.3. Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I

Nhaän xeùt: Chuù yù raèng öùng vôùi caùc giaù trò cuûa tham soá p = pi (trong ñoù pi laø nghieäm cuûa phöông trình ϕ(p) − p = 0) ta cuõng nhaän ñöôïc caùc nghieäm cuûa phöông trình (2.7). Tuyø theo töøng tröôøng hôïp nghieäm naøy coù theå laø nghieäm kyø dò hoaëc khoâng. Ví duï: Giaûi phöông trình y = xy
2 − y
. Ñaët p = y
, khi ñoù y = xp2 − p

Vi phaân hai veá cuûa ñaúng thöùc naøy theo x vôùi chuù yù dy = pdx, sau khi thu goïn ta ñöôïc (p2 − p)dx + (2px − 1)dp = 0

Giaû söû p2 − p = 0 ta coù

dx 2 1 + x= dp p − 1 p(p − 1)

Giaûi phöông trình naøy ta ñöôïc: x=

C + p − ln p (p − 1)2

Thay vaøo bieåu thöùc cuûa y ta ñöôïc nghieäm toång quaùt daïng tham soá: 

x= y=

C+p−ln p (p−1)2 (C+p−ln p)p2 (p−1)2

−p

Caùc nghieäm öùng vôùi p = 0 vaø p = 1 laø y = 0 vaø y = x − 1 töông öùng.

2.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 2.3.1 Söï toàn taïi nghieäm kyø dò Trong chöông tröôùc ta ñaõ ñeà caäp ñeán söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñoái vôùi PTVP caáp I daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm dy = f (x, y) dx

Trong muïc naøy ta xeùt tröôøng hôïp PTVP caáp I daïng toång quaùt F (x, y, y
) = 0

(2.8)

Noùi chung ta khoâng luoân luoân vieát phöông trình naøy döôùi daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm. Ñieàu ñoù cho thaáy raèng tính chaát duy nhaát nghieäm cuûa phöông trình vi phaân (2.8), vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (x0 , y0), khoâng phaûi luùc naøo cuõng ñöôïc baûo ñaûm. Noùi caùch khaùc, qua ñieåm (x0, y0) ∈ R2 coù theå coù nhieàu nghieäm cuûa (2.8) ñi qua.

34

Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm

Ví duï: Phöông trình Clairaut (2.6) vôùi

coù nghieäm kyø dò laø parabol (xem hình 2.1). Taïi moãi ñieåm doïc theo parabol naøy coù toàn taïi moät nghieäm khaùc maø ñoà thò laø ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi parabol noùi treân taïi ñieåm ñoù. Ñònh lyù sau ñaây khaúng ñònh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm trong tröôøng hôïp toång quaùt. (x − 1) 4

2

f (t) = −t2 − t

Ñònh lyù 2.3.1. Neáu haøm F (x, y, p) thoaû caùc ñieàu kieän sau: i) F (x, y, p) lieân tuïc cuøng vôùi caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù trong laân caän cuûa (x0 , y0 , p0 ) ∈ R3 (töùc laø F thuoäc lôùp C 1 trong laân caän ñieåm naøy) ii) F (x0 , y0 , p0 ) = 0 iii)

∂F (x0 , y0 , p0 ) = 0 ∂p

thì phöông trình (2.8) coù duy nhaát moät nghieäm y = y(x) lôùp C 1 trong laân caän cuûa x0 thoaû ñieàu kieän ban ñaàu: y(x0 ) = y0

sao cho

y
(x0 ) = p0

Chöùng minh: Caùc giaû thieát trong ñònh lyù treân chính laø caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù haøm

aån, do ñoù phöông trình (2.8) xaùc ñònh duy nhaát haøm p = f (x, y) lôùp C 1 sao cho p0 = f (x0 , y0 ). Khi ñoù ta coù phöông trình vi phaân daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm dy = f (x, y) dx

trong ñoù f khaû vi lieân tuïc. Tính chaát naøy maïnh hôn ñieàu kieän Lipchitz neân theo ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm (cho phöông trình ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm), ta thaáy coù toàn taïi duy nhaát moät nghieäm y = y(x) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu y(x0) = y0.


2.3.2 Tìm nghieäm kyø dò theo p−bieät tuyeán Ñònh lyù treân cho thaáy nghieäm kyø dò coù theå xaûy ra khi caùc ñieàu kieän cuûa ñònh lyù khoâng thoaû maõn. Roõ raøng vôùi haøm F = F (x, y, p) khaû vi lieân tuïc, nghieäm kyø dò chæ coù theå xaûy ra neáu taïi ñoù ∂F =0 ∂p

Ta goïi M ⊂ R3 laø sieâu maët cho bôûi phöông trình F (x, y, p) = 0 vaø giaû söû π : M −→ R2 , π(x, y, p) = (x, y) laø pheùp chieáu töï nhieân theo toaï ñoä p. Khi ñoù caùc ñieåm kyø dò cuûa aùnh xaï π cho bôûi heä phöông trình   F (x, y, p) = 0 ∂F =0  ∂p

(∗)

35

2.3. Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I

Khöû p töø heä phöông trình naøy ta thu ñöôïc moät phöông trình daïng (2.9)

Φ(x, y) = 0

Phöông trình naøy xaùc ñònh moät ñöôøng cong trong R2, ñöôïc goïi laø ñöôøng cong bieät laäp (discriminant) hay p−bieät tuyeán cuûa phöông trình (2.8). Vaäy ñeå tìm nghieäm kyø dò theo p−bieät tuyeán tröôùc heát ta tìm p− bieät tuyeán cho bôûi heä (∗), sau ñoù thöû xem bieät tuyeán coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình (2.8) hay khoâng. Cuoái cuøng trong soá caùc nghieäm naøy choïn ra caùc nghieäm maø doïc theo noù tính duy nhaát bò vi phaïm; ñoù chính laø nghieäm kyø dò. Ví duï: Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình y = 2xy
− y
2 Ta coù bieät tuyeán cho bôûi y = 2xp − p2 , 2x − 2p = 0

Töø ñoù bieät tuyeán laø parabol y = x2 trong maët phaúng (x, y). Tuy nhieân, y = x2 laïi khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho, neân phöông trình khoâng coù nghieäm kyø dò. 2

Ví duï: Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình y = y
2 − xy
+ x2 Ta coù p−bieät tuyeán cho bôûi y = p2 − xp

Töø ñoù ta coù bieät tuyeán laø parabol y =

x2 4

x2 , 2p − x = 0 2

vaø cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho.

Ngoaøi ra nghieäm toång quaùt cuûa noù laø (xem ví duï trang 30) y = Cx + C 2 +

x2 2 x2

Do ñoù vôùi moïi ñieåm (x0 , y0) treân parabol naøy, i.e. y0 = 0 , ta xeùt phöông trình theo 4 C: x2 x2 y0 = Cx0 + C 2 + 0 hay C 2 + x0 C + 0 = 0 2

Phöông trình naøy luoân coù nghieäm (x0 , y0 ). Vaäy y =

x2 4

C = −

4

x0 , 2

töùc laø luoân coù nghieäm thöù hai ñi qua

laø nghieäm kyø dò cuûa phöông trình ñaõ cho.

36

Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm

Hình 2.2: Maët cho bôûi phöông trình p2 − x = 0

2.3.3 Tìm nghieäm kyø dò theo C−bieät tuyeán Ñoái vôùi nhöõng phöông trình maø tích phaân toång quaùt cuûa noù cho bôûi Φ(x, y, C) = 0

(2.10)

ta coù theå tìm nghieäm kyø dò cuûa noù thoâng qua vieäc tìm caùc C− bieät tuyeán, töùc laø ñöôøng cong trong R2 xaùc ñònh baèng caùch khöû C töø heä 

Φ(x, y, C) = 0 ∂Φ (x, y, C) = 0 ∂C

(2.11)

Nhaän xeùt: Coù theå kieåm tra khoâng khoù (xem [1]) raèng neáu C− bieät tuyeán laø bao hình

cuûa hoï ñöôøng cong (2.10) thì noù laø moät nghieäm kyø dò cuûa phöông trình (2.8). Do ñoù ñeå tìm nghieäm kyø dò cuûa (2.8) tröôùc heát ta tìm C−bieät tuyeán cuûa noù. Bieät tuyeán ñoù laø ñöôøng cong R(x, y) = 0 nhaän ñöôïc baèng caùch khöû C töø heä (2.11). Sau ñoù , thöû xem coù nhaùnh naøo cuûa C− bieät tuyeán laø bao hình cuûa hoï ñöôøng cong (2.10) hay khoâng; neáu coù, ñoù chính laø nghieäm kyø dò cuûa phöông trình. Chuù yù: Neáu haøm Φ trong (2.10) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp I theo x vaø y bò chaën vaø khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng thì C−bieät tuyeán laø bao hình cuûa hoï nghieäm toång quaùt (2.10); noùi caùch khaùc C−bieät tuyeán laø nghieäm kyø dò. 8
3 Ví duï: (xem [1]) Tìm nghieäm kyø dò cuûa phöông trình Lagrange x − y = 94 y
2 − 27 y Phöông trình Lagrange naøy coù tích phaân toång quaùt laø (y − C)2 = (x − C)3. Do ñoù bieät tuyeán cho bôûi heä  (y − C)2 = (x − C)3 2(y − C) = 3(x − C)2

37

2.3. Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I

Khöû C ta ñöôïc y = x,

y =x−

4 27

4

Chæ coù y = x − laø bao hình neân noù laø nghieäm kyø dò. Coøn ñöôøng thaúng y = x chöùa 27 caùc ñieåm kyø dò cuûa nghieäm toång quaùt (xem Hình 2.3).

Y=x - 4/27

x Y=

Hình 2.3: Nghieäm kyø dò cuûa phöông trình x − y =

4
2 8 y − y
3 9 27

38

Chöông 2. Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm

BAØI TAÄP 1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân sau ñaây (a) (b) (c) (d)

y
2 − (x + y)y
+ xy = 0 y
3 − yy
2 − x2 y
+ x2 y = 0 xy
3 = 1 + y
y
3 + y 3 = 3yy


2. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình Lagrange vaø Clairaut sau ñaây (a) (b) (c) (d)

y = xy
+ 12 xy
− y = ln y

y = xy + y
2 + 1 yy
= 2y
2 x + 1

3. Tìm nghieäm kyø dò cuûa caùc phöông trình vi phaân sau ñaây: (a) (b) (c) (d)

xy
2 − 2yy
+ 4x = 0 y
4 = 4y(xy
− 2y)2 yy
(yy
− 2x) = x2 − 2y 2 2y
− 3y 1/3 = 0

Chöông 3 Phöông trình vi phaân caáp cao Chöông naøy trình baøy moät soá kieán thöùc toång quan veà phöông trình vi phaân caáp cao vaø lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao.

3.1 Phöông trình vi phaân caáp cao 3.1.1 Caùc khaùi nieäm: Phöông trình vi phaân thöôøng caáp n laø phöông trình coù daïng (3.1) trong ñoù F laø moät haøm xaùc ñònh (lieân tuïc) treân taäp môû naøo ñoù cuûa Rn+2 vaø nhaát thieát phaûi coù söï tham gia cuûa ñaïo haøm caáp n cuûa aån y(n). Vôùi moät vaøi giaû thieát thích hôïp, ñònh lyù haøm aån cho pheùp vieát phöông trình (3.1) döôùi daïng sau ñaây, ñöôïc goïi laø daïng ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm: (3.2) y (n) = f (x, y, y
, . . . , y (n−1) ) Döôùi daïng naøy ta coù theå ñöa vieäc nghieân cöùu moät phöông trình caáp cao veà nghieân cöùu (heä) phöông trình vi phaân caáp I. Thaät vaäy, baèng caùch ñöa theâm vaøo caùc aån môùi y1 := y , y2 := y
,...., yn := y (n−1) ta thu ñöôïc F (x, y, y
, y

, . . . , y (n)) = 0


y1 = y2      ...............

(3.3)


= yn yn−1      y
= f (x, y1, . . . , yn ) n





Xem y := (y1, . . . , yn)T , f (x, y) := y2, . . . , yn, f (x, y1, . . . , yn )T laø caùc vector-haøm ta coù theå vieát laïi (3.3) döôùi daïng ñôn giaûn y
= f (x, y) (3.4)

40

Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

3.1.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm: Töông töï nhö tröôøng hôïp phöông trình vi phaân caáp I, baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình vi phaân caáp cao (3.1) ñaët ra nhö sau: Tìm nghieäm y(x) cuûa phöông trình (3.1) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu: (n−1) (3.5) y(x0 ) = y0 , y
(x0 ) = y0
, . . . , y (n−1) = y0 trong ñoù x0 ∈ I ⊂ R vaø Y0 := (y0, y0
, . . . , y0(n−1)) ∈ Rn coá ñònh, cho tröôùc. Ñeå phaùt bieåu ñònh lyù khaúng ñònh söï toàn taïi lôøi giaûi cuûa baøi toaùn Cauchy ta caàn khaùi nieäm sau: Cho vector-haøm f (x, y) xaùc ñònh treân mieàn G ⊂ R × Rn. Ta noùi f thoaû ñieàu kieän Lipschitz treân G theo y neáu toàn taïi haèng soá döông L (goïi laø haèng soá Lipschitz) sao cho: ||f (x, y1 ) − f (x, y2 )|| ≤ L||y1 − y2 ||, vôùi moïi (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ G Ta löu yù raèng ñieà u kieän Lipschitz khoâng phaûi laø heä quaû cuûa tính lieân tuïc. Chaúng haïn haøm f (x, y) = √y lieân tuïc nhöng khoâng thoaû ñieàu kieän treân. ù

Ñònh lyù 3.1.1 (Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho PTVP caáp cao). Giaû söû vectorhaøm f (x, y) trong (3.4) lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz theo y treân mieàn G = {(x, y) ∈ R × Rn / |x − x0 | ≤ a, ||y − y0 || ≤ b}

Khi ñoù baøi toaùn Cauchy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (3.5) coù moät nghieäm duy nhaát treân ñoaïn I := [x0 − h, x0 + h], vôùi h := min(a, Mb ) vaø M := max(x,y)∈G ||f (x, y)||.

Chöùng minh: Töông töï nhö trong tröôøng hôïp PTVP caáp I, chæ caàn thay giaù trò tuyeät


ñoái bôûi chuaån trong Rn . Nhaän xeùt: Ta cuõng ñònh nghóa caùc loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân caáp cao töông töï nhö trong chöông I. Chaúng haïn, nghieäm kyø dò cuûa (3.2) laø nghieäm maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieäm bò vi phaïm. Ta goïi nghieäm toång quaùt cuûa (3.2) laø hoï caùc haøm ϕ(x, C1, . . . , Cn ) phuï thuoäc (moät caùch lieân tuïc) vaøo n haèng soá tuyø yù C1, . . . , Cn. Vôùi moãi boä giaù trò cuûa n tham soá naøy ta nhaän ñöôïc moät nghieäm rieâng cuûa phöông trình. Ví duï: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình y

= y laø y(x) = C1 ex + C2e−x . Noù phuï thuoäc vaøo hai haèng soá tuyø yù C1 vaø C2.

3.1.3 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao giaûi ñöôïc baèng caàu phöông: a) Phöông trình F (x, y (n)) = 0

Phöông trình naøy chæ phuï thuoäc vaøo bieán ñoäc laäp vaø ñaïo haøm caáp cao nhaát. Trong tröôøng hôïp coù theå giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm: y (n) = f (x)

41

3.1. Phöông trình vi phaân caáp cao

ta coù theå tích phaân lieân tieáp theo x vaø thu ñöôïc y (n−1) = y (n−2)

x

f (x)dx + C1 x = x0 dx x0 f (x)dx + C1 (x − x0 ) + C2 x

 x0

....................
x
x f (x)dx + dx . . . y= x0 x0   

laàn

n C2 + (n−2)! (x

C1 (x (n−1)!

− x0 )n−1 +

− x0 )n−2 + · · · + Cn−1 (x − x0 ) + Cn

Ví duï: Phöông trình y (n) = 0 coù nghieäm laø ña thöùc toång quaùt caáp n − 1 y(x) = c1 (x − x0 )n−1 + c2 (x − x0 )n−2 + · · · + cn−1 (x − x0 ) + cn

Trong tröôøng hôïp khoâng giaûi ra ñöôïc y (n) nhöng coù theå tham soá hoaù x = ϕ(t),

khi ñoù ta coù

y (n) = ψ(t)

dy (n−1) = y (n) dx = ψ(t)ϕ
(t)dt

Vì vaäy y

(n−1)


=

ψ(t)ϕ
(t)dt = ψ(t, C1 )

Laëp laïi quaù trình treân sau n böôùc, ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt cho döôùi daïng tham soá  x = ϕ(t),

y = ψm (t, C1 , . . . , Cn )

b) Phöông trình F (y (n−1), y (n)) = 0: Caùch giaûi: Neáu coù theå giaûi ñöôïc y (n) = f (y (n−1) )

thì, baèng caùch ñaët z := y(n−1), coù theå vieát laïi phöông trình döôùi daïng sau: z
= f (z)

Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp I theo z, giaû söû nghieäm laø tröôøng hôïp treân vôùi phöông trình y (n−1) = g(x, C)

vôùi C laø tham soá.

z = g(x, C),

ta trôû laïi

42

Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

Neáu coù theå tham soá hoaù y (n−1) = ϕ(t),

y (n) = ψ(t)

thì töø dy (n−1) = y (n)dx ta suy ra dy (n−1) ϕ
(t)dt dx = = y (n) ψ(t)

Do ñoù




ϕ
(t)dt = ϕ1 (t, C1 ) ψ(t)

x=

vaø ta trôû laïi tröôøng hôïp treân vôùi x = ϕ1 (t, C1 ),

y (n−1) = ϕ(t)

Ví duï: Giaûi phöông trình y


= y

+ 1

Ñaët z = y

ta coù phöông trình z
− z = 1. Phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø z = C1 ex − 1

Do ñoù, ta ñöôïc phöông trình

y

= C1 ex − 1

Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y(x) = C1 ex −

x2 + C2 x + C3 2

c) Phöông trình F (y (n−2), y (n)) = 0: Ñoái vôùi daïng phöông trình naøy ta ñaët z = y (n−2) vaø vieát laïi phöông trình theo z F (z, z

) = 0

Neáu töø phöông trình naøy coù theå giaûi ñöôïc z

= f (z) thì ta coù 2z
z

= 2f (z)z


hay Töø ñoù ta tìm ñöôïc

d((z
)2 ) = 2f (z)dz 
z
= ± 2 f (z)dz + C1

Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp I vôùi aån laø z = z(x) vôùi nghieäm toång quaùt coù daïng Φ(x, z, C1 , C2 ) = 0

43

3.1. Phöông trình vi phaân caáp cao

Thay z = y (n−2) vaøo phöông trình naøy ta trôû laïi tröôøng hôïp a). Ví duï: Giaûi phöông trình y (4) = y

. Ñaët z = y

ta thu ñöôïc phöông trình z

= z

Phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø z = C1 ex + C2 e−x

Trôû laïi aån y ta coù phöông trình y

= C1 ex + C2 e−x

maø nghieäm toång quaùt cuûa noù laø y = C1 ex + C2 e−x + C3 x + C4

3.1.4 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao coù theå haï caáp: Ta seõ xeùt moät soá daïng phöông trình caáp cao maø coù theå ñöa veà phöông trình caáp thaáp hôn baèng caùch ñoåi bieán.

a) Phöông trình daïng F (y, y
, . . . , y (n)) = 0: Phöông trình naøy khoâng chöùa bieán ñoäc laäp x. Ta ñaët p = y
. Khi ñoù y
= p =

dy dx

dp dp =p dx dy     d dp d dp dp dp


+p y = p = dx dy dx dy dx dy  2 d2 p dp + p2 2 =p dy dy .............................   dn−1 p dp (n) y = g p, , . . . , n−1 dy dy y

=

Thay caùc bieåu thöùc treân vaøo phöông trình ban ñaàu ta thu ñöôïc phöông trình vi phaân caáp n − 1 theo aån p = p(y) G(y, p, p
, . . . , p(n−1) ) = 0

Giaû söû phöông trình naøy coù nghieäm toång quaùt laø Φ(y, p, C1 , . . . , Cn−1 ) = 0

44

Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

ta thay p = y
thì thu ñöôïc phöông trình daïng F (y, y
) = 0 maø laø phöông trình vi phaân caáp I. Ví duï: Giaûi phöông trình (1 + y 2)yy

= (3y 2 − 1)y
2 Ñaët p = y
nhö ñaõ trình baøy, phöông trình ñöa veà daïng (1 + y 2)yp

dp = (3y 2 − 1)p2 dy

Chia 2 veá cho p (vôùi giaû thieát p = 0) vaø vieát laïi döôùi daïng phöông trình taùch bieán dp 3y 2 − 1 = dy p (1 + y 2 )y

Nghieäm toång quaùt cuûa noù laø

py = C1 (1 + y 2 )2

Thay p = y
, ta coù phöông trình yy
= C1 (1 + y 2 )2

Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình cuoái cuøng laø −

1 = 2C1 x + C2 1 + y2

b) Phöông trình thuaàn nhaát ñoái vôùi aån haøm y vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù:

T a noùi phöông trình vi phaân F (x, y, y
, . . . , y (n)) = 0 laø thuaàn nhaát theo aån haøm y vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù neáu F laø haøm thuaàn nhaát (baäc m naøo ñoù) theo caùc bieán y, y
, . . . , y (n). Töùc laø F (x, ty, ty
, . . . , ty (n) ) = tm F (x, y, y
, . . . , y (n))

Ñoái vôùi lôùp caùc phöông trình naøy ta coù theå haï caáp baèng caùch ñaët y
= uy Khi ñoù ta coù y
= uy y

= y
u + u
y = y(u
+ u2 ) y


= y(u

+ 3uu
+ u3 ) ............................. y (n) = y.g(u, u
, . . . , u(n−1) )

Nhôø tính thuaàn nhaát, phöông trình ñaõ cho coù theå vieát laïi daïng y mF (x, 1, u, u
+ u2 , . . . , g(u, u
, . . . , u(n−1) )) = 0

45

3.1. Phöông trình vi phaân caáp cao

Ñaây laø phöông trình caáp n − 1 cuûa aån haøm u = u(x), giaû söû coù nghieäm toång quaùt laø u = u(x, C1 , . . . , Cn−1)

Khi ñoù töø y
= uy ta coù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ban ñaàu laø 


y = exp



u(x, C1, . . . , Cn−1)dx + ln |Cn |




= Cn exp

 u(x, C1 , . . . , Cn−1 )dx

Ví duï: Giaûi phöông trình x2 yy

= (y − xy
)2 .

Ñaây laø phöông trình thuaàn nhaát (caáp 2) theo y vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù. Ñaët y
= uy gioáng nhö treân, ta coù y

= y(u
+ u2 )

Thay vaøo vaø ruùt goïn cho y 2 (giaû söû y = 0) ta ñöôïc phöông trình tuyeán tính baäc nhaát: x2 u
+ 2xu − 1 = 0

vôùi nghieäm toång quaùt laø u=

x + C1 x2

Trôû laïi aån haøm y vôùi u = y
/y ta ñöôïc nghieäm toång quaùt laø y = C2 xe−

C1 x

Dó nhieân nghieäm y = 0 cuõng chöùa trong nghieäm toång quaùt naøy.

3.1.5 Tích phaân trung gian vaø tích phaân ñaàu: Xeùt phöông trình vi phaân caáp n F (x, y, y
, y

, . . . , y (n)) = 0

(3.6)

Giaû söû coù toàn taïi heä thöùc daïng Φ(x, y, y
, . . . , y (k), Ck+1 , . . . , Cn ) = 0

(∗)

sao cho Φ phuï thuoäc vaøo n − k haèng soá tuyø yù Ck+1, . . . , Cn vaø khoâng phuï thuoäc vaøo caùc ñaïo haøm caáp > k (nhöng nhaát thieát phaûi coù maët y(k)). Neáu töø heä n − k phöông trình nhaän ñöôïc baèng caùch laáy vi phaân heä thöùc (∗) theo x n − k laàn vaø chính heä thöùc ñoù ta coù theå nhaän ñöôïc phöông trình ñaõ cho (baèng caùch khöû caùc tham soá) thì heä thöùc (∗) ñöôïc goïi laø tích phaân trung gian cuûa phöông trình (3.6). Neáu k = n − 1, töùc laø heä thöùc chæ chöùa moät tham soá C Φ(x, y, y
, . . . , y (n−1) , C) = 0

thì ta goïi laø tích phaân ñaàu. Nhaän xeùt: Tích phaân trung gian thöïc chaát laø moät phöông trình vi phaân caáp k ñaõ chöùa saün n − k haèng soá tuyø yù Ck+1, . . . , Cn. Nghieäm toång quaùt cuûa noù coøn chöùa k haèng soá môùi laø C1, . . . , Ck ; töùc laø chöùa taát caû n haèng soá, vaø ñoù cuõng laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ban ñaàu (3.6). Vaäy tích phaân trung gian cho pheùp ñöa vieäc giaûi phöông trình vi phaân caáp cao veà giaûi phöông trình caáp thaáp hôn.

46

Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

Phöông trình daïng F (x, y (k), . . . , y (n)) = 0 Baèng caùch ñoåi aån z = y(k) ta coù theå vieát phöông trình döôùi daïng F (x, z, z
, . . . , z (n−k) ) = 0

Giaû söû ñaõ tìm ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình naøy Φ(x, z, Ck+1 , . . . , Cn ) = 0. Khi ñoù, ta coù tích phaân trung gian cuûa phöông trình ñaõ cho laø Φ(x, y (k) , Ck+1, . . . , Cn ) = 0

Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp k, nghieäm cuûa noù cho ta tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình ban ñaàu. Ví duï: Giaûi phöông trình y

− xy


+ y


= 0. Ñaët z = y

ta thu ñöôïc phöông trình z − xz
+ z
= 0

maø nghieäm toång quaùt laø z = C1 (x − 1). Töø ñoù ta coù tích phaân ñaàu y

= C1 (x − 1)

Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y=

C1 3 C1 2 x − x + C2 x + C3 3 2

3.2 Lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp n coù daïng p0 (x)y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn−1 (x)y
+ pn (x)y = g(x)

(3.7)

trong ñoù caùc pj (x) vaø g(x) laø caùc haøm (thöïc) naøo ñoù theo bieán x. Neáu g(x) ≡ 0 thì phöông trình (3.7) ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát.

Söï toàn taïi nghieäm: Giaû söû caùc haøm pj (x) vaø g(x) laø lieân tuïc treân khoaûng I = (a, b) vaø ngoaøi ra p0 (x) = 0 vôùi moïi x ∈ I . Khi ñoù ñònh lyù toàn taïi nghieäm cô baûn khaúng ñònh raèng coù toàn taïi duy nhaát moät mghieäm lieân tuïc y(x) cuûa phöông trình (3.7) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu (n−1)

y(x0 ) = y0 , y
(x0 ) = y0
, . . . , y (n−1) (x0 ) = y0

taïi ñieåm x0 ∈ I .

47

3.3. Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt

Daïng toaùn töû cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính: Kyù hieäu D laø toaùn töû ñaïo haøm

d dx

vaø ñaët:

L = p0 D n + p1 D n−1 + · · · + pn−1 D + pn

(3.8)

L ñöôïc

goïi laø toaùn töû vi phaân caáp n vaø khi ñoù (3.7) vieát laïi döôùi daïng sau, goïi laø daïng toaùn töû cuûa phöông trình (3.7) L(y) = g

Ñaëc bieät, khi g caùch ñôn giaûn

≡ 0,

phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát töông öùng vieát moät (3.9)

L(u) = 0

Nhaän xeùt:

L laø toaùn töû tuyeán tính treân khoâng gian caùc haøm (khaû vi) vì L(αu + βv) = αL(u) + βL(v), vôùi u, v laø hai haøm khaû vi vaø α, β laø hai soá tuyø yù. Do ñoù giaûi phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát laø tìm khoâng gian con ker(L).

Meänh ñeà 3.2.1. Giaû söû u1 vaø u2 laø hai nghieäm tuyø yù cuûa phöông trình vi phaân tuyeán

tính thuaàn nhaát (3.9). Khi ñoù, vôùi C1 , C2 laø hai haèng soá baát kyø, C1 u1 + C2 u2 cuõng laø nghieäm cuûa (3.9).

Chöùng minh: Ta coù L(C1u1 + C2 u2) = C1L(u1) + C2 L(u2) = 0.




Heä quaû 3.2.1. Taäp taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình (3.9) coù caáu truùc khoâng gian vector.

3.3 Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt Ñònh nghóa 3.3.1. Ta noùi caùc haøm u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø ñoäc laäp tuyeán tính treân

(a, b)

cho

neáu khoâng toàn taïi caùc haèng soá C1, C2, . . . , Cn khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng sao

vôùi moïi x ∈ (a, b) Ngöôïc laïi, caùc haøm u1(x), u2(x), . . . , un(x) ñöôïc goïi laø phuï thuoäc tuyeán tính treân (a, b) neáu coù theå choïn ñöôïc caùc haèng soá Cj khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng sao cho ñaúng thöùc treân xaûy ra vôùi moïi x ∈ (a, b). C1 u 1 + · · · + Cn u n ≡ 0

Meänh ñeà 3.3.1. Neáu u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø caùc haøm khaû vi ñeán caáp n − 1 vaø phuï thuoäc tuyeán tính treân (a, b) thì ñònh thöùc

   u1 (x) u2 (x) ··· un (x)  
 u1 (x) u
2 (x) ··· u
n (x)    ..  = 0 .. .. ...  .  . .  (n−1) (n−1) (n−1)  u1 (x) u2 (x) · · · un (x)

vôùi moïi x ∈ (a, b)

(3.10)

48

Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

Ñònh nghóa 3.3.2. Ñònh thöùc ôû veá traùi cuûa (3.10) ñöôïc goïi laø ñònh thöùc Wronski cuûa n

haøm u1(x), u2(x), . . . , un(x) vaø thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø W (x) hay W [u1, . . . , un]

Chöùng minh: Theo giaû thieát cuûa meänh ñeà, coù toàn taïi caùc haèng soá Cj khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng sao cho

C1 u 1 + · · · + Cn u n ≡ 0

vôùi moïi x ∈ (a, b)

Ñaïo haøm ñaúng thöùc naøy theo bieán x n − 1 laàn, ta thaáy caùc trình tuyeán tính thuaàn nhaát sau (vôùi x coá ñònh naøo ñoù)    

C1 u1 (x) + · · · + Cn un (x) C1 u
1 (x) + · · · + Cn u
n (x) ··· ··· ···    (n−1) (n−1) C1 u 1 (x) + · · · + Cn un (x)

Cj

thoaû maõn heä phöông

=0 =0 ··· =0

Vì heä thuaàn nhaát naøy coù nghieäm khoâng taàm thöôøng neân ñònh thöùc cuûa ma traän cuûa heä phaûi baèng khoâng.


Heä quaû 3.3.1. Neáu W (x) = 0 taïi x naøo ñoù thuoäc (a, b) thì heä haøm {u1(x), u2(x), . . . , un(x)}

ñoäc laäp tuyeán tính treân (a, b).

Ví duï: Heä haøm {1, x, x2, · · · , xn−1 } laø ñoäc laäp tuyeán tính treân khoaûng baát kyø vì   n−1  1 x · · · x   0 1 · · · (n − 1)xn−2    W (x) =  .. .. . .  = 1.1!2! . . . (n − 1)! = 0 ..  . . . .   0 0 · · · (n − 1)! 

vôùi moïi x ∈ R

Ví duï: Heä haøm {ek , ek , · · · , ek } laø ñoäc laäp tuyeán tính treân khoaûng baát ky neáu caùc 1

2

n

soá k1, k2, . . . , kn laø khaùc nhau töøng ñoâi moät.

Ñònh lyù 3.3.2. Giaû söû caùc haøm pj (x) laø lieân tuïc vaø p0 (x) = 0 treân khoaûng (a, b). Khi ñoù nghieäm u1 (x), u2 (x), . . . , un (x) cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (3.9) laø ñoäc laäp tuyeán tính neáu vaø chæ neáu ñònh thöùc Wronski W [u1(x), u2 (x), . . . , un(x)] = 0, ∀x ∈ (a, b). n

Chöùng minh: Neáu

W [u1 (x), u2 (x), . . . , un (x)] = 0, ∀x ∈ (a, b) thì theo heä quaû treân, caùc nghieäm u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø ñoäc laäp tuyeán tính. Ngöôïc laïi, giaû söû coù x0 ∈ (a, b) maø W (x0 ) = 0. Khi ñoù heä tuyeán tính thuaàn nhaát sau coù nghieäm khoâng taàm thöôøng    

C1 u1 (x0 ) + · · · + Cn un (x0 ) C1 u
1 (x0 ) + · · · + Cn u
n (x0 ) ··· ··· ···    (n−1) (n−1) C1 u 1 (x0 ) + · · · + Cn un (x0 )

=0 =0 ··· =0

49

3.3. Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt

Goïi (C1, . . . , Cn) laø moät nghieäm nhö theá vaø ñaët u(x) = C1u1(x) + · · · + Cn un(x). Roõ raøng u(x) cuõng laø moät nghieäm cuûa cuûa (3.9) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu u(x0) = 0, u
(x0 ) = 0, . . . , u(n−1) (x0 ). Maët khaùc nghieäm taàm thöôøng u ≡ 0 cuõng thoaû ñieàu kieän naøy. Do ñoù, theo ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ta phaûi coù C1 u1 (x) + · · · + Cn un (x) ≡ 0

töùc laø caùc u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø phuï thuoäc tuyeán tính: traùi giaû thieát.




Ñònh nghóa 3.3.3. Heä goàm n nghieäm u1(x), u2(x), . . . , un(x) ñoäc laäp tuyeán tính treân (a, b)

cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát caáp

n

cô baûn cuûa phöông trình ñoù.

ñöôïc goïi laø heä nghieäm

Ñònh lyù 3.3.3 (Caáu truùc nghieäm cuûa phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát). Giaû söû

{u1 (x), u2 (x), . . . , un (x)} laø heä nghieäm cô baûn cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn

nhaát (3.9). Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa (3.9) coù daïng

(3.11)

u(x) = C1 u1 (x) + · · · + Cn un (x)

trong ñoù C1 , . . . , Cn laø caùc haèng soá tuyø yù.

Chöùng minh: Roõ raøng vôùi C1, . . . , Cn laø caùc haèng soá baát kyø, veá phaûi cuûa (3.11) laø nghieäm cuûa (3.9). Ngöôïc laïi, giaû söû v(x) laø nghieäm cuûa (3.9) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu (vôùi x0 ∈ (a, b) naøo ñoù) (n−1)

v(x0 ) = v0 , v
(x0 ) = v0
, . . . , v (n−1) (x0 ) = v0

ta xeùt heä phöông trình    

C1 u1 (x0 ) + · · · + Cn un (x0 ) C1 u
1 (x0 ) + · · · + Cn u
n (x0 ) ··· ··· ···    (n−1) (n−1) C1 u 1 (x0 ) + · · · + Cn un (x0 )

= v0 = v0
··· (n−1) = v0

Vì caùc u1(x), u2(x), . . . , un(x) laäp thaønh heä nghieäm cô baûn neân W (x0) = 0, töùc laø ñònh thöùc cuûa ma traän heä soá cuûa heä phöông trình treân khaùc khoâng. Vì theá, coù toàn taïi (vaø duy nhaát) caùc soá C10 , . . . , Cn0 maø laø nghieäm cuûa heä naøy. Ñaët u(x) = C10 u1(x) + · · · + Cn0 un (x)

thì u(x) cuõng u(x) ≡ v(x).

laø nghieäm cuûa (3.9) thoaû cuøng ñieàu kieän ban ñaàu nhö

v(x).

Do ñoù




Ñònh lyù 3.3.4 (Nghieäm cuûa phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát). Nghieäm toång

quaùt cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát (3.7) baèng toång cuûa moät nghieäm rieâng y0 (x) naøo ñoù cuûa noù vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng.

50

Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

Chöùng minh: Giaû söû y(x) laø nghieäm tuyø yù cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát L(y) = g vaø {u1(x), u2(x), . . . , un(x)} laø heä nghieäm côû baûn cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng. Theo giaû thieát ta coù L(y0) = g ; töø ñoù suy ra L(y − y0) = 0. Noùi caùch khaùc, y − y0 laø nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng. Theo ñònh lyù 3.3.3, toàn taïi caùc haèng soá C1, . . . , Cn sao cho y − y0 = C1 u1(x) + · · · + Cnun (x) =: u(x). Vì vaäy, y = y0 + u(x).


Ví duï: Cho phöông trình y

+ 4y = ex . Deã thaáy cos 2x vaø sin 2x laø hai nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng y

+ 4y = 0. Moät nghieäm rieâng cuûa phöông trình ñaõ cho ban ñaàu laø y0 = 15 ex . Do ñoù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø 1 y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + ex 5

trong ñoù C1, C2 laø hai haèng soá tuyø yù.

Meänh ñeà 3.3.2 (Nguyeân lyù choàng chaát nghieäm). Giaû söû y1, y2 laø nghieäm rieâng cuûa phöông trình L(y) = g1 , L(y) = g2 töông öùng. Khi ñoù y := y1 + y2

laø nghieäm rieâng cuûa phöông trình L(y) = g

vôùi g := g1 + g2 .

Nhaän xeùt: Meänh ñeà naøy giuùp ta tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình tuyeán tính khoâng

thuaàn nhaát trong tröôøng hôïp haøm g(x) ôû veá phaûi coù daïng toång cuûa caùc haøm ñôn giaûn. Ví duï: Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình y

+ y = x + cos 3x. Ta tìm caùc nghieäm rieâng cuûa caùc phöông trình y

+ y = x vaø y

+ y = cos 3x. Deã thaáy phöông trình thöù nhaát coù nghieäm rieâng laø y1 = x; coøn phöông trình thöù hai coù moät nghieäm rieâng (xem muïc 3.4.2) laø y 2 = − 18 cos 3x. Do ñoù moät nghieäm rieâng cuûa phöông trình ñaõ cho laø y =x−

1 cos 3x 8

3.3.1 Ñoàng nhaát thöùc Abel Ta seõ chæ ra sau ñaây bieãu dieãn ñôn giaûn cuûa ñònh thöùc Wronski cuûa heä nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính {u1(x), u2(x), . . . , un(x)} cuûa phöông trình thuaàn nhaát (3.9). Ñaïo haøm W (x) theo x ta coù:   u1 (x) u2 (x) 
 u1 (x) u
2 (x)  dW .. ..  = . .  (n−2) dx (n−2)  u1  (n) (x) u2 (n) (x)  u (x) u2 (x) 1

     .. ...  .   (n−2) · · · un (x)  (n) · · · un (x) 

··· ···

un (x) u
n (x)

51

3.3. Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt

(thöïc ra, veá phaûi sinh ra caùc ñònh thöùc maø coù hai doøng gioáng nhau neân baèng khoâng). Ngoaøi ra, do (n)

(n−1)

p0 uk = −p1 uk

neân coù theå vieát laïi




− · · · − pn−1 uk − pn uk

p1 dW =− W dx p0

töùc laø




x

W (x) = W (x0 ) exp{− x0

p1 dx} p0

(3.12)

ôû ñaây W (x0 ) laø giaù trò cuûa ñònh thöùc Wronski taïi x0 ∈ (a, b) naøo ñoù (p0 ñöôïc giaû söû luoân khaùc khoâng treân (a, b)). Heä thöùc (3.12) ñöôïc goïi laø ñoàng nhaát thöùc Abel 1. Töø heä thöùc naøy coù theå thaáy raèng neáu W (x) trieät tieâu duø chæ taïi moät ñieåm thì seõ ñoàng nhaát baèng khoâng.

Tìm phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát bieát heä nghieäm cô baûn cuûa noù: Ñeå ñôn giaûn, ta xeùt tröôøng hôïp PTVP caáp II. Cho tröôùc heä nghieäm cô baûn {y1, y2}, ta seõ tìm phöông trình vi phaân daïng y

+ p(x)y
+ q(x)y = 0

nhaän y1, y2 laøm nghieäm. Neáu y laø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy thì

   y1 y2 y  
 W [y1 , y2 , y] =  y1 y2
y
 = 0  y

y

y

 1 2

Khai trieån ñònh thöùc naøy theo coät cuoái ta ñöôïc:


      y1 y2
  y1 y2   y1 y2 
 − y 



 + y 



 = 0 y 
 y1 y2   y1 y2  y1 y2




3.3.2 Phöông phaùp bieán thieân haèng soá tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát Nhö ñaõ bieát, nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát baèng toång cuûa moät nghieäm rieâng cuûa noù vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng. Vaán ñeà ñaët ra laø tìm nghieäm rieâng naøy. Moät trong nhöõng phöông phaùp thöôøng duøng ñeå giaûi quyeát baøi toaùn naøy laø phöông phaùp bieán thieân haèng soá ñeå tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát bieát nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát. 1

Cuõng ñöôïc goïi laø coâng thöùc Ostrogradski−Liouville.

52

Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

Giaû söû u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø caùc nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa phöông trình thuaàn nhaát L(u) = 0

Khi ñoù, nghieäm toång quaùt cuûa noù laø u(x) = C1u1(x) + · · · + Cn un(x). Baây giôø xem caùc haèng soá C1 , C2, . . . , Cn nhö laø caùc haøm theo bieán x, ta tìm caùc haøm naøy sao cho y(x) = C1 (x)u1 (x) + · · · + Cn (x)un (x)

thoaû maõn phöông trình khoâng thuaàn nhaát (3.13) Moät caùch toång quaùt ta thay y(x) cuøng vôùi caùc ñaïo haøm ñeán caáp n cuûa noù vaøo phöông trình treân ñeå tìm caùc haøm Cj (x). Vì ta chæ coù moät phöông trình vi phaân trong khi coù n aån laø caùc haøm Cj (x) neân ta coù theå choïn theâm n − 1 heä thöùc khaùc giöõa caùc Cj (x) mieãn laø ñuû ñeå giaûi caùc haøm naøy. Cuï theå, ta seõ choïn caùc Cj (x) thoaû n − 1 heä thöùc sau: L(y) = y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn−1 (x)y
+ pn (x)y = g(x)

   

C1
u1 (x) + · · · + Cn
un (x)

C1 u1 (x) + · · · + Cn
u
n (x) ··· ··· ···   
(n−2)
(n−2) C1 u 1 (x) + · · · + Cn un (x)

=0 =0 ··· =0

Vaø khi ñoù, caùc ñaïo haøm cuûa y trôû thaønh y
= C1 u
1 (x) + · · · + Cn u
n (x), y

= C1 u

1 (x) + · · · + Cn u

n (x), · · ·················· (n−1) (n−1) (n−1) y = C1 u 1 (x) + · · · + Cn un (x)

Vì theá

(n)

y (n) = C1 u1 (x) + · · · + Cn u(n) n (x) (n−1)

+ C1
u1

(x) + · · · + Cn
u(n−1) (x) n

(∗)

Nhö vaäy, y seõ thoaû phöông trình (3.13) mieãn laø (n−1)

C1
u1

(x) + · · · + Cn
u(n−1) (x) = g(x) n

(∗∗)

Vì caùc haøm u1(x), u2(x), . . . , un(x) laø ñoäc laäp tuyeán tính neân heä n phöông trình (∗) vaø (∗∗) ñuû ñeå xaùc ñònh duy nhaát C1
(x), . . . , Cn
(x) theo u1 (x), u2 (x), . . . , un (x). Töø ñoù ta tìm ñöôïc C1(x), . . . , Cn(x). Ví duï: (n = 2) Cho phöông trình y

+ p(x)y
+ q(x)y = g(x) y1 , y2 laø hai nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính treân khoaûng I cuûa phöông trình y

+ p(x)y + q(x)y = 0. Tìm nghieäm rieâng döôùi daïng y r = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x). Ta coù yr
= C1
y1 + C1 y1
+ C2
y2 + C2 y2
. Ta choïn C1 , C2 sao cho tröôùc heát:

Giaû söû


C1
y1 + C2
y2 = 0

53

3.4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng

Khi ñoù yr

= C1
y1
+ C2
y2
+ C1 y1

+ C2 y2

. Thay vaøo phöông trình ñaõ cho ta coù: C1
y1
+ C2
y2
= g(x)

Do ñoù ta coù heä



C1
y1 + C2
y2 = 0 C1
y1
+ C2
y2
= g(x)

Giaûi heä naøy vôùi aån laø C1
, C2
ta ñöôïc C1
= −

y2 g W [y1 , y2 ]

vaø C1 =

y1 g W [y1 , y2 ]

trong ñoù W [y1, y2] = y1y2
− y1
y2 luoân khaùc khoâng treân I . Tích phaân caùc phöông trình naøy ta thu ñöôïc nghieäm rieâng


yr (x) = −y1 (x)

y2 g dx + y2 (x) W [y1 , y2 ]




y1 g dx W [y1 , y2]

3.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng Trong muïc naøy ta xeùt caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính vôùi heä soá laø caùc haèng soá. Daïng toång quaùt cuûa chuùng laø (3.14)

y (n) + A1 y (n−1) + · · · + An−1 y
+ An y = g(x)

vaø daïng thuaàn nhaát töông öùng (3.15)

y (n) + A1 y (n−1) + · · · + An−1 y
+ An y = 0

3.4.1 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát heä soá haèng Ta vieát laïi phöông trình (3.15) döôùi daïng toaùn töû (D n + A1 D n−1 + · · · + An−1 D + An )y = 0

vôùi D nhö thöôøng leä kyù hieäu cho toaùn töû (aùnh xaï) tuyeán tính caùc nghieäm (phöùc) cuûa phöông trình λn + A1 λn−1 + · · · + An−1 λ + An = 0

d . dx

(3.16) Goïi kj , j = 1, n laø (3.17)

maø ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa (3.15). Khi ñoù, moät caùch hình thöùc coù theå vieát (3.16) döôùi daïng (do tính chaát giao hoaùn cuûa D vaø pheùp nhaân vôùi haèng soá) (D − k1 )(D − k2 ) . . . (D − kn )y = 0

54

Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

Phöông trình naøy ñöôïc thoaû maõn ñoái vôùi moãi nghieäm cuûa caùc phöông trình vi phaân baäc nhaát sau (D − k1 )y = 0, (D − k2 )y = 0, . . . , (D − kn )y = 0

Nghieäm toång quaùt cuûa moãi phöông trình naøy laø yj = Cj ekj x

Boå ñeà 3.4.1. Taäp caùc haøm ek x , ek x , . . . , ek x laø ñoäc laäp tuyeán tính treân R neáu caùc kj 1

2

n

khaùc nhau töøng ñoâi moät.

Chöùng minh: Ñònh thöùc Wronski cuûa n haøm naøy laø   ek1 x ek2 x ···  k2 x  k1 ek1 x k e ··· 2  W (x) =  . . ... .. ..   n−1 k1 x n−1 k2 x k1 e k2 e ···   1 1   k1 k2  = e(k1 +···+kn )x  .. ..  . .  n−1 n−1 k1 k2 = e(k1 +···+kn )x

     ..  .  n−1 kn x  kn e  ··· 1  · · · kn  . . . ...   · · · knn−1  ekn x kn ekn x

(ki − kj ) = 0 i>j

(ñeå yù ñònh thöùc sau cuøng laø ñònh thöùc Vandermon).

Heä quaû 3.4.2. Neáu caùc trình (3.15) laø

kj




khaùc nhau töøng ñoâi moät thì nghieäm toång quaùt cuûa phöông y = C1 ek1 x + · · · + Cn ekn x

Tröôøng hôïp phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm phöùc: Giaû söû caùc heä soá A1 , . . . , An ñeàu thöïc vaø phöông trình ñaëc tröng (3.17) coù nghieäm phöùc kr = α + iβ . Khi ñoù noù cuõng coù nghieäm phöùc ks = α − iβ maø laø lieân hôïp phöùc vôùi kr . Vì vaäy, duøng heä thöùc Euler, ta coù Cr ekr x + Cs eks x = eαx {Cr (cos βx + i sin βx) + Cs (cos βx + i sin βx)} = eαx (C˜r cos βx + C˜s sin βx)

trong ñoù C˜r , C˜s laø nhöõng haèng soá tuyø yù (coù theå phöùc). Ví duï: Xeùt phöông trình y

− 2y
+ 5y = 0, phöông trình ñaëc tröng λ2 − 2λ + 5 = 0 coù hai nghieäm phöùc lieân hôïp laø k1,2 = 1 ± 2i. Do ñoù nghieäm toång quaùt laø y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x).

3.4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng

55

Tröôøng hôïp phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm boäi: Neáu phöông trình ñaëc tröng nhaän a laø nghieäm (thöïc) boäi m, khi ñoù veá traùi cuûa phöông trình (3.16) chöùa nhaân töû daïng (D − a)m . Ta xeùt phöông trình vi phaân caáp m töông öùng (D − a)m y = 0

Nghieäm cuûa phöông trình naøy coù theå tìm döôùi daïng y = eax V (x)

trong ñoù V (x) laø haøm caàn xaùc ñònh. Ta coù: (D − a)m eax V (x) = (D − a)m−1 eax DV (x) = (D − a)m−2 eax D 2 V (x) = · · · = eax D m V (x)

Do ñoù y = eax V (x) laø nghieäm cuûa (3.15) neáu D mV (x) = 0. Vaäy V (x) phaûi laø ña thöùc baäc m − 1 theo x vaø nghieäm caàn tìm laø y = (C1 + C2 x + · · · + Cm xm−1 )eax

Trong tröôøng hôïp nghieäm boäi a = α + iβ laø soá phöùc thì phöông trình ñaëc tröng (giaû söû caùc heä soá ñeàu thöïc) cuõng coù nghieäm boäi laø α − iβ vôùi cuøng soá boäi nhö a. Khi ñoù ta khi ñoù veá traùi cuûa phöông trình (3.16) chöùa nhaân töû daïng (D − α + iβ)m(D − α − iβ)m . Laäp luaän töông töï ta cuõng tìm ñöôïc nghieäm laø
m−1 ax x )e sin βx y = (C1 + C2 x + · · · + Cm xm−1 )eax cos βx + (C1
+ C2
x + · · · + Cm

vôùi 2m haèng soá tuyø yù. Ví duï: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình y (4) + 2y

+ y = 0 laø y = (C1 + C2x) cos x + (C3 + C4 x) sin x.

3.4.2 Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát: Trong muïc tröôùc ta ñaõ bieát caùch tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát baèng phöông phaùp bieán thieân haèng soá töø caùc nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng. Trong moät soá tröôøng hôïp maø haøm g(x) ôû veá phaûi cuûa phöông trình (3.14) coù daïng ñaëc bieät, ta coù theå tìm ñöôïc nghieäm rieâng cuûa noù theo phöông phaùp sau ñaây (taïm goïi laø phöông phaùp heä soá baát ñònh).

Tröôøng hôïp I: g(x) = eαx Pm (x) (ôû ñaây Pm (x) laø ña thöùc baäc m) a) Neáu α khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieâng coù theå tìm döôùi daïng yr = eαx Qm (x)

56

Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

b) Neáu α laø nghieäm boäi k cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieâng coù theå tìm döôùi daïng yr = xk eαx Qm (x)

trong ñoù Qm (x) laø ña thöùc toång quaùt baäc m maø ta phaûi xaùc ñònh caùc heä soá cuûa noù. Ví duï: Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình y

− 3y
+ 2y = (3 − 4x)ex

Phöông trình ñaëc tröng laø

λ2 − 3λ + 2 = 0

coù hai nghieäm laø λ1 = 1 vaø λ2 = 2, trong ñoù α = 1 laø nghieäm ñôn cuûa noù neân nghieäm rieâng coù daïng yr = xex (Ax + B)

Thay vaøo phöông trình ñaõ cho vaø caân baèng caùc heä soá ta thu ñöôïc heä 

−2A = 4 2A − B = 1

Giaûi ra ta ñöôïc A = 2 vaø B = 1, khi ñoù nghieäm rieâng laø yr = xex (2x + 1). Cuoái cuøng, nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y = C1ex + C2e2x + xex (2x + 1).

Tröôøng hôïp II: g(x) = eαx {P (x) cos βx + Q(x) sin βx} (ôû ñaây P (x), Q(x) laø hai ña thöùc naøo ñoù) a) Neáu α + iβ khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieâng coù theå tìm döôùi daïng yr = eαx {R(x) cos βx + S(x) sin βx}

b) Neáu α + iβ laø nghieäm boäi k cuûa phöông trình ñaëc tröng thì nghieäm rieâng coù theå tìm döôùi daïng yr = xk eαx {R(x) cos βx + S(x) sin βx}

trong ñoù R(x), S(x) laø hai ña thöùc coù baäc baèng max{deg(P ), deg(Q)} maø caùc heä soá cuûa chuùng ñöôïc tìm nhôø phöông phaùp heä soá baát ñònh. Ví duï: Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình y

+ y = 4x sin x Phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm laø ±i vaø α + iβ = i laø nghieäm ñôn (boäi 1) cuûa noù neân nghieäm rieâng coù daïng yr = x[(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x]

3.4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng

57

Thay vaøo phöông trình ñaõ cho vaø caân baèng caùc heä soá ta ñöôïc   A = −1 −2A = 2       B=0 C−B =0 ⇔ C=0 D + A = 0       D=1 2C = 0

Vì theá, nghieäm rieâng laø yr = x(−x cos x + sin x) vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y = C1 cos x + C2 sin x + x(sin x − x cos x)

Chuù yù: Neáu g(x) khoâng coù caùc daïng ñaëc bieät treân nhöng coù theå vieát thaønh g(x) = g1 (x) + · · · + gm (x)

maø moãi gj coù daïng ñaëc bieät nhö treân thì ta tìm nghieäm rieâng döôùi daïng yr = y1 + · · · + y2

trong ñoù yj laø nghieäm rieâng töông öùng vôùi gj . Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình y

− y
= 5ex − sin 2x. Ta laàn löôït tìm nghieäm rieâng cuûa caùc phöông trình y

− y
= 5ex vaø y

− y
= − sin 2x theo phöông phaùp treân. Keát quaû ta ñöôïc hai nghieäm rieâng laø y1 = 5xex vaø 1 1 y2 = sin 2x− cos 2x. Do ñoù nghieäm rieâng cuûa phöông trình ñaõ cho laø yr = y1 +y2 = 5 10 1 1 cos 2x. 5xe + sin 2x − 5 10 x

58

Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

BAØI TAÄP 1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân caáp cao sau ñaây: (a) (b) (c) (d) (e)





x − ey + y

= 0 y
2 + 2yy

= 0 y
y

= x − x

2 2 y +x =1 y

= ay
(1 + y
2 )

2. Giaûi caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp II bieát moät nghieäm rieâng cuûa noù (a) (b) (c)

x2 (ln x−1)y

−xy
+y = 0, bieát raèng noù coù moät nghieäm rieâng daïng y(x) = xα (2x − x2 )y

+ (x2 − 2)y
+ 2(1 − x)y = 0, coù moät nghieäm rieâng daïng y(x) = ex (2x − x2 )y

+ 2(x − 1)y
− 2y = −2, y1 (x) = 1 vaø y2 (x) = x

y(1) = 0, y
(1) = 1,

bieát raèng noù

bieát raèng noù coù hai nghieäm rieâng daïng

(HD: Neáu phöông trình thuaàn nhaát y

+ p(x)y
+ q(x)y = 0 coù moät nghieäm rieâng khaùc khoâng y
1(x) thì moät nghieäm rieâng khaùc ñoäc laäp tuyeán tính vôùi y1(x) laø 1 −
p(x)dx e y2 (x) = y1 (x) dx) 2 y1 (x)

3. Giaûi caùc phöông trình tuyeán tính heä soá haèng sau ñaây (a) (b) (c) (d) (e) (f)

y

− 7y
+ 6y = sin x y

+ 9y = 6e3x y

− 9y
+ 20y = x2 e4x y

− 3y
= e3x − 18x y

+ y = x2 cos2 x − 18x y

− 4y
+ 4y = e2x cos2 x

4. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân sau ñaây: (a) (b) (c) (d)

ex ex + 1 y

+ y = tan x y

− y =

√ y

+ 2y
+ y = 3e−x x + 1 1 y

+ 5y
+ 6y = 2x e +1

5. Tìm phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát caáp II bieát heä nghieäm cô baûn: (a)

{x3 , x4 }

59

3.4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng

(b)

{x, xex }

6. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc phöông trình vi phaân sau ñaây: (a) (b) (c)

y


− 4y

− y
+ 4y = 0 y (4) − 5y

+ 4y = 0 y


− 2y
+ 4y = 0

7. Giaûi caùc baøi toaùn giaù trò ban ñaàu (a) (b) (c)

y

− 4y = −7e2x + x,

vôùi y(0) = 1, y
(0) = 3 y

+ 4y = 34 cos x + 8, vôùi y(0) = 3, y
(0) = 2 y

+ y = 5 sin2 x, vôùi y(0) = 2, y
(0) = −4

8. Vôùi caùc giaù trò naøo cuûa caùc soá thöïc a, b thì phöông trình y

+ ay
+ by = 0

(a) (b) (c) (d)

coù moïi nghieäm trieät tieâu taïi ∞ coù moïi nghieäm giôùi noäi treân (0, +∞) coù moïi nghieäm tuaàn hoaøn treân R moãi nghieäm ñeàu coù voâ soá khoâng ñieåm.


9. Chöùng toû raèng vôùi pheùp ñoåi aån y = ze− p(x)dx coù theå ñöa phöông trình p(x)y
+ q(x)y = 0 veà daïng z

+ Q(x)z = 0. AÙp duïng vaøo giaûi phöông trình y

− 2xy
+ x2 y = 0 1 2

y

+

60

Chöông 3. Phöông trình vi phaân caáp cao

Chöông 4 Heä phöông trình vi phaân caáp I Trong chöông naøy ta seõ nghieân cöùu caùc heä phöông trình vi phaân caáp I, ñaëc bieät laø caùc heä phöông trình vi phaân tuyeán tính maø caáu truùc nghieäm cuûa noù töông töï nhö tröôøng hôïp phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao.

4.1 Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt. 4.1.1 Caùc ñònh nghóa: Heä phöông trình vi phaân toång quaùt laø heä goàm caùc phöông trình chöùa bieán ñoäc laäp,

caùc haøm (nghieäm) caàn tìm vaø nhaát thieát phaûi chöùa caùc ñaïo haøm cuûa chuùng theo bieán ñoäc laäp. Neáu chæ xuaát hieän caùc ñaïo haøm caáp I cuûa caùc aån, ta noùi heä ñoù laø heä phöông trình vi phaân caáp I. Ta noùi moät heä goàm n phöông trình vi phaân caáp I laø coù daïng chuaån taéc (daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm) neáu coù theå vieát döôùi daïng:  dy 1  = f1 (x, y1 , . . . , yn )    dx      dy2 = f2 (x, y1 , . . . , yn ) dx    ·····················    dyn    = fn (x, y1 , . . . , yn ) dx

trong ñoù x laø bieán ñoäc laäp, y1, . . . , yn laø caùc aån caàn tìm. Heä phöông trình chuaån taéc treân coù theå vieát laïi döôùi daïng thu goïn nhö sau y
= f (x, y)

(4.1)

(4.2)

trong ñoù y = (y1, . . . , yn)T , y
= (y1
, . . . , yn
)T vaø f = (f1, . . . , fn )T . Ñònh nghóa 4.1.1. Moãi nghieäm cuûa heä (4.1) laø moät boä goàm n haøm y1 = ϕ1 (x), . . . , ϕn (x) khaû vi lieân tuïc treân khoaûng I ⊂ R maø khi thay vaøo (4.1) thì ñöôïc ñaúng thöùc ñuùng.

62

Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I

4.1.2 Lieân heä giöõa heä phöông trình vaø phöông trình vi phaân caáp cao: Vôùi moät soá giaû thieát naøo ñoù, vieäc giaûi heä phöông trình (4.1) coù theå ñöa veà giaûi phöông trình vi phaân caáp cao döïa treân phöông phaùp khöû sau ñaây. Ñaïo haøm hai veá cuûa phöông trình ñaàu tieân cuûa heä (4.1), ta ñöôïc y1

=

∂f1 ∂f1
∂f1
y1 + · · · + y + ∂x ∂y1 ∂yn n

Thay caùc yj
bôûi caùc bieåu thöùc cuûa noù, ta coù theå vieát y1

nhö laø haøm cuûa x, y1, . . . , yn y1

= F1 (x, y1 , . . . , yn )

Laïi laáy ñaïo haøm hai veá ñaúng thöùc naøy theo x, ta coù ∂F1 ∂F1
∂F1
+ y1 + · · · + y ∂x ∂y1 ∂yn n =: F2 (x, y1 , . . . , yn )

y1


=

Tieáp tuïc quaù trình treân cho ñeán ñaïo haøm caáp n cuûa y1 ta ñöôïc heä   y1
= f1 (x, y1 , . . . , yn )      y1

= F1 (x, y1 , . . . , yn )

·····················       y1(n) = Fn−1 (x, y1 , . . . , yn )

Trong heä naøy ta xeùt n − 1 phöông trình ñaàu tieân vôùi n − 1 aån laø y2, . . . , yn. Vôùi moät vaøi ñieàu kieän naøo ñoù (ñeå giaû thieát cuûa ñònh lyù haøm ngöôïc ñöôïc thoaû maõn) ta coù theå giaûi ñöôïc (duy nhaát) caùc y2, . . . , yn nhö laø haøm theo caùc bieán x, y1, y1
, . . . , y1(n−1). Thay bieåu thöùc cuûa chuùng vaøo phöông trình cuoái cuøng cuûa heä, ta coù (n)

(n−1)

y1 = Fn (x, y1 , y1
, . . . , y1

)

Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp n daïng ñaõ giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm. Giaûi phöông trình naøy ñeå tìm y1, roài tính caùc ñaïo haøm y1
, . . . , y1(n−1). Töø ñoù ta tính ñöôïc caùc y2, . . . , yn. Ngöôïc laïi, cho tröôùc phöông trình vi phaân caáp n daïng y (n) = f (x, y, y
, . . . , y (n−1) )

ta coù theå ñöa veà moät heä phöông trình vi phaân caáp I daïng chuaån taéc baèng caùch ñaët
y1 = y, yj = yj−1


y = y2    1
y2 = y3 ···············   
yn = f (x, y1, y2 , . . . , yn )

63

4.1. Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt.

Ví duï: Giaûi heä sau

dx dy = y, =x dt dt

Ñaïo haøm hai veá cuûa phöông trình ñaàu roài keát hôïp vôùi phöông trình sau ta ñöôïc phöông trình 2 töø ñoù nghieäm toång quaùt laø

dx −x=0 dt2

x = x(t) = C1 e−t + C2 et

ø Töøø phöông trình thöù nhaát ta tính ñöôïc y = y(t) = −C1 e−t + C2 et

4.1.3 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm Ñoái vôùi heä phöông trình vi phaân caáp I, baøi toaùn Cauchy ñöôïc phaùt bieåu moät caùch töông töï nhö tröôøng hôïp moät phöông trình: Tìm nghieäm y 1(x), . . . , yn (x) cuûa heä (4.1) thoaû

ñieàu kieän ban ñaàu

yj (x0 ) = yj0 ,

(4.3)

j = 1, 2, . . . , n

trong ñoù caùc giaù trò x0 ∈ I, y10, . . . , yn0 cho tröôùc, goïi laø giaù trò ban ñaàu. Ñeå yù raèng khoâng phaûi bao giôø ñònh lyù Cauchy cuõng coù (duy nhaát ) nghieäm. Ñònh lyù sau ñaây giaûi quyeát baøi toaùn naøy ñoái vôùi heä chuaån taéc.

Ñònh lyù 4.1.1 (Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm). Giaû söû caùc haøm f1 (x, y), . . . , fn (x, y)

trong (4.1) laø lieân tuïc treân moät taäp môû G ⊂ Rn+1 chöùa (x0 , y10, . . . , yn0 ) vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz theo bieán y . Khi ñoù trong moät laân caän naøo ñoù cuûa x0 coù toàn taïi moät nghieäm y1 (x), . . . , yn (x) thoaû baøi toaùn Cauchy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu ñaõ cho vaø nghieäm ñoù laø duy nhaát.

Chöùng minh: : Vieát laïi heä döôùi daïng

dy = f (x, y), dx

trong ñoù y := (y1, . . . , yn)T vaø f := (f1 , . . . , fn )T vaø laäp laïi caùc böôùc chöùng minh nhö trong ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát cho phöông trình vi phaân caáp I.


Nhaän xeùt: Thay cho ñieàu kieän Lipschitz ta coù theå yeâu caàu (maïnh hôn) raèng haøm

coù caùc ñaïo haøm rieâng theo bieán y bò chaën. Ñònh nghóa 4.1.2. Giaû söû taäp G thoaû maõn taát caû caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù 4.1.1. Khi ñoù n haøm f (x, y)

yj = yj (x, C1 , . . . , Cn )

phuï thuoäc vaøo

j = 1, 2, . . . , n

tham soá C1, . . . , Cn vaø coù caùc ñaïo haøm rieâng theo nghieäm toång quaùt cuûa heä (4.1) neáu: n

(∗) x

ñöôïc goïi laø

64

Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I •

Vôùi moãi (x0 , y10, . . . , yn0 ) trong G, töø heä (∗) coù theå giaûi ñöôïc (duy nhaát ) caùc haèng soá C1, . . . , Cn .

•

Taäp hôïp n haøm trong (∗) laø nghieäm cuûa heä (4.1) vôùi moãi boä giaù trò cuûa caùc tham soá C1, . . . , Cn giaûi ra ñoái vôùi moãi (x, y1, . . . , yn) ∈ G.

Ñònh nghóa 4.1.3. Nghieäm cuûa heä maø taïi moãi ñieåm cuûa noù thoaû maõn caùc ñieàu kieän cuûa ñònh lyù 4.1.1 ñöôïc goïi laø nghieäm rieâng cuûa heä. Ngöôïc laïi, nghieäm cuûa heä maø tính chaát duy nhaát nghieäm bò vi phaïm ñöôïc goïi laø nghieäm kyø dò.

Ví duï: Kieåm tra raèng heä caùc haøm 

y1 (x) = C1 e−x + C2 e−3x y2 (x) = C1 e−x + 3C2 e−3x + cos x

laø nghieäm toång quaùt cuûa heä 

y1
(x) = −y2 + cos x y2
(x) = 3y1 − 4y2 + 4 cos x − sin x

Ta coù f1 (x, y1, y2) = −y2 + cos x vaø f2 (x, y1, y2) = 3y1 − 4y2 + 4 cos x − sin x, do ñoù chuùng coù caùc ñaïo haøm rieâng lieân tuïc treân R3. Vôùi moãi (x, y1, y2) ∈ R3 , ta luoân coù theå giaûi ñöôïc (duy nhaát) caùc C1, C2, cuï theå 

C1 = 12 ex (3y1 − y2 + cos x) C2 = 12 e−3x (y2 − y1 − cos x

Ngoaøi ra, töø caùc haøm ñaõ cho, ta coù 

y1
(x) = −C1 e−x − 3C2 e−3x y2
(x) = −C1 e−x − 9C2 e−3x − sin x

neân chuùng thöïc söï laø nghieäm cuûa heä noùi treân.

4.1.4 Caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình vi phaân: Ñöa heä veà phöông trình caáp cao:

Nhôø moái lieân heä chaët cheõ giöõa heä phöông trình vi phaân caáp I vaø phöông trình vi phaân caáp cao, ta coù theå ñöa vieäc giaûi heä phöông trình vi phaân veà giaûi phöông trình vi phaân caáp cao, nhö ví duï treân. Ta xeùt moät ví duï khaùc Ví duï: Tìm nghieäm cuûa heä chuaån taéc 

y1
= −y2 + cos x y2
= 3y1 − 4y2 + 4 cos x − sin x

65

4.1. Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt.

Ta ñöa heä phöông trình ñaõ cho veà phöông trình vi phaân caáp II vôùi aån laø y1. Ñaïo haøm hai veá phöông trình ñaàu tieân ta ñöôïc y1

= −y2
− sin x = −(3y1 − 4y2 + 4 cos x − sin x) = −3y1 + 4y2 − 4 cos x

Thay y2
töø phöông trình thöù II ta ñöôïc: y1

+ 4y1
− 3y1 = 0

Phöông trình thuaàn nhaát naøy coù nghieäm toång quaùt laø y1 = C1 e−x + C2 e−3x

Töø phöông trình thöù nhaát ta tìm ñöôïc y2 = C1 e−x + 3C2 e−3x + cos x

Heä goàm y1, y2 cho nghieäm (toång quaùt) cuûa heä phöông trình treân.

Phöông phaùp laäp toå hôïp tích phaân: Cho heä phöông trình vi phaân caáp I dyi = fi (x, y1 , . . . , yn ), dx

vôùi

i = 1, 2, . . . , n

Ñeå giaûi heä naøy ta coù theå tìm moät phöông trình heä quaû (chaúng haïn toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc phöông trình treân) cuûa heä ñaõ cho, deã laáy tích phaân hôn, vaø ñöôïc goïi laø toå hôïp tích phaân cuûa heä phöông trình ñaõ cho. Ví duï: Baèng caùch laäp toå hôïp tích phaân, giaûi heä sau dy dx = y, =x dt dt

Laáy hai phöông trình ñaõ cho coäng vaø tröø vôùi nhau ta ñöôïc d(x + y) =x+y dt

vaø

d(x − y) = −(x − y) dt

Giaûi töøng phöông trình, ta thu ñöôïc heä x + y = C1 et

vaø

x − y = C2 e−t

Vaø töø ñaây ta tìm ñöôïc nghieäm x(t), y(t). Nhaän xeùt: Moãi toå hôïp tích phaân coù theå vieát döôùi daïng Φ(x, y1 , . . . , yn ) = C

66

Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I

vaø phöông trình naøy (hoaëc veá traùi cuûa noù) ñöôïc goïi laø tích phaân ñaàu cuûa heä. Neáu tìm ñöôïc k toå hôïp tích phaân cuûa heä  Φ1 (x, y1 , . . . , yn ) = C1      Φ2 (x, y1 , . . . , yn ) = C2

................................      Φk (x, y1 , . . . , yn ) = Ck

vaø neáu k tích phaân ñaàu naøy ñoäc laäp, thì coù theå ñöa veà giaûi heä n − k phöông trình. Tröôøng hôïp k = n, khi ñoù n tích phaân ñaàu ñoäc laäp cho ta nghieäm toång quaùt cuûa heä. Ví duï: Tích phaân heä phöông trình sau ñaây dy = x − z, dt

dx = z − y, dt

dz =y−x dt

Coäng caùc phöông trình vôùi nhau ta ñöôïc

d(x + y + z) =0 dt

Phöông trình naøy cho moät tích phaân ñaàu laø ϕ1 = x + y + z = C1

Baây giôø nhaân caùc phöông trình vôùi x, y, z laàn löôït roài coäng laïi, ta ñöôïc d(x2 + y 2 + z 2 ) =0 dt

töø ñaây ta cuõng thu ñöôïc tích phaân ñaàu ϕ2 = x2 + y 2 + z 2 = C2

Ta deã kieåm tra raèng ϕ3 = xy + yz + yx = C3 cuõng laø moät tích phaân ñaàu nhöng boä ba goàm caùc tích phaân ñaàu ϕ1, ϕ2, ϕ3 khoâng ñoäc laäp tuyeán tính neân khoâng theå cho nghieäm toång quaùt cuûa heä. Baây giôø töø hai tích phaân ñaàu ñaàu tieân, ta giaûi ñeå tìm x, y :    1 2 x= C1 − z − 2C2 − C1 + 2C1 z − 3z 2 2    1 y= C1 − z + 2C2 − C12 + 2C1 z − 3z 2 2

Thay caùc bieåu thöùc naøy vaøo phöông trình cuoái ta tìm ñöôïc nghieäm

dz = dt



2C2 − C12 + 2C1 z − 3z 2

arcsin

3z − C1 6C2 − 2C12

−

√

3t = C3

Keát hôïp vôùi hai tích phaân ñaàu ϕ1, ϕ2 ta tìm ñöôïc nghieäm toång quaùt cuûa heä.

67

4.2. Moät soá ñònh lyù cô baûn cuûa phöông trình vi phaân

4.2 Moät soá ñònh lyù cô baûn cuûa phöông trình vi phaân 4.2.1 Söï toàn taïi nghieäm: Trong ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy, ñieàu kieän Lipschitz khoâng theå boû ñöôïc. Ñònh lyù sau ñaây khaúng ñònh söï toàn taïi (nhöng khoâng duy nhaát!) cuûa nghieäm khoâng duøng ñieàu kieän Lipschitz.

Ñònh lyù 4.2.1 (Peano). Xeùt hình hoäp A = {(x, y) ∈ R × Rn /|x − x0| ≤ a, ||y − y0|| ≤ b}

vaø giaû söû f : A → Rn lieân tuïc. Ñaët M = maxA ||f (x, y)|| vaø α = min(a, b/M). Khi ñoù baøi toaùn Cauchy y
= f (x, y), y(x0 ) = y0 coù ít nhaát moät nghieäm treân [x0 − α, x0 + α].

Nhaän xeùt: Tröôùc heát haõy löu yù raèng ta khoâng theå söû duïng phöông phaùp laëp Picard vì khoâng coù lyù do baûo ñaûm daõy xaáp xæ ñoù hoäi tuï. Thay vaøo ñoù, ngöôøi ta xaây döïng caùc nghieäm xaáp xæ (ñòa phöông) bôûi tieáp tuyeán cuûa noù y(x + h) ∼ = y(x) + h.f (x, y(x))

Vôùi h cho tröôùc ta xaây döïng daõy {xn , yn}n≥0 xaùc ñònh bôûi: (4.4) Ta goïi yh(x) laø haøm tuyeán tính töøng khuùc qua caùc ñieåm (xn , yn); ñoà thò cuûa noù ñöôïc goïi laø ña giaùc Euler. yn+1 = yn + hf (xn , yn ),

xn+1 = xn + h.

Boå ñeà 4.2.2. Vôùi caùc giaû thieát trong ñònh lyù 4.2.1 vaø vôùi h := α/N (N

Euler thoaû (x, yh (x)) ∈ A vôùi moïi x ∈ [x0 , x0 + α]. Ngoaøi ra, ||yh(x) − yh (x
)|| ≤ M|x − x
| vôùi moïi x, x
∈ [x0 , x0 + α]

∈ N),

ña giaùc

Chöùng minh: Qui naïp theo n. Giaû söû ñieàu ñoù ñuùng vôùi n, ta coù ||yn+1 − yn || ≤ hM

neân, vôùi n + 1 ≤ N ta ñeâu coù ||yn+1 − y0 || ≤ (n + 1)hM ≤ αM ≤ b

Ñieàu naøy chöùng toû (x, yh (x)) ∈ A vôùi moïi x ∈ [x0 , x0 + α]. Baát ñaúng thöùc trong meänh ñeà laø hieån nhieân ñuùng vì yh(x) laø tuyeán tính töøng khuùc vaø coù “heä soá goùc” bò chaën bôûi M .
Ñeå chöùng minh ñònh lyù ta caàn khaùi nieäm sau: Ñònh nghóa 4.2.1. Hoï haøm fλ : I → Rn ñöôïc goïi laø ñoàng lieân tuïc neáu vôùi moïi  > 0, coù toàn taïi moät δ > 0 (khoâng phuï thuoäc vaøo caû  laãn λ) sao cho ∀λ, ∀x, x
(|x − x
| < δ =⇒ ||fλ(x) − fλ (x
)|| < )

Ñònh lyù 4.2.3 (Arzela−Ascoli). Cho hoï caùc haøm fλ

chaën ñeàu treân [a, b]. Khi ñoù hoï haøm {fλ } coù chöùa moät haøm g(x) lieân tuïc treân [a, b].

Chöùng minh: Xem giaùo trình giaûi tích haøm.

: [a, b] → Rn ñoàng lieân tuïc vaø bò moät daõy con {gn(x)} hoäi tuï ñeàu ñeán

68

Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I

Chöùng minh ñònh lyù Peano: Xeùt ña giaùc Euler yh(x) vôùi h = α/N , Daõy naøy bò chaën vaø ñoàng lieân tuïc (theo Boå ñeà 4.2.2) neân theo ñònh lyù Arzela−Ascoli, hoï haøm y h(x) coù chöùa moät daõy con hoäi tuï ñeàu veà haøm lieân tuïc y : [a, b] → Rn Ta chæ ra raèng haøm giôùi haïn naøy chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy. Ta xeùt x ∈ [x0 , x0 + α] (treân [x0 − α, x0 ] ta xeùt töông töï), kyù hieäu k = k(h) laø chæ soá sao cho x ∈ [xk , xk+1 ], vôùi xk = x0 + kh. Khi ñoù, treân ñoaïn con naøy ta coù yh (x) − y0 = hf (x0 , y0) + · · · + hf (xk−1 , yk−1) + (x − xk )f (xk , yk )

vôùi caùc caëp giaù trò (xj , yj ) laø caùc xaáp xæ baèng phöông phaùp Euler (xem (4.4)). Vì f lieân tuïc neân khaû tích, vaø coù theå vieát


x

f (t, y(t))dt = hf (x0 , y(x0)) + · · · + hf (xk−1 , y(xk−1)) + (x − xk )f (xk , y(xk )) + r(h)

x0

vôùi r(h) → 0 khi h → 0. Tính lieân tuïc ñeàu cuûa f treân A vaø söï hoäi tuï ñeàu cuûa daõy con cuûa {yh (x)} ñeán y(x) cho pheùp ta ñaùnh giaù ||f (x, yh(x)) − f (x, y(x))|| < 

vôùi h ñuû beù. Khi ñoù töø caùc ñaúng thöùc treân ta coù 
 yh (x) − y0 − 

x x0

  f (t, y(t))dt ≤ |x − x0 | + ||r(h)|| ≤ α + ||r(h)||

Cho h → 0 ta thaáy haøm y(x) thoaû maøn phöông trình tích phaân


x

y(x) = y0 +

f (t, y(t))dt x0

maø nghieäm cuûa noù chính laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn Cauchy.




Nhaän xeùt: Ñònh lyù Peano hoaøn toaøn khoâng chöùa thoâng tin veà söï duy nhaát nghieäm.

4.2.2 Thaùc trieån nghieäm vaø söï toàn taïi toaøn cuïc: Ta quan taâm ñeán baøi toaùn keùo daøi nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy y(x0 ) = y0 .

Ñònh nghóa 4.2.2. Haøm

vôùi

laø môû trong R × Rn ) ñöôïc goïi laø thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông treân U neáu taïi moãi (x 0 , y0) ∈ U ñeàu toàn taïi laân caän V ⊂ U sao cho f thoaû ñieàu kieän Lipschitz treân V . f : U → Rn

(vôùi

y
= f (x, y)

U

Nhaän xeùt: Neáu haøm f lôùp C 1 treân U thì thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông.

69

4.3. Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính

Boå ñeà 4.2.4. Neáu f

lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông treân U thì vôùi moïi (x0 , y0 ) ∈ U ñeàu toàn taïi moät khoaûng môû Imax = (ω , ω+ )  x0 sao cho: :→ Rn

•

Baøi toaùn Cauchy y
= f (x, y) vôùi y(x0 ) = y0 coù nghieäm duy nhaát treân Imax

•

Neáu z : I → Rn laø moät nghieäm naøo ñoù cuûa baøi toaùn Cauchy naøy thì I ⊂ Imax vaø z = y|I .

Chöùng minh: Chæ caàn ñaët

môû chöùa x0 vaø baøi toaùn Cauchy coù nghieäm treân I} Sau ñoù xaùc ñònh haøm y : Imax → Rn theo caùch sau: Vôùi x ∈ Imax , x phaûi thuoäc moät I naøo ñoù, maø treân ñoù baøi toaùn Cauchy coù nghieäm. Khi ñoù, ta gaùn y(x) bôûi giaù trò cuûa nghieäm ñoù taïi x. Phaàn coøn laïi, ta caàn chæ ra nghieäm nhö theá laø xaùc ñònh toát vaø duy nhaát. Chi tieát daønh cho baïn ñoïc.
Imax = ∪ {I/I

Ñònh lyù 4.2.5. Giaû söû f : U → Rn lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông treân U.

Khi ñoù moãi nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy ñeàu coù moät thaùc trieån ñeán bieân cuûa U . Chính xaùc hôn, giaû söû y : Imax → Rn laø nghieäm qua (x0 , y0) ∈ U , khi ñoù vôùi moïi compact K ⊂ U ñeàu toàn taïi x1 , x2 ∈ Imax vôùi x1 < x0 < x2 sao cho (x1 , y(x1 )), (x2 , y(x2 )) ∈/ K.

Chöùng minh: Giaû söû Imax = (ω , ω+). Neáu ω+ = ∞ thì hieån nhieân toàn taïi x2 > x0 sao cho (x2 , y(x2)) ∈/ K . Xeùt tröôøng hôïp ω+ < ∞, giaû söû coù toàn taïi compact x ∈ (x0 , ω+ ). Vì f bò chaën treân K neân 
 ||y(x) − y(x )|| = 


x x


K

maø

(x, y(x)) ∈ K

vôùi moïi

  f (t, y(t))dt ≤ M|x − x
| < 

neáu x, x
ñuû gaàn ω+ . Ñieàu naøy daãn ñeán toàn taïi limx→ω y(x) = y+; vaø roõ raøng (ω+, y+ ) ∈ K ⊂ U do K compact. Theo ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm, coù toàn taïi nghieäm cuûa baøi toaùn y
= f (x, y), y+ (ω+ ) = y+ trong laân caän cuûa ω+ . Ñieàu naøy voâ lyù vì Imax laø cöïc ñaïi. Chöùng minh töông töï cho tröôøng hôïp x 1 .
+

4.3 Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính Trong muïc naøy ta seõ khaûo saùt caùc heä phöông trình vi phaân tuyeán tính daïng  dy1   = a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + · · · + a1n (x)yn + g1 (x)   dx    dy2 = a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + · · · + a2n (x)yn + g2 (x) dx   ·······································      dyn = an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + · · · + ann (x)yn + gn (x) dx

(4.5)

70

Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I

trong ñoù x laø bieán ñoäc laäp vaø y1, . . . , yn laø caùc aån haøm caàn tìm, caùc haøm aij (x) vaø laàn löôït ñöôïc goïi laø caùc heä soá vaø heä soá töï do cuûa heä. Chuùng ñöôïc giaû thieát lieân tuïc treân khoaûng I = (a, b) ⊂ R naøo ñoù. Teân goïi heä phöông trình tuyeán tính laø do veá phaûi laø caùc haøm baäc nhaát theo caùc aån haøm y1, . . . , yn. Duøng kyù hieäu ma traän, coù theå vieát heä (4.5) döôùi daïng thu goïn y
= A(x)y + g(x) (4.6) trong ñoù A(x) = (aij (x)) laø ma traän haøm caáp n × n, g(x) = (g1(x), . . . , gn (x))t laø vector coät. Neáu g(x) ≡ 0, ta noùi heä treân laø heä tuyeán tính thuaàn nhaát , neáu ngöôïc laïi, ta noùi heä khoâng thuaàn nhaát. Ñònh lyù sau ñaây laø moät tröôøng hôïp rieâng cuûa ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm toång quaùt ñoái vôùi baøi toaùn Cauchy.

gi (x)

Ñònh lyù 4.3.1 (Toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm). Giaû söû caùc heä soá aij (x) vaø gi(x) laø caùc haøm lieân tuïc treân khoaûng I  x0 . Khi ñoù heä phöông trình (4.6) coù duy nhaát moät nghieäm y = y(x) thoaû ñieàu kieän ban ñaàu (4.3) treân I .

4.3.1 Heä tuyeán tính thuaàn nhaát: Ta seõ moâ taû kyõ hôn khoâng gian nghieäm cuûa heä thuaàn nhaát maø, vôùi kyù hieäu ma traän coù theå vieát laïi döôùi daïng (4.7) y
= A(x)y Tröôùc heát haõy nhaän xeùt raèng taäp taát caû caùc nghieäm cuûa moät heä thuaàn nhaát coù caáu truùc khoâng gian vector (treân R). Ñeå xaây döïng nghieäm toång quaùt cuûa heä (4.7), ta tìm n nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính laäp thaønh cô sôû cuûa khoâng gian nghieäm cuûa noù. Heä n nghieäm nhö theá luoân toàn taïi, chaúng haïn, ta laáy n nghieäm yi (x) = (yi1(x), . . . , yin(x)), vôùi i = 1, n maø thoaû ñieàu kieän ban ñaàu yi(x0 ) = ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)t, trong ñoù soá 1 ôû vò trí thöù i. Kyù hieäu R(x, x0 ) laø ma traän maø caùc vector coät cuûa noù laø caùc nghieäm ñaëc bieät naøy, khi ñoù R(x, x0 ) ñöôïc goïi laø giaûi thöùc cuûa heä phöông trình (4.7). Meänh ñeà sau cho ta vaøi tính chaát ñôn giaûn cuûa giaûi thöùc:

Meänh ñeà 4.3.1. Giaû söû A(x) laø ma traän caùc haøm lieân tuïc treân moät ñoaïn naøo ñoù I  x0 .

Khi ñoù:

i) R(x0 , x0 ) = In ii) R(x, x0 ) = R(x, x1 )R(x1 , x0 ) iii) R(x, x0 ) khaû nghòch, vaø R(x, x0 )−1 = R(x0 , x)

Baây giôø, giaû söû yi (x) = (yi1(x), . . . , yin(x)), vôùi i = 1, n laø n nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính naøo ñoù cuûa heä (4.7). Ta kyù hieäu Φ(x) laø ma traän maø caùc coät cuûa noù laø n nghieäm naøy. Khi ñoù Φ(x) laø ma traän khaû nghòch vaø ñöôïc goïi laø ma traän cô baûn cuûa heä, trong khi ñònh thöùc cuûa noù cuõng goïi laø ñònh thöùc Wronski cuûa n nghieäm naøy. Ta kieåm tra khoâng khoù raèng

71

4.3. Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính

Meänh ñeà 4.3.2.

R(x, x0 ) = Φ(x)Φ(x0 )−1

Chöùng minh: Thaät vaäy, do tính chaát tuyeán tính cuûa heä (4.7), nghieäm y(x, x0, y0) cuûa heä naøy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(x0) = y0 ∈ Rn coù theå vieát döôùi daïng y(x, x0 , y0) = R(x, x0 )y0

Maët khaùc, Φ(x)Φ(x0 )−1y0 cuõng laø moät nghieäm cuûa heä vaø thoaû cuøng ñieàu kieän ban ñaàu
nhö y(x, x0, y0). Do tính duy nhaát nghieäm ta suy ra ñieàu phaûi chöùng minh.

Ñònh lyù 4.3.2 (Coâng thöùc Ostrogradski−Liouville). Giaû söû

trong heä (4.7) lieân tuïc treân moät khoaûng I naøo ñoù vaø Φ(x) laø ma traän cô baûn cuûa noù. Khi ñoù 


x

det Φ(x) = det Φ(x0 ). exp

A(x)

 tr A(t)dt

x0

trong ñoùtr A(x) := a11 (x) + · · · + ann (x) ñöôïc goïi laø veát cuûa ma traän A(x).

Chöùng minh: Ñaët Φ(x) = (Φij (x))n×n . Vì ñònh thöùc det Φ(x) laø tuyeán tính theo moãi haøng cuûa Φ(x) neân ta coù



 d det Di (x) (det Φ(x)) = dx i=1 n

vôùi

Φ11 (x)  ··· 
Di (x) =   Φi1 (x)  ··· Φn1 (x)

 · · · Φ1n (x) ··· ···  
· · · Φin (x)   ··· ···  · · · Φnn (x)

trong ñoù ma traän Di (x) suy töø ma traän Φ(x) baèng caùch thay doøng thöù i bôûi caùc ñaïo haøm cuûa noù. Ñeå yù raè ng Φ(x) laø ma traän nghieäm cuûa (4.7), töùc laø Φ
(x) = A(x)Φ(x), neân ta coù Φ
ij (x) = nk=1 aik (x)Φkj (x). Töø ñoù 

Φ11 (x)  n   ··· det Di (x) = aik (x) det  Φk1 (x)  ··· k=1 Φn1 (x)

 · · · Φ1n (x) ··· ···   · · · Φkn (x)  ←− ··· ···  · · · Φnn (x)

haøng thöù i

Neáu k = j thì ñònh thöùc töông öùng ôû veá phaûi baèng 0, do ñoù det Di (x) = aii (x) det Φ(x)

Do ñoù

 d (det Φ(x)) = aii (x) det Φ(x) = tr A(x). det Φ(x) dx i=1 n

Tích phaân phöông trình vi phaân naøy ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh.




72

Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I

Nhaän xeùt: Töø ñònh lyù treân ta thaáy raèng heä n nghieäm cuûa (4.7) laäp thaønh heä nghieäm cô baûn khi ma traän thaønh laäp bôûi chuùng coù ñònh thöùc khaùc khoâng taïi ít nhaát moät ñieåm x0 naøo ñoù. Do ñoù ñeå tìm nghieäm toång quaùt cuûa heä (4.7) ta tìm heä n nghieäm cô baûn yi (x) = (yi1 (x), . . . , yin (x)). Khi ñoù nghieäm toång quaùt cuûa heä laø    y11 (x) yn1 (x)  y12 (x)   yn2 (x)      y = C1 y1 (x) + · · · + Cn yn (x) = C1  ..  + · · · + Cn  ..   .   .  y1n (x) ynn (x) 

trong ñoù C1, . . . , Cn laø caùc haèng soá tuyø yù.

4.3.2 Heä PTVP tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát: Tröôùc heát ta ñeå yù raèng neáu bieát moät nghieäm rieâng naøo ñoù cuûa heä khoâng thuaàn nhaát (4.6) vaø nghieäm toång quaùt cuûa heä thuaàn nhaát töông öùng thì toång cuûa chuùng cho ta nghieäm toång quaùt cuûa heä khoâng thuaàn nhaát ñoù. Ngoaøi ra ñeå xaây döïng nghieäm rieâng naøy, ta coù theå duøng phöông phaùp bieán thieân haèng soá khi bieát n nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa heä thuaàn nhaát töông öùng. Giaû söû nø nghieäm nhö theá laø yi(x) = (yi1(x), . . . , yin (x)), ta ñaët    y11 (x) yn1(x)  y12 (x)   yn2(x)      y = C1 (x)  ..  + · · · + Cn (x)  ..   .   .  y1n (x) ynn (x) 

Ñeå y laø nghieäm cuûa heä (4.6), caùc haøm Ci (x) phaûi thoaû heä phöông trình vi phaân sau:      y11 (x) yn1 (x) g1 (x) y12 (x)   yn2 (x)   g2 (x)        C1
(x)  ..  + · · · + Cn
(x)  ..  =  ..   .   .   .  y1n (x) ynn (x) gn (x) 

Vì ñònh thöùc Wronski cuûa heä naøy luoân khaùc khoâng, neân ta luoân giaûi ñöôïc caùc Ci
(x) vaø töø ñoù tìm ñöôïc Ci (x).

73

4.4. Heä PTVP tuyeán tính heä soá haèng soá.

4.4 Heä PTVP tuyeán tính heä soá haèng soá. Trong tieát naøy ta xeùt heä phöông trình tuyeán tính vôùi caùc heä soá aij (x) laø haèng soá  dy 1  = a11 y1 + a12 y2 + · · · + a1n yn + g1 (x)    dx      dy2 = a21 y1 + a22 y2 + · · · + a2n yn + g2 (x) dx   · ·······················     dyn    = an1 y1 + an2 y2 + · · · + ann yn + gn (x) dx

(4.8)

Döôùi daïng ma traän, heä coù theå vieát moät caùch thu goïn: y
= Ay + g(x)

(4.9)

trong ñoù A = (aij ) laø ma traän vuoâng caáp n. Neáu g(x) ñoàng nhaát baèng khoâng, ta coù heä tuyeán tính thuaàn nhaát heä soá haèng y
= Ay

(4.10)

4.4.1 Phöông trình ñaëc tröng Tröôùc heát, ta tìm nghieäm cuûa heä thuaàn nhaát (4.10). Gioáng nhö trong tröôøng hôïp phöông trình vi phaân caáp cao heä soá haèng ta tìm nghieäm rieâng khaùc khoâng cuûa heä thuaàn nhaát döôùi daïng y = (y1 , . . . , yn ) vôùi yj = γj eλx Thay yj vaøo heä (4.8) vôùi chuù yù g(x) ≡ 0; sau khi ruùt goïn ta ñöôïc heä phöông trình tuyeán tính cho λ vaø caùc γj laø  (a11 − λ)γ1 + a12 γ2 + · · · + a1n γn = 0    a21 γ1 + (a22 − λ)γ2 + · · · + a2n γn = 0 ·································    an1 γ1 + an2 γ2 + · · · + (ann − λ)γn = 0

(4.11)

Vì caùc γj khoâng ñoàng thôøi baèng khoâng neân ñònh thöùc cuûa heä phaûi baèng khoâng, töùc laø λ phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình:   (a11 − λ)  a · · · a 12 1n    a21 (a22 − λ) · · · a2n    =0 .. .. ..   . · · · . .    an1 an2 · · · (ann − λ)

(4.12)

Phöông trình (4.12) (aån laø λ) ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa heä (4.10). Ñaây laø moät phöông trình ña thöùc caáp n theo λ. Caùc nghieäm λj cuûa phöông trình naøy khoâng laø gì khaùc hôn caùc giaù trò ñaëc tröng cuûa ma traän A. Vector nghieäm vj cuûa heä (4.11) öùng vôùi giaù trò rieâng λj cuûa A chính laø caùc vector rieâng cuûa A.

74

Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I

4.4.2 Heä nghieäm cô baûn Ñeå xaây döïng nghieäm toång quaùt cuûa heä thuaàn nhaát ta caàn tìm moät heä nghieäm cô baûn noù, töùc laø heä caùc nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính nhö heä caùc vector haøm. Ta nhaän xeùt raèng neáu v = (γ1 , . . . , γn ) laø vector rieâng cuûa A öùng vôùi giaù trò rieâng λ thì vector haøm y = eλx v laø moät nghieäm cuûa heä (4.10). Vaäy vaán ñeà ñöa veà baøi toaùn giaù trò rieâng cuûa ma traän.

Tröôøng hôïp I (A cheùo hoaù ñöôïc) Trong tröôøng hôïp naøy coù toàn taïi n vector rieâng ñoäc laäp tuyeán tính v1 , . . . , vn öùng vôùi caùc giaù trò rieâng λ1 , . . . , λ cuûa ma traän A. Xeùt ma traän nghieäm   Φ(x) = eλ1 x v1 , . . . , eλn x vn

Ta coù Φ(0) laø khaû nghòch, do ñoù theo ñònh lyù Liouville 4.3.2 Φ(x) luoân luoân khaû nghòch vôùi moïi x. Khi ñoù giaûi thöùc cuûa heä (4.10) laø R(x, x0 ) = Φ(x)Φ(x0 )−1 = Φ(x−x0 )Φ(0)−1 vaø nghieäm toång quaùt laø y = Φ(x).C , vôùi C laø ma traän coät caùc haèng soá tuyø yù C1, . . . , Cn .

Tröôøng hôïp I (A khoâng cheùo hoaù ñöôïc) Muïc ñích laø tìm caùch ñöa ma traän A veà daïng ñôn giaûn nhaát coù theå ñöôïc, chaúng haïn daïng tam giaùc hoaëc daïng Jordan. Giaû söû T laø ma traän khaû nghòch sao cho T −1AT = B vôùi B coù daïng nhö theá. Khi ñoù vôùi pheùp ñoåi aån moät caùch tuyeán tính y = T z, heä thuaàn nhaát (4.10) trôû thaønh z
= Bz, trong ñoù B coù daïng ñôn giaûn. Ñaëc bieät, khi B coù daïng tam giaùc, ta coù  dz1   = b11 z1 + b12 z2 + · · · +   dx    dz2 = b22 z2 + · · · + dx   ···      dzn = dx

b1n zn b2n zn ··· bnn zn

Ta coù theå giaûi heä naøy baèng caùch tích phaân caùc phöông trình tuyeán tính baäc nhaát tröôùc heát ñoái vôùi zn roài ñeán zn−1 ,v.v... cuoái cuøng ñeán z1. Cuoái cuøng nghieäm cuûa heä ban ñaàu cho bôûi y(x) = T z(x). Veà maët thöïc haønh, tröôøng hôïp I töông ñöông vôùi tröôøng hôïp phöông trình ñaëc tröng (4.12) coù n nghieäm phaân bieät. Khi caùc nghieäm naøy laø phöùc (trong khi A laø ma traän thöïc) ta cuõng taùch phaàn thöïc vaø phaàn aûo ñeå ñöôïc caùc nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính nhö ñaõ laøm ñoái vôùi PTVP tuyeán tính caáp cao heä soá haèng. Tröôøng hôïp phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm λ boäi m, khi ñoù heä (4.10) coù m nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính daïng   P1 (x)eλx  P2 (x)eλx     ..   .  Pn (x)eλx

trong ñoù caùc P1(x), . . . , Pn (x) laø caùc ña thöùc baäc m − 1.

75

4.4. Heä PTVP tuyeán tính heä soá haèng soá.

Cuoái cuøng ñeå tìm nghieäm cuûa heä tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát heä soá haèng ta tìm moät nghieäm rieâng cuûa noù baèng phöông phaùp bieán thieân haèng soá xuaát phaùt töø heä nghieäm cô baûn cuûa heä thuaàn nhaát töông öùng. Nghieäm toång quaùt cuûa heä khoâng thuaàn nhaát baèng toång cuûa nghieäm rieâng naøy vaø nghieäm toång quaùt cuûa heä thuaàn nhaát töông öùng. Ví duï: Giaûi heä 

Ñaây laø heä thuaàn nhaát vôùi ma

  dx = −x − 2y dt dy   = 3x + 4y dt   −1 −2 traän A = 3 4 .

Phöông trình ñaëc tröng laø

  −1 − λ −2   = λ2 − 3λ + 2 = 0   3 4 − λ

coù caùc nghieäm laø λ1 = 1, ÖÙng vôùi λ ta coù heä

λ2 = 2. 

−2γ1 − 2γ2 = 0 3γ1 + 3γ2 = 0

Choïn nghieäm γ1 = 1, γ2 = −1 ta ñöôïc moät nghieäm x1 = et ,

y1 = et

Töông töï, vôùi λ2 = 2 ta cuõng tìm ñöôïc nghieäm x2 = e2t ,

Vaäy nghieäm toång quaùt laø



3 y2 = − e2t 2

x = C1 et + C2 e2t y = −C1 et − 32 C2 e2t

trong ñoù C1, C2 laø caùc haèng soá tuyø yù. Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa heä


 x =x−z y
= x 
z =x−y

Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä laø

  1 − λ 0 −1     1  = (1 − λ)(1 + λ2 ) = 0 −λ 0    1 −1 −λ

Phöông trình naøy coù caùc nghieäm laø 1, ±i.

76

Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I

Vôùi λ = 1 ta coù heä

  

γ1 −γ2 γ1 −γ2

−γ3 = 0 =0 −γ3 = 0

Heä naøy cho moät vector rieâng (1, 1, 0). Töø ñoù ta coù nghieäm rieâng töông öùng laø x = et , y = et , z = 0

Vôùi λ = i ta coù heä

  −γ3 = 0  (1 − i)γ1  γ1 tuyø yù γ1 γ2 = −iγ1 −iγ2 =0 ⇔   γ1 −γ2 −iγ3 = 0 γ3 = (1 − i)γ1

Choïn vector rieâng (1, −i, 1 − i) ta ñöôïc nghieäm

   eit cos t + i sin t  −ieit  =   sin t − i cos t it (1 − i)e (cos t + sin t) + i(sin t − cos t) 

Taùch phaàn thöïc vaø phaàn aûo, ta ñöôïc hai nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính 

 cos t   sin t cos t + sin t



vaø

 sin t  − cos t  sin t − cos t

Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa heä ñaõ cho laø

  x = C1 et + C2 cos t + C3 sin t y = C1 et + C2 sin t − C3 cos t  z = C2 (cos t + sin t) + C3 (sin t − cos t)

trong ñoù C1, C2, C3 laø caùc haèng soá tuyø yù. Ví duï: Giaûi heä 

x
= x − y y
= x + 3y

Phöông trình ñaëc tröng

  1 − λ −1   = (λ − 2)2 = 0   1 3 − λ

coù nghieäm keùp laø λ = 2. Khi ñoù heä ñaõ cho coù 2 nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính daïng 

x = (C1 t + C2 )e2t y = (D1 t + D2 )e2t

Thay caùc bieåu thöùc cuûa x, y vaøo heä ñaõ cho, sau khi caân baèng hai veá, ta tìm ñöôïc 

D1 = C1 D2 = −C1 − C2

4.4. Heä PTVP tuyeán tính heä soá haèng soá.

vaäy nghieäm toång quaùt cuûa heä ñaõ cho laø 

x = (C1 t + C2 )e2t y = −(C1 t + C1 + C2 )e2t

trong ñoù C1, C2 laø hai haèng soá tuyø yù.

77

78

Chöông 4. Heä phöông trình vi phaân caáp I

BAØI TAÄP 1. Giaûi caùc heä phöông trình vi phaân sau vaø xaây döïng ma traän nghieäm cô baûn (a)

   dx = 3x − 2y dt dy   = 2x − 2y dt

(b)

2. Giaûi caùc heä phöông trình vi phaân sau (a) (b)

   dx = 2x − y dt dy   = x + 2y dt    dx = x + 2y dt dy   = 2x + y dt

(c) (d)

   dx = 2x − 5y dt dy   = x − 2y dt

   dx + 2x + 4y = 1 + 4t dt dy   + x − y = 32 t2 dt  dx   =y dt dy   = x + et + e−t dt

3. Tìm nghieäm toång quaùt cuûa caùc heä phöông trình vi phaân sau (a)

(b)

 dx   = 3x + 12y − 4z    dt dy = −x − 3y + z  dt     dx = −x − 12y + 6z  dt dx   = 2x − y − z    dt dy = 12x − 4y − 12z  dt     dx = −4x + y + 5z dt

(c)

 dx   = −4x + 2y + 5z    dt dy = 6x − y − 6z  dt     dx = −8x + 3y + 9z dt

Chöông 5 Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân Trong chöông naøy ta quan taâm ñeán vieäc giaûi gaàn ñuùng PTVP vôùi söï hoã trôï cuûa phaàn meàm tính toaùn MAPLE. Nhö ta ñaõ bieát, vieäc tìm nghieäm cuûa PTVP döôùi daïng bieåu thöùc giaûi tích chính xaùc khoâng phaûi bao giôø cuõng laøm ñöôïc. Ñieàu ñoù laøm taêng theâm vai troø cuûa caùc phöông phaùp giaûi gaàn ñuùng, ñaëc bieät trong caùc lónh vöïc öùng duïng. Vôùi caùc coâng cuï thieát keá saün döôùi daïng “goùi leänh”, MAPLE cung caáp caùc giaûi phaùp phöông trình vi phaân khaù höõu ích vaø thuaän tieän. Chuùng toâi coá gaéng minh hoaï caùc thao taùc tính toaùn vôùi MAPLE maø khoâng coù tham voïng ñi xa hôn vaøo nhöõng khaû naêng lôùn lao khaùc cuûa phaàn meàm naøy. Dó nhieân, ñieàu ñoù cuõng khoâng chöùng toû raèng MAPLE laø ngoân ngöõ duy nhaát höõu ích nhö theá neáu ñem so saùnh vôùi moät soá phaàn meàm khaùc nhö MATHEMATICA, MATLAB, ...

5.1 Caùc phöông phaùp giaûi tích giaûi gaàn ñuùng PTVP. 5.1.1 Xaáp xæ Picard. Nhö ñaõ trình baøy trong chöông I, vôùi moät soá giaû thieát naøo ñaáy veà haøm f (x, y), baøi toaùn giaù trò ban ñaàu y
= f (x, y),

y(x0 ) = y0

(5.1)

coù duy nhaát nghieäm trong laân caän cuûa ñieåm x0 . Vaán ñeà ñaët ra khaù töï nhieân laø tìm nghieäm duy nhaát naøy. Song, khoâng phaûi luùc naøo cuõng coù theå vieát ra bieåu thöùc giaûi tích cuûa nghieäm moät caùch chính xaùc; vaø vì ñieàu ñoù cuõng khoâng nhaát thieát phaûi laøm trong moät soá öùng duïng tính toaùn soá neân ngöôøi ta chæ caàn tìm nghieäm xaáp xæ vôùi moät ñoä chính xaùc naøo ñoù chaáp nhaän ñöôïc. Phöông phaùp xaáp xæ Picard ngoaøi giaù trò veà maët lyù thuyeát veà söï toàn taïi nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy coøn cho chuùng ta lôøi giaûi xaáp xæ cuûa nghieäm naøy. Noäi dung cuûa

80

Chöông 5. Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân

phöông phaùp naøy laø tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình tích phaân


x

y(x) = y0 +

f (t, y(t))dt x0

(5.2)

maø töông ñöông vôùi phöông trình (5.1). Xuaát phaùt töø xaáp xæ gaàn ñuùng ñaàu tieân y0(x) ≡ y0 ta tìm caùc xaáp xæ tieáp theo baèng coâng thöùc qui naïp


x

yn (x) = y0 +

f (t, yn−1(t))dt x0

(5.3)

Söï kieän daõy nghieäm xaáp xæ naøy hoäi tuï ñaõ ñöôïc chöùng minh trong tieát 1.2, toác ñoä hoäi tuï ñöôïc ñaùnh giaù bôûi sai soá thöù n − x0 |n+1 , (n + 1)!

n |x

n (x) := |y(x) − yn (x)| ≤ ML

∀x ∈ [x0 − h, x0 + h]

trong ñoù M, L, h laø caùc haèng soá ñeà caäp trong ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 1.2.2. Ví duï 1: Tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình y
= x − y vôùi y(0) = 1 Vì haøm veá phaûi f (x, y) = x − y lieân tuïc trong toaøn maët phaúng vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz trong laân caän cuûa ñieåm (0, 1) neân baøi toaùn ñaõ cho coù lôøi giaûi duy nhaát. Baét ñaàu vôùi y0 (x) = 1

vaø duøng coâng thöùc (5.3) ta ñöôïc x

x2 y1 (x) = 1 + 0 (t − 1)dt = 1 − x + 2 x x3 y2 (x) = 1 + 0 (t − y1 (t))dt = 1 − x + x2 − 6 3 x x x4 2 y3 (x) = 1 + 0 (t − y2 (t))dt = 1 − x + x − + 3 24 3 x x4 x5 x + − y4 (x) = 1 + 0 (t − y3 (t))dt = 1 − x + x2 − 3 12 120 ························

Moät caùch toång quaùt, xaáp xæ thöù n cho bôûi yn (x) = 1 − x + x2 −

x4 xn+1 x3 + − · · · + (−1)n+1 3 3.4 3.4.5 . . . (n + 1)

Trong ví duï naøy, nghieäm chính xaùc laø y(x) = 2e−x + x − 1

(Baïn ñoïc haõy ñaùnh giaù toác ñoä hoäi tuï!)

81

5.1. Caùc phöông phaùp giaûi tích giaûi gaàn ñuùng PTVP.

Phöông phaùp xaáp xæ Picard cuõng coù theå aùp duïng cho heä PTVP nhö trong ví duï sau ñaây: Ví duï 2: Tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa heä 

y1
= x + y1 y2 y2
= x2 − y12

thoaû ñieàu kieän ban ñaàu y1(0) = 1, y2(0) = 0. AÙp duïng coâng thöùc (5.3) moät caùch luaân phieân cho y1 vaø y2 vôùi xaáp xæ ban ñaàu laàn löôït laø y10 = 1 vaø y20 = 0, ta tìm ñöôïc x 2 x2 x3 1 2 , y (t + 0)dt = 1 + (x) = 0 + (t − 1 )dt = −x + 2 0 0 3

  2  2 3  t t x4 x6 x 2 + , y1 (x) = 1 + 0 t + 1 + −t + dt = 1 − 2 3 24 36 +  , 2 2  t x5 x y22(x) = 0 t2 − 1 + dt = −x − , 2 5 y11(x) = 1 +

x

························

5.1.2 Phöông phaùp chuoãi Taylor. Trong moät soá tröôøng hôïp maø veá phaûi f (x, y) cuûa phöông trình (5.1) coù theå khai trieån ñöôïc thaønh chuoãi Taylor trong laân caän cuûa (x0 , y0), ta coù theå tìm nghieäm y(x), trong moät laân caän cuûa x0 döôùi daïng chuoåi Taylor taïi ñieåm ñoù y(x) =

∞  y (n) n=0

n!

(x − x0 )n

Do ñoù, ta coù theå xaáp xæ nghieäm chính xaùc bôûi ña thöùc Taylor ñeán caáp N naøo ñoù; ña thöùc naøy hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi caùc ñaïo haøm y(k)(x0), vôùi k = 0, N . Caùc giaù trò ñaïo haøm naøy tính ñöôïc döïa vaøo phöông trình (5.1) y (0) (x0 ) = y(x0 ) = y0
y (x0 ) = f (x0 , y(x0)) = f (x0 , y0 )



y (x0 ) = fx (x0 , y0 ) + fy (x0 , y0 ).y
(x0 )




y (x0 ) = fxx (x0 , y0 ) + 2fxy (x0 , y0).y
(x0 ) + fyy (x0 , y0 )[y
(x0 )]2 + fy (x0 , y0 ).y

(x0 ) ························

Ví duï 1: Tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình sau baèng phöông phaùp chuoãi Taylor y
= x − y,

y(0) = 1

82

Chöông 5. Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân

Giaûi: Ta coù

y(0) = 1, y
(0) = 0 − 1 = −1 y

(0) = (1 − y
)(0,1) = 2




y (0) = (−y

)(0,1) = −2 y (4) (0) = (−y


)(0,1) = 2 ························

Töø ñoù nghieäm xaáp xæ coù daïng y(x) = 1 − x + x2 −

2xN x3 x4 + − · · · + (−1)N 3 12 N!

Nhaän xeùt: Chuù yù raèng caùc soá haïng ñaàu tieân cuûa nghieäm naøy truøng vôùi caùc soá haïng

cuûa nghieäm xaáp xæ theo Picard. Phöông phaùp chuoãi Taylor cuõng aùp duïng cho caùc phöông trình vi phaân caáp cao nhö trong ví duï sau ñaây. Ví duï 2: Giaûi xaáp xæ phöông trình y

+ xy
+ y = 0

vôùi ñieàu kieän ban ñaàu:

y(0) = 0, y
(0) = 1

Giaûi: Ta coù y

= −y − xy
,

Töø ñoù ta tính ñöôïc

y


= −2y
− xy

,

y (4) = −3y

− xy


, . . .

y

(0) = (−y − xy
)(0,0) = 0




y (0) = (−2y
− xy

)(0,0) = −2 y (4) (0) = (−3y

− xy


)(0,0) = 0 y (5) (0) = (−4y


− xy (4) )(0,0) = 8 ························

Nghieäm xaáp xæ coù daïng y(x) = x −

x3 x5 + +··· 3 15

5.2 Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP. Trong baøi naøy ta cuõng xeùt baøi toaùn giaù trò ban ñaàu y
= f (x, y),

y(x0 ) = y0

83

5.2. Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP.

YÙ töôûng cuûa phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân laø “rôøi raïc hoaù” bieán cuûa phöông trình. Chính xaùc hôn, thay vì tìm nghieäm ñuùng y(x) cuûa baøi toaùn giaù trò ban ñaàu treân [a, b]  x0 ta xaây döïng moät daõy caùc giaù trò xaáp xæ y1 ≈ y(x1 ), y2 ≈ y(x2 ), y3 ≈ y(x3 ), . . .

vôùi caùc ñieåm x1 := x0 + h, x2 := x1 + h, x3 := x2 + h, . . .

xuaát phaùt töø ñieåm ban ñaàu x0. Haèng soá h trong caùc coâng thöùc treân ñöôïc goïi laø böôùc cuûa phöông phaùp; tuyø theo daáu cuûa h aâm hay döông maø ta “ñi luøi” hay “ñi tôùi”. Ñeå ñaùnh giaù ñoä chính xaùc cuûa phöông phaùp ta duøng khaùi nieäm sai soá, maø ñôn giaûn chæ laø hieäu giöõa giaù trò thöïc söï vaø giaù trò xaáp xæ. Taïi ñieåm baát kyø xi+1 , ta goïi sai soá toaøn cuïc laø hieäu ei+1 = y(xi+1 ) − yi+1

Dó nhieân, sai soá toaøn cuïc thöôøng ñöôïc quan taâm nhöng laïi khoâng deã ñaùnh giaù vaø khoù ñieàu khieån. Thay vaøo ñoù ngöôøi ta coù theå ño baèng sai soá ñòa phöông xaûy ra trong moät böôùc xaáp xæ. Neáu goïi v(x) laø nghieäm (ñuùng) cuûa baøi toaùn giaù trò ban ñaàu v
= f (x, v),

v(xi ) = yi

thì sai soá ñòa phöông taïi x = xi+1 laø e˜i+1 = v(xi+1 ) − yi+1

Dó nhieân, ta coù theå ñieàu khieån sai soá toaøn cuïc moät caùch giaùn tieáp baèng caùch ñieàu khieån sai soá ñòa phöông. Ngöôøi ta taïm phaân loaïi caùc phöông phaùp soá tuyø theo noù coù “boä nhôù” hay khoâng. Töùc laø, vôùi yi ñaõ cho caùch xaùc ñònh yi+1 coù phuï thuoäc chæ vaøo thoâng tin taïi xi hay khoâng. Caùc phöông phaùp soá maø yi+1 hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh bôûi thoâng tin taïi ñieåm xi (maø khoâng phuï thuoäc vaøo caùc ñieåm tröôùc ñoù) ñöôïc bieát ñeán vôùi teân goïi phöông phaùp “moät böôùc”. Vaäy phöông phaùp moät böôùc toång quaùt coù theå ñöôïc moâ taû bôûi yi+1 = yi + h∆(xi , yi),

y0 = y(x0 )

(5.4)

trong ñoù ∆ laø haøm ñaëc tröng cho phöông phaùp. Muïc ñích laø ta tìm caùc thuaät toaùn chính xaùc, töùc laø thuaät toaùn sao cho vôùi thuaät toaùn naøy, nghieäm thöïc söï y(x) “haàu nhö” thoaû (5.4) theo nghóa y(xi+1) = y(xi) + h∆(xi , y(xi )) + hτi

vôùi τi beù.

84

Chöông 5. Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân

Ñaïi löôïïng hτi ñöôïc goïi laø sai soá chaët cuït ñòa phöông cuûa phöông phaùp. Moät phöông phaùp soá ñöôïc goïi laø caáp p neáu vôùi moïi xi ∈ (a, b) vaø vôùi moïi h ñuû beù, coù toàn taïi caùc haèng soá C sao cho |τi | = Chp

Ñieàu naøy nghóa laø τi daàn ñeán 0 khoâng chaäm hôn hp ; vaø ta seõ dieãn taû ñieàu ñoù bôûi τi = O(hp ). Sau ñaây ta seõ xeùt moät vaøi phöông phaùp moät böôùc thoâng duïng.

5.2.1 Phöông phaùp chuoãi Taylor. Tuyø theo bieåu thöùc cuûa ∆ maø ta phaân loaïi caùc phöông phaùp moät böôùc. Moät trong nhöõng phöông phaùp moät böôùc ñôn giaûn nhaát laø phöông phaùp chuoãi Taylor, maø neàn taûng cuûa noù laø khai trieån Taylor cuûa nghieäm y(x). Giaû söû ñaïo haøm ñeán caáp p + 1 cuûa y(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b] naøo ñoù, khi ñoù ta coù khai trieån

 hp−1 hp+1
(p) (p+1) (ξi ) y(xi+1 ) = y(xi ) + h y (xi ) + · · · + y (xi ) +y p! (p + 1)!

ôû ñaây xi ≤ ξi ≤ xi+1 . Tính lieân tuïc cuûa y(p+1) chæ ra raèng noù bò chaën treân [a, b] vaø nhö vaäy y (p+1) (ξi )

hp+1 = O(hp+1) = hO(hp ) (p + 1)!

Duøng söï kieän y
= f (x, y), (5.5) coù theå ñöôïc vieát laïi döôùi daïng

 hp−1 (p) y(xi+1 ) = y(xi ) + h f (xi , y(xi )) + · · · + f (xi , y(xi)) + hO(hp ) p!

trong ñoù caùc ñaïo haøm “toaøn phaàn” cuûa f ñöôïc ñònh nghóa bôûi f (0) (x, y) = f (x, y), f (1) (x, y) = fx (x, y) + fy (x, y)f (x, y), (k−1)

f (k) (x, y) = fx

(k−1)

(x, y) + fy

(x, y)f (x, y),

k = 2, 3, 4, . . .

Töø ñoù ta coù ∆(xi , y(xi)) = f (xi , y(xi )) + · · · + f (p) (xi , y(xi))

vaø vôùi caùch choïn ∆ naøy, ta coù thuaät toaùn chuoãi Taylor sau ñaây:

hp−1 p!

(5.5)

85

5.2. Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP.

Thuaät toaùn chuoãi Taylor: Thuaät toaùn naøy cho pheùp nhaän ñöôïc nghieäm xaáp xæ caáp p cho baøi toaùn giaù trò ban ñaàu (5.1) treân [a, b] nhö sau: Ñaët h =

b−a n

vaø xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, . . . , n − 1

 hp−1 (p−1) (xi , yi) yi+1 = yi + h f (xi , yi) + · · · + f p!

trong ñoù x0 , y0 laø caùc döõ kieän ban ñaàu.

5.2.2 Phöông phaùp Euler vaø Euler caûi tieán. Phöông phaùp chuoãi Taylor caáp p = 1 ñöôïc goïi laø phöông phaùp Euler: xi+1 = xi + h, yi+1 = yi + hf (xi , yi)

Veà phöông dieän hình hoïc, nghieäm gaàn ñuùng cho bôûi phöông phaùp Euler ñöôïc minh hoaï bôûi moät ñöôøng gaáp khuùc maø ñoaïn ñaàu tieân truøng vôùi tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong nghieäm taïi x0 . Ví duï: Giaûi gaàn ñuùng baøi toaùn y
= y, y(0) = 1 vôùi böôùc h = 0, 25. Xuaát phaùt töø x0 = 0, y0 = 1 vaø h = 0, 25, ta coù thuaät tính (ñeå yù raèng f (x, y) = y ) xi+1 = xi + 0, 25, yi+1 = yi + 0, 25yi

Keát quaû tính toaùn boán xaáp xæ ñaàu tieân laø Nhöôïc ñieåm cuûa phöông phaùp Euler laø chæ Böôùc thöù i 0 1 2 3 4

Giaù trò ñuùng 0,0 1,0 1,0 0,25 1,25 1,2840 0,5 1,5625 1,6487 0,75 1,9531 2,1170 1,0 2,4414 2,7183

xi

yi

Table 5.1: Nghieäm xaáp xæ baèng phöông phaùp Euler. döøng ôû ñaïo haøm caáp I neân ñoâi khi sai soá khaù lôùn, khoâng chaáp nhaän ñöôïc. Ñeå khaéc phuïc, ngöôøi ta tìm caùch haïn cheá söï thay ñoåi quaù lôùn cuûa ñaïo haøm baèng caùch theâm vaøo caùc tính toaùn trung gian thích hôïp.

86

Chöông 5. Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân y 3.0

l

l

1.5

l l l

0.0 -0.25

X 0.50

1.25

Hình 5.1: Nghieäm ñuùng vaø nghieäm xaáp xæ theo phöông phaùp Euler Cuï theå, phöông phaùp Euler caûi tieán cho bôûi coâng thöùc sau (coøn goïi laø coâng thöùc

Heun):

xi+1 = xi + h,   ∗ ) yi+1 = yi + h2 f (xi , yi ) + f (xi+1 , yi+1

∗ := yi + hf (xi , yi ) laø giaù trò xaáp xæ theo phöông phaùp Euler. trong ñoù yi+1

5.2.3 Caùc phöông phaùp Runge−Kutta. Caùc phöông phaùp Runge−Kutta ñöôïc thieát keá gaàn gioáng nhö phöông phaùp chuoãi Taylor, nhöng coù vaøi ñieåm tieán boä hôn nhö khoâng yeâu caàu tính toaùn töôøng minh caùc ñaïo haøm cuûa f (x, y). YÙ töôûng cô baûn cuûa noù laø duøng moät toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc giaù trò cuûa f (x, y) ñeå xaáp xæ cho y(x). Toå hôïp tuyeán tính naøy ñöôïc gheùp sao cho gaàn vôùi khai trieån Taylor cuûa y(x) ñeå nhaän ñöôïc caùc phöông phaùp vôùi caáp p cao nhaát coù theå ñöôïc. Ta minh hoaï phöông phaùp Runge−Kutta trong tröôøng hôïp duøng hai giaù trò cuûa f (x, y) taïi moãi böôùc; kyõ thuaät naøy hoaøn toaøn deã môû roäng cho taát caû caùc coâng thöùc kieåu Runge−Kutta. Cho tröôùc caùc giaù trò xi , yi ; ta choïn caùc giaù trò xˆi , yˆi vaø caùc haèng soá α1, α2 ñeå laøm cho xi , yˆi )] yi+1 = yi + h [α1 f (xi , yi ) + α2 f (ˆ

(5.6)

phuø hôïp nhaát vôùi khai trieån Taylor

 h (1) h2 (2) y(xi+1 ) = yi + h f (xi , yi ) + f (xi , yi) + f (xi , yi ) + · · · 2 6

(5.7)

87

5.2. Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP.

Sau ñaây, caùc ñaïo haøm ñöôïc hieåu taïi ñieåm (xi , yi). Ñeå thuaän tieän ta ñaët xˆi = xi + hβ1 , yˆi = yi + β2 hf (xi , yi).

Khi ñoù, ta caàn phaûi “khôùp” bieåu thöùc R = α1 f + α2 f (xi + β1 h, yi + β2 hf ) (α1 + α2 )f + α2 h(β2 f fy + β1 fx ) +

α2 h2 2 2 (β2 f fyy + 2β1 β2 f fxy + β12 fxx ) + O(h3 ) 2

(5.8)

vôùi khai trieån Taylor h2 h T = f + f (1) + f (2) + O(h3 ) 2 6 h2 h = f + (f fy + fx ) + (f 2 fyy + 2f fxy + fxx + fx fy + f fy2) + O(h3) 2 6

(5.9)

Caân baèng caùc heä soá cuûa caùc luyõ thöøa cuûa h ta ñöôïc h0 : 1

h :

α1 + α2 = 1 α2 β2 + α2 β1 =

1 2

Ta ñaët α2 = γ = 0 vaø xem nhö tham soá, ta ñöôïc α1 = 1 − γ 1 β1 = β2 = 2γ

α2 = γ,

Toå hôïp caùc coâng thöùc treân cho ta moät phöông phaùp moät böôùc caáp vaø f ñuû trôn. Töø ñoù ta coù thuaät toaùn sau ñaây:

p=2

(vôùi γ

= 0)

Thuaät toaùn Runge−Kutta caáp 2: Ñeå nhaän ñöôïc nghieäm xaáp xæ caáp b−a h= vaø tính toaùn daõy sau:

p = 2

cho baøi toaùn giaù trò ban ñaàu (5.1), ta ñaët

n

xi+1 = xi + h, i = 0, 1, . . . , n − 1

 h h yi+1 = yi + h (1 − γ)f (xi , yi) + γf (xi + , yi + f (xi , yi )) 2γ 2γ

Nhaän xeùt: Phöông phaùp Euler laø tröôøng hôïp caáp p = 1 ñaëc bieät vôùi γ = 0. Vôùi γ = 12

ta coù phöông phaùp Euler caûi tieán vaø cuõng ñöôïc goïi laø phöông phaùp Runge−Kutta caáp 2. Khi γ = 1 ta coù phöông phaùp Euler−Cauchy.

88

Chöông 5. Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân

Ví duï: Minh hoaï phöông phaùp Euler−Cauchy ñoái vôùi baøi toaùn y
= y 2 + 1, y(0) = 0

vôùi h = 0.1 Bieåu thöùc quy naïp cho yi+1 laø xi yi+1

= 0, 0.1, . . . , 1.0 h h = yi + hf (xi + , yi + f (xi , yi)) 2 2 

h 2 2 = yi + 1 + (yi + (1 + yi )) 2

Keát quaû tính toaùn cho trong baûng sau: xi

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

yi

0.00000 0.10025 0.20252 0.30900 0.42224 0.54539 0.68263 0.83977 1.02534 1.25256 1.54327

Sai soá |yi − tan(xi )| 0.00e+00 0.85e−04 0.19e−03 0.33e−03 0.56e−03 0.92e−03 0.15e−02 0.25e−02 0.43e−02 0.76e−02 0.14e−01

Table 5.2: Nghieäm xaáp xæ baèng phöông phaùp Euler−Cauchy.

Nhaän xeùt: Haïn cheá lôùn nhaát cuûa phöông phaùp Runge−Kutta laø khoái löôïng tính toaùn

khaù lôùn khi caáp p taêng leân. Chaúng haïn, taïi moãi böôùc ta phaûi tính p giaù trò khi caáp p = 1, 2, 3, 4; 7 giaù trò khi p = 6; 9 giaù trò khi p = 7, 11 giaù trò khi p = 8;....Vì theá, thöïc teá ngöôøi ta thöôøng döøng laïi ôû caáp p = 4, vaø ta coù thuaät toaùn sau ñaây:

Thuaät toaùn Runge−Kutta caáp 4: Thuaät toaùn naøy theå hieän bôûi daõy caùc coâng thöùc sau: k1 = f (xi , yi), h h k2 = f (xi + , yi + k1 ), 2 2 h h k3 = f (xi + , yi + k2 ), 2 2 k4 = f (xi + h, yi + hk3 ),

vaø

h yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6

89

5.2. Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP.

Ví duï: Tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa baøi toaùn y
= −y + x2 − 3 sin(12x),

y(0) = 2.

Ta aùp duïng phöông phaùp R−K caáp 4 vôùi böôùc h = 0.2 treân ñoaïn [0, 1]. Caùc keát quaû tính toaùn baèng MAPLE cho trong baûng sau: xi

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

yi

2.00000 1.23506 1.23303 1.15932 0.68259 1.13040

Table 5.3: Nghieäm xaáp xæ baèng phöông phaùp R−K caáp 4.

Nhaän xeùt: Phöông phaùp Runge−Kutta coù theå ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi moät heä phöông trình vi phaân thöôøng caáp I. Caùc böôùc tính toaùn vaãn ñöôïc thöïc hieän nhö treân.

5.2.4 Caùc phöông phaùp ña böôùc (multi-step): Ta ñeå yù raèng caùc phöông phaùp maø ta ñaõ thaûo luaän treân ñaây laø khoâng coù boä nhôù, töùc laø giaù trò cuûa y(x) vôùi x tröôùc xi khoâng aûnh höôûng tröïc tieáp ñeán giaù trò cuûa y(x) vôùi x sau xi . Caùc phöông phaùp khaùc tieán boä hôn ôû choã coù tính ñeán aûnh höôûng cuûa caùc giaù trò tröôùc ñoù ñeán böôùc maø ta ñang xeùt, goïi laø caùc phöông phaùp ña böôùc. Sau ñaây ta chuû yeáu xeùt ñeán caùc phöông phaùp (ña böôùc) Adams−Bashforth vaø Adams− Moulton maø noäi dung ñöôïc moâ taû bôûi caùc coâng thöùc sau ñaây: Giaû söû ta ñaõ tìm ñöôïc caùc giaù trò xaáp xæ yi+1−j ∼ = y(xi+1−j ) vôùi j = 2, 3, . . . , p cuûa nghieäm y(x) cuûa baøi toaùn (5.1). Ñeå tìm giaù trò tieáp theo yi ∼ = y(xi ) ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau ñaây. Töø phöông trình vi phaân ñaõ cho ta coù theå xaáp xæ caùc ñaïo haøm y
(xi+1−j ) bôûi y
(xi+1−j ) = f (xi+1−j , y(xi+1−j )) ∼ = f (xi+1−j , yi+1−j ) = fi+1−j

Khi ñoù, giaù trò tieáp theo coù theå cho bôûi coâng thöùc


xi+1

y(xi+1 ) = y(xi ) +







xi+1

y (x)dx = y(xi ) + xi

f (x, y(x))dx xi

Phöông phaùp Adams−Bashforth chuû yeáu bao goàm vieäc thay f (x, y(x)) bôûi ña thöùc noäi suy P (x) cuûa noù taïi caùc ñieåm moác xi+1−j vôùi caùc giaù trò töông öùng fi+1−j , trong ñoù j = 1, 2, . . . , p trong tích phaân treân. yi+1 = yi + h

p  j=1

αp,j fi+1−j

(5.10)

90

Chöông 5. Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân

Trong coâng thöùc naøy, taïi moãi böôùc ta chæ phaûi tính moät giaù trò cuûa f . Moät neùt thuù vò cuûa phöông phaùp naøy laø vieäc xaáp xæ y
(x) bôûi ña thöùc P (x), vì khi ñoù giaù trò cuûa nghieäm y(x) giöõa hai ñieåm löôùi lieân tieáp coù theå xaáp xæ nhôø ña thöùc naøy y(x) ∼ = yi +




x

P (t)dt. xi

Nhaän xeùt: Phöông phaùp Adams−Bashforth caáp coøn khi p = 2 noù ñöôïc cho bôûi yi+1

p = 1

chính laø phöông phaùp Euler,

3 1 = yi + h f (xi , yi ) − f (xi−1 , yi−1) 2 2



Coâng thöùc Adams−Moulton (AM) sinh ra khi ña thöùc noäi suy P (x) cho bôûi caùc giaù trò fi+1−j vôùi j = 0, 1, . . . , p − 1 yi+1 = yi + h

p−1 

α ˆ p,j fi+1−j

(5.11)

j=0

Ñieåm khaùc bieät cuûa phöông phaùp (AM) vôùi phöông phaùp (AB) laø ôû choã veá phaûi cuûa (5.11) coù chöùa soá haïng fi+1 = f (xi+1 , yi+1) maø chæ ñöôïc ñònh nghóa moät caùch “aån”. Vaäy ñaàu tieân ta “tieân ñoaùn” giaù trò naøy baèng phöông phaùp (AM) trong coâng thöùc (5.10), roài sau ñoù “ñieàu chænh” noù baèng coâng thöùc (5.11).

5.3 Phöông trình vi phaân vaø phaàn meàm tính toaùn MAPLE. Trong muïc naøy ta giôùi thieäu vaø minh hoaï moät soá goùi leänh vaø thuû tuïc chuû yeáu cuûa MAPLE 7 nhaèm hoã trôï cho vieäc nghieân cöùu phöông trình vi phaân thöôøng. Dó nhieân, ñaây khoâng phaûi laø phaàn meàm duy nhaát vôùi caùc chöùc naêng nhö theá; do ñoù baïn ñoïc cuõng tìm thaáy nhöõng coâng cuï töông töï trong MATHEMATICA, MATLAB,....

5.3.1 Giôùi thieäu chung: MAPLE laø saûn phaåm cuûa Waterloo Maple Inc. maø coù nguoàn goác xuaát phaùt töø Ñaïi hoïc toång hôïp Waterloo (Canada) vaø Ñaïi hoïc kyõ thuaät Zurich, vaø ñöôïc ñaêng kyù nhaõn hieäu thöông maïi töø phieân baûn MAPLE V. Cho ñeán nay noù ñöôïc phoå bieán roäng raõi treân toaøn theá giôùi, ñaëc bieät trong caùc tröôøng ñaïi hoïc vaø taïi caùc trung taâm tính toaùn, nhôø ôû tính naêng goïn nheï, deã söû duïng vaø khaû naêng tính toaùn cuûa noù. MAPLE laø moät heä phaàn meàm tính toaùn chuyeân duïng cung caáp moät soá löôïng lôùn caùc toaùn töû toaùn hoïc khaùc nhau veà nhieàu lónh vöïc nhö giaûi tích soá, tính toaùn ñaïi soá kyù hieäu, ñoà thò,....Moät khoái löôïng caâu leänh khoång loà cuûa noù giuùp ngöôøi söû duïng deã daøng thöïc hieän töø caùc pheùp tính soá hoïc ñôn giaûn ñeán caùc tính toaùn phöùc taïp nhö giaûi tích tensor, lyù thuyeát nhoùm,v.v. Noù cung caáp moät giao dieän ñeïp, deã söû duïng, moät moâi tröôøng laøm

5.3. Phöông trình vi phaân vaø phaàn meàm tính toaùn MAPLE.

91

vieäc thoaûi maùi, ñaëc bieät tieän lôïi cho ngöôøi söû duïng trong lónh vöïc giaùo duïc, nghieân cöùu vaø coâng nghieäp. Ngoaøi ra, MAPLE coù theå ñöôïc söû duïng hieäu quaû nhö moät ngoân ngöõ laäp trình vôùi ñaày ñuû caùc coâng cuï, caùc thö vieän nhö moät moät ngoân ngöõ laäp trình chuyeân nghieäp. Ñoái vôùi phöông trình vi phaân vaø phöông trình ñaïo haøm rieâng, MAPLE cung caáp caùc goùi leänh saün coù raát höõu hieäu ñeå nghieân cöùu chuùng nhö DEtools, dsolve, PDEtools, v.v. Caùc goùi leänh naøy cho pheùp ta coù theå veõ tröôøng vector, böùc tranh pha, giaûi ñöôïc haàu heát caùc phöông trình vi phaân caáp I caàu phöông ñöôïc. Ngoaøi ra, vôùi khaû naêng tính toaùn toác ñoä vaø chính xaùc, noù coù theå hoã trôï vieäc giaûi gaàn ñuùng caùc phöông trình vi phaân baèng caùc phöông phaùp gaàn ñuùng thoâng duïng nhö phöông phaùp Euler, Runge−Kutta,....

5.3.2 Veõ ñöôøng cong tích phaân vaø tröôøng caùc höôùng Ta minh hoaï caùc thao taùc ñoái vôùi phöông trình vi phaân 3 1 y
= − y + 2 2

maø nghieäm toång quaùt laø y = 3 + C exp(−x/2)

Ñeå veõ ñöôøng cong tích phaân, ta khai baùo vôùi MAPLE goùi leänh phöông trình vi phaân, roài khai baùo phöông trình cuøng vôùi caùc ñieàu kieän ban ñaàu: with(DEtools): pt := diff(y(x),x)=-y(x)/2 + 3/2; dkbd:=[-1,-0.5],[0,0],[0,2],[-1,4],[0,5]; DEplot(pt,y(x),x=-1..5,dkbd);

Leänh DEplot veõ (maø khoâng caàn giaûi phöông trình) caùc ñöôøng cong tích phaân vôùi caùc ñieàu kieän ban ñaàu ñaõ cho. Moät caùc töông töï ta cuõng coù theå veõ ñöôïc tröông caùc höôùng cuûa moät phöông trình vi phaân cho tröôùc baèng leänh dfieldplot hoaëc phaseportrait vôùi caùc khai baùo hoaøn toaøn gioáng nhö treân.

5.3.3 Giaûi phöông trình vi phaân baèng MAPLE. MAPLE ñöôïc trang bò nhieàu goùi leänh cho pheùp tìm tích phaân toång quaùt cuûa moät phöông trình vi phaân hoaëc giaûi gaàn ñuùng theo caùc phöông phaùp soá. Chaúng haïn, caâu leänh daïng pt := diff(y(x),x)=-y(x)/2 + 3/2; dsolve(pt);

92

Chöông 5. Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân

cho pheùp tìm nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ khai baùo. Ñeå tìm nghieäm rieâng, ta phaûi khai baùo theâm caùc ñieàu kieän ban ñaàu. Ñoái vôùi caùc phöông trình vi phaân maø nghieäm cho döôùi daïng “aån”, ta cuõng coù theå tích phaân vaø veõ ñöôøng cong tích phaân cuûa chuùng vôùi coâng cuï implicitplot. Xeùt ví duï sau with(DEtools):with(plots): pt1 := y(x)*diff(y(x),x)=-(1+y(x)ˆ2)*sin(x); sol:= dsolve(pt1,y(x));

Nghieäm toång quaùt laø sol := y (x)2 = −1 + e2 cos(x) C1

5.3.4 Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân baèng MAPLE Trong phaàn naøy ta seõ minh hoaï moät soá thuû tuïc giaûi gaàn ñuùng baøi toaùn giaù trò ban ñaàu (5.1) qua caùc ví duï cuï theå sau ñaây: Ví duï: Giaûi baèng phöông phaùp Euler baøi toaùn y
= x + y, y(0) = 0. restart; v1:= diff(y(x),x) = x + y, y(0) = 0;f := unapply(rhs(v1[1]), x, y); h:= 0.25; for k from 0 to 4 do x[k] := 0 + k*h od: y[0] := 0: for k from 0 to 3 do y[k+1] := y[k] + h*f(x[k],y[k]) od: lp := [seq([x[k], y[k]], k =0..4)];

Ta cuõng coù theå duøng thuû tuïc coù saün firsteuler trong thö vieän share nhö sau: with(share): readshare(ODE, plots): v2 := firsteuler((x,y) -¿ x+y, [0,0], .25 , 4); v3 := makelist(v2);

Trong khi ñoù nghieäm chính xaùc laø y := ’y’: v4 := dsolve(diff(y(x), x) = x + y(x), y(0) = 0, y(x));

vaø ta coù theå so saùnh nghieäm chính xaùc vôùi nghieäm gaàn ñuùng with(plots): v5 := plot(rhs(v4), x = 0..1, y = 0..0.7,style=line): v6 :=plot(lp, x = 0..1): v7 := textplot([1,.44,’xapxi’], [1,.65, ’y(x)’]): display(v5, v6, v7);

Ví duï: Thuaät toaùn Runge−Kutta caáp 2 (Phöông phaùp Heun)

93

5.3. Phöông trình vi phaân vaø phaàn meàm tính toaùn MAPLE.

0.7 y(x) 0.6

0.5 xapxi 0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

Hình 5.2: Nghieäm xaáp xæ theo phöông phaùp Euler

Phöông phaùp Runge−Kutta−Nystrom giaûi PTVP caáp II: Phöông phaùp naøy (goïi ngaén goïn laø RKN) ñeå giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân caáp II (khoâng nhaát thieát laø tuyeán tính) daïng sau ñaây y

(x) = f (x, y, y
),

y(x0 ) = y0 , y
(x0 ) = y0


Thuaät toaùn RKN theå hieän bôûi thuû tuïc sau ñaây.

94

Runge-Kutta cap 2 > Heun := proc(f,a,b,h,N) local k,x,y,k1,k2,ds: ds := array(0..N): x(0) := a: y(0) := b: for k from 0 to N do: ds[k] := [x(k),y(k)]: k1 := h*f(x(k),y(k)): k2 := h*f(x(k)+h,y(k)+k1): y(k+1) := y(k) + (k1+k2)/2:x(k+1) := x(k) +h: od: convert(ds, list); end: > Ketqua:= Heun((x,y) -> -y +x^2 +1, 0, 1, 0.1, 10); Ketqua := [ [ ,0 ]1, [ .1, 1.000500000 ], [ .2, 1.002902500 ], [ .3, 1.008926762 ], [ .4, 1.020128720 ], [ .5, 1.037916492 ], [ .6, 1.063564425 ], [ .7, 1.098225805 ], [ .8, 1.142944354 ], [ .9, 1.198664640 ], [ 1.0, 1.266241499 ] ] >

BAØI TAÄP 1. Baèng phöông phaùp xaáp xæ Picard, giaûi caùc baøi toaùn giaù trò ban ñaàu sau: (a) (b) (c)

x , y(0) = 1 (ñeán pheùp laëp thöù 3) y y
= x − y, y(0) = 1 (ñeán pheùp laëp thöù y
=

y
= xy + 2x − x3 ,

3) y(0) = 0 (ñeán pheùp laëp thöù 6)

2. Baèng phöông phaùp chuoãi nguyeân, giaûi gaàn ñuùng caùc baøi toaùn Cauchy sau: (a) (b)

y
= y, y(0) = 1 
y1 = x + y1 y2 , y1 (0) = 1 y2 (0) = 0 y2
= x2 − y12,

3. Baèng phöông phaùp Euler, giaûi gaàn ñuùng caùc baøi toaùn Cauchy sau: (a) (b)

y
= y,

treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.1 y(0) = 0 treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.2

y(0) = 1

y
= x + 2y 2,

4. Baèng phöông phaùp Euler caûi tieán, giaûi gaàn ñuùng caùc baøi toaùn Cauchy sau: (a) (b) (c)

treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.2 y
= xy, y(0) = 1 treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.2 y
= sin(x) + exp(−x), y(0) = 0 treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.1 y
= sin x + cos y,

y(0) = 0

95 Runge-Kutta cap 4 > RuKu := proc(f,a,b,h,N) local k,x,y,k1,k2,k3,k4,ds: ds := array(0..N): x(0) := a: y(0) := b: for k from 0 to N do: ds[k] := [x(k),y(k)]: k1 := h*f(x(k),y(k)): k2 := h*f(x(k)+h/2,y(k)+k1/2): k3 := h*f(x(k)+h/2,y(k)+k2/2): k4 := h*f(x(k)+h,y(k)+k3): y(k+1) := y(k) + (k1+2*k2+2*k3+k4)/6: x(k+1) := x(k) +h: od: convert(ds, list); end: > Ketqua:= RuKu((x,y) -> -y +x^2 -3*sin(12*x), 0, 2, 0.2, 10); Ketqua := [ [ ,0 ]2, [ .2, 1.235062198 ], [ .4, 1.233026563 ], [ .6, 1.159317171 ], [ .8, .6825934541 ], [ 1.0, 1.130402152 ], [ 1.2, .8797665300 ], [ 1.4, .9995772587 ], [ 1.6, 1.538792095 ], [ 1.8, 1.358256475 ], [ 2.0, 2.090610498 ] ] >

(d)

y
= −xy +

4x , y

y(0) = 1

treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.1

5. Baèng phöông phaùp Runge−Kutta caáp 4, giaûi gaàn ñuùng caùc baøi toaùn Cauchy sau ñaây roài so saùnh keát quaû vôùi phöông phaùp Euler töông öùng. Trong moãi tröôøng hôïp phöông phaùp naøo toát hôn? (a) (b) (c) (d)

1 y − , y(1) = −1 treân ñoaïn [1, 2] vôùi böôùc h = 0.1 2 x x
y = x + y, y(0) = −1 treân ñoaïn [0, 2] vôùi böôùc h = 0.1 y
=

treân ñoaïn [0, 1] vôùi böôùc h = 0.1 y(0) = 0 treân ñoaïn [0, 2] vôùi böôùc h = 0.1

y
= −2y + 2x2 + 2x, y
= 1 − y,

y(0) = 1

6. Cho baøi toaùn Cauchy y
+ 3y + 4 sin(2x) − 5x2 = 0, y(0) = −4

haõy tìm i) ii) iii) 4i)

Nghieäm chính xaùc y(x). Nghieäm xaáp xæ treân [0, 3] baèng phöông phaùp Euler vôùi h = 0.25 Nghieäm xaáp xæ treân [0, 3] baèng phöông phaùp Heun vôùi h = 0.3 Nghieäm xaáp xæ treân [0, 3] baèng phöông phaùp Runge−Kutta caáp 4 vôùi h = 0.5

96

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x

Hình 5.3: Nghieäm xaáp xæ theo phöông phaùp RK caáp 4 cuûa phöông trình −y (x) + x2 − 3 sin (12 x) , y(0) = 2.

d y dx

(x) =

5i) So saùnh caùc nghieäm xaáp xæ treân vôùi nghieäm chính xaùc treân moät vaøi ñoaïn con cuûa [0, 3]. 7. Baèng phöông phaùp Runge−Kutta−Nystrom, giaûi gaàn ñuùng caùc baøi toaùn Cauchy sau: (a) (b)

y

(x) = xy
(x) − 5y(x),

y(0) = 0, y
(0) = 3,

y

(x) = xy
(x) − 2y(x),

y(0) = 1, y
(0) = 0,

h = 0.2, N = 5.

h = 0.1, N = 10.

97 Runge-Kutta-Nystrom cho PTVP cap 2 > RKN := proc(f,x0,y0,yp0,h,N) local k,x,y,k1,k2,k3,k4,K,L,yp,ds: ds := array(0..N): x(0) := x0: y(0) := y0:yp(0) := yp0: for k from 0 to N do: ds[k] := [x(k),y(k)]: k1 := (h/2)*f(x(k),y(k),yp(k)): K:= (h/2)*(yp(k) + k1/2): k2 := (h/2)*f(x(k)+h/2,y(k)+K,yp(k)+k1): k3 := (h/2)*f(x(k)+h/2,y(k)+K,yp(k)+k2): L:=h*(yp(k) + k3): k4 := (h/2)*f(x(k)+h,y(k)+L,yp(k)+2*k3): y(k+1) := y(k) + h*(yp(k) + (k1+k2+k3)/3): yp(k+1) := yp(k) + (k1+2*k2+2*k3+k4)/3: x(k+1) := x(k) +h: od: eval(ds); end: > Ketqua:= RKN((x,y,yp) -> -(3*yp*x - 8*y -x^3*ln(x))/(x^2), 1, 3,-14, 0.2, 20): > KQ:= convert(Ketqua, list); KQ := [ [ ,1 ]3, [ 1.2, 1.140541096 ], [ 1.4, .2412019998 ], [ 1.6, -.2901097032 ], [ 1.8, -.6575264528 ], [ 2.0, -.9385326936 ], [ 2.2, -1.162682866 ], [ 2.4, -1.339098555 ], [ 2.6, -1.467253924 ], [ 2.8, -1.541622939 ], [ 3.0, -1.553845831 ], [ 3.2, -1.493810397 ], [ 3.4, -1.350225738 ], [ 3.6, -1.110944433 ], [ 3.8, -.7631534940 ], [ 4.0, -.2934936452 ], [ 4.2, .3118622442 ], [ 4.4, 1.067154953 ], [ 4.6, 1.986999625 ], [ 4.8, 3.086356027 ], [ 5.0, 4.380505131 ] ]

5

4

3 y 2

1

0

1

2

3

4

5

6

x –1

–2

Hình 5.4: Nghieäm xaáp xæ theo phöông phaùp RKN cuûa phöông trình x2 3 xD (y) (x) − 8 y (x) = x3 ln (x) , y(1) = 3, y
(1) = −14.



 D (2) (y) (x) +

98

Chöông 6 Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân Trong chöông naøy ta quan taâm ñeán vieäc tìm nghieäm cuûa PTVP döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa (hình thöùc). Trong raát nhieàu caùc baøi toaùn, ngöôøi ta quan taâm ñeán nghieäm cuûa PTVP trong laân caän naøo ñoù cuûa moät ñieåm x0 naøo ñoù, nhaát laø ñoái vôùi caùc PTVP coù ñieåm kyø dò.

6.1 Khaùi nieäm chuoãi luyõ thöøa. Trong baøi naøy ta nhaéc laïi moät caùch ngaén goïn caùc khaùi nieäm lieân quan ñeán chuoãi luyõ thöøa. Chi tieát veà vaán ñeà naøy coù theå tìm trong baát kyø giaùo trình toaùn cao caáp naøo veà phaàn giaûi tích haøm moät bieán soá. Chuoãi luyõ thöõa laø chuoãi haøm coù daïng 

an xn

(6.1)

n≥0

trong ñoù an laø caùc haèng soá (thöïc). Ngöôøi ta cuõng quan taâm ñeán caùc chuoãi luyõ thöøa toång quaùt vôùi soá haïng coù daïng an (x − x0 )n (khai trieån taïi x0 ) vì chæ sai khaùc chuoãi (6.1) bôûi pheùp tònh tieán giaù trò cuûa bieán t := x − x0 .

Mieàn hoäi tuï: Ta goïi mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi luyõ thöøa (6.1) laø taäp taát caû caùc ñieåm x maø taïi ñoù chuoãi soá n≥0 an xn hoäi tuï. Caùc keát quaû cuûa giaûi tích coå ñieån chæ ra raèng mieàn hoäi tuï cuûa chuoãi luyõ thöøa coù moät trong 4 daïng sau ñaây • [−R, R] • [−R, R) • (−R, R]

100

Chöông 6. Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân

• (−R, R)

trong ñoù soá thöïc khoâng aâm R ñöôïc goïi laø baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi (6.1), ñöôïc tính bôûi coâng thöùc sau    an   = lim 1 R = lim  n→∞ an+1  n→∞ n |a | n

Tröôøng hôïp R = 0, chuoãi luyõ thöøa (6.1) chæ hoäi tuï taïi moät ñieåm x = 0; trong khi neáu R = +∞, noù hoäi tuï taïi moïi ñieåm. Vôùi R höõu haïn khaùc khoâng, chuoãi luyõ thöøa (6.1) hoäi tuï tuyeät ñoái treân khoaûng (−R, R) vaø phaân kyø taïi nhöõng x sao cho |x| > R. Ví duï: Chuoãi n≥0 xn! coù baùn kính hoäi tuï R = +∞. chuoãi naøy hoäi tuï treân R vaø toång cuûa noù khoâng laø gì khaùc hôn haøm ex . Ví duï: Chuoãi n≥0 n!xn+1 coù baùn kính hoäi tuï baèng khoâng, do ñoù chæ hoäi tuï taïi x = 0. n

Caùc tính chaát giaûi tích cuûa chuoãi luyõ thöøa. Tröôùc heát ta nhaéc laïi moät tính chaát cô baûn khaúng ñònh söï hoäi tuï ñeàu cuûa chuoãi haøm luyõ thöøa beân trong mieàn hoäi tuï cuûa noù:

Ñònh lyù 6.1.1. chuoãi luyõ thöøa (6.1) hoäi tuï ñeàu treân moïi ñoaïn con [α, β] naèm beân trong

khoaûng hoäi tuï (−R, R) cuûa noù.

Töø tính chaát hoäi tuï ñeàu naøy cuûa chuoãi luyõ thöøa, ta coù theå giao hoaùn pheùp toång caùc soá haïng cuûa chuoãi vôùi caùc pheùp toaùn giaûi tích nhö laáy giôùi haïn, vi phaân, tích phaân. Chaúng haïn, keát quaû sau ñaây thöôøng ñöôïc duøng trong phöông trình vi phaân:

Ñònh lyù 6.1.2. Giaû söû chuoãi luyõ thöøa (6.1) coù baùn kính hoäi tuï R > 0. Khi ñoù toång S(x) cuûa chuoãi khaû vi voâ haïn laàn treân (−R, R) vaø S (k) (x) =



(an xn )(k) =

n≥0



an n(n − 1) . . . (n − k + 1)xn−k

n≥0

Khai trieån haøm thaønh chuoãi luyõ thöøa. Ta noùi raèng haøm f (x) khai trieån ñöôïc thaønh chuoãi luyõ thöø a trong laân caän cuûa x0 ∈ (a, b) neáu coù toàn taïi δ > 0 thích hôïp vaø moät chuoãi luyõ thöøa n≥0 an (x − x0 )n sao cho chuoãi naøy hoäi tuï treân (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b) vaø toång cuûa noù baèng f (x). Chaúng haïn, haøm ex khai trieån ñöôïc thaønh chuoãi luyõ thöøa treân R vì vôùi moïi x ∈ R ta coù ex = 1 +

x2 xn x + +···+ +··· 1! 2! n!

Cho tröôùc haøm f (x) khaû vi voâ haïn treân (a, b)  x0 , ta luoân luoân thieát laäp ñöôïc chuoãi luyõ thöøa f (x0 ) +

 f (n) (x0 ) f
(x0 ) (x − x0 ) + · · · = (x − x0 )n 1! n! n≥0

101

6.2. Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa.

vaø ñöôïc goïi laø chuoãi Taylor taïi x0 cuûa haøm f (x). Deã chöùng minh raèng neáu moät haøm khai trieån ñöôïc thaønh chuoãi luyõ thöøa thì khai trieån ñoù phaûi laø chuoãi Taylor cuûa haøm taïi ñieåm x = 0. Ta ñeå yù raèng chuoãi Taylor cuûa moät haøm khoâng nhaát thieát hoäi tuï vaø ngay caû khi noù hoäi tuï, toång cuûa chuoãi Taylor khoâng nhaát thieát truøng (trong laân caän cuûa ñieåm ñoù) vôùi haøm töông öùng vôùi noù. Chaúng haïn ñoái vôùi haøm  f (x) =

chuoãi Taylor cuûa noù taïi f (x).

x0 = 0

1

e− x2 0

neáu x = 0 neáu x = 0

laø chuoãi khoâng. Toång cuûa chuoãi naøy khaùc vôùi haøm

Khai trieån moät soá haøm sô caáp: Sau ñaây laø khai trieån cuûa moät soá haøm sô caáp ñôn giaûn vaø thoâng duïng nhaát ex = 1 + cos x = 1 − sin x = x −

x x2 xn + +···+ +··· , 1! 2! n!

∀x ∈ R

x2n x2 x4 + + · · · + (−1)n +··· , 2! 4! (2n)!

x3 x5 x2n+1 + + · · · + (−1)n +··· , 3! 5! (2n + 1)!

∀x ∈ R ∀x ∈ R

x2 xn + · · · + (−1)n−1 + · · · , ∀x ∈ (−1, 1) 2 n α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − n + 1) n x + · · ·+ x + · · · , ∀x ∈ (−1, 1) (1 + x)α = 1 + αx+ 2! n! ln(1 + x) = x −

Duøng caùc khai trieån cô baûn “saün coù” naøy ta coù theå thieát laäp ñöôïc khai trieån cuûa moät soá haøm sô caáp khaùc.

6.2 Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. Trong baøi naøy ta giôùi thieäu caùch tìm nghieäm döôùi daïng chuoãi voâ haïn1 cuûa moät lôùp roäng caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính, ñaëc bieät laø lôùp caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát caáp II:



P (x)y + Q(x)y
+ R(x)y = 0

(6.2)

Chuù yù raèng ta khoâng coù caùch giaûi toång quaùt cho phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát (thaäm chí cho caùc phöông trình “khaù ñôn giaûn” nhö y

− xy = 0) tröø tröôøng hôïp ñaëc bieät caùc heä soá ñeàu laø haèng. 1

102

Chöông 6. Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân

maø coù nhieàu öùng duïng quan troïng trong vaät lyù. YÙ töôûng khaù ñôn giaûn: Giaû söû raèng caùc haøm P (x), Q(x) vaø R(x) laø lieân tuïc trong moät laân caän cuûa ñieåm x0 vaø coù theå khai trieån thaønh chuoãi luyõ thöøa taïi x0 . Do tính chaát tuyeán tính thuaàn nhaát, ta hy voïng phöông trình (6.2) seõ chaáp nhaän nghieäm cho döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa y=

∞ 

(6.3)

an (x − x0 )n

n=0

Thay theá moät caùch hình thöùc chuoãi naøy vaøo phöông trình vi phaân ñaõ cho ñeå tìm caùc heä soá cuûa khai trieån. Ta seõ söû duïng keát quaû sau ñaây (töông töï nhö tröôøng hôïp ña thöùc).

Meänh ñeà 6.2.1. Moät chuoãi luyõ thöøa ñoàng nhaát baèng khoâng khi vaø chæ khi taát caû caùc heä soá cuûa noù baèng khoâng.

6.2.1 Caùc ví duï. Ví duï 1: Tìm nghieäm döôùi daïng chuoåi luyõ thöøa taïi 0 cuûa phöông trình: Giaûi: Ta tìm nghieäm döôùi y
=

∞ 

xy

− (x + 2)y
+ 2y = 0 n daïng y = ∞ n=0 an x . Ta coù

nan xn−1

vaø

y

=

n=1

∞ 

n(n − 1)an xn−2

n=2

hay, thay chæ soá


y =

∞ 

n

(n + 1)an+1 x

vaø





y =

n=0

∞ 

(n + 2)(n + 1)an+2 xn

n=0

Thay vaøo phöông trình ñaõ cho, ta ñöôïc x

∞ 

∞ ∞   n (n + 2)(n + 1)an+2 x − (x + 2) (n + 1)an+1 x + 2 an xn = 0

n=0

n=0

n

n=0

Cho taát caû caùc heä soá cuûa caùc luyõ thöøa cuûa x baèng khoâng, ta ñöôïc 2a0 − 2a1 = 0 2a1 − 2.2a2 − a1 + 2a2 = 0 2a2 − 2.3a3 − 2a2 + 3.2a3 = 0 2a3 − 2.4a4 − 3a3 + 4.3a4 = 0 ············ 2an − 2(n + 1)an+1 − nan + (n + 1)nan+1 = 0 ············

6.2. Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa.

103

Giaûi heä naøy ta tìm ñöôïc a1 = a0 (vôùi a0 tuyø yù) a1 a2 = 2 a3 tuyø yù an vôùi moïi n = 2 an+1 = n+1

Thay caùc heä soá naøy vaøo chuoãi y ta ñöôïc nghieäm 

y = a0

x2 1+x+ 2



  x5 x4 3 + +··· + a3 x + 4 4.5

vôùi a0 vaø a3 laø caùc haèng soá tuyø yù. Roõ raøng bieåu thöùc thöù hai ôû veá phaûi cuûa ñaúng thöùc naøy coù theå vieát döôùi daïng 

3!a3

vaø chính laø

 x3 x4 x5 + + +··· 3! 4! 5!



 x2 x 3!a3 e − 1 + x + 2

Vì vaäy ta tìm laïi ñöôïc nghieäm toång quaùt (döôùi daïng höõu haïn) cho bôûi bieåu thöùc   x2 + C2 ex y = C1 1 + x + 2

trong ñoù C1 := a0 − 3!a3 vaø C2 := 3!a3 laø nhöõng haèng soá tuyø yù. Ví duï 2: (Airy) Tìm nghieäm döôùi daïng chuoåi luyõ thöøa taïi 0 cuûa phöông trình Airy: y

− xy = 0

Giaûi: Ta tìm nghieäm döôùi daïng y =

∞ n=0

roài thay vaøo phöông trình Airy, ta ñöôïc: ∞ 

n(n − 1)an x

an xn .

n−2

−x

n=2

Hay 2a2 +

∞ 

Tính y
vaø y

töông töï nhö ví duï tröôùc ∞ 

an xn = 0

n=0

[(n + 2)(n + 1)an+2 − an−1 ] xn = 0

n=1

Ñoàng nhaát baèng khoâng caùc heä soá ta ñöôïc: 

=0 2a2 (n + 2)(n + 1)an+2 − an−1 = 0

vôùi moïi n = 1, 2, 3, . . .

104

Chöông 6. Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân

Töùc laø



a2 = 0 an−1 an+2 = (n + 2)(n + 1)

vôùi moïi n = 1, 2, 3, . . .

Heä phöông trình “truy toaùn” naøy cho pheùp ta tính taát caû caùc heä soá theo a0 vaø a1 . Keát quaû laø: •

Vì a2 =0 neân a5 = 0, a8 = 0, . . . . Töùc laø: a3k+2 = 0

•

Caùc heä soá a3 , a6, a9 , . . . laø boäi cuûa a0: a3k =

•

vôùi moïi k = 1, 2, 3, . . .

1 · a0 (2.3)(5.6) . . . ((3k − 1).3k)

vôùi moïi k = 1, 2, 3, . . .

Caùc heä soá a4 , a7, a10 , . . . laø boäi cuûa a1 : a3k+1 =

1 · a1 (3.4)(6.7) . . . (3k.(3k + 1))

vôùi moïi k = 1, 2, 3, . . .

Ñaët taát caû caùc heä soá naøy vaøo trong y ta ñöôïc nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình Airy laø , + ∞ y(x) = a0 1 + + + a1 x +



k=1 ∞  k=1

x3k (2.3)(5.6) . . . ((3k − 1).3k)

x3k+1 (3.4)(6.7) . . . (3k.(3k + 1))

,

trong ñoù a0 , a1 laø caùc haèng soá tuyø yù. Hieån nhieân, baøi toaùn Cauchy y(0) = a0, y
(0) = a1 coù lôøi giaûi laø chuoåi haøm naøy. Söï hoäi tuï cuûa chuoãi nghieäm seõ ñöôïc ñeà caäp trong muïc sau. Ví duï 3: (Euler) Tìm nghieäm döôùi daïng chuoåi luyõ thöøa taïi 0 cuûa phöông trình tuyeán tính caáp I:

Caùch giaûi: Ta cuõng baét ñaàu vôùi

ñöôïc

−x

−x2 y
+ y = x n chuoãi ∞ n=0 an x .

∞  n=1

nan xn−1 +

∞ 

Thay vaøo phöông trình ñaõ cho, ta

an xn = x

n=0

Ñoàng nhaát caùc heä soá ta ñöôïc a0 = 0, a1 = 1, . . . , an = (n − 1)an−1 , ∀n > 1

Töø ñoù

an = (n − 1)!, ∀n ≥ 1

105

6.2. Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa.

Ta thu ñöôïc chuoãi nghieäm y(x) =

∞ 

(n − 1)!xn

n=1

Nhöng, chuoãi maø ta thu ñöôïc laø phaân kyø (chính xaùc hôn, chæ hoäi tuï taïi x = 0) neân nghieäm chæ coù giaù trò “hình thöùc”. Tuy nhieân, trong lyù thuyeát pheùp toång cuûa caùc chuoåi phaân kyø (theo Borel), chuoãi naøy hoäi tuï treân (−1, 1). Baïn ñoïc quan taâm chi tieát xin tham khaûo [?].

6.2.2 Ñieåm kyø dò cuûa phöông trình vi phaân. Nhö ñaõ thaáy trong ví duï 3 ôû treân, nghieäm döôùi daïng chuoãi thöøa taïi ñieåm x0 naøo ñoù cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính coù theå khoâng toàn taïi, hoaëc toàn taïi moät caùch hình thöùc (chuoãi khoâng hoäi tuï). Ñieàu ñoù noùi chung laø do nghieäm thöïc söï khoâng theå khai trieån ñöôïc thaønh chuoãi luyõ thöøa. Chaúng haïn trong ví duï treân, nghieäm toång quaùt cuûa PTVP tuyeán tính −x2 y
+ y = x laø −1/x

y(x) = C.e

−1/x

−e




1

x

1 e1/t dt t

vôùi C laø haèng soá tuyø yù. Bieåu thöùc ôû veá phaûi khoâng theå khai trieån ñöôïc thaønh toång cuûa chuoãi luyõ thöøa. Sau ñaây, ta xeùt chuû yeáu caùc phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát caáp II daïng (6.4)

P (x)y

+ Q(x)y
+ R(x)y = 0

vôùi P, Q, R laø caùc haøm “ñuû toát” (ña thöùc chaúng haïn). Ñònh nghóa 6.2.1. Neáu x0 laø ñieåm sao cho P (x0) = 0, vaø ít nhaát Q(x0 ) = 0 hay R(x) = 0 thì x0 ñöôïc goïi laø ñieåm kyø dò (singular point) cuûa phöông trình (6.4). Ngöôïc laïi, ta noùi x0 laø ñieåm thöôøng (ordinary point). Ñònh nghóa 6.2.2. Ñieåm kyø dò x0 ñöôïc goïi laø kyø dò chính qui neáu toàn taïi höõu haïn caùc giôùi haïn sau: lim (x − x0 )

x→x0

Q(x) =a P (x)

vaø

lim (x − x0 )2

x→x0

R(x) =b P (x)

Ngöôïc laïi, x0 ñöôïc goïi laø kyø dò khoâng chính qui Ta löu yù raèng trong laân caän cuûa ñieåm thöôøng x0 , phöông trình (??) coù theå vieát döôùi daïng y

+ p(x)y
+ q(x)y = 0

(6.5)

trong ñoù p(x), q(x) bò chaën trong laân caän cuûa x0 Ñònh lyù sau ñaây cho ta thoâng tin veà baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi nghieäm cuûa (6.5)

106

Chöông 6. Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân

Ñònh lyù 6.2.1 (L.Fuchs (1833-1902)). Giaû söû p(x), q(x) trong phöông trình (6.5) coù theå

khai trieån ñöôïc thaønh chuoãi luyõ thöøa hoäi tuï treân (−r, r) (vôùi r > 0). Khi ñoù, vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = y0 , y
(x0 ) = y0
cho tröôùc, phöông trình (6.5) coù duy nhaát moät nghieäm chuoãi luyõ thöøa y(t), maø cuõng hoäi tuï treân (−r, r).

Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luyõ thöøa nghieäm ít nhaát laø r. Trong tröôøng hôïp p(x), q(x) laø ña thöùc, nghieäm chuoãi luyõ thöøa cuûa (6.5) luoân toàn taïi vaø coù mieàn hoäi tuï laø R. Ví duï: Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình Airy hoäi tuï treân R. Nhaän xeùt: Trong tröôøng hôïp phöông trình coù x0 nhö laø ñieåm kyø dò chính qui, noù coù theå chaáp nhaän nghieäm coù daïng chuoãi luyõ thöøa vôùi soá muõ aâm (trong giaûi tích phöùc ta goïi laø khai trieån Laurentz) hoaëc soá muõ khoâng nguyeân. Trong khi, ñoái vôùi ñieåm kyø dò khoâng chính qui, nghieäm döôùi daïng chuoãi voâ haïn noùi chung laø phaân kyø (nghieäm hình thöùc).

Phöông trình Euler vaø phöông phaùp Frobenius. Ta quan taâm ñeán moät lôùp phöông trình vi phaân nhaän

phöông trình Euler

x0 = 0

laø ñieåm kyø dò, goïi laø (6.6)

x2 y

+ Axy
+ By = 0

trong ñoù A, B laø hai soá thöïc tuyø yù. Theo caùch phaân loaïi treân, x0 = 0 laø ñieåm kyø dò chính qui vì lim x

x→0

Ax =A x2

vaø

lim x2

x→0

B =B x2

Caùch tìm nghieäm cuûa phöông trình Euler khaù ñôn giaûn: chæ caàn ñeå yù raèng ñeå moät luyõ thöøa xr naøo ñoù laø nghieäm thì soá muõ r phaûi thoaû maõn phöông trình (gioáng nhö phöông trình ñaëc tröng cuûa phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát!) r(r − 1) + Ar + B = 0

hay (6.7)

r 2 + (A − 1)r + B = 0

Tuyø theo bieät thöùc cuûa phöông trình naøy ta phaân bieät caùc tröôøng hôïp sau: •

Neáu (6.7) coù 2 nghieäm thöïc phaân bieät trình Euler laø

r 1 , r2 ,

thì nghieäm toång quaùt cuûa phöông

y(x) = C1 xr1 + C2 xr2

•

Neáu (6.7) coù nghieäm keùp r0 = 1−A . Ñeå tìm nghieäm thöù hai, ta duøng phöông phaùp 2 bieán thieân haèng soá baèng caùch ñaët y(x) = C(x)xr ; ta tìm thaáy C(x) = ln x. Vaäy nghieäm toång quaùt laø 0

y(x) = C1 xr0 + C2 xr0 ln x

107

6.2. Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. •

Neáu (6.7) coù 2 nghieäm phöùc lieân hôïp α ± iβ , ta coù theå vieát xα±iβ = xα e±β ln x = xα [cos(β ln x) ± i sin(β ln x)]

Taùch phaàn thöïc vaø phaàn phöùc ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt y(x) = C1 xα cos(β ln x) + C2 xα sin(β ln x)

Ví duï: Giaûi phöông trình x2 y

− 2y = 0. Nghieäm toång quaùt laø

y(x) = C1 x2 +

C2 x

Caùch giaûi phöông trình Euler gôïi cho ta phöông phaùp tìm nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân (6.5) trong tröôøng hôïp noù coù kyø dò chính qui taïi x 0 = 0 nhö sau. Vieát laïi phöông trình x2 y

+ x[xp(x)]y
+ [x2 q(x)]y = 0

Giaû söû ta coù theå vieát xp(x) vaø x2 q(x) döôùi daïng (vì 0 laø ñieåm kyø dò chính qui) xp(x) =

∞ 

pn xn

vaø

x2 p(x) =

n=0

∞ 

qn xn

n=0

khi ñoù ta coù theå tìm nghieäm döôùi daïng chuoãi voâ haïn r

y(x) = x

∞ 

an xn

n=0

Thay chuoãi naøy vaøo phöông trình ñaõ cho ñeå tìm r vaø caùc heä soá thoaû maõn phöông trình

an .

Roõ raøng r phaûi

r 2 + (1 − p0 )r + q0 = 0

maø ñöôïc goïi laø phöông trình chæ soá cuûa (6.5). Phöông phaùp maø ta vöøa trình baøy ñöôïc goïi laø phöông phöông phaùp Frobenius. Sau ñaây laø vaøi ví duï Ví duï: Tìm nghieäm cuûa PTVP xy

+ 2y
− xy = 0. Phöông trình naøy coù x = 0 laø ñieåm kyø dò chính qui, theo phöông phaùp Frobenius ta tìm nghieäm döôùi daïng r

y=x

∞ 

n

an x =

n=0

∞ 

an xn+r

n=0

Caùc ñaïo haøm y
vaø y

laø y
=

∞  n=0

(n + r)an xn+r−1

vaø

y

=

∞  n=0

(n + r)(n + r − 1)an xn+r−2

108

Chöông 6. Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân

Thay vaøo phöông trình ñaõ cho ta ñöôïc ∞ 

(n + r)(n + r − 1)an xn+r−1 + 2

n=0

∞ 

(n + r)an xn+r−1 −

n=0

∞ 

an xn+r+1 = 0

n=0

Nhoùm caùc heä soá cuûa cuøng luyõ thöøa cuûa x vaø cho taát caû caùc heä soá naøy baèng khoâng ta ñöôïc heä (r + 1)ra0 = 0 (r + 1)(r + 2)a1 = 0 (r + n + 1)(r + n + 2)an+1 − an−1 = 0

vôùi moïi n = 1 Töø phöông trình ñaàu tieân, neáu choïn giaù trò r = −1 ta tìm ñöôïc caùc heä soá an laø a0 , a1 tuyø yù an−1 an+1 = n(n + 1)

vôùi moïi n = 1

Thay caùc heä soá vaøo bieåu thöùc nghieäm ta ñöôïc nghieäm toång quaùt laø  1 x x3 y(x) = a0 + + +··· x 2! 4!   x2 x4 + a1 1 + + +··· 3! 5! 

Neáu töø phöông trình ñaàu tieân, ta choïn r = 0 thì chæ ñöôïc chuoãi thöù nhaát. Nghieäm toång quaùt treân ñaây thöïc ra coù theå bieåu dieãn döôùi daïng giaûi tích neáu duøng caùc khai trieån cuûa caùc haøm hyperbolic: cosh x :=

ex + e−x x2 x4 =1+ + +··· 2 2! 4!

sinh x :=

ex − e−x x3 x5 =x+ + +··· 2 3! 5!

vaø

Töø ñoù, coù theå vieát nghieäm toång quaùt döôùi daïng y = a0

cosh x sinh x + a1 x x

hay y = C1

ex e−x + C2 x x

Phöông trình vi phaân Chebyshev: Phöông trình Chebyshev coù daïng (1 − x2 )y

− xy
+ α2 y = 0

(6.8)

109

6.2. Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa.

Noù coù caùc ñieåm kyø dò chính qui taïi ±1 vaø ∞. Ta coù theå tìm nghieäm cuûa noù döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa y=

∞ 

an xn

n=0

Tính caùc ñaïo haøm y
vaø y

vaø thay vaøo phöông trình (6.8) ta ñöôïc: (2a2 + α2 a0 ) + [(α2 − 1)a1 + 6a3 ]x+ 2 2 n + ∞ n=2 [(n + 2)(n + 1)an+2 + (α − n )an ]x = 0

Caân baèng caùc heä soá cuûa caùc luyõ thöøa cuûa x ta ñöôïc: 2a2 + α2 a0 = 0, (α2 − 1)a1 + 6a3 = 0 ..................... an+2 =

n2 − α2 an (n + 1)(n + 2)

Ví duï: Giaûi phöông trình Chebyshev vôùi α = 1.

Giaû söû nghieäm coù daïng y = coù: a0

tuyø yù ,

a1

tuyø yù ,

∞

n=0

an xn .

AÙp duïng caùc coâng thöùc treân vôùi α = 1, ta

1 [(2n − 2)2 − 1][(2n − 4)2 − 1] · · · (−1) a0 a2 = − a0 , . . . , a2n = 2 (2n)! a3 = 0, . . . , a2n+1 = 0

Ta coù [(2n − 2)2 − 1][(2n − 4)2 − 1] · · · (−1) (n − 3/2) · · · (1/2)(−1/2) = = (2n)! n! =

(1/2)(−1/2)(−3/2) · · · (1/2 − n + 1) (−1)n n!

Do ñoù nghieäm toång quaùt laø +

y = a1 x + a0 1 +

∞  (1/2)(−1/2)(−3/2) · · · (1/2 − n + 1)

n!

n=1

Hay

√ y = a1 x + a0 1 − x2

, (−1)n x2n

trong ñoù a0, a1 laø caùc haèng soá tuyø yù. Nhaän xeùt: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình Chebyshev coù theå vieát döôùi daïng y = a0 cos(α arcsin x) +

a1 sin(α arcsin x) α

110

Chöông 6. Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân

Vaø neáu thöïc hieän pheùp theá arcsin x =

π − arccos x 2

ta coù theå vieát laïi

y = C1 cos(α arccos x) + C2 sin(α arccos x) √ = C1 Tα (x) + C2 1 − x2 Uα−1 (x)

Trong tröôøng hôïp α = n ∈ N, Tn vaø Un laø caùc ña thöùc, ñöôïc goïi laø ña thöùc Chebyshev loaïi I vaø loaïi II töông öùng.

6.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm. Trong muïc naøy ta xeùt daùng ñieäu cuûa nghieäm trong laân caän cuûa ñieåm kyø dò khoâng chính qui. Nhö ñaõ löu yù ôû muïc tröôùc, chuoãi luyõ thöøa trong laân caän cuûa ñieåm ñoù khoâng hoäi tuï, nhöng noùi chung laïi laø khai trieån tieäm caän cuûa moät nghieäm thöïc söï cuûa phöông trình ñang xeùt.

6.3.1 Sô löôïc veà khai trieån tieäm caän. Cho tröôùc caùc haøm soá f (x), g(x) xaùc ñònh trong laân caän cuûa x0 . Kyù hieäu f = o(g),

x → x0

maø ñeå dieãn taû “f beù hôn nhieàu so vôùi g khi x daàn ñeán x0 ”, neáu lim

x→x0

Trong khi ñoù, kyù hieäu

f (x) =0 g(x)

f (x) ∼ g(x),

x → x0

ñeå dieãn taû “f tieäm caän vôùi g khi x daàn ñeán x0 ” neáu f − g = o(g),

hoaëc töông ñöông, lim

x→x0

x → x0

f (x) =1 g(x) ∞

Ñònh nghóa 6.3.1. Chuoãi luyõ thöøa (hình thöùc)

vôùi haøm f (x) khi x daàn ñeán x0, vaø vieát f (x) ∼

∞ 

an (x − x0 )n

n=0

an (x − x0 )n

ñöôïc goïi laø tieäm caän

(x → x0 )

n=0

neáu vôùi moïi soá töï nhieân N ta ñeàu coù f (x) −

N  n=0

an (x − x0 )n = o(x − x0 )N

(x → x0 )

111

6.3. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm.

Moät ñònh nghóa töông ñöông vôùi ñònh nghóa treân laø f (x) −

N 

an (x − x0 )n ∼ aM (x − x0 )M

(x → x0 )

n=0

trong ñoù aM laø heä soá ñaàu tieân khaùc khoâng sau aN . Nhaän xeùt: Moät chuoãi luyõ thöøa tieäm caän vôùi moät haøm khoâng nhaát thieát hoäi tuï. Neáu moät haøm khai trieån ñöôïc thaønh chuoãi Taylor hoäi tuï thì ñoù cuõng laø khai trieån tieäm caän cuûa haøm. Ngoaøi ra, trong tröôøng hôïp hoäi tuï, toång cuûa noù cuõng khoâng nhaát thieát truøng vôùi haøm soá ñoù. Ta cuõng löu yù raèng, caùc heä soá cuûa chuoãi tieäm caän xaùc ñònh moät caùch duy nhaát nhôø caùc coâng thöùc sau ñaây a0 = limx→x0 f (x) f (x) − a0 a1 = limx→x0 x − x0 ........................................ −1 n f (x) − N n=0 an (x − x0 ) aN = limx→x0 (x − x0 )N

Meänh ñeà 6.3.1 (Caùc pheùp toaùn). Cho tröôùc f (x) ∼

∞ 

an (x − x0 )n

(x → x0 )

bn (x − x0 )n

(x → x0 )

n=0

g(x) ∼

∞  n=0

Khi ñoù αf (x) + βg(x) ∼

∞ 

(αan + βbn )(x − x0 )n

n=0 ∞ 

f (x)g(x) ∼

cn (x − x0 )n

(x → x0 )

(x → x0 )

n=0

f (x) ∼ g(x)

trong ñoù cn =

n k=0

ak bn−k

∞ 

dn (x − x0 )n

(x → x0 )

n=0

vaø neáu b0 = 0 thì

a0 d0 = b0

vaø dn =

an −

n−1 k=0

dk bn−k

b0

6.3.2 Daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm gaàn ñieåm kyø dò khoâng chính qui. Xeùt phöông trình vi phaân tuyeán tính thuaàn nhaát caáp II y

+ p(x)y
+ q(x)y = 0

(6.9)

112

Chöông 6. Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân

Trong laân caän cuûa ñieåm kyø dò, noùi chung ta coù theå tìm nghieäm tieäm caän cuûa phöông trình ñaõ cho döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. Nhöng noùi chung, ta thu ñöôïc chuoãi phaân kyø vaø baûn thaân chuoãi tieäm caän ñoù khoâng cho ta thoâng tin veà daùng ñieäu cuûa nghieäm thöïc söï trong laân caän cuûa ñieåm naøy. Ñeå tìm daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm ta seõ tìm caùc soá haïng maø “troäi hôn” nhöõng soá haïng khaùc trong bieåu thöùc tieäm caän cuûa noù. Ta seõ goïi thaønh phaàn laøm thay ñoåi daùng ñieäu tieäm caän nhanh nhaát laø “nhaân töû ñieàu khieån”. Vì haøm muõ thay ñoåi daùng ñieäu nhanh nhaát, neân ta coù theå thay theá (theo Green, Liouville (1837)) nghieäm y(x) bôûi y(x) = eS(x)

vaøo phöông trình (6.9) (6.10)

S

+ (S
)2 + p(x)S
+ q(x) = 0

Ñaây laø phöông trình noùi chung khoâng ñôn giaûn hôn phöông trình (6.9). Tuy nhieân, trong laân caän ñieåm kyø dò khoâng chính qui x0 haàu nhö ta coù ñaùnh giaù S

<< (S
)2 ,

(6.11)

x → x0

Khi ñoù, ta coù theå “queân” soá haïng S

trong (6.10) vaø thu ñöôïc phöông trình tieäm caän (S
)2 ∼ −p(x)S
− q(x),

(6.12)

x → x0

maø thöôøng deã giaûi hôn phöông trình ban ñaàu. Nghieäm cuûa noù xöùng ñaùng duøng ñeå xaáp xæ cho nghieäm chính xaùc cuûa phöông trình ban ñaàu. Löu yù: Giaû thieát (6.11) khoâng ñuùng ñoái vôùi tröôøng hôïp x 0 laø ñieåm thöôøng hoaëc ñieåm kyø dò chính qui. Nhö theá, ta chæ coù theå tìm nghieäm xaáp xæ theo caùch naøy trong laân caän cuûa (phaàn lôùn) caùc ñieåm kyø dò khoâng chính qui. Ví duï: Tìm daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm cuûa phöông trình x3 y

= y trong laân caän ñieåm x = 0. Ta nhaän thaáy x = 0 laø ñieåm kyø dò khoâng chính qui. Thay y = eS(x) vaøo phöông trình ñaõ cho, ta ñöôïc (S
)2 ∼ x−3 (x → 0+). Vì vaäy, hai nghieäm thu ñöôïc laø S(x) ∼ ±2x−1/2 ,

x → 0+

Thöïc teá ta coù theå “caûi thieän” nghieäm tieäm caän baèng caùch xeùt ñeán soá haïng tieáp theo soá haïng ñaàu, töùc laø ñaët 1

S(x) = 2x− 2 + C(x),

1

C(x) << 2x− 2 ,

x → 0+

Thay bieåu thöùc naøy vaøo phöông trình (6.10) ta ñöôïc 3 −5/2 x + C

− 2x−3/2 C
+ (C
)2 = 0 2

113

6.3. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm.

Ta coù theå thu ñöôïc phöông trình tieäm caän baèng caùch ñaùnh giaù nhö sau. Vì S
∼ −x−3/2 neân C
<< x−3/2 (x → 0+) vaø C

<< x−5/2 (x → 0+). Do ñoù, (C
)2 << x−3/2 C
, (x → 0+). Boû qua caùc soá haïng khoâng ñaùng keå trong phöông trình treân ta thu ñöôïc 3 −5/2 x ∼ −2x−3/2 C
2

Töø ñoù ta tìm ñöôïc C(x) ∼

3 ln x 4

vaø coù theå vieát

1 3 S(x) = 2x 2 + ln x + D(x), 4 −

D(x) << ln x,

x → 0+

Laïi tieáp tuïc quaù trình ñaùnh giaù treân (chi tieát xin daønh cho ñoäc giaû) ta ñöôïc D(x) = d + δ(x) 3

trong ñoù d laø haèng soá naøo ñoù vaø δ(x) ∼ − x1/2 khi x → 0+. Vì daùng ñieäu tieäm caän 16 cuûa nghieäm ñöôïc ñoùng goùp chuû yeáu bôûi caùc soá haïng trong S(x) maø khoâng trieät tieâu khi x → 0+, neân ta coù y(x) ∼ exp(2x−1/2 +

Hay,

3

3 ln x + d), 4

y(x) ∼ c1 x 4 e2x

−1/2

,

x → 0+

x → 0+

Neáu baét ñaàu vôùi S(x) ∼ −2x− ta thu ñöôïc nghieäm 1 2

3

y(x) ∼ c1 x 4 e−2x

−1/2

,

x → 0+

Phöông phaùp caân baèng troäi: Töø ví duï treân ta coù theå toång quaùt thaønh moät phöông phaùp chung ñeå tìm daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm trong laân caän cuûa ñieåm kyø dò khoâng chính qui, goïi teân laø phöông phaùp caân baèng troäi. YÙ töôûng cuûa noù theå hieän qua caùc böôùc sau ñaây. •

Vöùt boû taát caû caùc soá haïng xuaát hieän beù roài thay phöông trình ñuùng baèng heä thöùc tieäm caän.

•

Thay quan heä tieäm caän bôûi phöông trình vaø giaûi moät caùch chính xaùc phöông trình naøy.

•

Kieåm tra raèng nghieäm maø ta thu ñöôïc phuø hôïp vôùi caùc xaáp xæ trong böôùc ñaàu tieân.

114

Chöông 6. Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân

6.3.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm: Nhö ñaõ bieát neáu phöông trình vi phaân coù kyø dò (khoâng chính qui) taïi x0 , noùi chung ta khoâng tìm ñöôïc nghieäm döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. Thay vaøo ñoù, neáu bieát khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm, ta coù theå moâ taû ít nhieàu veà nghieäm ñoù, chaúng haïn, coù theå thöïc hieän caùc tính toaùn soá moät caùch xaáp xæ. Tuy nhieân cuõng khoâng deã tìm khai trieån tieäm caän cuûa moät phöông trình vi phaân noùi chung. Moät trong nhöõng phöông phaùp “hình hoïc” laø tìm caùch bieåu dieãn nghieäm döôùi daïng tích phaân roài tìm khai trieån tieäm caän cuûa noù. Ta minh hoaï phöông phaùp baèng moät ví duï cuï theå sau ñaây. Xeùt phöông trình Euler: y
+ y = 1/x

ñaây laø phöông trình vi phaân tuyeán tính vôùi x = 0 laø ñieåm kyø dò. Moät nghieäm rieâng cuûa noù cho bôûi tích phaân
x y = e−x

x−1 ex dx

−∞

maø hoäi tuï neáu x aâm. Ngoaøi ra, phöông trình chaáp nhaän moät nghieäm hình thöùc döôùi daïng chuoãi voâ haïn 1 2! n! 1! + 2 + 3 + · · · + n+1 + · · · x x x x

Ta chæ ra chuoãi naøy laø khai trieån tieäm caän taïi −∞ cuûa nghieäm rieâng noùi treân. Thaät vaäy, baèng caùch tích phaân töøng phaân lieân tieáp, ta coù −x




x

e

1! 1 2! n! + 2 + 3 + · · · + n+1 + Rn x x x x

x−1 ex dx =

−∞

vôùi −x




Rn = (n + 1)!e

|Rn | ≤ (n + 1)!|x

x−n−2 ex dx

−∞

Do ñoù, vôùi x < 0, ta coù −n−2

x

−x

|e




x

ex dx =

−∞

(n + 1)! |x−n−2 |

Vaäy chuoãi treân tieäm caän vôùi nghieäm rieâng cho bôûi tích phaân.

6.3.4 Sô löôïc veà phöông phaùp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) Trong muïc naøy ta quan taâm ñeán phöông trình Schodinger ε2 y

= Q(x)y

(6.13)

115

6.3. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm.

trong ñoù ε → 0 ñöôïc goïi laø tham soá nhieãu ñoùng vai troø haèng soá Planc trong cô hoïc löôïng töû. Noäi dung cô baûn cuûa phöông phaùp WKB laø tìm nghieäm hình thöùc cuûa (6.13) döôùi daïng + , 1 y(x) ∼ exp Sn (x)εn , ε n=0 ∞

ε→0

Thay theá hình thöùc chuoãi naøy vaøo phöông trình (6.13) vaø caân baèng caùc heä soá cuûa caùc luyõ thöøa cuûa ε ta ñöôïc (S0
)2 = Q(x) 2S0
S1
+ S0

= 0 ........................

2S0
Sn
+ Sn−1 +

n−1 j=1


Sj
Sn−j = 0,

(n ≥ 2)

Phöông trình cho S0 ñöôïc goïi laø phöông trình eikonal; noù coù nghieäm laø


S0 (x) = ±

x



Q(t)dt

Caùc phöông trình coøn laïi ñöôïc goïi laø caùc phöông trình chuyeån, chuùng cho pheùp xaùc ñònh caùc Sn (x) sai khaùc haèng soá coäng baèng truy hoài. Tuy nhieân, ñaây laø nhöõng phöông trình vi phaân noùi chung raát khoù tích phaân. Chaúng haïn, 1 S1 (x) = − ln Q(x) 4


x Q

5(Q
)2 S2 (x) = ± − dt, ..... 8Q3/2 32Q5/2

Tuy vaäy, neáu chæ quan taâm ñeán daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm khi ε → 0 thì ta coù −1/4

y(x) ∼ C1 Q


1 (x) exp ε

x






1 −1/4 Q(t)dt +C2 Q (x) exp − ε

x



 Q(t)dt ,

ε→0

116

Chöông 6. Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân

BAØI TAÄP 1. Giaûi caùc phöông trình vi phaân sau baèng phöông phaùp chuoãi luyõ thöøa: (a) (b) (c)

(x2 − 1)y

+ 4xy
+ 2y = 0 y

+ x2 y
+ xy = 0 xy

− 2y
+ xy = 0

2. Baèng phöông phaùp chuoãi luyõ thöøa, tìm moät nghieäm rieâng cuûa phöông trình, roài tìm nghieäm toång quaùt: (a) (b)

xy

+ 2y
− xy = 0 xy

+ (2 − x)y
− y = 0

3. Giaûi caùc phöông trình vi phaân sau ñaây baèng phöông phaùp Frobenius: (a) (b) (c)

4x2 y

+ 4xy
− y = 0 xy

+ 3y
− x3 y = 0 x2 y

+ (x − 2x3 )y
− (1 + 2x2 )y = 0

4. Haøm Bessel baäc n ∈ N, kyù hieäu laø cuûa phöông trình vi phaân sau ñaây:

Jn (x),

laø nghieäm trieät tieâu n laàn taïi x = 0

x2 y

+ xy
+ (x2 − n2 )y = 0

(a) Haõy bieãu dieãn Jn (x) döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. (b) Kieåm tra raèng chuoãi bieãu dieãn J0 vaø J1 laø hoäi tuï vôùi moïi x. (c) Chöùng toû raèng

d (xJ1 (x)) = xJ0 (x) dx

5. Phöông trình Hermit caáp n ∈ N laø phöông trình vi phaân sau: y

− 2xy
+ 2ny = 0

(a) Vôùi n = 5 haõy tìm nghieäm rieâng thoûa ñieàu kieän y(0) = 0, y
(0) = 1. (b) Chöùng toû raèng vôùi n leû (t.ö. chaün) thì nghieäm rieâng thoaû ñieàu kieän y(0) = 0, y
(0) = 1 (t.ö. y(0) = 1, y
(0) = 0 luoân coù daïng ña thöùc (goïi laø ña thöùc Hermit baäc n, kyù hieäu laø Hn(x)) (c) Tìm Hn vôùi n = 0, 1, 2, 3, 4 vaø ñeám soá khoâng ñieåm cuûa chuùng. (d) Vôùi n = 3 haõy tìm nghieäm rieâng thoûa ñieàu kieän y(0) = 0, y
(0) = 1.

Phuï luïc A Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình vi phaân. Trong raát nhieàu lónh vöïc cuûa Toaùn hoïc, Vaät lyù, Kyõ thuaät,... ta thöôøng gaëp caùc pheùp bieán ñoåi tích phaân, maø moät caùch toång quaùt coù daïng sau


b

f (t) −→ F (s) :=

K(s, t)f (t)dt a

trong ñoù K(s, t) ñöôïc goïi laø nhaân cuûa pheùp bieán ñoåi ñoù. Trong phaàn naøy ta giôùi thieäu moät pheùp bieán ñoåi quan troïng vôùi nhaân raát ñaëc bieät K(s, t) = e−st vaø ñöôïc goïi laø pheùp bieán ñoåi Laplace.

A.1 Bieán ñoåi Laplace. Cho tröôùc haøm f (t) xaùc ñònh treân [0, +∞), ta goïi bieán ñoåi Laplace cuûa f laø
L {f (s)} = F (s) =

∞

e−st f (t)dt

0

(A.1)

Ñeå baûo ñaûm tích phaân ôû veá phaûi hoäi tuï, haøm f phaûi khaû tích treân caùc khoaûng höõu haïn vaø quan troïng laø phaûi coù caáp taêng “vöøa phaûi”. Cuï theå f caàn thoaû maõn ñaùnh giaù |f (t)| ≤ KeAt ,

vôùi moïi t > M

maø khi ñoù f ñöôïc noùi laø taêng caáp muõ.

Meänh ñeà A.1.1. Neáu f (t) xaùc ñònh vaø lieân tuïc töøng khuùc treân moïi ñoaïn höõu haïn cuûa [0, +∞)

vaø coù ñoä taêng muõ thì bieán ñoåi Laplace cuûa f (t) laø toàn taïi.

Chöùng minh: Kieåm tra tröïc tieáp.

118

Phuï luïc A. Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình vi phaân.

Neáu F (s) laø aûnh cuûa bieán ñoåi Laplace cuûa Laplace ngöôïc cuûa F (s), vaø kyù hieäu laø

f (t)

thì ta cuõng noùi

f (t)

laø bieán ñoåi

f (t) = L−1 {F }

Trong maët phaúng phöùc, bieán ñoåi Laplace ngöôïc cho bôûi 1 f (t) = 2iπ




a+i∞

vôùi a > 0

est F (s)ds,

a−i∞

Caùc ví duï: •

Bieán ñoåi Laplace cuûa 1


L {1} =

•

Bieán ñoåi Laplace cuûa eat - . L eat =




∞

∞

e−st dt =

0




−st at

e

∞

e dt =

0

1 s

e−(s−a)t dt =

0

1 s−a

vôùi ñieàu kieän s > a. •

Bieán ñoåi Laplace cuûa sin(at)




L {sin(at)} =

∞

e−st sin(at)dt

0

Baèng caùch tích phaân töøng phaàn hai laàn, ta thu ñöôïc L {sin(at)} =

vaø töø ñoù •

1 s2 − L {sin(at)} a a2

L {sin(at)} =

s2

a + a2

Töông töï, bieán ñoåi Laplace cuûa cos(at) laø L {cos(at)} =

s s2 + a2

Caùc tính chaát: •

Tính tuyeán tính: Bieán ñoåi Laplace vaø Laplace ngöôïc laø caùc toaùn töû tuyeán tính L {αf + βg} = αL {f } + βL {g} L−1 {αF + βG} = αL−1 {F } + βL−1 {G}

119

A.2. Giaûi phöông trình vi phaân baèng pheùp bieán ñoåi Laplace: •

Bieán ñoåi Laplace cuûa ñaïo haøm:





L {f } (s) = •

∞ 0

e−st f
dt = sL {f } (s) − f (0)

Bieán ñoåi Laplace cuûa ñaïo haøm caáp cao:

. L f (n) (t) (s) = sn L {f } − sn−1 f (0) − sn−2 f
(0) − · · · − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0)

•

Bieán ñoåi Laplace cuûa tích phaân: 


L •

Pheùp tònh tieán:



t

f (u)du (s) = 0

L {f } s

. L eat f (t) = L {f } (s − a)

Baûng caùc pheùp bieán ñoåi Laplace thoâng duïng: f 1 t tn tα eat

L {f (t)} (s) 1 s 1 s2 n! sn+1 Γ(α+1) sα+1 1 s−a

Mieàn xaùc ñònh s>0 s>0 s > 0, n ∈ N a>0 s>a

cos(at)

s s2 +a2

s>0

sin(at)

a s2 +a2

s>0

cosh(at)

s s2 −a2

s > |a|

sinh(at)

a s2 −a2

s > |a|

eat cos(bt)

s−a (s−a)2 +b2

s>a

eat sin(bt)

b (s−a)2 +b2

s>a

A.2 Giaûi phöông trình vi phaân baèng pheùp bieán ñoåi Laplace: Ñeå giaûi phöông trình vi phaân (nhaát laø ñoái vôùi caùc phöông trình vi phaân tuyeán tính) baèng caùch duøng bieán ñoåi Laplace ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau.

120

Phuï luïc A. Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình vi phaân.

•

Bieán ñoåi Laplace hai veá cuûa phöông trình, ta thu ñöôïc phöông trình (vi phaân) theo Y (s) := L {y} (s)

•

Giaûi phöông trình naøy ñeå tìm Y (s)

•

Trôû veà nghieäm ban ñaàu baèng pheùp bieán ñoåi Laplace ngöôïc y(x) := L−1 {Y } (x)

Ví duï: Giaûi baøi toaùn Cauchy sau ñaây: y

− y
− 2y = 0,

y(0) = 1, y
(0) = 0

Bieán ñoåi Laplace hai veá, ta thu ñöôïc: L {y

} − L {y
} − 2L {y} = 0

hay töông töông s2 Y − sy(0) − y
(0) − [sY − y(0)] − 2Y = 0

Giaûi phöông trình naøy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu, ta thu ñöôïc Y (s) =

s−1 1 1 2 1 = + s2 − s − 2 3s−2 3s+1

Duøng pheùp bieån ñoåi Laplace ngöôïc ta thu ñöôïc lôøi giaûi 2 1 y(x) = e2t + e−t 3 3

Ví duï: Giaûi baøi toaùn Cauchy y

+ y = sin(2x), vôùi y(0) = 2, y
(0) = 1. Thöïc hieän bieán ñoåi Laplace caû hai veá, ta thu ñöôïc s2 Y (s) − sy(0) − y
(0) + Y =

s2

2 +4

Thay ñieàu kieän ban ñaàu vaøo bieåu thöùc naøy roài giaûi tìm Y (s), ta ñöôïc Y (s) =

2s 5 1 2 1 (2s + 1)(s2 + 4) + 2 = 2 + 2 − 2 2 2 (s + 4)(s + 1) s +1 3s +1 3s +4

Qua pheùp bieán ñoåi ngöôïc ta thu ñöôïc Y (s) = 2 cos t +

1 5 sin t − sin(2t) 3 3

121

A.2. Giaûi phöông trình vi phaân baèng pheùp bieán ñoåi Laplace:

Bieán ñoåi Laplace cuûa haøm Heaviside: Haøm Heaviside coù böôùc nhaûy taïi x = c laø haøm ñònh nghóa bôûi  0 neáu x < 0 Hc (x) = 1 neáu x ≥ c Bieán ñoåi Laplace cuûa haøm Heaviside laø


L {Hc (t)} =

∞

−st

e 0




∞

Hc (t)dt =

e−st dt =

c

e−sc (s > 0) s

Ngoaøi ra ta cuõng coù bieán ñoåi Laplace cuûa tích cuûa moät haøm baát kyø vôùi haøm Heaviside:


∞

L {Hc (t)f (t − c)} =

e−st f (t − c)dt = e−sc L {f (t)}

c

Töông töï ta coù

. L ect f (t) =


0

∞

e−st ect f (t)dt = F (s − c)

trong ñoù F (s) laø bieán ñoåi Laplace cuûa f (t). L−1 {F (s − c)} = ect f (t)

Ví duï: Giaûi baøi toaùn y

+ 4y = g(t) vôùi y(0) = 0 vaø y
(0) = 0 ôû ñaây  0     t−5 5     1

neáu neáu neáu

t<5 5 ≤ t < 10 10 ≤ t

Tröôùc heát, ta bieãu dieãn haøm g qua caùc haøm Heaviside: g(t) =

1 [H5 (t).(t − 5) − H10 (t).(t − 10)] 5

Bieán ñoåi Laplace Hai veá, ta tìm ñöôïc Y (s) =

Ta

1 1 (e−5s − e−10s ) 2 2 5 s (s + 4)



 1 t 1 coù L 2 2 = − sin 2t vaø töø ñoù ta tìm ñöôïc nghieäm s (s + 4) 4 8  

  1 t − 5 sin 2(t − 5) t − 10 sin 2(t − 10) − − y(t) = H5 (t) − H10 (t) 5 4 8 4 8

Trong vaät lyù ta thöôøng gaëp haøm (suy roäng) Delta cuûa Dirac, kyù hieäu laø δ(t) ñònh nghóa nhö sau
∞ δ(t)dt = 1 δ(t) = 0, ∀t = 0, vaø −∞

122

Phuï luïc A. Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình vi phaân.

Coù theå hieåu δ nhö laø giôùi haïn cuûa haøm sau  ga (t) :=

trong ñoù a > 0. Deã thaáy raèng

∞ −∞

0 1 2a

neáu |t| > a neáu |t| ≤ a

ga (t)dt = 1

vôùi moïi a > 0. Khi ñoù

δ(t) := lim ga (t) a→0+

Bieán ñoåi Laplace cuûa δ(t) laø L {δ(t − t0 )} =




∞ 0

e−st δ(t − t0 )dt = e−st0

A.2. Giaûi phöông trình vi phaân baèng pheùp bieán ñoåi Laplace:

123

124

Phuï luïc A. Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình vi phaân.

Taøi lieäu tham khaûo [1] Hoaøng Höõu Ñöôøng, Lyù thuyeát phöông trình vi phaân. Nhaø xuaát baûn ÑH vaø THCN (1977).

[2] Nguyeãn Theá Hoaøn, Traàn Vaên Nhung, Baøi taäp phöông trình vi phaân. Nhaø xuaát baûn ÑH vaø THCN (1979).

[3] E.A. Coddington, N.Levinson, Theory of ordinary differential equations. Newyork (1955).

[4] E.L. Ince, Ordinary differential equations. Dover Pub. (1956). [5] C.M. Bender, St.A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and engineers. Mc Graw-Hill Book Inc. Company (1978).