Giai Phuong Trinh Vi Phan[1]

Chúng ta có thể áp dụng lý thuyết trị riêng và véc tơ riêng trong đại số để giải hệ phương trình vi phân. Thay vì trình bày lý thuyết, chúng ta xét một số ví dụ. Ví dụ 1. Giải hệ sau, trong đó x, y, z là các hàm của biến độc lập t. −y −z  x ' = 2x  −z  y ' = − x + 2y z ' = − x − y + 2z  Bước 1: Thành lập ma trận của hệ  2 −1 −1   A =  −1 2 −1  −1 −1 2  Bước 2: Tìm các trị riêng 2−λ

−1

−1

−1 2 − λ −1 = 0 ⇔ –λ (λ – 3)2 = 0 ⇒ λ 1 = 0, λ 2 = 3 (kép). −1 −1 2 − λ Bước 3: Ứng với mỗi trị riêng, tìm các véc tơ riêng rồi suy ra nghiệm cơ bản  2 −1 −1  x  0       Với λ = 0:  −1 2 −1  y  = 0  ⇒  −1 −1 2   z  0 

•

 2x − y − z = 0   − x + 2y − z = 0 ⇒  − x − y + 2z = 0 

x = s  y = s z = s  x  1  y  ⇒   = s 1 ⇒ u1 =  z  1

1 1  1

Vậy một nghiệm cơ bản là v1 = (x1, y1, z1) = (1.e0t,1.e0t,1.e0t) = (1, 1, 1). •

 −1 −1 −1   Với λ = 3:  −1 −1 −1  −1 −1 −1  x = −s − t  x   −1  −1        ⇒ y = s ⇒  y  = s  1 + t  0  ⇒ u2 = z = t  z   0   1 

Hai nghiệm cơ bản v2 = (x2, y2, z2) = (–e3t, e3t, 0), v3 = (x3, y3, z3) = (–e3t, 0, e3t). Bước 4: Viết công thức nghiệm tổng quát x = C1x1 + C2x2 + C3x3 = 1 – C2e3t – C3e3t,

 x  0  − x − y − z = 0  y  0  − x − y − z = 0   =  ⇒  z  0   − x − y − z = 0  −1  1   , u3 =  0 

 −1  0    1

y = C1y1 + C2y2 + C3y3 = 1 + C3e3t, z = C1z1 + C2z2 + C3z3 = 1 + C2e3t. Bước 5: (không bắt buộc) Kiểm tra lại bằng cách đạo hàm x, y, z rồi thay vào phương trình ban đầu. Nhận xét: Trong ví dụ trên, nếu giải bằng phương pháp hệ số bất định thì nhận được hệ đạ số 9 phương trình 9 ẩn. Mặc dù hệ này không phức tạp nhưng cũng rất dễ nhầm lẫn. Ví dụ 2. (Phương trình đặc trưng có nghiệm phức) Giải hệ  x ' = x − 2y   y ' = 2x + y z ' = z  Bước 1: Thành lập ma trận của hệ  1 −2 0   1 0  A = 2  0 0 1 Bước 2: Tìm các trị riêng = (1 – λ )[(1 – λ )2 + 4] = 0 ⇒ λ 1 = 1, λ 2 = 1 + i2, λ 3 = 1 – i2. Bước 3: Ứng với mỗi trị riêng, tìm các véc tơ riêng rồi suy ra nghiệm cơ bản •

Với λ = 1: x = 0 0      y = 0 ⇒ u1 = 0  ⇒ v1 = (x1, y1, z1) = (0, 0, et). z = s  1 

•

Với λ = 1 + i2:  x = is i      y = s ⇒ u 3 = 1  ⇒ v2* = (x2, y2, z2) = (ie(1+ i2)t, e(1+ i2)t, 0) = et(iei2t, ei2t, 0) = z = 0 0  

= et(–sin2t + icos2t, cos2t + isin2t, 0). Không cần xét trị riêng liên hợp còn lại, thành lập được hai nghiệm cơ bản từ nghiệm phức v2* từ phần thực và phần ảo: v2 = et(–sin2t, cos2t, 0), v3 = et(cos2t, sin2t, 0). Bước 4: Viết công thức nghiệm tổng quát x = et(–C2sin2t + C3cos2t), y = et(C2cos2t + C3sin2t), z = C1et. Bước 5: Kiểm tra lại.