Phan-dang-phuong-trinh-luong-giac.pdf

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

CHƯƠNG 0

ÔN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

sin

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

tang

I. HỆ THỨC CƠ BẢN

OP = cos a OQ = sin a AT = tan a BT ' = cot a

Q

O

Nhận xét:

B

T

T'

cotang

M a

p

A

cosin

· "a , - 1 £ cos a £ 1; - 1 £ sin a £ 1 · tana xác định khi a ¹

p + kp , k Î Z 2

· cota xác định khi a ¹ kp , k Î Z 2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư

I

II

II

IV

sina

+

+

–

–

cosa

+

–

–

+

tana

+

–

+

–

cota

+

–

+

–

Giá trị lượng giác

3. Hệ thức cơ bản: sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1 1 1 1 + tan 2 a = ; 1 + cot 2 a = cos2 a sin 2 a 4. Cung liên kết: Cung đối nhau

Cung bù nhau

cos(-a ) = cos a

sin(p - a ) = sin a

sin(-a ) = - sin a

cos(p - a ) = - cos a

tan(-a ) = - tan a

tan(p - a ) = - tan a

cot(-a ) = - cot a

cot(p - a ) = - cot a Trang 1

Cung phụ nhau æp ö sin ç - a ÷ = cos a è2 ø æp ö cos ç - a ÷ = sin a è2 ø æp ö tan ç - a ÷ = cot a è2 ø æp ö cot ç - a ÷ = tan a è2 ø

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

p 2

Cung hơn kém p

Cung hơn kém

sin(p + a ) = - sin a

æp ö sin ç + a ÷ = cos a è2 ø

cos(p + a ) = - cos a

æp ö cos ç + a ÷ = - sin a è2 ø

tan(p + a ) = tan a

æp ö tan ç + a ÷ = - cot a è2 ø

cot(p + a ) = cot a

æp ö cot ç + a ÷ = - tan a è2 ø

5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt 0

p 6

p 4

p 3

p 2

2p 3

3p 4

p

3p 2

2p

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

sin

0

1 2

2 2

3 2

1

3 2

2 2

0

–1

0

cos

1

3 2

2 2

1 2

0

–1

0

1

tan

0

3 3

1

3

3

1

3 3

cot

-

-

2 2

- 3

–1

3 3

–1

-

0

1 2

0

0

0

II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: sin(a + b) = sin a. cos b + sin b.cos a sin(a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a cos(a + b) = cos a. cos b - sin a.sin b cos(a - b) = cos a. cos b + sin a.sin b Hệ quả:

tan a + tan b 1 - tan a.tan b tan a - tan b tan(a - b) = 1 + tan a.tan b tan(a + b) =

æp ö 1 + tan a tan ç + a ÷ = , è4 ø 1 - tan a

æp ö 1 - tan a tan ç - a ÷ = è4 ø 1 + tan a

Trang 2

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác III. CÔNG THỨC NHÂN

1. Công thức nhân đôi: sin 2a = 2 sin a .cos a cos 2a = cos2 a - sin 2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a tan 2a =

2 tan a 1 - tan 2 a

; cot 2a =

cot 2 a - 1 2 cot a

Công thức hạ bậc

Công thức nhân ba (*)

1 - cos 2a 2 1 + cos 2a 2 cos a = 2 1 cos 2a tan2 a = 1 + cos 2a

sin 3a = 3sin a - 4sin3 a cos 3a = 4 cos3 a - 3cos a 3tan a - tan3 a tan 3a = 1 - 3 tan 2 a

sin 2 a =

2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan

a : (*) 2

a 2t Đặt: t = tan (a ¹ p + 2 kp ) thì: sin a = ; 2 1 + t2

cos a =

1 - t2 1+ t

2

; tan a =

IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích: sin(a + b) cos a.cos b sin(a - b) tan a - tan b = cos a.cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a.sin b sin(b - a) cot a - cot b = sin a.sin b

a+b a-b . cos 2 2 a+b a-b cos a - cos b = - 2 sin .sin 2 2 a+b a-b sin a + sin b = 2sin .cos 2 2 a+b a-b sin a - sin b = 2 cos .sin 2 2 cos a + cos b = 2 cos

tan a + tan b =

æ æ pö pö sin a + cos a = 2.sin ç a + ÷ = 2.cos ç a - ÷ 4ø 4ø è è æ æ pö pö sin a - cosa = 2 sin ç a - ÷ = - 2 cos ça + ÷ è 4ø è 4ø 2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 é cos(a - b) + cos(a + b)ùû 2ë 1 sin a.sin b = éë cos(a - b) - cos(a + b)ùû 2 1 sin a.cos b = éësin(a - b) + sin(a + b) ùû 2 cos a.cos b =

Trang 3

2t 1 - t2

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

V. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ y = sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T = éë -1, 1ùû ; hàm lẻ, chu kỳ T0 = 2p . 2p a

*

y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 =

*

y = sin(f(x)) xác định Û f ( x ) xác định.

y = cos x : Tập xác định D = R; tập giá trị T = éë -1, 1ùû ; hàm chẵn, chu kỳ T0 = 2p . 2p a

*

y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 =

*

y = cos(f(x)) xác định Û f ( x ) xác định.

ìp ü y = tan x : Tập xác định D = R \ í + kp , k Î Z ý ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = p . î2 þ

p a

*

y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 =

*

y = tan(f(x)) xác định Û f ( x ) ¹

p + kp (k Î Z ) 2

y = cot x : Tập xác định D = R \ {kp , k Î Z } ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = p .

p a

*

y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 =

*

y = cot(f(x)) xác định Û f ( x ) ¹ kp (k Î Z ) .

*

y = f1(x) có chu kỳ T1 ;

y = f2(x) có chu kỳ T2

Thì hàm số y = f1 ( x ) ± f2 ( x ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.

Trang 4

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

CHƯƠNG I

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1.

Phương trình sinx = sina é x = a + k 2p a) sin x = sin a Û ê (k Î Z ) ë x = p - a + k 2p b) sin x = a. Ñieàu kieän : - 1 £ a £ 1 é x = arcsin a + k 2p sin x = a Û ê (k Î Z ) ë x = p - arcsin a + k 2p c) sin u = - sin v Û sin u = sin(- v) æp ö d) sin u = cos v Û sin u = sin ç - v ÷ è2 ø æ pö e) sin u = - cos v Û sin u = sin ç v - ÷ è 2ø

Các trường hợp đặc biệt: sin x = 0 Û x = kp (k Î Z ) sin x = 1 Û x =

p + k 2p (k Î Z ) 2

sin x = - 1 Û x = -

sin x = ± 1 Û sin 2 x = 1 Û cos2 x = 0 Û cos x = 0 Û x = 2.

p + k 2p (k Î Z ) 2

p + kp (k Î Z ) 2

Phương trình cosx = cosa a) cos x b) cos x cos x c) cos u

= cos a Û x = ± a + k 2p (k Î Z ) = a. Ñieàu kieän : - 1 £ a £ 1 = a Û x = ± arccos a + k 2p (k Î Z ) = - cos v Û cos u = cos(p - v)

æp ö d) cos u = sin v Û cos u = cos ç - v ÷ è2 ø æp ö e) cos u = - sin v Û cos u = cos ç + v ÷ è2 ø Các trường hợp đặc biệt: p cos x = 0 Û x = + kp (k Î Z ) 2 cos x = 1 Û x = k 2p (k Î Z )

cos x = - 1 Û x = p + k 2p (k Î Z )

cos x = ± 1 Û cos2 x = 1 Û sin 2 x = 0 Û sin x = 0 Û x = kp (k Î Z ) Trang 5

Phương trình lượng giác 3.

Trần Sĩ Tùng

Phương trình tanx = tana a) tan x = tan a Û x = a + kp (k Î Z ) b) tan x = a Û x = arctan a + kp (k Î Z ) c) tan u = - tan v Û tan u = tan(- v) æp ö d) tan u = cot v Û tan u = tan ç - v ÷ è2 ø æp ö e) tan u = - cot v Û tan u = tan ç + v ÷ è2 ø

Các trường hợp đặc biệt: tan x = 0 Û x = kp (k Î Z ) 4.

tan x = ± 1 Û x = ±

p + kp (k Î Z ) 4

Phương trình cotx = cota cot x = cot a Û x = a + kp (k Î Z ) cot x = a Û x = arccot a + kp (k Î Z )

Các trường hợp đặc biệt: p cot x = 0 Û x = + kp (k Î Z ) 2 5.

cot x = ± 1 Û x = ±

p + kp (k Î Z ) 4

Một số điều cần chú ý: a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. p * Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x ¹ + kp (k Î Z ). 2 * Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x ¹ kp (k Î Z ) * Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x ¹ k

p (k Î Z ) 2

* Phương trình có mẫu số: · sin x ¹ 0 Û x ¹ kp (k Î Z )

p + kp (k Î Z ) 2 p · tan x ¹ 0 Û x ¹ k (k Î Z ) 2 p · cot x ¹ 0 Û x ¹ k (k Î Z ) 2 b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 2. Dùng đường tròn lượng giác. 3. Giải các phương trình vô định. · cos x ¹ 0 Û x ¹

Trang 6

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

Baøi 1. Giải các phương trình:

æ pö 1) cos ç 2 x + ÷ = 0 6ø è æ pö 4) sin ç 3 x + ÷ = 0 3ø è 7) sin ( 3 x + 1) =

1 2

æ pö 2) cos ç 4 x - ÷ = 1 3ø è æx pö 5) sin ç - ÷ = 1 è2 4ø

(

)

8) cos x - 150 =

æp ö 3) cos ç - x ÷ = -1 è5 ø æp ö 6) sin ç + 2 x ÷ = -1 è6 ø

2 2

æx pö 3 9) sin ç - ÷ = 2 è2 3ø

(

æp ö 1 10) cos ç - 2 x ÷ = 11) tan ( 2 x - 1) = 3 2 è6 ø æ æ pö pö 13) tan ç 3 x + ÷ = -1 14) cot ç 2 x - ÷ = 1 6ø 3ø è è Baøi 2. Giải các phương trình:

)

12) cot 3 x + 10 0 =

3 3

15) cos(2x + 250) = -

1) sin(3 x + 1) = sin( x - 2)

æ æ pö pö 2) cos ç x - ÷ = cos ç 2 x + ÷ 3ø 6ø è è

3) cos3 x = sin 2 x æ æ pö pö 5) cos ç 2 x + ÷ + cos ç x - ÷ = 0 3ø 3ø è è

4) sin( x - 120 0 ) + cos 2 x = 0 æp x ö 6) sin 3 x + sin ç - ÷ = 0 è 4 2ø

æ æ pö pö 7) tan ç 3 x - ÷ = tan ç x + ÷ 4ø 6ø è è

æ æ pö pö 8) cot ç 2 x - ÷ = cot ç x + ÷ 4ø 3ø è è

9) tan(2 x + 1) + cot x = 0

10) cos( x 2 + x ) = 0

11) sin( x 2 - 2 x ) = 0

12) tan( x 2 + 2 x + 3) = tan 2

13) cot 2 x = 1

14) sin 2 x =

1 2 æ pö 16) sin 2 ç x - ÷ = cos2 x 4ø è

1 2 Baøi 3. Giải các phương trình: 1) cos3 x.tan 5 x = sin 7 x 15) cos x =

2) tan 5 x .tan 2 x = 1 4) 3sin 3 x - 3 cos 9 x = 1 + 4sin3 3 x

3) 4 cos x - 2 cos 2 x - cos 4 x = 1 5) cos3 x.cos3 x + sin 3 x.sin 3 x = Baøi 4. Giải các phương trình:

2 2

2 4

6)

1) 2 cos x - sin x = 1 1 - cos x 3) tan 2 x = 1 - sin x Baøi 5. Giải và biện luận các phương trình: 1) (m - 1) sin x + 2 - m = 0

1 3 + = 8 cos x cos x sin x

2) sin x + cos 3 x = 0 1 4) cot x = tan x + sin x 2) sin m. cos x = 1 4) (m + 1)sin 2 x + 1 - m2 = 0

3) (m - 4) tan 2 x - m = 0

Trang 7

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX

Dạng: a.sinx +b.cosx = c (1)

Cách 1: · Chia hai vế phương trình cho a 2 + b2 ta được: a b c (1) Û sin x + cos x = a 2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a b · Đặt: sin a = , cos a = (a Î éë0, 2p ùû) 2 2 2 2 a +b a +b c (1) trở thành: sin a .sin x + cos a .cos x = a2 + b2 c Û cos( x - a ) = = cos b (2) a 2 + b2 · Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là: c £ 1 Û a 2 + b2 ³ c 2 . 2 2 a +b · (2) Û x = a ± b + k 2p (k Î Z ) Cách 2: x p = + kp có là nghiệm hay không? 2 2 x b) Xét x ¹ p + k 2p Û cos ¹ 0. 2 x 2t 1 - t2 Đặt: t = tan , thay sin x = , cos x = , ta được phương trình bậc hai theo t: 2 1 + t2 1 + t2 a) Xét x = p + k 2p Û

(b + c)t 2 - 2at + c - b = 0 (3) Vì x ¹ p + k 2p Û b + c ¹ 0, nên (3) có nghiệm khi:

D ' = a 2 - (c 2 - b 2 ) ³ 0 Û a 2 + b 2 ³ c 2 . Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan

x = t0 . 2

Ghi chú: 1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận. 2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 ³ c2 . 3) Bất đẳng thức B.C.S: y = a.sin x + b.cos x £

a2 + b2 . sin 2 x + cos2 x = a 2 + b2

Û min y = - a2 + b2 vaø max y =

a2 + b2 Û

Trang 8

sin x cos x a = Û tan x = a b b

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

2) sin x + cos x =

1) cos x + 3 sin x = 2 3 cos3 x + sin 3 x = 2 æp ö 5) 3 sin 2 x + sin ç + 2 x ÷ = 1 è2 ø Baøi 2. Giải các phương trình sau:

4) sin x + cos x = 2 sin 5 x

3)

6)

(

3 - 1) sin x - ( 3 + 1) cos x + 3 - 1 = 0

2) sin 8 x - cos 6 x = 3 ( sin 6 x + cos8 x )

1) 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3 3) 8 cos x =

6 2

3 1 + sin x cos x

æp ö 4) cos x - 3 sin x = 2 cos ç - x ÷ è3 ø 6) cos 7 x - sin 5 x = 3(cos 5 x - sin 7 x )

5) sin 5 x + cos 5 x = 2 cos13 x 7) sin 8 x - cos 6 x = 3(sin 6 x + cos8 x ) Baøi 3. Giải các phương trình sau:

1) (3 cos x - 4 sin x - 6)2 + 2 + 3(3 cos x - 4 sin x - 6) = 0 2) (4 sin x - 5 cos x ) 2 - 13(4 sin x - 5 cos x ) + 42 = 0 5 +8= 0 3) 12 cos x + 5 sin x + 12 cos x + 5 sin x + 14 6 4) 3 cos x + 4sin x + =6 3cos x + 4sin x + 1 Baøi 4. Giải các phương trình sau: 1) 3sin x - 2 cos x = 2 3) cos x + 4sin x = -1 5) 4 sin x - 3 cos x = 5 7) 2 sin 2 x + 3 cos 2 x = 13 sin 14 x Baøi 5. Giải các phương trình sau:

2) 3 cos x + 4 sin x - 3 = 0 4) 2sin x - 5 cos x = 5 6) 3 sin 2 x + 2 cos 2 x = 3 9 8) 3 cos x + 2 3 sin x = 2

æ æ æ pö pö 3 2 pö 1) 2sin ç x + ÷ + sin ç x - ÷ = 2) 3 cos 2 x + sin 2 x + 2 sin ç 2 x - ÷ = 2 2 è 4ø è 4ø 2 è 6ø Baøi 6. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) (m + 2)sin x + m cos x = 2 2) (m + 1) cos x + (m - 1)sin x = 2m + 3 1 3 sin 2 x + sin 2 x = m 2 Baøi 7. Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm: 1) (2 m –1)sin x + (m – 1) cos x = m – 3 2) sin x + m cos x = 1 3) (m - 1)sin x + 2 m cos x = m 2

4)

1 + sin x là số nguyên. 2 + cos x Baøi 9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau: 1) y = (2 - 3 ) sin 2 x + cos 2 x 2) y = (sin x - cos x ) 2 + 2 cos 2 x + 3 sin x cos x Baøi 8. Tìm x sao cho y =

sin x + 2 cos x + 1 cos x + 2 sin x + 3 4) y = 2 cos x - sin x + 4 sin x + cos x + 2 Baøi 10. Tìm các giá trị của a để phương trình có nghiệm x 0 được chỉ ra:

3) y =

1) (cos a + 3 sin a - 3 ) x 2 + ( 3 cos a - 3 sin a - 2) x + sin a - cos a + 3 = 0 ; x0 = 1 . 2) (2 sin a - cos 2 a + 1) x 2 - ( 3 sin a ) x + 2 cos 2 a - (3 - 3 ) sin a = 0 ; x0 = 3 . Trang 9

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng a sin 2 x + b sin x + c = 0

Đặt t = sinx

Điều kiện -1 £ t £ 1

a cos2 x + b cos x + c = 0

t = cosx

-1 £ t £ 1

a tan 2 x + b tan x + c = 0

t = tanx

a cot 2 x + b cot x + c = 0

t = cotx

p + kp (k Î Z ) 2 x ¹ kp (k Î Z )

x¹

Nếu đặt: t = sin 2 x hoaëc t = sin x thì ñieàu kieän : 0 £ t £ 1. (tương tự đối với cosx) Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) 3) 5) 7)

2sin2x + 5cosx + 1 = 0 3 sin 2 2 x + 7 cos 2 x - 3 = 0 cos 2 x - 5 sin x - 3 = 0 6 sin 2 3 x + cos12 x = 14

2) 4) 6) 8)

4sin2x – 4cosx – 1 = 0 6 cos 2 x + 5 sin x - 7 = 0 cos 2 x + cos x + 1 = 0 4 sin 4 x + 12 cos 2 x = 7

10) 4sin 2 x - 2 ( 3 + 1) sin x + 3 = 0

9) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) tan 2 x + (1 - 3 ) tan x - 3 = 0

2) cot 2 x + ( 3 - 1) cot x - 3 = 0

3) cot 2 2 x - 4 cot 2 x + 3 = 0

4) 7 tan x - 4 cot x = 12 pö æ 6) tan 2 ç 2 x - ÷ = 3 4ø è

5) tan2x + cot2x = 2 Baøi 3. Giải các phương trình sau:

1) 4 sin 2 3 x + 2 ( 3 + 1) cos3 x - 3 = 4

2) 4 cos3 x + 3 2 sin 2 x = 8cos x 1 3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) - ( 3 + 3 ) tan x - 3 + 3 = 0 cos2 x 3 4 5) + tan2x = 9 6) 9 – 13cosx + =0 cos x 1 + tan 2 x 1 1 7) = cotx + 3 8) + 3cot2x = 5 2 2 sin x cos x x 4 9) cos2x – 3cosx = 4 cos2 10) 2cos2x + tanx = 2 5 æ sin 3 x + cos3 x ö 3 + cos 2 x Baøi 4. Cho phương trình ç sin x + . Tìm các nghiệm của phương ÷= 1 + 2 sin 2 x ø 5 è trình thuộc ( 0; 2p ) . Baøi 5. Cho phương trình: cos 5 x.cos x = cos 4 x.cos 2 x + 3cos 2 x + 1 . Tìm các nghiệm của phương trình thuộc ( -p ; p ) . æ pö pö 5 4æ ÷ + sin ç x - ÷ = . è 4ø è 4ø 4 Baøi 7. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m: 1 sin 4 x + cos 4 x + m sin x.cos x = 2 Baøi 6. Giải phương trình : sin 4 x + sin 4 ç x +

Trang 10

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d (1)

Cách 1: · Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không? p Lưu ý: cosx = 0 Û x = + kp Û sin 2 x = 1 Û sin x = ± 1. 2 · Khi cos x ¹ 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ¹ 0 ta được: a.tan 2 x + b. tan x + c = d (1 + tan 2 x ) · Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: (a - d )t 2 + b.t + c - d = 0 Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 1 - cos 2 x sin 2 x 1 + cos 2 x (1) Û a. + b. + c. = d 2 2 2 Û b.sin 2 x + (c - a).cos 2 x = 2 d - a - c (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) 5sin 2 x + 2 3 sin x .cos x + 3cos2 x = 2

2) 3sin2 x + 8sin x .cos x + 4 cos2 x = 0

5) 4 sin 2 x + 3 3 sin x .cos x - 2 cos2 x = 4 1 7) sin 2 x + sin 2 x - 2 cos2 x = 2 Baøi 2. Giải các phương trình sau:

6) 3cos 4 x - 4sin 2 x cos2 x + sin 4 x = 0

3) 3sin 2 x + 8sin x .cos x + ( 8 3 - 9 ) cos2 x = 0 4) 2 cos2 x – 3sin x.cos x + sin 2 x = 0

8) cos2 x + 3sin 2 x + sin x.cos x –1 = 0

1) 2sin 2 x + (1 - 3 ) sin x.cos x + (1 - 3 ) cos2 x = 1

3) 2sin 2 x - ( 3 + 3 ) sin x.cos x + ( 3 - 1) cos2 x = -1

( 4) (

3)

2 - 1 ) sin 2 x + sin 2 x + ( 2 + 1) cos2 x = 2

3 + 1) sin 2 x - 2 3 sin x.cos x + ( 3 - 1) cos2 x = 0 Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) sin 3 x + 2sin x.cos 2 x – 3cos 3 x = 0

2)

3 sin x .cos x - sin 2 x =

3) sin3 x - 5sin 2 x.cos x - 3sin x .cos2 x + 3cos3 x = 0 Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) (m + 1)sin 2 x – sin 2 x + 2 cos2 x = 1 2) (3m – 2)sin 2 x – (5m – 2)sin 2 x + 3(2m + 1) cos2 x = 0 3) m sin 2 x + sin 2 x + 3m cos2 x = 1 4) (m 2 + 2) cos2 x - 2 m sin 2 x + 1 = 0

Trang 11

2 -1 2

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 æ pö · Đặt: t = sin x ± cos x = 2.sin ç x ± ÷ ; t £ 2 è 4ø 1 Þ t 2 = 1 ± 2sin x. cos x Þ sin x. cos x = ± (t 2 - 1). 2 · Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa t £ 2. Suy ra x. æ æ pö pö · sin x + cos x = 2 sin ç x + ÷ = 2 cos ç x - ÷ è 4ø è 4ø æ æ pö pö · sin x - cos x = 2 sin ç x - ÷ = - 2 cos ç x + ÷ è 4ø è 4ø Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 æ pö · Đặt: t = sin x ± cos x = 2. sin ç x ± ÷ ; Ñk : 0 £ t £ 2. è 4ø Lưu ý:

1 Þ sin x .cos x = ± (t 2 - 1). 2 · Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Dạng 3: Phương trình đối xứng theo tang và cotang. æ ö p Đặt t = tan x + cot x ç x ¹ k ; t ³ 2 ÷ è 2 ø Baøi 1. Giải các phương trình:

1) 2 sin 2 x - 3 3 ( sin x + cos x ) + 8 = 0 2) 2 ( sin x + cos x ) + 3sin 2 x = 2 3) 3 ( sin x + cos x ) + 2 sin 2 x = -3

4) (1 - 2 ) (1 + sin x + cos x ) = sin 2 x

5) sin x + cos x – 4sin x .cos x – 1 = 0 Baøi 2. Giải các phương trình: 1) sin 2 x - 4 ( cos x - sin x ) = 4

2) 5sin 2 x –12(sin x – cos x ) + 12 = 0

3) (1 - 2 ) (1 + sin x - cos x ) = sin 2 x æ pö 5) sin 2 x + 2 sin ç x - ÷ = 1 è 4ø Baøi 3. Giải các phương trình:

6) (1 + 2 ) ( sin x + cos x ) - sin 2 x = 1 + 2

4) cos x – sin x + 3sin 2 x – 1 = 0 1 1 6) =2 2 cos3 x sin 3 x 3 2) 1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2 x 2

1) sin3 x + cos3 x = 1 + ( 2 - 2 ) sin x.cos x

3) 3 tan 2 x + 4 tan x + 3cot 2 x + 4 cot x + 2 = 0 4) 2sin 2 x - 3 6 sin x + cos x + 8 = 0 5) sin x - cos x + 4sin 2 x = 1 6) 1 - sin 2 x = cos x + sin x Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) sin x.cos x = 6(sin x + cos x + m )

2) sin 2 x + 2 2 m(sin x - cos x ) + 1 - 4 m = 0

3) tan 2 x + cot 2 x = m(tan x - cot x )

4)

3 2

sin x

Trang 12

+ 3tan 2 x + m(tan x + cot x ) - 1 = 0

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

VI. MỘT SỐ CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH éA = 0 Dạng: A.B = 0 Û ê ëB = 0 Một trong các phương pháp thường được sử dụng để giải các phương trình lượng giác không mẫu mực là biến đổi đưa về dạng phương trình tích. Các phép biến đổi thường sử dụng: – Dùng công thức biến đổi từ tổng thành tích. – Dùng công thức hạ bậc, rồi biến đổi từ tổng thành tích. – Nếu phương trình có tổng của nhiều biểu thức dạng tích mà không có nhân tử chung thì nên biến đổi các tích thành tổng để ước lược, rồi biến đổi từ tổng thành tích. 1 Ví dụ 1: Giải phương trình: sin x.cos 2 x = sin 2 x.cos3 x - sin 5 x (*) 2 1 1 · (*) Û sin x.cos 2 x = (sin 5 x - sin x ) - sin 5 x Û sin x(2 cos 2 x + 1) = 0 2 2 ésin x = 0 é x = kp p ê Û Ûx=k 1Ûê p ê cos 2 x = ê x = ± + kp 3 ë ë 2 3 Ví dụ 2: Giải phương trình: cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x = 0 (*) · (*) Û 2 cos 4 x.cos 2 x + cos 4 x = 0 Û cos 4 x(2 cos 2 x + 1) = 0 é p p é cos 4 x = 0 êx = 8 + k 4 Ûê 1Ûê ê cos 2 x = ê x = ± p + kp 2 ë 3 ë Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx

2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0

4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x 1 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 8) sin3 x + cos3 x = 1 - sin 2 x 2 Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) cos 3 x - 2 cos 2 x + cos x = 0 5) cos10 x - cos8 x - cos 6 x + 1 = 0 6) 1 + cos x + cos 2 x + cos3 x = 0 Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 3) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 1 5) 4 sin 2 x.sin 5 x.sin 7 x = sin 4 x 6) cos3 x.cos 4 x + sin 2 x .sin 5 x = cos 2 x + cos 4 x 2 Baøi 4. Giải các phương trình sau: 3 1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 2 3) cos2x + cos22x + cos23x = 1 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 5) sin7x + cos22x = sin22x + sinx 3) sin3x + cos3x = cos2x 5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x

Trang 13

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

Baøi 5. Giải các phương trình sau: (dùng công thức hạ bậc)

1 4 5 3) sin 6 x + cos6 x = 8 1) sin 6 x + cos6 x =

5) sin 4 x + cos4 x - cos2 x +

2) sin8 x + cos8 x =

1 8

4) cos 4 x + 2sin 6 x = cos 2 x 1

-1 = 0 4sin 2 2 x Baøi 6. Giải các phương trình sau: æ 1 pö 1) sin3 x + cos3 x + sin 2 x.sin ç x + ÷ = cos x + sin 3 x è 4ø 2 2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx ) = 2sinx + 2cos3x + cos2x

3) sinx + sin2x + sin3x = 2(cosx + cos2x + cos3x ) 4) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + 2 cos 2 x = 0 x x 5) sin 2 x + 2 sin2 - 2 sin x.sin 2 + cot x = 0 2 2 6) sin 2 x.cos x - cos 2 x + sin x - cos2 x.sin x - cos x = 0 7) (2 sin x - 1)(2 cos 2 x + 2 sin x + 1) = 3 - 4 cos2 x æp ö 8) sin x.sin 4 x = 2 cos ç - x ÷ - 3 cos x.sin 4 x è6 ø Baøi 7. Giải các phương trình sau: 1) sin 3 x.sin 6 x = sin 9 x

2) sin3 x - cos3 x = sin x + cos x

3) sin3 x + cos3 x = sin x - cos x 5) cot x - tan x = sin x + cos x

4) sin x (1 + cos x ) = 1 + cos x + cos2 x 6) 2 cos 2 x - sin 2 x = 2(sin x + cos x )

7) 1 + tan 2 x =

1 - sin 2 x

cos2 2 x Baøi 8. Giải các phương trình sau: 1)

8) (1 - tan x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tan x

Trang 14

Trần Sĩ Tùng

Dạng:

Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM ì A ³ 0; B ³ 0 ìA = 0 í A + B = 0 Û íB = 0 î î

Đặc biệt: ìA = 0 · A2 + B2 = 0 Û í îB = 0

ì ì ìA =1 · í A £ 1, B £ 1 Û í A £ 1, B £ 1 Ûí îB = 1 îA + B = 2 î(1 - A) + (1 - B) = 0

cos 2 x - cos 6 x + 4(3sin x - 4 sin 3 x + 1) = 0 (*) ì p x = + kp ï p ì 2 (*) Û cos2 x + (sin 3 x + 1)2 = 0 Û ícos x = 0 Û í Û x = + l 2p 2 îsin 3 x = -1 ï x = - p + k 2p î 6 3

Ví dụ: Giải phương trình:

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1 1) sin 2 x + sin 2 3 x = sin x.sin 3 x 4

1 2) sin 2 x + sin 2 3 x = sin x.sin 2 3 x 4

3) 4 cos2 x + 3 tan 2 x - 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0 4) cos 2 x - cos 6 x + 4(3sin x - 4 sin 3 x + 1) = 0 Baøi 2. Giải các phương trình sau: 2x 1) sin 2 x + sin -2 = 0 2) sin 5 x - cos2 x = 1 5 4) sin 2 x.cos8 x = 1 3) sin x(cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x ) = 1 5) sin 7 x + cos 2 x = -2 6) sin3 x + cos3 x = 1 7) sin x + 2 sin 2 x + 3sin 3 x + 4sin 4 x = 10 Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1)

Trang 15

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP ìA ³ M ï ìA = M Dạng: íB £ M Û í îB = M ïî A = B Để sử dụng phương pháp này ta cần chứng minh 2 bất đẳng thức: A ³ M và B £ M. Chú ý: Các bất đẳng thức thường dùng:

· Bất đẳng thức lượng giác cơ bản: -1 £ sin x , cos x £ 1; 0 £ sin 2 x, cos2 x £ 1 · Bất đẳng thức Cô–si: Với mọi a, b ³ 0, ta có: a + b ³ 2 ab . · Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: Với 2 cặp số (a, b) và (x, y) ta có: (ax + by )2 £ (a2 + b2 )( x 2 + y 2 ) (a + b)2 £ 2(a2 + b2 )

Đặc biệt:

Ví dụ: Giải phương trình:

sin x + cos x = 2(2 - sin 3 x )

(*)

æ pö sin x + cos x = 2 sin ç x + ÷ £ 2 è 4ø

· Ta có:

2(2 - sin 3 x ) = 2 [1 + (1 - sin 3 x )] ³ 2 ì p ì æ pö x = + k 2p ïsin ç x + ÷ = 1 ï 4 (*) Û í è (vô nghiệm) Ûí 4ø p ïîsin 3 x = 1 ï x = + l 2p 6 3 î

Do đó:

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) sin x + cos x = 2(2 - sin 3 x ) 5 + sin 2 3 x = sin x + 2 cos x Baøi 2. Giải các phương trình sau: 3)

2) (cos 4 x - cos 2 x )2 = 5 + sin 3 x 4)

2 + cos2 2 x = sin 3 x - cos3 x

1) sin x + 2 - sin 2 x = 2 + 1 + cos 4 x 2) cos3 x + 2 - cos2 3 x = 2(1 + sin 2 2 x ) 3) p sin

x

= cos x

5) 2 x = sin x 2

4) 3 sin

x

6) 2 cos

x = 2 x + 2- x 3

x2 + x = 2 x + 2- x 7) 2 cos 6 Baøi 3. Giải các phương trình sau: 2

1) cos(p x ) = x 2 - 4 x + 5

Trang 16

= cos x

Trần Sĩ Tùng

Dạng:

Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG ì A £ M, B £ N ìA = M í A + B = M + N Û íB = N î î

Ví dụ: Giải phương trình: (*) cos7 x + sin 4 x = 1 ìïcos7 x £ cos2 x ìïcos7 x = cos2 x . Suy ra: (*) · Ta có: í 4 Û í 4 2 2 ïîsin x £ sin x ïîsin x = sin x é cos x = 0 Phương trình (1) cho ta ê . ë cos x = 1 – Khi cos x = 0 thì sin x = ±1 : nghiệm đúng phương trình (2) – Khi cos x = 1 thì sin x = 0 : nghiệm đúng phương trình (2) é p é cos x = 0 x kp Vậy (*) Û ê Ûê = 2+ = cos x 1 ê ë ë x = k 2p

(1) (2)

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) sin 4 x + cos15 x = 1

2) sin3 x + cos3 x = 2 - sin 4 x

3) cos13 x + sin14 x = 1 Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1)

Trang 17

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ · Dự đoán nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất. · Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b). Khi đó, với mọi a, b Î (a; b) ta có: f(a) = f(b) Û a = b. Chú ý: Trong một số trường hợp, ta cần phải dựa vào bảng biến thiên để nhận xét. Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) cos x = 1 + x

3) cos x = 1 -

x2 2

2) sin x = x é pù 4) 2sin x = cos x , x Î ê 0; ú ë 2û

p 2 Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 5) sin x + tan x - 2 x = 0, 0 £ x <

1) cos2 x + (1 - m ) cos x + m - 1, x Î (0; p ) æ pö 1æ 1 1 ö 2) sin x + cos x + 1 + ç tan x + cot x + + ÷ = m, x Î ç 0; ÷ 2è sin x cos x ø è 2ø 3) sin 2 x + 4(cos x - sin x ) = m 4) sin 6 x + cos6 x = m(sin 4 x + cos 4 x ) Baøi 3. Giải các phương trình sau: 1)

Trang 18

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác VI. BÀI TẬP ÔN

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

sin 6 x sin x

1) 1 + tan x = tan 3 x (1 - tan x )

2) 8.cos x. cos 2 x .cos 4 x =

3) 4 cos x.cos 2 x.cos 4 x + 1 = 0

4) sin x - 2sin x - sin 3 x = 2 2

5) cos 4 x - cos 2 x + 2 sin 6 x = 0

6) cos2 x - 4 cos x - 2 x.sin x + x 2 + 3 = 0.

p p p p +k 2) x = + k 8 2 14 7 4) vô nghiệm 5) x = kp Baøi 2. Giải các phương trình sau: ĐS: 1) x =

3) x = p + k 2p ; x = 6) x = 0 2) sin3 x + cos3 x =

1) tan 2 x.tan 7 x = 1

p + kp 2

2 2

x 3x x 3x 1 3 + cos x - sin x 1 x = 4) = 1 - tan 2 3) cos x .cos . cos - sin x .sin .sin 2 2 2 2 2 3cos x + 1 - sin x 2 2 x 5cos4 2 5) 3 - sin x + tan x = 6) log (1 + cos x ) = 2 2 sin x cos x p p p p 3 -1 2) x = + k 2p ; x = + a + k 2p , cos a = ĐS: 1) x = + k 18 9 4 4 4 p p p 5p 3) x = - + kp ; x = - + k 2p ; x = + k 2p ; x = + k 2p 4 2 6 6 4) x = k 2p ; x = 2a + k 2p (tan a = 5 - 1); x = -2 b + k 2p (tgb = 5 + 1) 6) x =

5) vô nghiệm

Baøi 3. Giải các phương trình sau:

p + k2p 3

1) tan x + tan 4 x = 2 tan 3 x

2) 9 cos3 x .cos 5 x + 7 = 9 cos3 x .cos x + 12 cos 4 x

3) sin3 x + cos3 x = 2 - sin 4 x.

x x x p 3p 4) sin - cos = 1 - sin x thoûa - £ . 2 2 2 2 4

5)

1 + log3 cos x 32

+ 6=

1 + log 9 sin x 2 9

ĐS: 1) x = kp ; x = ±

6) sin1994 x + cos1994 x = 1

p p +k 12 2

2) x = p + k 2p ; x = ±a + l 2p , cos a = 2

p p 5p 5p + k2p 4) x = , p , 2p , 5) x = + k 2p 2 2 2 12 Baøi 4. Giải các phương trình sau: 3) x =

1)

3 sin 3 x - 2sin 2 x = 2 3 sin x .cos 2 x

2) 2 cos13 x + 3(cos 5 x + cos3 x ) = 8cos x .cos3 4 x 3)

1 + cos 2 x + cos 5 x + cos3 x 2

2 cos 2 x + cos x - 1

= 2-

2 3

sin x

4) sin x.tan 2 x + 3(sin x - 3. tan 2 x ) = 3 3 thoûa 2 + log 1 x £ 0 2 2

2

5) 3 cot x + 4 cos x - 2 3 cot x - 4 cos x + 2 = 0 Trang 19

6) x = k

p 2

2 -1 3

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

p 2p p + k 2p ; x = + k 2p 2) x = k 3 3 12 p p p 5) x = + k2p 4) x = - + k , k ³ 3 6 2 3 Baøi 5. Tìm m để phương trình: 1) sin 5 x = m.sin x có ít nhất một nghiệm x ¹ kp (k Î Z ) . ĐS: 1) x = kp ; x =

3) x = k2p

æ pö 1æ 1 1 ö 2) sin x + cos x + 1 + ç tan x + cot x + + ÷ = m có nghiệm x Î ç 0; ÷ . 2è sin x cos x ø è 2ø

3) 2 sin x - 1)(2 cos 2 x + 2 sin x + m) = 3 - 4 cos2 x có đúng 2 nghiệm thuộc [ 0; p ] . 4) cos 4 x + (1 - cos x )4 = m vô nghiệm. 5) cos3 x + sin 3 x = m.sin x.cos x có nghiệm. 6) sin 2 x + sin 2 3 x - m.cos2 2 x = 0 có nghiệm. 5 £m<5 2) m ³ 2( 2 + 1) 4 1 4) m < Ú m > 17 5) "m Î R 18 Baøi 6. Tìm m để phương trình: ĐS: 1) -

3) m < - 1 hay m > 3 hay m = 0. 6) m ³ 0.

é p pù 1) 3 cos2 x + 2 sin x = m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn ê - ; ú . ë 4 4û 2) sin x - cos x + 4sin 2 x = m có nghiệm. 3) 1 + 2 cos x + 1 + 2sin x = m có nghiệm. ĐS: 1)

2)

2 -4 £ m £

Baøi 7. Giải các phương trình sau:

65 . 3) 1 + 3 £ m £ 2 1 + 2 . 16

1)

Trang 20

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

ĐỀ THI ĐẠI HỌC Baøi 1. (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2p ) của phương trình:

æ cos3 x + sin 3 x ö 5 ç sin x + ÷ = cos 2 x + 3 1 + 2 sin 2 x ø è ì é p p x = ï x ¹ - 12 + mp ê 1 3 . . PT Û 5cos x = 2 cos 2 x + 3 Û cos x = Û ê HD: Điều kiện: í 7 p 5 2 ïx ¹ êx = p + np 12 î ë 3 Baøi 2. (ĐH 2002B) Giải phương trình: sin 2 3 x - cos2 4 x = sin 2 5 x - cos2 6 x

é p êx = k 9 . HD: PT Û cos x.sin 9 x.sin 2 x = 0 Û sin 2 x.sin 9 x = 0 Û ê êx = k p êë 2 Baøi 3. (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình: cos 3 x - 4 cos 2 x + 3 cos x - 4 = 0 p 3p 5p 7p HD: PT Û 4 cos2 x (cos x - 2) = 0 Û cos x = 0 Û x = ; x = ;x = ;x = . 2 2 2 2 2sin x + cos x + 1 Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình: = a (a là tham số). sin x - 2 cos x + 3 1 1. Giải phương trình khi a = . 3 2. Tìm a để phương trình có nghiệm. 1 p HD: 1) x = - + kp 2) - £ a £ 2 (Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx) 4 2 æ xö Baøi 5. (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình: tan x + cos x - cos2 x = sin x ç 1 + tan x.tan ÷ . è 2ø x 1 ìcos x ¹ 0 HD: x = k2p . Chú ý: Điều kiện: í và 1 + tan x.tan = . 2 cos x îcos x ¹ -1 4 Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình: tan x + 1 =

( 2 - sin2 2 x ) sin 3 x

. cos 4 x 1 p 2p 5p 2p HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û sin 3 x = Û x = + k ;x= +k . 2 18 3 18 3 sin 4 x + cos 4 x 1 1 Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: = cot 2 x . 5sin 2 x 2 8sin 2 x 9 p HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û cos2 2 x - 5 cos 2 x + = 0 Û x = ± + kp . 4 6 1 Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Giải phương trình: = sin x . 8cos2 x ìcos x ¹ 0 HD: Điều kiện: í îsin x > 0 p 3p 5p 7p PT Û x = + k 2p ; x = + k 2p ; x = + k 2p ; x = + k 2p 8 8 8 8 Baøi 9. (ĐH 2002D–db2) Xác định m để phương trình: Trang 21

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

2 ( sin 4 x + cos 4 x ) + cos 4 x + 2 sin 2 x - m = 0 (*) é pù có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn ê 0; ú . ë 2û 10 HD: - £ m £ -2 . 3 é pù Đặt t = sin2x. (*) có nghiệm thuộc ê 0; ú Û f (t ) = 3t 2 - 2t = m + 3 có nghiệm tÎ[0;1] ë 2û cos 2 x 1 Baøi 10. (ĐH 2003A) Giải phương trình: cot x - 1 = + sin 2 x - sin 2 x . 1 + tan x 2 HD: Điều kiện: sin x ¹ 0, cos x ¹ 0, tan x ¹ -1 .

p + kp . 4 2 Baøi 11. (ĐH 2003B) Giải phương trình: cot x - tan x + 4sin 2 x = . sin 2 x p ìsin x ¹ 0 HD: Điều kiện: í . PT Û 2 cos2 2 x - cos 2 x - 1 = 0 Û x = ± + kp . 3 îcos x ¹ 0 æx pö x Baøi 12. (ĐH 2003D) Giải phương trình: sin 2 ç - ÷ tan 2 x - cos2 = 0 . 2 è2 4ø HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . é x = p + k 2p PT Û (1 - sin x )(1 + cos x )(sin x + cos x ) = 0 Û ê . p ê x = - + kp 4 ë PT Û (cos x - sin x )(1 - sin x.cos x + sin 2 x ) = 0 Û x =

Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: cos 2 x + cos x ( 2 tan 2 x - 1) = 2 .

HD: Điều kiện: cosx ¹ 0.

p + k 2p 3 Baøi 14. (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: 3 - tan x ( tan x + 2 sin x ) + 6 cos x = 0 . p HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û (1 + cos 2 x )(3 cos2 x - sin 2 x ) = 0 Û x = ± + kp 3 PT Û (1 + cos x )(2 cos2 x - 5cos x + 2) = 0 Û x = (2k + 1)p , x = ±

Baøi 15. (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: 3 cos 4 x - 8 cos6 x + 2 cos2 x + 3 = 0 .

p p + k , x = kp 4 2 ( 2 - 3 ) cos x - 2sin2 æç x - p ö÷ è 2 4 ø = 1. Baøi 16. (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình: 2 cos x - 1 1 p HD: Điều kiện: cos x ¹ . PT Û - 3 cos x + sin x = 0 Û x = + (2k + 1)p 2 3 2 ( cos x cos x - 1) Baøi 17. (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: = 2(1 + sin x ) . sin x + cos x æ pö HD: Điều kiện: sin ç x + ÷ ¹ 0 . è 4ø p PT Û (1 + sin x )2 (1 + cos x ) = 0 Û x = - + kp , x = p + k 2p 2 HD: PT Û cos 2 x (-2 cos 4 x + 5cos2 x - 3) = 0 Û x =

Trang 22

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: cot x = tan x +

2 cos 4 x . sin 2 x

HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û 2 cos2 2 x - cos 2 x - 1 = 0 Û x = ±

p + kp . 3

Baøi 19. (ĐH 2004B) Giải phương trình: 5sin x - 2 = 3(1 - sin x ) tan 2 x .

é p x = + k 2p ê 6 . HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û 2sin 2 x + 3sin x - 2 = 0 Û ê 5 ê x = p + k 2p ë 6 Baøi 20. (ĐH 2004D) Giải phương trình: (2 cos x - 1)(2sin x + cos x ) = sin 2 x - sin x . é p ê x = ± 3 + k 2p . HD: PT Û (2 cos x - 1)(sin x + cos x ) = 0 Û ê ê x = - p + kp ë 4 Baøi 21. (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: 4 ( sin3 x + cos3 x ) = cos x + 3sin x .

HD: PT Û tan3 x - tan 2 x - 3tan x + 3 = 0 Û x = Baøi 22. (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình:

ìïu = 1 - sin x HD: Đặt í . PT Û ïîv = 1 - cos x p Û x = + k 2p ; x = k 2p . 2

p p + kp ; x = ± + kp . 4 3

1 - sin x + 1 - cos x = 1 .

ìu + v = 1 ìu = 0 ìu = 1 Ûí hoặc í í 2 2 2 2 îv = 1 îv = 0 î(1 - u ) + (1 - v ) = 1

æ è

Baøi 23. (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: 2 2 cos ç x +

pö 1 1 = . ÷+ 4 ø sin x cos x

p ìsin x ¹ 0 HD: Điều kiện: í . PT Û (cos x - sin x )(1 + sin 2 x ) = 0 Û x = ± + kp . 4 îcos x ¹ 0 Baøi 24. (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin 4 x .sin 7 x = cos3 x .cos 6 x . p p p HD: x = + k ; x = + kp . 20 10 2 Baøi 25. (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: 2sin x. cos 2 x + sin 2 x.cos x = sin 4 x. cos x . p HD: PT Û sin 3 x (cos 2 x - 1) = 0 Û x = k . 3 Baøi 26. (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sin x + sin 2 x = 3(cos x + cos 2 x ) .

HD: PT Û x = p + k 2p ; x =

2p 2p +k 9 3

Baøi 27. (ĐH 2005A) Giải phương trình: cos2 3 x.cos 2 x - cos2 x = 0 .

p . 2 Baøi 28. (ĐH 2005B) Giải phương trình: 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 . p 2p HD: PT Û (sin x + cos x )(2 cos x + 1) = 0 Û x = - + kp ; x = ± + k 2p . 4 3 æ pö æ pö 3 Baøi 29. (ĐH 2005D) Giải phương trình: cos 4 x + sin 4 x + cos ç x - ÷ sin ç 3 x - ÷ - = 0 . è 4ø è 4ø 2 HD: PT Û 2 cos2 4 x + cos 4 x - 3 = 0 Û x = k

Trang 23

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

p + kp . 4 Baøi 30. (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình: æ x 3p ö 4sin 2 - 3 cos 2 x = 1 + 2 cos2 ç x ÷. 2 è 4 ø æ pö 5p 17p 5p HD: PT Û cos ç 2 x + ÷ = cos(p - x ) Û x = ;x= ; x= . è 6ø 18 18 6 pö 3æ Baøi 31. (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: 2 2 cos ç x - ÷ - 3 cos x - sin x = 0 . è 4ø HD: PT Û sin 2 2 x + sin 2 x - 2 = 0 Û x =

HD: PT Û cos3 x + sin 3 x + 3cos2 x.sin x + 3cos x.sin 2 x - 3cos x - sin x = 0 Xét 2 trường hợp: ìcos x = 0 p a) Nếu cos x = 0 thì PT Û í 3 Û x = + kp . 2 îsin x - sin x = 0 b) Nếu cos x ¹ 0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3 x . p ìcos x ¹ 0 Khi đó: PT Û í Û x = + kp . 4 îtan x = 1 p p Vậy: PT có nghiệm: x = + kp hoặc x = + kp . 2 4

Baøi 32. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình : sin x.cos 2 x + cos2 x ( tan 2 x - 1) + 2sin3 x = 0 .

é p x = + k 2p ê 6 HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û 2sin 2 x + sin x - 1 = 0 Û ê . 5 p êx = + k 2p ë 6 æp ö cos 2 x - 1 Baøi 33. (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : tan ç + x ÷ - 3tan 2 x = è2 ø cos2 x p HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û tan3 x = -1 Û x = - + kp . 4 æ 3p ö sin x Baøi 34. (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: tan ç - x÷+ =2 . è 2 ø 1 + cos x é p ê x = 6 + k 2p HD: Điều kiện: sin x ¹ 0 . PT Û 2sin x = 1 Û ê . 5 p êx = + k 2p ë 6 Baøi 35. (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin 2 x + cos 2 x + 3sin x - cos x - 2 = 0 . é p ê x = 6 + k 2p é 1 ê 5p êsin x = 2 ê HD: PT Û (2 sin x - 1)(sin x - cos x - 1) = 0 Û ê Û ê x = 6 + k 2p . êsin æ x - p ö = 2 ê p ÷ êë çè 4ø 2 ê x = 2 + k 2p ê x = p + k 2p ë Baøi 36. (ĐH 2006A) Giải phương trình:

2 ( cos6 x + sin 6 x ) - sin x. cos x 2 - 2sin x Trang 24

=0.

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

2 p . PT Û 3sin 2 2 x + sin 2 x - 4 = 0 Û x = + kp . 2 4 5p Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: x = + 2mp . 4 æ xö Baøi 37. (ĐH 2006B) Giải phương trình: cot x + sin x ç 1 + tan x .tan ÷ = 4 . è 2ø x HD: Điều kiện: sin x ¹ 0, cos x ¹ 0, cos ¹ 0 . 2 é p ê x = 12 + kp cos x sin x 1 . PT Û + = 4 Û sin 2 x = Û ê sin x cos x 2 ê x = 5p + kp ë 12 Baøi 38. (ĐH 2006D) Giải phương trình: cos 3 x + cos 2 x - cos x - 1 = 0 . é x = kp 2 . HD: PT Û sin x(2 cos x + 1) = 0 Û ê 2p + k 2p êx = ± ë 3 HD: Điều kiện: sin x ¹

Baøi 39. (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình:

HD: PT Û cos 4 x =

cos3 x.cos3 x - sin 3 x.sin 3 x =

2+3 2 . 8

2 p p Û x =± +k . 2 16 2

æ pö 2sin ç 2 x - ÷ + 4sin x + 1 = 0 . è 6ø é x = kp 3 cos x + sin x + 2 ) = 0 Û ê . 7p + k 2p êx = 6 ë

Baøi 40. (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình:

HD: PT Û sin x (

( 2sin2 x - 1) tan2 2 x + 3 ( 2 cos2 x - 1) = 0 . p p Điều kiện: cos 2 x ¹ 0 . PT Û cos 2 x ( tan 2 2 x - 3 ) = 0 Û x = ± + k .

Baøi 41. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình:

HD:

Baøi 42. (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình:

6 2 cos 2 x + (1 + 2 cos x )(sin x - cos x ) = 0 .

é p ê x = 4 + kp ê p HD: PT Û (sin x - cos x )(cos x - sin x + 1) = 0 Û ê x = + k 2p . ê 2 êë x = p + k 2p cos3 x + sin 3 x + 2 sin 2 x = 1 . é p ê x = - 4 + kp HD: PT Û (cos x + sin x )(1 - cos x )(sin x + 1) = 0 Û êê x = k 2p . ê x = - p + k 2p êë 2

Baøi 43. (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình:

4sin3 x + 4sin 2 x + 3sin 2 x + 6 cos x = 0 . é p x = - + k 2p ê 2 HD: PT Û (sin x + 1)(-2 cos2 x + 3cos x + 2) = 0 Û ê . 2 p êx = ± + k 2p ë 3

Baøi 44. (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình:

Trang 25

Phương trình lượng giác Baøi 45. (ĐH 2007A) Giải phương trình:

Trần Sĩ Tùng

(1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + sin 2 x

é p ê x = - 4 + kp ê p HD: PT Û (sin x + cos x )(1 - sin x )(1 - cos x ) = 0 Û ê x = + k 2p . ê 2 ëê x = k 2p 2sin 2 2 x + sin 7 x - 1 = sin x . é p p êx = 8 + k 4 ê p 2p . HD: PT Û cos 4 x ( 2sin 3 x - 1) = 0 ) Û ê x = + k ê 18 3 ê 5p 2p êë x = 18 + k 3

Baøi 46. (ĐH 2007B) Giải phương trình:

2

æ x xö Baøi 47. (ĐH 2007D) Giải phương trình: ç sin + cos ÷ + 3 cos x = 2 . è 2 2ø é p ê x = 2 + k 2p æ pö 1 HD: PT Û 1 + sin x + 3 cos x = 2 Û cos ç x - ÷ = Û ê è 6ø 2 ê x = - p + k 2p 6 ë 1 1 = 2 cot 2 x . Baøi 48. (ĐH 2007A–db1) Giải phương trình: sin 2 x + sin x 2 sin x sin 2 x p p HD: Điều kiện sin 2 x ¹ 0 . PT Û cos 2 x ( 2 cos2 x + cos x + 1) = 0 Û x = + k . 4 2 Baøi 49. (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình: 2 cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x ) . æ æ pö pö 2p HD: PT Û 2 cos2 ç x - ÷ - 3cos ç x - ÷ = 0 Û x = + kp . è è 6ø 6ø 3 æ 5x p ö æx p ö 3x Baøi 50. (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: sin ç - ÷ - cos ç - ÷ = 2 cos 2 è 2 4ø è2 4ø é p 2p êx = 3 + k 3 ê ö æ 3x æ pö p HD: PT Û cos ç 2 cos ç x + ÷ + 2 ÷ = 0 Û ê x = + k 2p . 2 è 4ø ê 2 è ø ëê x = p + k 2p sin 2 x cos 2 x + = tan x - cot x . cos x sin x p HD: Điều kiện: sin 2 x ¹ 0 . PT Û cos x = - cos 2 x Û x = ± + k2p . 3 æ p ö Baøi 52. (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: 2 2 sin ç x - ÷ cos x = 1 12 ø è

Baøi 51. (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình:

æ p p p ö p 5p HD: PT Û sin ç 2 x - ÷ = cos = sin Û x = + kp hay x = + kp . 4 3 12 ø 12 12 è Baøi 53. (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: (1 – tan x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tan x . Trang 26

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

é p HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û (cos x + sin x )(cos 2 x - 1) = 0 Û ê x = - 4 + kp . ê = ë x kp æ 7p ö 1 1 Baøi 54. (ĐH 2008A) Giải phương trình: + = 4 sin ç - x÷. sin x è 4 ø æ 3p ö sin ç x ÷ è 2 ø æ 3p ö HD: Điều kiện: sin x ¹ 0, sin ç x ÷¹0. è 2 ø é p ê x = - 4 + kp ê æ ö 1 p PT Û (sin x + cos x ) ç + 2 2 ÷ = 0 Û ê x = - + kp ê 8 è sin x cos x ø ê 5p êë x = 8 + kp sin3 x - 3 cos3 x = sin x cos2 x - 3 sin 2 x cos x . p p p HD: PT cos 2 x ( sin x + 3 cos x ) = 0 Û x = + k ; x = - + kp . 4 2 3 Baøi 56. (ĐH 2008D) Giải phương trình: 2sin x (1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2 cos x .

Baøi 55. (ĐH 2008B) Giải phương trình:

2p p + k 2p ; x = + kp . 3 4 Baøi 57. (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình: æ x 3p ö 4sin 2 - 3 cos 2 x = 1 + 2 cos2 ç x ÷. 2 è 4 ø æ pö HD: PT Û -2 cos x = 3 cos 2 x - sin 2 x Û cos ç 2 x + ÷ = cos (p - x ) 6ø è HD: PT Û (2 cos x + 1)(sin 2 x - 1) = 0 Û x = ±

5p 2p 7p +k hay x = + h2p 18 3 6 5p 17p 5p Do x Î (0; p ) nên chỉ chọn x = ; x= ; x= . 18 18 6 æ pö Baøi 58. (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: 2 2 cos3 ç x - ÷ - 3 cos x - sin x = 0 . è 4ø

Û x=

HD: PT Û cos3 x + sin 3 x + 3cos2 x.sin x + 3cos x.sin 2 x - 3cos x - sin x = 0 Xét 2 trường hợp: ìcos x = 0 p a) Nếu cos x = 0 thì PT Û í 3 Û x = + kp . 2 îsin x - sin x = 0 b) Nếu cos x ¹ 0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3 x . p ìcos x ¹ 0 Khi đó: PT Û í Û x = + kp . 4 îtan x = 1 p p Vậy: PT có nghiệm: x = + kp hoặc x = + kp . 2 4

Baøi 59. (ĐH 2008B–db1) Giải phương trình: sin x cos 2 x + cos2 x ( tan 2 x - 1) + 2 sin 3 x = 0 .

HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 Û x ¹

p + kp . 2 Trang 27

Phương trình lượng giác

Trần Sĩ Tùng

p 5p + k 2p ; x = + k 2p . 6 6 æp ö cos 2 x - 1 . Baøi 60. (ĐH 2008B–db2) Giải phương trình: tan ç + x ÷ - 3tan 2 x = è2 ø cos2 x p HD: Điều kiện: cos x ¹ 0 . PT Û tan3 x = -1 Û x = - + kp . 4 æ 3p ö sin x Baøi 61. (ĐH 2008D–db1) Giải phương trình: tan ç - x÷+ = 2. è 2 ø 1 + cos x é p ê x = 6 + k 2p . HD: Điều kiện: sin x ¹ 0 . PT Û (cos x + 1)(2 sin x - 1) = 0 Û ê ê x = 5p + k 2p ë 6 Baøi 62. (ĐH 2008D–db2) Giải phương trình: sin 2 x + cos 2 x + 3sin x - cos x - 2 = 0 é 1 êsin x = 2 HD: PT Û (2 sin x - 1)(sin x - cos x - 1) = 0 Û ê êsin æ x - p ö = 2 ç ÷ 4ø 2 ëê è p 5p p Û x = + k 2p ; x = + k 2p ; x = + k 2p ; x = p + k 2p . 6 6 2 (1 - 2sin x ) cos x Baøi 63. (ĐH 2009A) Giải phương trình: = 3. (1 + 2sin x )(1 - sin x ) 1 HD: Điều kiện: sin x ¹ 1, sin x ¹ - . 2 æ æ pö pö PT Û cos x - 3 sin x = sin 2 x + 3 cos 2 x Û cos ç x + ÷ = cos ç 2 x - ÷ è 3ø è 6ø p 2p Û x = - +k . 18 3 PT Û 2sin 2 x + sin x - 1 = 0 Û x =

sin x + cos x.sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin 3 x ) . é p ê x = - 6 + k 2p æ pö HD: PT Û sin 3 x + 3 cos3 x = 2 cos 4 x Û cos ç 3 x - ÷ = cos 4 x Û ê . è 6ø ê x = p + k 2p ë 42 7

Baøi 64. (ĐH 2009B) Giải phương trình:

3 cos 5 x - 2 sin 3 x cos 2 x - sin x = 0 . é p p ê x = 18 + k 3 æp ö 3 1 HD: PT Û cos 5 x - sin 5 x = sin x Û sin ç - 5 x ÷ = sin x Û ê . p p 2 2 è3 ø êx = - + k ë 6 2 æ pö (1 + sin x + cos 2 x )sin ç x + ÷ è 4 ø = 1 cos x Baøi 66. (ĐH 2010A) Giải phương trình: 1 + tan x 2 HD: Điều kiện: cos x ¹ 0; 1 + tan x ¹ 0 .

Baøi 65. (ĐH 2009D) Giải phương trình:

PT Û sin x + cos 2 x = 0 Û x = Baøi 67. (ĐH 2010B) Giải phương trình:

p 7p + k 2p ; x = + k 2p . 6 6 (sin 2 x + cos 2 x ) cos x + 2 cos 2 x - sin x = 0 . Trang 28

Trần Sĩ Tùng

Phương trình lượng giác

p p +k . 4 2 Baøi 68. (ĐH 2010D) Giải phương trình: sin 2 x - cos 2 x + 3sin x - cos x - 1 = 0 . p 5p HD: PT Û (2 sin x - 1)(cos x + sin x + 2) = 0 Û x = + k 2p ; x = + k 2p . 6 6 Baøi 69. (ĐH 2011A) 1. HD: PT Û (sin x + cos x + 2) cos 2 x = 0 Û x =

Trang 29