Phuong Trinh Luong Giac

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

Phương trình lượng giác I.

Các phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình cơ bản a) Phương trình

(1)

Nếu

thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu

, gọi

là một nghiệm của (1), tức

khi đó ta có

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1. 2. b) Phương trình

(2)

Nếu

thì phương trình (2) vô nghiệm

Nếu

, gọi

là một nghiệm của (2), tức

khi đó ta có

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau 1. 2. c) Phương trình

(3)

Điều kiện Gọi

là một nghiệm của (3), khi đó ta có

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

1

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: 1. 2. d) Phương trình

(4)

Điều kiện Gọi

là một nghiệm của (4), khi đó ta có

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: 1. 2.

2. Phuơng trình

(5)

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho

ta có phương trình (5) tương đương với

phương trình

Chọn α sao cho

Với Cách 2: Đặt

, khi đó ta có phương trình:

. Tới đây ta giải như phương trình (1). , khi đó

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

2

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

Khi đó phương trình (5) được đưa về phương trình bậc hai theo t, giải ra t và suy ra nghiệm của (5) 3. Phương trình thuần nhất bậc hai:

(6)

Cách 1: Áp dụng công thức hạ bậc và

ta đưa có phương trình:

Phương trình này đã biết cách giải ở phần trên Cách 2: Cách này ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: Trường hợp 2: thành:

có là nghiệm của phương trình không? Chia hai vế của phương trình cho

Phương trình trên là phương trình bậc hai theo

, khi đó phương trình trở

, ta có thể giải được.

4. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a) b) c) d) Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

3

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

e) f) g)

Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau: a) b) c) d) e)

Bài 3. Tìm

để các phương trình sau có nghiệm

a) b) c)

Bài 4. Cho phương trình a) Tìm

để phương trình có nghiệm

b) Tìm

để phương trình có nghiệm thuộc

Bài 5. Giải các phương trình lượng giác sau: a) b)

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

4

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

c) d)

Bài 6. Định

để các phương trình sau có nghiệm

a) b) II.

Các phương pháp giải và các dạng phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản Đây là phương pháp cơ bản nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Trong phương pháp này, chúng ta biến đổi phương trình đã cho thành trở thành những phương trình cơ bản đã biết cách giải (1) – (6). Chúng ta chú ý tới các cung liên kết, công thức hạ bậc,…. Sau đây là một vài ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác sau (1) Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

5

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau: (2) (Khối B – 2009) Lời giải. Ta có phương trình đã cho tương đương với

Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau: a)

(ĐHSP HCM B, D 2001)

b) c) d) e) f) g) h)

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

(CĐ Hải Quan 1998)

6

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

i) j)

(D, 2009)

k)

2. Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp đặt ẩn phụ được sử dụng khi phương trình đã cho có biểu thức lượng giác chung nào đó, hoặc từ phương trình ban đầu ta biến đổi để đưa về phương trình theo một hàm lượng giác nào đó,… Trong mục “Phương trình lượng giác cơ bản” ta đã sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình (5) và (6), ngoài ra còn nhiều phương trình có thể giải bằng phương pháp này, sau đây tôi xin nêu ra vài dạng quen thuộc nhất. Dạng 1. Phương trình đưa về phương trình với một hàm lượng giác Đối với dạng này, ta thường biến đổi phương trình về chỉ còn một hàm số lượng giác, sử dụng công thức hạ bậc (tăng cung), Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải. Đặt

(3) , khi đó ta có

, phương trình trở thành

Với Ví dụ 4. Giải phương trình

(4)

Lời giải. Ta có

Đặt

, phương trình trở thành

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

7

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

Ví dụ 5. Giải phương trình

(5)

Lời giải: Điều kiện

Đặt

, phương trình trở thành

Với Với Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau a) b) c) d) e) f) Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

8

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

g)

Dạng 2. Phương trình đưa về hàm tang Biến đổi phương trình về chỉ còn hàm tang, hoặc đặt ẩn

và tính tất cả các biểu thức

còn lại theo . Các phương trình (5), (6) trong phần “Phương trình lượng giác cơ bản” là những ví dụ cơ bản nhất của dạng toán này, sau đây chúng ta xét một vài ví dụ khác. Ví dụ 6. Giải phương trình sau:

(6)

Lời giải.

Ta thấy

không phải là nghiệm của phương trình.

Chia hai vế của phương trình cho

Đặt

ta được phương trình

, ta có phương trình

Với Với Với Ví dụ 7. Giải phương trình Lời giải. Điều kiện Đặt Phương trình trở thành Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

9

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

Với Với Bài tập. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e)

(Dự bị A, 2006)

f)

Bài 2. Giải các phương trình sau: a)

(ĐHQG HN, D, 2000)

b)

(SPHN, B, 2001)

c) d) e)

(ĐH Thủy Lợi 1999)

f) Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

10

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

g)

(Dự bị D, 2007)

h)

(Dự bị, A , 2008)

Dạng 3. Phương trình Cách giải Đặt , đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 theo . Giải phương trình này ra nghiệm , từ đó đưa về dạng phương trình cơ bản (1) đã biết cách giải. Ví dụ 8: Giải phương trình

(8)

Lời giải. Đặt

Với

, suy ra

. Phương trình (8) trở thành:

ta có

Ví dụ 9: Giải phương trình

(9) (ĐH Cảnh Sát

2000) Lời giải. Đặt

. Khi đó

Phương trình trở thành

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

11

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

Với Với Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau a)

(ĐH Ngoại Ngữ HN, 2000)

b)

(ĐHQG TPHCM, 2000)

c) d)

(ĐH Nông Nghiệp, HN, 2000)

e)

(ĐHSP TPHCM, 2001)

f)

(Dự bị A, 2007)

g)

3. Phương pháp phân tích thành tích Đây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Việc phân tích tùy thuộc vào bài toán, tuy nhiên chúng ta cần biết một số biến đổi hay sử dụng như: các công thức biến tổng thành tích, , ,…Chúng ta sẽ xét một vài ví dụ sau đây. Ví dụ 10. Giải phương trình lượng giác: (B, 2008) Lời giải.

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

12

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Ví dụ 11 Tìm nghiệm thuộc

Phương

của phương trình sau (11)

(ĐH khối A, 2007) Lời giải.

Từ đó ta có các nghiệm thuộc

của phương trình trên là:

Ví dụ 12. Giải phương trình:

(12) (A, 2003)

Lời giải. Điều kiện Ta có

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

13

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

TH1: TH2:

(Vô nghiệm)

Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e)

Bài 2. Giải các phương trình sau: a)

(ĐHSP TPHCM 2000)

b) c) d) 4. Phuơng pháp đánh giá (sẽ được trình bày sau) III.

Phương trình lượng giác trong các kì thi đại học gần đây 1. (A, 2005)

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

14

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

2. (B, 2005) 3. (D, 2005) 4. (Dự bị 2005) 5. (Dự bị 2005) 6. (A, 2006) 7. (B, 2006) 8. (D, 2006) 9. (Dự bị A, 2006) 10. (Dự bị A, 2006) 11. (Dự bị B, 2006) 12. (Dự bị B, 2006) 13. (Dự bị D, 2006) 14. (Dự bị D, 2006) 15. (B, 2007) 16. (D, 2007) 17. (Dự bị A, 2007) 18. (Dự bị A, 2007) 19. (Dự bị B, 2007)

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

15

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

20. (Dự bị B, 2007) 21. (Dự bị D, 2007) 22. (Dự bị D, 2007) 23. (A, 2008) 24. (D, 2008) 25. (Dự bị A, 2008) 26. (Dự bị A, 2008) 27. (Dự bị B, 2008) 28. (Dự bị B, 2008) 29. (Dự bị D, 2008) 30. (A, 2009) 31. (D,

2009)

Chúc các em làm bài tốt.

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

16