Phuong Trinh Luong Giac

Toán nâng cao lớp 11

Phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác I. Các phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình cơ bản a) Phương trình sin = (1) Nếu | | > 1 thì phương trình (1) vô nghiệm Nếu | | ≤ 1, gọi

là một nghiệm của (1), tức sin (1) ⇔ sin

= sin

=

khi đó ta có

= =

⇔

+2 − +2

∈ℤ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1. sin

=

2. 2

2 −

= √2

b) Phương trình cosx = m (2) Nếu | | > 1 thì phương trình (2) vô nghiệm Nếu | | ≤ 1, gọi

là một nghiệm của (2), tức cos (2) ⇔ cos

= cos

=

khi đó ta có

= +2 =− +2

⇔

∈ℤ

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau 1.

= −

2. 2

−3 −

= √3

c) Phương trình tan x = m (3) Điều kiện Gọi

≠ +

là một nghiệm của (3), khi đó ta có (3) ⟺ tan

= tan

⟺

=

+

( ∈ ℤ)

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: 1. tan

= −

√

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

1

Toán nâng cao lớp 11 2.

2 −

Phương trình lượng giác

= −1

d) Phương trình cot x = m (4) ≠

Điều kiện Gọi

là một nghiệm của (4), khi đó ta có (4) ⟺ cot

= cot

⟺

=

+

( ∈ ℤ)

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: 1. cot 2.

= √3

√3 cot 2 −

= −1

2. Phuơng trình a. sin x + b. cos x = c (5) (a + b ≠ 0) +

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho √ phương trình

√ Chọn α sao cho cos

=

√

sin +

+

, sin

=

√

=

√

cos =

+

√

+

, khi đó ta có phương trình:

√

cos sin + sin cos Với

ta có phương trình (5) tương đương với

⟺ sin( + ) =

=

. Tới đây ta giải như phương trình (1).

Cách 2: Đặt = tan , khi đó sin

=

, cos =

Khi đó phương trình (5) được đưa về phương trình bậc hai theo t, giải ra t và suy ra nghiệm của (5) 3. Phương trình thuần nhất bậc hai: a. sin x + b. sin x cos x + c. cos x = d (6)

Cách 1: Áp dụng công thức hạ bậc sin và sin . cos =

=

(

)

, cos

=

ta đưa có phương trình:

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

2

Toán nâng cao lớp 11

Phương trình lượng giác − cos 2 + sin 2 = 2 2

−

+ 2

Phương trình này đã biết cách giải ở phần trên Cách 2: Cách này ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: cos = 0 ⇔

= +

có là nghiệm của phương trình không?

Trường hợp 2: cos ≠ 0. Chia hai vế của phương trình cho cos trở thành:

, khi đó phương trình

. tan + . tan + = (1 + tan ) ⟺ ( − ) tan + . tan + − = 0 Phương trình trên là phương trình bậc hai theo tan , ta có thể giải được. 4. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 2 sin b) c) d)

− +

(− ) = √3

+

( − 60 ) + 2 3 = 5

e) f) g)

= −1

− 2 . (

=

( + 30 ) = 0 ( + )

7 =1 )= (2

)

Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau: a) √3 cos 3 + sin 3 = √2 b) 2 −5 =5 c)

2 +

d) 2 e) √3 Bài 3. Tìm

+ 2 +

+ √3

(−2 + ) = 1

+

− 2 +2

=

√

2 −

= 2√2

để các phương trình sau có nghiệm

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

3

Toán nâng cao lớp 11 a) 2 b) c)

+ −( 2 −

Phương trình lượng giác

=3 + 1) 2 −

= =1

Bài 4. Cho phương trình cos + 2√2 sin

=

−1

a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc (0; ) Bài 5. Giải các phương trình lượng giác sau: a)

+ √3

b)

+ √2

=

+

+ √3

c) 4 d)

+2

Bài 6. Định

.

+2

−

=

2 − (2 ) − 3

√

−2

− +

= 1

4 = −2

để các phương trình sau có nghiệm

a) ( + 2) +4 = + 3 b) − −2 = II. Các phương pháp giải và các dạng phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản Đây là phương pháp cơ bản nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Trong phương pháp này, chúng ta biến đổi phương trình đã cho thành trở thành những phương trình cơ bản đã biết cách giải (1) – (6). Chúng ta chú ý tới các cung liên kết, công thức hạ bậc,…. Sau đây là một vài ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác sau 4 sin sin

−

sin

+

+ √3 cos 3 = 1

(1)

Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với 1 2 sin ( − cos 2 ) + √3 cos 3 = 1 2 sin − 2 sin cos 2 + √3 cos 3 = 1 sin − sin + sin 3

+ √3 cos 3 = 1

sin 3 + √3 cos 3 = 1 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

4

Toán nâng cao lớp 11

Phương trình lượng giác sin 3 + =− =

2

6 +

1 2

=

3 +

2

2

3

∈

3

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau: sin + cos sin 2 + √3 cos 3 = 2(cos 4 + sin 2009)

) (2) (Khối B –

Lời giải. Ta có phương trình đã cho tương đương với sin (1 − 2 sin

) + cos cos 2 + √3 cos 3 = 2 cos 4

sin cos 2 + cos sin 2 + √3

3 = 2 cos 4

⟺ sin 3 + √3 cos 3 = 2 cos 4 ⟺

cos 3 − =

⟺

6

=−

6

= cos 4

+2

42

+

∈

2 7

Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 4(cos b) (2

+ sin − 1)(

c)

) + √3 cos 4 = 2 + )=1 = √2

d) 4

3 +4

3 + 3 √3

e) 2cos 4 − cos 3 + 2 sin f) 1 + g) h) 4

(ĐHSP HCM B, D 2001)

+

4

=3

=0

= 2√2 +

− −1= 3

= − √3

1+ 3

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

(CĐ Hải Quan 1998)

5

Toán nâng cao lớp 11 i)

Phương trình lượng giác

+

j)

+

−

2 +

+

3 +

k) √3 5 −2 3 2. Phương pháp đặt ẩn phụ

+

4 +

2 −

=0

5 = − =0

(D, 2009)

Phương pháp đặt ẩn phụ được sử dụng khi phương trình đã cho có biểu thức lượng giác chung nào đó, hoặc từ phương trình ban đầu ta biến đổi để đưa về phương trình theo một hàm lượng giác nào đó,… Trong mục “Phương trình lượng giác cơ bản” ta đã sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình (5) và (6), ngoài ra còn nhiều phương trình có thể giải bằng phương pháp này, sau đây tôi xin nêu ra vài dạng quen thuộc nhất. Dạng 1. Phương trình đưa về phương trình với một hàm lượng giác Đối với dạng này, ta thường biến đổi phương trình về chỉ còn một hàm số lượng giác, sử dụng công thức hạ bậc (tăng cung), tan cot = 1, … Ví dụ 3: Giải phương trình cos Lời giải. Đặt = sin − +

+

+ 2sin − +

, khi đó ta có cos

+

+ 2 −3= 0⇔ Với = 1 thì sin − +

=1 ⟺

Ví dụ 4. Giải phương trình sin

= − +2

+

=

= 3

(3)

= , phương trình trở thành =1 = −3 (loại) (

∈ )

cos 2

(4)

Lời giải. Ta có sin 2 sin

+ cos

cos

Đặt = sin 2

= (sin

+ cos

= 1−

) − 2 sin

cos

= (1 − sin

cos

) −

− sin 2

(0 ≤ ≤ 1), phương trình trở thành 2 17 (1 − ) = 2 16 16 = −1 (loại) 1 + −1=0⇔ = 2 1− 2

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

−

6

Toán nâng cao lớp 11

Phương trình lượng giác =

1 1 thì sin 2 = ⟺ cos 4 = 0 ⟺ 2 2

Ví dụ 5. Giải phương trình √3. tan 2 −

=

8

+ 2 tan 2 = 2√3 − 1

+

4

(5)

Lời giải: Điều kiện (5) ⇔ −√3 cot(2 ) + 2 tan(2 ) = 2√3 − 1 Đặt = tan(2 ) thì cot 2 = , phương trình trở thành −

√3

+ 2 = 2√3 − 1 ⇔ = √3 hoặc t = −

Với = √3 ta có tan 2 = √3 ⟺ Với = −

= +

( ∈ )

= .

−

ta có tan 2 = − ⇔

+

1 2

∈

Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau a) cos

+ sin

b) c) 2 d) e)

2 + 5 +2 +

f)

2 +2

g) 2

4 −

=1 2 = 2 2 − √8 =5 10 = 5 5 − 2 =0 =2 3 +4

2

+

−

=

Dạng 2. Phương trình đưa về hàm tang Biến đổi phương trình về chỉ còn hàm tang, hoặc đặt ẩn = tan và tính tất cả các biểu thức còn lại theo . Các phương trình (5), (6) trong phần “Phương trình lượng giác cơ bản” là những ví dụ cơ bản nhất của dạng toán này, sau đây chúng ta xét một vài ví dụ khác. Ví dụ 6. Giải phương trình sau: sin sin 2 + sin 3 − 6 cos

= 0 (6)

Lời giải. (6) ⇔ 2 sin

cos + 3 sin − 4 sin

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

− 6 cos

=0

7

Toán nâng cao lớp 11 Ta thấy cos

Phương trình lượng giác

=0⇔

= +

không phải là nghiệm của phương trình.

Chia hai vế của phương trình cho cos 2 tan

ta được phương trình

+ 3 tan (1 + tan tan

− 2 tan

) − 4 tan

− 6=0

− 3 tan + 6 = 0

Đặt = tan , ta có phương trình − 2 Với = 2 thì tan

− 3 + 6 = 0 ⇔ = 2 hoặc = √3 hoặc t = −√3

=2⇔

Với = √3 thì tan

= arctan 2 +

= √3 ⇔

Với = −√3 thì tan

= +

= −√3 ⇔

= − +

Ví dụ 7. Giải phương trình 6 cos + 3 sin tan = 2 tan cot Lời giải. Điều kiện

≠

Đặt = tan , khi đó cot = , tan

=

, cos =

, sin

=

Phương trình trở thành 6.

1− 1+

6 (1 + Với =

√

Với = −

thì tan = √

√

⇔

thì tan = −

√

)

=

+3. 4 1−

= arctan ⇔

2 1+

. =

⇔ =

√

1 √5

4 1−

.

1

∨ = −

1 √5

+

= arctan( −

√

)+

Bài tập. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 2 sin + 3 + √3 sin cos + √3 − 1 cos = −1 b) (1 + )=3 ( − )+3 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

8

Toán nâng cao lớp 11 c) 2 d) 3 e)

= −4 3 .

f)

Phương trình lượng giác

3 + −

=0

3

2 +

= (

√

(Dự bị A, 2006)

− 1) +

=0

Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 1 + 3 tan = 2 sin 2 b) tan + 2 cot 2 = sin 2 c) 15 cot + 130 sin d) 2 sin

−

=

= 2 sin

(ĐHQG HN, D, 2000) (SPHN, B, 2001) tan − tan

e) tan 2 + sin 2 = cot f) sin 2 + 3 sin

(ĐH Thủy Lợi 1999)

= tan

g) (1 − tan )(1 + sin 2 ) = 1 + tan h) tan = cot + 4 cos 2 Dạng 3. Phương trình (

(Dự bị D, 2007) (Dự bị, A , 2008) )+

±

+

=

Cách giải Đặt = sin ± cos

= √2 sin

Suy ra sin cos = ±

| | ≤ √2 ,

±

, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 theo . Giải

phương trình này ra nghiệm , từ đó đưa về dạng phương trình cơ bản (1) đã biết cách giải. Ví dụ 8: Giải phương trình sin + cos + sin cos − 1 = 0 (8) Lời giải. Đặt = sin + cos

| | ≤ √2 , suy ra sin cos + ⇔

Với = 1 ta có sin + cos = 1 ⇔ Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

=

. Phương trình (8) trở thành:

− 1 − 1=0 2

+ 2 − 3 = 0 ⇔ = 1 ∨ = −3 (loại) =2

∨

= + 2

( ∈ )

9

Toán nâng cao lớp 11

Phương trình lượng giác

Ví dụ 9: Giải phương trình cos

+ sin

= sin 2 + sin + cos (9) (ĐH Cảnh Sát

2000) Lời giải. Đặt = sin + cos cos

+ sin

| | ≤ √2 . Khi đó sin 2 = 2 sin cos

=

= (sin + cos ) − 3 sin cos (sin + cos ) =

− 1, −

=

Phương trình trở thành (3 − 2

)

=

− 1+

⇔

+2

= −2 (loại) ∨ = 1 ∨ Với

= 1 thì sin + cos

=1⇔

= 2kπ ∨

Với = −1 thì sin + cos = −1 ⇔

− −2= 0 = −1 = + 2

= (2 + 1)

∨

= − + 2

Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau a) sin 2 + √2 sin b) c) d) e) f)

−

=1

(ĐH Ngoại Ngữ HN, 2000)

cos − sin = −1 (ĐHQG TPHCM, 2000) 1 + tan = 2√2 sin 1 + cos − sin = sin 2 (ĐH Nông Nghiệp, HN, 2000) 2 cos 2 + sin cos + sin cos = 2(sin + cos ) (ĐHSP TPHCM, 2001) 2 cos + 2√3 sin cos + 1 = 3(sin + √3 cos ) (Dự bị A, 2007)

g) 1/ sin + 1/ sin

−

= 4 sin

+

3. Phương pháp phân tích thành tích Đây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Việc phân tích tùy thuộc vào bài toán, tuy nhiên chúng ta cần biết một số biến đổi hay sử dụng như: các công thức biến tổng thành tích, 1 + sin 2 = (sin + cos ) , cos 2 = cos − sin = (cos − sin )(cos + sin ),…Chúng ta sẽ xét một vài ví dụ sau đây. Ví dụ 10. Giải phương trình lượng giác: sin

− √3 cos

= sin cos

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

− √3 sin

cos

(10)

(B, 2008)

10

Toán nâng cao lớp 11

Phương trình lượng giác

Lời giải. + √3

−

+ √3

⇔

+ √3

⇔

+

⇔

+

⇔

(

= 0 )= 0

−

2 =0

3

=0 ∨

=− +

∨

2 =0 = +

Ví dụ 11 Tìm nghiệm thuộc [0; 2 ] của phương trình sau (1 + sin

) cos + (1 + cos

) sin

= 1 + sin 2

(11)

(ĐH khối A, 2007) Lời giải. (11) ⇔ (sin + cos ) + sin cos (sin + cos ) = (sin + cos ) ⇔ (sin + cos )( 1 + sin cos − sin − cos ) = 0 ⇔ (sin + cos )(1 − sin )( 1 − cos ) = 0 sin + cos ⇔

=−

4

= 0 ∨ sin

+

∨

=

= 1 ∨ cos = 1 2

+ 2

∨

= 2

Từ đó ta có các nghiệm thuộc [0; 2 ] của phương trình trên là: 0,

3 7 , ,2 2 4 4 ,

Ví dụ 12. Giải phương trình: cot − 1 = Lời giải. Điều kiện sin Ta có

≠ 0 , cos (12) ⇔

≠ 0 , tan

+ sin

(12) (A, 2003)

≠ −1

cos cos 2 sin − 1= sin sin + cos

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

− sin 2

+ sin

− sin cos

11

Toán nâng cao lớp 11

Phương trình lượng giác

cos − sin (cos − sin ) cos = + sin (sin − cos ) sin sin + cos ⇔ (cos − sin )(1 − sin cos + sin ) = 0 ⇔ cos − sin = 0 ∨ 1 − sin cos + sin = 0 TH1: cos − sin = 0 ⇔ = + ⇔

TH2: 1 − sin cos + sin

= 0 ⇔ sin 2 + cos 2 = (Vô nghiệm)

Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau: a) sin 7 + cos 2 = sin 2 + sin b) cos 2 − sin 3 − cos 8 = sin 10 − cos 5 c) sin + sin 2 + sin 3 = 1 + cos + cos 2 d) 2 cos + 2 cos 2 + 2 cos 3 = cos + sin 2 + cos 2 e) sin

+ sin 2 + sin 3 =

Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 2 cos + 2 cos 2 + 2 cos 3 − 3 = cos 4 (2 sin 2 + 1) (ĐHSP TPHCM 2000) b)

=

+

c) cos 2 + d) sin

−

+ cos 2 − tan

+ 4 sin

− cos

= 2 + √2(1 − sin )

=0

4. Phuơng pháp đánh giá (sẽ được trình bày sau) III. Phương trình lượng giác trong các kì thi đại học gần đây 1. (A, 2005) cos 3 cos 2 − cos = 0 2. (B, 2005) 1 + sin + cos + 2 + cos 2 = 0 3. (D, 2005)

cos

+ sin

4. (Dự bị 2005)

4 sin

− √3 cos 2 = 1 + 2 cos

5. (Dự bị 2005)

sin cos 2 + cos (tan

6. (A, 2006)

(

+ cos

−

) √

sin 3 − −

− 1) + 2 sin

cot + sin (1 + tan tan ) = 4

8. (D, 2006)

cos 3 + cos 2 − cos − 1 = 0

10. (Dự bị A, 2006) 2 sin 2 − 11. (Dự bị B, 2006) (2 sin

− sin 3 sin

=0

=0

7. (B, 2006)

9. (Dự bị A, 2006) cos 3 cos

− =0

=

√

+ 4 sin + 1 = 0

− 1) tan 2 + 3(cos

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

− 1) = 0

12

Toán nâng cao lớp 11 12. (Dự bị B, 2006) 13. (Dự bị D, 2006) 14. (Dự bị D, 2006) 15. (B, 2007)

Phương trình lượng giác

cos 2 + (1 + 2 cos )(sin − cos ) = 0 cos + sin + 2 sin = 1 4 sin + 4 sin + 3 sin 2 + 6 cos = 0 2 sin 2 + sin 7 − 1 = sin + cos

16. (D, 2007)

+ √3 cos

17. (Dự bị A, 2007)

sin 2 + sin −

18. (Dự bị A, 2007)

2 cos

19. (Dự bị B, 2007) sin

−

= 2 cot 2

+ 2 √3 sin cos + 1 = 3 sin + √3 cos −

− cos

+

20. (Dự bị B, 2007)

=2

−

= √2 cos

= tan − cot

21. (Dự bị D, 2007) (1 − tan )(1 + sin 2 ) = 1 + tan 22. (Dự bị D, 2007) 2√2 sin +

23. (A, 2008) 24. (D, 2008)

−

cos

=1

= 4 sin

−

2 sin (1 + cos 2 ) + sin 2 = 1 + cos 2

25. (Dự bị A, 2008) sin 2 − 26. (Dự bị A, 2008) tan 27. (Dự bị B, 2008) 2 sin

= sin

−

+

√

= cot + 4 cos 2 +

− sin 2 −

=

28. (Dự bị B, 2008) 3 sin + cos 2 + sin 2 = 4 sin cos 29. (Dự bị D, 2008) 4(cos 30. (A, 2009) 31. (D, 2009)

+ cos

( (

) + cos 4 + sin 2 = 0

) )(

)

= √3

sin + cos sin 2 + √3 cos 3 = 2(cos 4 + sin

)

Chúc các em làm bài tốt.

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

13