Phuong Trinh Luong Giac

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

Phương trình lượng giác I. Các phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình cơ bản a) Phương trình sinx=m (1) Nếu m>1 thì phương trình (1) vô nghiệm Nếu m≤1, gọi α là một nghiệm của (1), tức sinα=m khi đó ta có 1⇔sinx=sinα⇔ x=α+2kπ x=π-α+2kπ k∈Z

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1. sinx=12 2. 2sin2x-π3= 2 b) Phương trình cosx=m (2)

Nếu m>1 thì phương trình (2) vô nghiệm Nếu m≤1, gọi α là một nghiệm của (2), tức cosα=m khi đó ta có 2⇔cosx=cosα⇔ x=α+2kπ x=-α+2kπ k∈Z

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau 1. cosx= -12 2. 2cos-3x-π3= 3 c) Phương trình tanx=m (3)

Điều kiện x≠π2+kπ Gọi α là một nghiệm của (3), khi đó ta có 3⟺tanx=tanα ⟺x=α+kπ (k∈Z)

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: 1. tanx= -13 2. tan2x-π4= -1 d) Phương trình cotx=m (4)

Điều kiện x≠kπ Gọi α là một nghiệm của (4), khi đó ta có 4⟺cot x=cotα ⟺x=α+kπ (k∈Z)

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

1

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

1. cotx=3 2. 3 cot2x-π4= -1 2. Phuơng trình a.sinx+b.cosx=c (5) (a2+ b2≠0)

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a2+b2 ta có phương trình (5) tương đương với phương trình aa2+b2sinx+ ba2+b2cosx= ca2+b2

Chọn α sao cho cosα= aa2+b2 ,sinα= ba2+b2 , khi đó ta có phương trình: cosαsinx+sinαcosx=m ⟺sinx+α=m

Với m= ca2+b2 . Tới đây ta giải như phương trình (1). Cách 2: Đặt t=tanx2, khi đó sinx=2tt2+1,cosx=1-t21+t2 Khi đó phương trình (5) được đưa về phương trình bậc hai theo t, giải ra t và suy ra nghiệm của (5) 3. Phương trình thuần nhất bậc hai: a. sin2x+b.sinxcosx+c.cos2x=d (6)

Cách 1: Áp dụng công thức hạ bậc sin2x=(1-cos2x)2,cos2x= 1+cos2x2 và sinx.cosx= sin2x2 ta đưa có phương trình: c-a2cos2x+b2sin2x=d-a+c2

Phương trình này đã biết cách giải ở phần trên Cách 2: Cách này ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: cosx=0⇔x=π2+kπ có là nghiệm của phương trình không? Trường hợp 2: cosx≠0. Chia hai vế của phương trình cho cos2x, khi đó phương trình trở thành: a.tan2x+b.tanx+c=d(1+tan2x) ⟺a-dtan2x+b.tanx+c-d=0

Phương trình trên là phương trình bậc hai theo tanx, ta có thể giải được. 4. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 2sinx-π4=-1 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

2

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác b) c) d) e) f) g)

Phương

cosx+π2+sin-x= 3 sinx-60o+2cosx+30o=0 cot3x=cot5x tanx-π3=tan(x+π) tan2x.tan7x=1 cos⁡(cosx)=cos(2cosx)

Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau: a) b) c) d) e)

3cos3x+sin3x= 2 2sinx-5cosx=5 sin2x+π2+3sin-2x+π=1 2sinx+π4+sinx-π4=322 3cos2x+sin2x+2sin2x-π6=22

Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm a) 2cosx+msinx=3 b) mcosx-m+1sinx=m c) sin2x-msin2x-π2=1

Bài 4. Cho phương trình cosx+22sinx=m-1 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc (0;π3)

Bài 5. Giải các phương trình lượng giác sau: a) b) c) d)

sin2x+3sinx.cosx+2cos2x=3+22 cos2x2+2sinx=32 4sin2x+π3+3sin2x-π3-2cos2-x+π6= 1 cos4x+2sin4x-cos22x-3sin4x= -2

Bài 6. Định m để các phương trình sau có nghiệm a) m2+ 2cos2x+4msinxcosx=m2+ 3 b) cos2x-sinxcosx-2sin2x=m II. Các phương pháp giải và các dạng phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản Đây là phương pháp cơ bản nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Trong phương pháp này, chúng ta biến đổi phương trình đã cho thành trở thành những phương trình cơ bản đã biết cách giải (1) – (6). Chúng ta chú ý tới các cung liên kết, công thức hạ bậc,…. Sau đây là một vài ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác sau Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

3

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương 4sinxsinx-π3sinx+π3+ 3cos3x=1

(1)

Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với 2sinx (12-cos2x)+3cos3x=1 sinx-2sinxcos2x+3cos3x=1 sinx-sinx+sin3x +3cos3x=1 sin3x+3cos3x=1 sin3x+π3=12 x=- π6+2kπ3x=π2+2kπ3 k∈Z

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau: sinx+cosxsin2x+3cos3x=2(cos4x+sin3x) (2) (Khối B – 2009)

Lời giải. Ta có phương trình đã cho tương đương với sinx(1-2sin2x)+cosxcos2x+3cos3x=2cos4x sinxcos2x+cosxsin2x+3 cos3x=2cos4x ⟺sin3x+3cos3x=2cos4x cos3x-π6=cos4x x=π6+2kπx=-π42+2kπ7 k∈Z

Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau: a) b) c) d) e) f) g)

4(cos4x+sin4x)+3cos4x=2 (ĐHSP HCM B, D 2001) (2cosx-1)(sinx+cosx)=1 1+sinx+sinx2+π4cosx2-π4 =2 4sin3xcos3x+4cos3xsin3x+3 3cos4x =3 2cos4x-cos23x+2sin2x +3127=0 1+tanx=22sinx tanx+cosx-cos2x=sinx1+tanxtanx2

h) i) j) k)

4sin3x-1=3sinx-3cos3x (CĐ Hải Quan 1998) cos2x3cos2x3+π3cos2x3-π3+12sin2x+sinxcosx =0 cosx+cos2x+cos3x+cos4x+cos5x= -12 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 (D, 2009)

2. Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp đặt ẩn phụ được sử dụng khi phương trình đã cho có biểu thức lượng giác chung nào đó, hoặc từ phương trình ban đầu ta biến đổi để đưa về phương trình theo một hàm lượng giác nào đó,… Trong mục “Phương trình lượng giác cơ bản” ta đã sử dụng Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

4

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình (5) và (6), ngoài ra còn nhiều phương trình có thể giải bằng phương pháp này, sau đây tôi xin nêu ra vài dạng quen thuộc nhất. Dạng 1. Phương trình đưa về phương trình với một hàm lượng giác Đối với dạng này, ta thường biến đổi phương trình về chỉ còn một hàm số lượng giác, sử dụng công thức hạ bậc (tăng cung), tanxcotx=1,… Ví dụ 3: Giải phương trình cos2x+π3+2sin-x+π6= 3

(3)

Lời giải. Đặt t=sin-x+π6, khi đó ta có cosx+π3= t, phương trình trở thành t2+ 2t-3=0⇔t=1 t= -3 loại

Với t=1 thì sin-x+π6=1 ⟺x= -π3+2kπ ( k∈Z) Ví dụ 4. Giải phương trình sin8x+cos8x=1716cos22x

(4)

Lời giải. Ta có sin8x+cos8x=sin4x+cos4x2-2sin4xcos4x=1-sin2xcos2x 2- 2sin4xcos4x= 1sin22x22-18sin42x

Đặt t=sin22x (0≤t≤1), phương trình trở thành 1-t22-2t216=17161-t 2t2+t-1=0⇔t=-1 loạit=12 t=12 thìsin22x=12 ⟺cos4x=0⟺x=π8+kπ4

Ví dụ 5. Giải phương trình 3. tan2x-π2+2tan2x=23-1 (5) Lời giải: Điều kiện 5⇔-3 cot2x+2tan2x=23-1

Đặt t=tan2x thì cot2x=1t , phương trình trở thành -3t+ 2t=23-1⇔t=3 hoặc t= -12

Với t=3 ta cótan2x=3⟺x=π6+kπ2 (k∈Z) Với t= -12 ta cótan2x= -12⇔x=12.acrtan -12+kπ2

k∈Z

Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau a) b) c) d) e)

cos4x5+sin2x5=1 sin42x+cos42x=sin2xcos2x 2cosxcosx-8tanx=5 tan5x+2sin10x=5sin5x sin6x+cos6x-sin2x=0

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

5

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

f) sin22x+2cos4x=2cos2xcotx+π3cotπ6- x g) 2cos4x-cos23x+4sin2x =32

Dạng 2. Phương trình đưa về hàm tang Biến đổi phương trình về chỉ còn hàm tang, hoặc đặt ẩn t=tanx và tính tất cả các biểu thức còn lại theo t. Các phương trình (5), (6) trong phần “Phương trình lượng giác cơ bản” là những ví dụ cơ bản nhất của dạng toán này, sau đây chúng ta xét một vài ví dụ khác. Ví dụ 6. Giải phương trình sau: sinxsin2x+sin3x-6cos3x=0 (6) Lời giải. 6⇔2sin2xcosx+3sinx-4sin3x-6cos3x=0

Ta thấy cosx=0⇔x=π2+ kπ không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho cos3x ta được phương trình 2tan2x+3tanx (1+tan2x)-4tan3x- 6=0 tan3x-2tan2x-3tanx+6=0

Đặt t=tanx, ta có phương trình t3- 2t2-3t+6=0⇔t=2 hoặc t=3 hoặc t=-3

Với t=2 thìtanx=2⇔x=arctan2+kπ Với t=3 thìtanx=3⇔x=π3+kπ Với t= -3 thìtanx= -3⇔x= -π3+kπ Ví dụ 7. Giải phương trình 6cosx+3sinxtanx2=2tanxcotx2 Lời giải. Điều kiện x≠kπ Đặt t=tanx2 , khi đó cotx2=1t,tanx=2t1-t2,cosx=1-t21+t2,sinx=2t1+t2 Phương trình trở thành 6.1-t21+t2+3 .2t1+t2.t=4t1-t2.1t 61+t2=41-t2⇔t=15 ∨t= -15

Với t=15 thì tanx2=15⇔x=arctan15+kπ Với t=-15 thì tanx2=-15⇔x=arctan(-15)+kπ Bài tập. Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

6

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

Bài 1. Giải các phương trình sau: a) b) c) d)

2sin2x+3+3sinxcosx+3- 1cos2x= -1 sin2x(1+tanx)=3sinx (cosx-sinx )+3 2cos3x=sin3x 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0

e) cos3x.cos3x-sin3xsin3x=2+328 f) sinxcos2x+cos2x (tan2x-1)+sin3x=0

(Dự bị A, 2006)

Bài 2. Giải các phương trình sau: (ĐHQG HN, D, 2000) (SPHN, B, 2001)

a) 1+3tanx=2sin2x b) tanx+2cot2x=sin2x c) 15cotx2+ 130sinx=535tanx2 d) 2sin2x-π4=2sin2x-tanx

(ĐH Thủy Lợi 1999)

e) tan2x+sin2x=32cotx f) sin2x+3sinx=tanx2 g) (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx

(Dự bị D, 2007) (Dự bị, A , 2008)

h) tanx=cotx+4cos22x

Dạng 3. Phương trình asin x±cos x+bsin x cos x+c=0 Cách giải Đặt t=sinx±cosx=2sinx ±π4 t≤2 , Suy ra sinxcosx= ±t2- 12, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 theo t. Giải phương trình này ra nghiệm t, từ đó đưa về dạng phương trình cơ bản (1) đã biết cách giải.

Ví dụ 8: Giải phương trình sinx+cosx+sinxcosx-1=0 (8) Lời giải. Đặt t=sinx+cosx t≤2, suy ra sinxcosx=t2-12 . Phương trình (8) trở thành: t+t2- 12- 1=0 ⇔t2+ 2t-3=0⇔t=1 ∨t= -3 loại

Với t=1 ta có sinx+cosx=1⇔x=2kπ ∨ x=π2+ 2kπ (k∈Z) Ví dụ 9: Giải phương trình cos3x+sin3x=sin2x+sinx+cosx (9) (ĐH Cảnh Sát 2000) Lời giải. Đặt t=sinx+cosx t≤2. Khi đó sin2x=2sinxcosx=t2- 1, cos3x+sin3x=sinx+cosx3-3sinxcosx (sinx+cosx)=t3-3tt2-12=3t-t32 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

7

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

Phương trình trở thành 3t-t32=t2- 1+t ⇔t3+2t2-t-2=0 t=-2 (loại)∨t=1 ∨ t= -1

Với t=1 thìsinx+cosx=1⇔x= 2kπ ∨ x=π2+ 2kπ Với t=-1 thìsinx+cosx= -1⇔x=2k+1π ∨x= -π2+ 2kπ Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau a) b) c) d) e) f) g)

sin2x+2sinx-π4=1 (ĐH Ngoại Ngữ HN, 2000) cos3x-sin3x= -1 (ĐHQG TPHCM, 2000) 1+tanx=22sinx 1+cos3x-sin3x=sin2x (ĐH Nông Nghiệp, HN, 2000) 2cos2x+sin2xcosx+sinxcos2x=2(sinx+cosx) (ĐHSP TPHCM, 2001) 2cos2x+23sinxcosx+1=3(sinx+3cosx) (Dự bị A, 2007) 1/sinx+1/sinx-3π2=4sinx+5π4

3. Phương pháp phân tích thành tích Đây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Việc phân tích tùy thuộc vào bài toán, tuy nhiên chúng ta cần biết một số biến đổi hay sử dụng như: các công thức biến tổng thành tích, 1+sin2x=sinx+cosx2, cos2x=cos2x-sin2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx),…Chúng ta sẽ xét một vài ví dụ sau đây. Ví dụ 10. Giải phương trình lượng giác: sin3x-3cos3x=sinxcos2x-3sin2xcosx (10) (B, 2008)

Lời giải. sin2xsin x+3 cos x-cos2xsin x+3cos x= 0 ⇔sin x+3cos xsin2x-cos2x= 0 ⇔sin x+π3cos 2x=0 ⇔sin x+π3=0 ∨cos 2x=0 ⇔x=-π3+kπ ∨ x=π4+kπ2

Ví dụ 11 Tìm nghiệm thuộc 0;2π của phương trình sau (1+sin2x)cosx+(1+cos2x)sinx=1+sin2x (11)

(ĐH khối A, 2007) Lời giải. Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

8

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác

Phương

11⇔(sinx+cosx)+sinxcosx (sinx+cosx)=sinx+cosx2 ⇔(sinx+cosx)( 1+sinxcosx-sinx-cosx )=0 ⇔(sinx+cosx )(1-sinx)( 1-cosx)=0 sinx+cosx=0 ∨sinx=1 ∨cosx=1 ⇔x=-π4+ kπ ∨ x=π2+ 2kπ ∨x= 2kπ

Từ đó ta có các nghiệm thuộc 0;2π của phương trình trên là: 0, π2 ,3π4,7π4, 2π

Ví dụ 12. Giải phương trình: cotx-1= cos2x1+tanx+sin2x-12sin2x (12) (A, 2003) Lời giải. Điều kiện sinx≠0 ,cosx≠0 ,tanx≠ -1 Ta có 12⇔ cosxsinx- 1=cos2xsinxsinx+cosx +sin2x-sinxcosx ⇔ cosx-sinxsinx= (cos2-sin2x)cos xsinx+cosx+sinx (sinx-cosx) ⇔cosx-sinx1-sinxcosx+sin2x =0 ⇔cosx-sinx=0 ∨ 1-sinxcosx+sin2x=0 TH1: cosx-sinx=0⇔x=π4+ kπ TH2: 1-sinxcosx+sin2x=0⇔12sin2x+12cos2x=32 (Vô nghiệm)

Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e)

sin7x+cos22x=sin22x+sinx cos2x-sin3x-cos8x=sin10x-cos5x sinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x 2cos2x+2cos22x+2cos23x=cosx+sin2x+cos2x sin2x+sin22x+sin23x=32

Bài 2. Giải các phương trình sau: a) b) c) d)

2cos2x+2cos22x+2cos23x-3=cos4x (2sin2x+1) (ĐHSP TPHCM 2000) 1sinx = 1sin2x + 1sin4x cos2x+π4+cos2x-π4+ 4sinx=2+2(1-sinx ) sin2x2-π4tan2x-cos2x2=0

Phuơng pháp đánh giá (sẽ được trình bày sau) III. Phương trình lượng giác trong các kì thi đại học gần đây 1. (A, 2005) cos23xcos2x-cos2x=0 2. (B, 2005) 1+sinx+cosx+Sin 2x+cos2x=0 3. (D, 2005) cos4x+sin4x+cosx-π4sin3x-π4-32=0 4. (Dự bị 2005) 4sin2x2- 3cos2x=1+2cosx x-3π4 5. (Dự bị 2005) sinxcos2x+cos2(tan2x-1)+2sin2x=0 6. (A, 2006) 2(cos6x+sin6x)-sinxcosx2-2sinx=0 4.

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

9

Toán nâng cao lớp 11 trình lượng giác 7. (B, 2006) 8. (D, 2006) 9. (Dự bị A, 2006) 10. (Dự bị A, 2006) 11. (Dự bị B, 2006) 12. (Dự bị B, 2006) 13. (Dự bị D, 2006) 14. (Dự bị D, 2006) 15. (B, 2007) 16. (D, 2007) 17. (Dự bị A, 2007) 18. (Dự bị A, 2007) 19. (Dự bị B, 2007) 20. (Dự bị B, 2007) 21. (Dự bị D, 2007) 22. (Dự bị D, 2007) 23. (A, 2008) 24. (D, 2008) 25. (Dự bị A, 2008) 26. (Dự bị A, 2008) 27. (Dự bị B, 2008) 28. (Dự bị B, 2008) 29. (Dự bị D, 2008) 30. (A, 2009)

cotx+sinx (1+tanxtanx2)=4 cos3x+cos2x-cosx-1=0 cos3xcos3x-sin3xsin3x=2+328 2sin2x-π6+ 4sinx+1=0 (2sin2x-1)tan22x+3(cos2x-1)=0 cos2x+(1+2cosx)(sinx-cosx)=0 cos3x+sin3x+2sin2x=1 4sin3x+4sin2x+3sin2x+6cosx=0 2sin22x+sin7x-1=sinx sinx2+cosx22+ 3cosx=2 sin2x+sinx-12sinx - 1sin2x =2cot2x 2cos2x+2 3sinxcosx+1=3sinx+3cosx sin5x4-π4-cosx2-π4=2cos3x2 sin2x cosx+ cos2x sinx =tanx-cotx (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx 22sinx-π12cosx=1 1sinx +1sinx-3π2=4sin7π4- x 2sinx (1+cos2x)+sin2x=1+cos2x sin2x-π4=sinx-π4+22 tanx=cotx+4cos22x 2sinx+π3-sin2x-π6=12 3sinx+cos2x+sin2x=4sinxcos2x2 4cos4x+cos4x+cos4x+sin2x=0 (1-2sinx)cosx(1+2sinx)(1-sinx)=3

31. (D,

sinx+cosxsin2x+3cos3x=2(cos4x+sin3x)

2009)

Phương

Chúc các em làm bài tốt.

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk

10