Persamaan Garis Lurus

Persamaan Garis Lurus Pengelola Blog Universitas Sultan Ageng Tirtayasa

1

Pengertian Garis Lurus

Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya geometri. Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak dide…nisikan. Pada bagian ini akan dibahas garis lurus. Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat. Perhatikan gambar, garis 1 jelas bukan garis lurus sedangkan garis 2 adalah garis lurus.

Garis 1

Garis 2

Salah satu komponen yang penting dalam pembahasan garis lurus adalah kemiringan garis atau disebut juga gradien. Gradien merupakan perbandingan antara jarak vertikal dengan jarak horisontal dari dua buah titik yang dilalui garis lurus. Menghitung gradien akan lebih mudah dilakukan jika garis diletakkan pada koordinat kartesius. Koordinat kartesius dalam hal ini adalah kerangka acuan dari setiap objek geometri dimensi 2.

y

l B(x2,y2)

A(x1,y1)

x

Gra…k 1 Perhatikan Gra…k 1, garis l melalui dua titik yaitu titik A (x1 ; y1 ) dan B (x2 ; y2 ). Gradien (dinotasikan dengan m) garis l dihitung dengan rumus m=

4y y2 = 4x x2

Sebagai latihan, perhatikan gra…k berikut 1

y1 x1

(1)

2

y

10

b

a

c

8 6

d

4 2

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

-2 -4 -6 -8 -10

Di gambar terdapat empat buah garis, gradien masing-masing garis adalah sebagai berikut: 1. Garis a, melalui titik (0; 2) dan ( 2; 8), maka gradien garis a, ma =

y2 x2

y1 8 2 = = x1 2 0

3

2. Garis b, melalui titik (0; 1) dan (4; 7), maka gradien garis b, y2 x2

mb =

8 y1 7 ( 1) = =2 = x1 4 0 4

3. Garis c; melalui titik ( 6; 2) dan (6; 6), maka gradien garis c, mc =

y2 x2

6 y1 = x1 6

( 2) 8 2 = = ( 6) 12 3

4. Garis c, melalui titik ( 6; 4) dan (0; 2), maka gradien garis d, md =

y2 x2

y1 2 4 2 = = = x1 0 ( 6) 6

1 : 3

Tentu saja titik-titik yang dilalui oleh masing-masing garis sebanyak tak hingga buah, tetapi untuk mempermudah perhitungan diambil titik yang jelas koordinatnya.

2

Menentukan Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus menyatakan titik-titik yang dilalui oleh suatu garis lurus. Persamaan garis lurus ditulis dalam bentuk y = mx + c (2)

3

dengan m adalah gradien dan c adalah suatu konstanta. Persamaan garis lurus dapat ditulis juga sebagai ax + by + c = 0: (3) Dalam hal ini a atau b tidak boleh nol. Jika kita nyatakan bentuk (3) seperti (2), maka didapat y=

c : b

a x b

Jadi, gradiennya adalah m=

a : b

Contoh 2.1 Tentukan gradien garis yang dinyatakan dalam persamaan berikut! 1. y = 2x

4

2. y = 3

x

3. y = 25 x + 3 4. 2x + 3y 5. 4x

6=0

y+3=0

Jawab. 1. m = 2 2. m = 3. m = 4. m = 5. m =

1 2 5 2 3 4 1

=4

Selanjutnya, kita dapat menentukan persamaan garis lurus dari informasi yang ada. Jika diketahui dua titik yang dilalui garis lurus tersebut, maka langkah-langkah menentukan persamaan garis lurus adalah sebagai berikut. Misalkan titik yang dilalui adalah A (x1 ; y2 ) dan B (x2 ; y2 ).

y l B(x2,y2) P(x,y) A(x1,y1)

x Titik P (x; y) adalah sebarang titik yang terletak pada garis l (lihat gambar). Persamaan garis lurus kita dapatkan dengan menghitung gradien garis l. Perhatikan bahwa

y x

mAP = mAB y1 y 2 y1 = x1 x2 x1

4

atau dapat ditulis menjadi

y y2

y1 x = y1 x2

x1 x1

(4)

Persamaan terakhir adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik, yaitu A (x1 ; y2 ) dan B (x2 ; y2 ). Contoh 2.2 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui: 1. A (2; 3) dan B (4; 9) 2. P ( 1; 2) dan B (3; 5) Jawab. 1. Perhatikan bahwa x1 = 2, y1 = 3, x2 = 4, dan y2 = 9. Maka persamaan garis lurusnya adalah y 9 y 6

2. Perhatikan bahwa x1 = adalah

3 x = 3 4 3 x =

2 2 2 2

y

3=6

y

3 = 3x y = 3x

x

2 2 6 3

1, y1 = 2, x2 = 3, dan y2 =

5. Maka persamaan garis lurusnya

y 2 x ( 1) = 5 2 3 ( 1) x+1 y 2 = 7 4 x 2 y 2= 7 4 7 7 y 2= x+ 4 2 7 11 y= x+ 4 2 atau dapat ditulis menjadi 7x + 4y

22 = 0:

Perhatikan kembali rumus (4), rumus tersebut dapat diubah menjadi y

y1 = (y2 =

Ingat bahwa

y2 y1 x2 x1

y2 x2

y1 )

x x2

y1 (x x1

x1 x1 x1 )

= m. Jadi, y

y1 = m (x

x1 )

Rumus tersebut adalah untuk menentukan persamaan garis lurus yang gradiennya m dan melaluisebuah titik (x1 ; y1 ). Contoh 2.3 Tentukan persamaan garis lurus jika diketahui:

5

1. gradiennya 2 dan melalui titik (3; 1) 2. Gradiennya 3. Gradiennya

3 dan melalui titik (2; 4) 3 4

dan melalui titik ( 1; 2)

Jawab. 1. Perhatikan bahwa m = 2, x1 = 3, dan y1 =

1. Persamaan garis lurusnya adalah

y y

y1 = m (x x1 ) ( 1) = 2 (x 3) y + 1 = 2x 6 y = 2x 7

atau dapat ditulis 2x 2. Perhatikan bahwa m =

y

7=0

3, x1 = 2, dan y1 = 4. Persamaan garis lurusnya adalah y y1 = m (x x1 ) y 4 = 3 (x 2) y 4 = 3x + 6 y = 3x + 10

atau dapat ditulis 3x + y 3. Perhatikan bahwa m = 2, x1 = 3, dan y1 =

10 = 0 1. Persamaan garis lurusnya adalah

y

y1 = m (x x1 ) 3 y 2 = (x ( 1)) 4 4 (y 2) = 3 (x + 1) 4y 8 = 3x + 3 3x 4y + 11 = 0:

3

Gra…k Persamaan Garis Lurus

Jika diketahui sebuah persamaan garis lurus, maka kita harus dapat membuat gra…knya. Secara umum, untuk membuat gra…k dari persamaan garis lurus tinggal pilih dua titik sebarang kemudian tarik garis lurus yang menghubungkan kedua garis tersebut. Contoh 3.1 Buat gra…k y = 2x

1!

Jawab. Pilih dua nilai x yang berbeda, misalnya x = 1 dan x = 3. Selanjutnya, tentukan nilai y dengan tabel berikut: x y

1 1

3 5

Selanjutnya buat titik (1; 1) dan (3; 5) di bidang kartesius dan tarik garis lurus yang melalui kedua titik tersebut!

6

y

6

(3,5) 4 2

(1,1) -6

-4

-2

2

4

6

-2

x

-4 -6

Cara lain yang lebih mudah adalah dengan mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y: Contoh 3.2 Buat gra…k persamaan 3x + 4y

12 = 0

Jawab. Untuk x = 0, maka y = 3 dan untuk y = 0, maka x = 4. Perhatikan tabel, x y

0 3

4 0

Jadi, gra…k tersebut melalui titik (0; 3) dan (4; 0). Gra…knya adalah:

y

5 4 3

(0,3)

2 1 (4,0) -5

-4

-3

-2

-1

1 -1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

4

Sudut Dua Garis Lurus

Misalkan diketahui dua persamaan garis lurus l1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 dan l2 : a2 x + b2 y + c2 = 0, maka kita dapat menentukan sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut (yaitu, sudut yang terkecil). Sudut yang dibentuk oleh l1 dengan sumbu x adalah 1 . Dalam hal ini tan 1 = m1 = a1 b1 . Sudut yang dibentuk oleh l2 dengan sumbu x adalah 2 .

7

y

12 10 8 6 4 2

2

Dalam hal ini tan dan l2 adalah =

4

6

8

= m2 = ab22 . Dengan asumsi 2 1 . Jadi,

10

1,

2

2

12

x

maka sudut yang dibentuk oleh l1

tan = tan ( 2 1) tan 2 tan 1 = 1 + tan 2 : tan 1 m2 m1 = 1 + m2 :m1

5

Garis-Garis Sejajar dan Tegak Lurus

Jika kita memiliki dua buah garis (lurus), maka kedudukan kedua garis tersebut adalah sejajar dan berpotongan. Untuk kasus dua garis berpotongan, hanya akan dibahas yang tegak lurus. Jika ingin mengeksplorasi garis yang berpotongan sebarang, Anda bisa lihat sudut dua garis di atas. Dua garis dikatakan sejajar (notasi k) jika sudut yang dibentuk adalah 0. Berdasarkan hal ini, agar l1 dan l2 sejajar, maka m2 m1 : 0= 1 + m2 :m1 Hal ini dapat dipenuhi jika m1 = m2 . Dengan demikian, syarat dua buah garis sejajar adalah gradiennya harus sama atau dengan kata lain m1 = m2 : Dua garis dikatakan tegak lurus (notasi ?) jika sudut yang dibentuk tan

2

=

2.

Hal ini berarti

m2 m1 : 1 + m2 :m1

Jadi, 1 + m2 :m1 = 0 atau m1 :m2 =

1:

Contoh 5.1 Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis 2x 5y = 2 dan melalui titik (2; 1) Jawab. Gradien garis 2x 5y = 2 adalah m1 = m2 = m1 = 25 . Kita gunakan formula y

a b

=

y1 = m (x x1 ) 2 y ( 1) = (x 2) 5 5 (y + 1) = 2 (x 2) 5y + 5 = 2x + 4 2x 5y 1 = 0

2 5

=

2 5.

Karena sejajar, maka

8

atau y=

2 x 5

1 . 5

Contoh 5.2 Garis l tegak lurus dengan garis yang persamaannya 3x + 5y = 4 dan melalui titik ( 1; 2). Tentukan persamaan garis l! Jawab. Gradien garis 3x + 5y = 4 adalah m1 =

3 5.

m1 :m2 =

1

m2 =

5 . 3

Karena sejajar,

Selanjutnya, y

5x

y1 = m (x x1 ) 5 y 2 = (x ( 1)) 3 3y 6 = 5x + 5 3y + 11 = 0

atau y=

11 5 x+ . 3 3

Latihan 5.3 Berikut beberapa soal-soal untuk latihan! 1. Diketahui garis l dengan persamaan x 3y = 5. a) Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis l yang melalui titik (1; 1). b) Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis l dan melalui titik (3; 2)! 2. Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis 2x + y = 6 dan melalui titik potong garis 2x + 3y + 5 = 0 dan y = 3x + 2! 3. Jika garis 2x

by = 4 dan garis y = 32 x + c tegak lurus, tentukan nilai b!