Pgl

Persamaan Garis Lurus Anwar Mutaqin Universitas Sultan Ageng Tirtayasa

1

Pengertian Garis Lurus

Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya geometri. Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak dide…nisikan. Pada bagian ini akan dibahas garis lurus. Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat. Perhatikan gambar, garis 1 jelas bukan garis lurus sedangkan garis 2 adalah garis lurus.

Garis 1

Garis 2

Salah satu komponen yang penting dalam pembahasan garis lurus adalah kemiringan garis atau disebut juga gradien. Gradien merupakan perbandingan antara jarak vertikal dengan jarak horisontal dari dua buah titik yang dilalui garis lurus. Menghitung gradien akan lebih mudah dilakukan jika garis diletakkan pada koordinat kartesius. Koordinat kartesius dalam hal ini adalah kerangka acuan dari setiap objek geometri dimensi 2.

y

l B(x2,y2)

A(x1,y1)

x

Gra…k 1 Perhatikan Gra…k 1, garis l melalui dua titik yaitu titik A (x1 ; y1 ) dan B (x2 ; y2 ). Gradien (dinotasikan dengan m) garis l dihitung dengan rumus m=

4y y2 = 4x x2

Sebagai latihan, perhatikan gra…k berikut 1

y1 x1

(1)

2

y

10

b

a

c

8 6

d

4 2

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

-2 -4 -6 -8 -10

Di gambar terdapat empat buah garis, gradien masing-masing garis adalah sebagai berikut: 1. Garis a, melalui titik (0; 2) dan ( 2; 8), maka gradien garis a, ma =

y2 x2

y1 8 2 = = x1 2 0

3

2. Garis b, melalui titik (0; 1) dan (4; 7), maka gradien garis b, y2 x2

mb =

8 y1 7 ( 1) = =2 = x1 4 0 4

3. Garis c; melalui titik ( 6; 2) dan (6; 6), maka gradien garis c, mc =

y2 x2

6 y1 = x1 6

( 2) 8 2 = = ( 6) 12 3

4. Garis c, melalui titik ( 6; 4) dan (0; 2), maka gradien garis d, md =

y2 x2

y1 2 4 2 = = = x1 0 ( 6) 6

1 : 3

Tentu saja titik-titik yang dilalui oleh masing-masing garis sebanyak tak hingga buah, tetapi untuk mempermudah perhitungan diambil titik yang jelas koordinatnya.

2

Menentukan Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus menyatakan titik-titik yang dilalui oleh suatu garis lurus. Persamaan garis lurus ditulis dalam bentuk y = mx + c (2)

3

dengan m adalah gradien dan c adalah suatu konstanta. Persamaan garis lurus dapat ditulis juga sebagai ax + by + c = 0: (3) Dalam hal ini a atau b tidak boleh nol. Jika kita nyatakan bentuk (3) seperti (2), maka didapat y=

c : b

a x b

Jadi, gradiennya adalah m=

a : b

Contoh 2.1 Tentukan gradien garis yang dinyatakan dalam persamaan berikut! 1. y = 2x

4

2. y = 3

x

3. y = 25 x + 3 4. 2x + 3y 5. 4x

6=0

y+3=0

Jawab. 1. m = 2 2. m = 3. m = 4. m = 5. m =

1 2 5 2 3 4 1

=4

Selanjutnya, kita dapat menentukan persamaan garis lurus dari informasi yang ada. Jika diketahui dua titik yang dilalui garis lurus tersebut, maka langkah-langkah menentukan persamaan garis lurus adalah sebagai berikut. Misalkan titik yang dilalui adalah A (x1 ; y2 ) dan B (x2 ; y2 ).

y l B(x2,y2) P(x,y) A(x1,y1)

x Titik P (x; y) adalah sebarang titik yang terletak pada garis l (lihat gambar). Persamaan garis lurus kita dapatkan dengan menghitung gradien garis l. Perhatikan bahwa y x

mAP y1 x1

= mAB y2 y 1 = x2 x1

4

atau dapat ditulis menjadi

y y2

y1 x = y1 x2

x1 x1

(4)

Persamaan terakhir adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik, yaitu A (x1 ; y2 ) dan B (x2 ; y2 ). Contoh 2.2 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui: 1. A (2; 3) dan B (4; 9) 2. P ( 1; 2) dan B (3; 5) Jawab. 1. Perhatikan bahwa x1 = 2, y1 = 3, x2 = 4, dan y2 = 9. Maka persamaan garis lurusnya adalah y 9 y

3 3 3 6

2. Perhatikan bahwa x1 = adalah

= = =

x 4 x

2 2 2 2 x

y

3

6

y

3 = 3x y = 3x

2 2 6 3

1, y1 = 2, x2 = 3, dan y2 = y 2 5 2 y 2 7

= =

y

2

=

y

2

=

y

=

5. Maka persamaan garis lurusnya

x ( 1) 3 ( 1) x+1 4 x 2 7 4 7 7 x+ 4 2 11 7 x+ 4 2

atau dapat ditulis menjadi 7x + 4y

22 = 0:

Perhatikan kembali rumus (4), rumus tersebut dapat diubah menjadi y

Ingat bahwa

y2 y1 x2 x1

y1

x x2

=

(y2

y1 )

=

y2 x2

y1 (x x1

x1 x1 x1 )

= m. Jadi, y

y1 = m (x

x1 )

Rumus tersebut adalah untuk menentukan persamaan garis lurus yang gradiennya m dan melaluisebuah titik (x1 ; y1 ). Contoh 2.3 Tentukan persamaan garis lurus jika diketahui:

5

1. gradiennya 2 dan melalui titik (3; 1) 2. Gradiennya 3. Gradiennya

3 dan melalui titik (2; 4) 3 4

dan melalui titik ( 1; 2)

Jawab. 1. Perhatikan bahwa m = 2, x1 = 3, dan y1 =

1. Persamaan garis lurusnya adalah

y y

y1 = m (x x1 ) ( 1) = 2 (x 3) y + 1 = 2x 6 y = 2x 7

atau dapat ditulis 2x 2. Perhatikan bahwa m =

y

7=0

3, x1 = 2, dan y1 = 4. Persamaan garis lurusnya adalah y y1 = m (x x1 ) y 4 = 3 (x 2) y 4 = 3x + 6 y = 3x + 10

atau dapat ditulis 3x + y 3. Perhatikan bahwa m = 2, x1 = 3, dan y1 = y y

y1 2

4 (y 2) 4y 8 3x 4y + 11

3

10 = 0 1. Persamaan garis lurusnya adalah = m (x x1 ) 3 (x ( 1)) = 4 = 3 (x + 1) = 3x + 3 = 0:

Gra…k Persamaan Garis Lurus

Jika diketahui sebuah persamaan garis lurus, maka kita harus dapat membuat gra…knya. Secara umum, untuk membuat gra…k dari persamaan garis lurus tinggal pilih dua titik sebarang kemudian tarik garis lurus yang menghubungkan kedua garis tersebut. Contoh 3.1 Buat gra…k y = 2x

1!

Jawab. Pilih dua nilai x yang berbeda, misalnya x = 1 dan x = 3. Selanjutnya, tentukan nilai y dengan tabel berikut: x 1 3 y 1 5 Selanjutnya buat titik (1; 1) dan (3; 5) di bidang kartesius dan tarik garis lurus yang melalui kedua titik tersebut! 2x 1

6

y

6

(3,5) 4 2

(1,1) -6

-4

-2

2 -2

4

6

x

-4 -6

Cara lain yang lebih mudah adalah dengan mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y