Persamaan Garis Singgung Parabola.docx

GEOMETRI ANALITIK ” Persamaan Garis Singgung Parabola “

Dosen Pengampu : Ayu Faradillah, M.pd

Disusun Oleh : Alma Dwijayanti

16011050057

Amalia Maghfirani

1601105087

Bintang Wahyuni

1501105020

Chaerani Ardilah Uvi Irnawati

1601105120

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA 2018

KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, karena dengan karunia-Nya kami di berikan nikmat berupa kesehatan, untuk dapat menyelesaikan makalah ini. Tak lupa pula shalawat serta salam kami panjatkan kepada Nabi Muhammad SAW , yang telah membawa kita dari zaman jahiliyah ke zaman yang lebih terang benderang ini. Terimakasih kami ucapkan kepada dosen pembimbing Geometri Analitik karena berkat bimbingannya kami bisa menyelesaikan makalah ini yang berjudul “ Persamaan Garis Singgung Parabola”. Makalah ini dibuat sebagai persyaratan mengikuti mata kuliah Geometri Analitik. Makalah kami ini masih jauh dari kesempurnaan. Dikarenakan keterbatasan kemampuan dan pengetahuan kami. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca. Akhir kata, kami memohon maaf apabila dalam penulisan makalah ini terdapat banyak kesalahan. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Jakarta, 2 November 2018

i

BAB 1 PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari kita dihadapkan dengan masalah yang berhubungan dengan geometri. Yang berhubung dengan, titik,garis dan

bidang-bidang. Sangat diperlukan

pengetahuan dan pemahaman terhadap hal hal yang berhubungan dengan geometri agar dengan itu dapat menghadapi persoalan yang kita hadapi. Dalam makalah ini kami akan membahas tentang materi yang berhubungan dengan geometri yaitu persamaan garis singgung, dimana di dalam geometri terdapat beberapa persamaan garis singgung, diantaranya adalah persamaan garis singgung lingkaran, persamaan garis singgung hiperbola, persamaan garis singgung elips dan persamaan garis singgung parabola. Dimakalah ini kami akan membahas mengenai persamaan garis singgung parabola. Untuk lebih memahami dan mengenal bagaimana geometrid an bagaimana penyelesaian serta materi yang akan di bahas dalam materi persamaan garis singgung maka kita lihat bersama-sama makalah ini, semoga dapat menambah pemahaman yang membaca mengenai geometri. B. Perumusan Masalah 1. Bagaimana persamaan garis singgung parabola melalui titik (𝑥1 , 𝑦1 )? 2. Bagaimana persamaan garis singgung parabola yang bergradien m pada parabola? C. TUJUAN Adapun tujuan penyusun makalah ini adalah: 1. Menentukan garis singgung parabola? 2. Menyelesaikan masalah garis singgung parabola?

1

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA 1. Melalui titik 𝑲 (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) pada a. Parabola (𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘) Penentuan Garis Singgung Parabolanya: Substitusi titik 𝐾 (𝑥1 , 𝑦1 ) ke persamaan parabola, sehingga didapat (𝑥1 − ℎ)2 = 2𝑝 (𝑦1 − 𝑘) 𝑥1 2 − 2ℎ𝑥1 + ℎ2 = 2𝑝 (𝑦1 − 𝑘) 𝑥1 2 = 2ℎ𝑥1 − ℎ2 + 2𝑝 (𝑦1 − 𝑘) … . (𝑖) Menentukan nilai gradien dengan cara berikut (𝑥1 − ℎ)2 = 2𝑝 (𝑦1 − 𝑘) (𝑥1 − ℎ)2 = (𝑦1 − 𝑘) 2𝑝 2(𝑥1 − ℎ) 𝑑(𝑦1 − 𝑘) = 2𝑝 𝑑𝑥 (𝑥1 − ℎ) 𝑑𝑦 = 𝑝 𝑑𝑥 (𝑥1 − ℎ) = 𝑚 … . (𝑖𝑖) 𝑝 Substitusikan nilai 𝑚 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛) ke persamaan berikut (𝑦 − 𝑦1 ) = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1 ) , sehingga (𝑦 − 𝑦1 ) =

(𝑥1 − ℎ) (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑝

𝑝 (𝑦 − 𝑦1 ) = (𝑥1 − ℎ) (𝑥 − 𝑥1 ) 𝑝𝑦 − 𝑝𝑦1 = ℎ𝑥1 − 𝑥1 2 − ℎ𝑥 + ℎ𝑥1 … . (𝑖𝑖𝑖) Substitusi persamaan (𝑖) 𝑘𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (𝑖𝑖𝑖), sehingga 𝑝𝑦 − 𝑝𝑦1 = 𝑥1 ℎ − (2ℎ𝑥1 − ℎ2 + 2𝑝 (𝑦1 − 𝑘)) − ℎ𝑥 + ℎ𝑥1 𝑝𝑦 − 𝑝𝑦1 = 𝑥1 ℎ − 2ℎ𝑥1 + ℎ2 − 2𝑝 (𝑦1 − 𝑘) − ℎ𝑥 + ℎ𝑥1 𝑝𝑦 − 𝑝𝑦1 = 𝑥1 ℎ − 2ℎ𝑥1 + ℎ2 − 2𝑝𝑦1 + 2𝑝𝑘 − ℎ𝑥 + ℎ𝑥1 𝑝𝑦 − 𝑝𝑦1 = 𝑥1 ℎ − ℎ𝑥1 + ℎ2 − 2𝑝𝑦1 + 2𝑝𝑘 − ℎ𝑥 𝑝𝑦 − 𝑝𝑦1 + 2𝑝𝑦1 − 2𝑝𝑘 = 𝑥1 ℎ − ℎ𝑥1 + ℎ2 − ℎ𝑥 𝑝𝑦 + 𝑝𝑦1 − 2𝑝𝑘 = 𝑥1 ℎ − ℎ𝑥1 + ℎ2 − ℎ𝑥 𝑝(𝑦 + 𝑦1 − 2𝑘) = (𝑥 − ℎ)(𝑥1 − ℎ)  Maka Persamaan Garis Singgungnya ialah 𝒑(𝒚 + 𝒚𝟏 − 𝟐𝒌) = (𝒙 − 𝒉)(𝒙𝟏 − 𝒉)

2

b. Parabola (𝑥 − ℎ)2 = −2𝑝(𝑦 − 𝑘) Penentuan Garis Singgung Parabolanya: Substitusi titik 𝐾 (𝑥1 , 𝑦1 ) ke persamaan parabola, sehingga didapat (𝑥1 − ℎ)2 = −2𝑝 (𝑦1 − 𝑘) 𝑥1 2 − 2ℎ𝑥1 + ℎ2 = −2𝑝 (𝑦1 − 𝑘) 𝑥1 2 = 2ℎ𝑥1 − ℎ2 − 2𝑝 (𝑦1 − 𝑘) … . (𝑖) Menentukan nilai gradien dengan cara berikut (𝑥1 − ℎ)2 = −2𝑝 (𝑦1 − 𝑘) (𝑥1 − ℎ)2 = (𝑦1 − 𝑘) −2𝑝 2(𝑥1 − ℎ) 𝑑(𝑦1 − 𝑘) = −2𝑝 𝑑𝑥 (𝑥1 − ℎ) 𝑑𝑦 = −𝑝 𝑑𝑥 (𝑥1 − ℎ) = 𝑚 … . (𝑖𝑖) −𝑝 Substitusikan nilai 𝑚 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛) ke persamaan berikut (𝑦 − 𝑦1 ) = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1 ) , sehingga (𝑦 − 𝑦1 ) =

(𝑥1 − ℎ) (𝑥 − 𝑥1 ) −𝑝

−𝑝 (𝑦 − 𝑦1 ) = (𝑥1 − ℎ) (𝑥 − 𝑥1 ) −𝑝𝑦 + 𝑝𝑦1 = ℎ𝑥1 − 𝑥1 2 − ℎ𝑥 + ℎ𝑥1 … . (𝑖𝑖𝑖) Substitusi persamaan (𝑖) 𝑘𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (𝑖𝑖𝑖), sehingga −𝑝𝑦 + 𝑝𝑦1 = 𝑥1 ℎ − (2ℎ𝑥1 − ℎ2 − 2𝑝 (𝑦1 − 𝑘)) − ℎ𝑥 + ℎ𝑥1 −𝑝𝑦 + 𝑝𝑦1 = 𝑥1 ℎ − 2ℎ𝑥1 + ℎ2 + 2𝑝 (𝑦1 − 𝑘) − ℎ𝑥 + ℎ𝑥1 −𝑝𝑦 + 𝑝𝑦1 = 𝑥1 ℎ − 2ℎ𝑥1 + ℎ2 + 2𝑝𝑦1 − 2𝑝𝑘 − ℎ𝑥 + ℎ𝑥1 −𝑝𝑦 + 𝑝𝑦1 = 𝑥1 ℎ − ℎ𝑥1 + ℎ2 + 2𝑝𝑦1 − 2𝑝𝑘 − ℎ𝑥 −𝑝𝑦 + 𝑝𝑦1 − 2𝑝𝑦1 + 2𝑝𝑘 = 𝑥1 ℎ − ℎ𝑥1 + ℎ2 − ℎ𝑥 −𝑝𝑦 + 𝑝𝑦1 − 2𝑝𝑘 = 𝑥1 ℎ − ℎ𝑥1 + ℎ2 − ℎ𝑥 −𝑝(𝑦 + 𝑦1 − 2𝑘) = (𝑥 − ℎ)(𝑥1 − ℎ)  Maka Persamaan Garis Singgungnya ialah −𝒑(𝒚 + 𝒚𝟏 − 𝟐𝒌) = (𝒙 − 𝒉)(𝒙𝟏 − 𝒉)

3

2. Dengan gradien (m) pada a. Parabola (𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘) Penentuan Garis Singgung Parabolanya: Untuk parabola dengan bentuk umum (𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘) dengan garis singgung 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya dengan mensubstitusikan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ke dalam persamaan parabola (𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘), sehingga didapat (𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑘)

(𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑚𝑥 + 𝑛 − 𝑘) 𝑥 2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 = 2𝑝𝑚𝑥 + 2𝑝𝑛 − 2𝑝𝑘 𝑥 2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 = 2𝑝𝑚𝑥 + 2𝑝(𝑛 − 𝑘) 𝑥 2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑝𝑚𝑥 + ℎ2 − 2𝑝(𝑛 − 𝑘) = 0 𝑥 2 + (−2ℎ − 2𝑝𝑚)𝑥 + ℎ2 − 2𝑝(𝑛 − 𝑘) = 0 Syarat garis menyinggung parabola ialah 𝐷 = 0 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎 (−2ℎ − 2𝑝𝑚)2 − 4(1)(ℎ2 − 2𝑝(𝑛 − 𝑘)) = 0 4ℎ2 + 8ℎ𝑝𝑚 + 4𝑝2 𝑚2 − 4ℎ2 + 8𝑝(𝑛 − 𝑘) = 0 8ℎ𝑝𝑚 + 4𝑝2 𝑚2 + 8𝑝(𝑛 − 𝑘) = 0 … . (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 8) 1 𝑝𝑚2 + (𝑛 − 𝑘) = 0 2 1 ℎ𝑚 + 𝑝𝑚2 + 𝑛 − 𝑘 = 0 2 1 𝑛 = −ℎ𝑚 − 𝑝𝑚2 + 𝑘 2 ℎ𝑚 +

Substitusi nilai 𝑛 ke persamaan berikut 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 1 𝑝𝑚2 + 𝑘 2 1 (𝑦 − 𝑘) = 𝑚(𝑥 − ℎ) − 𝑝𝑚2 2 𝑦 = 𝑚𝑥 − ℎ𝑚 −

𝟏

 Maka Persamaan Garis Singgungnya ialah (𝒚 − 𝒌) = 𝒎(𝒙 − 𝒉) − 𝟐 𝒑𝒎𝟐

4

b. Parabola (𝑥 − ℎ)2 = −2𝑝(𝑦 − 𝑘) Penentuan Garis Singgung Parabolanya: Untuk parabola dengan bentuk umum (𝑥 − ℎ)2 = −2𝑝(𝑦 − 𝑘) dengan garis singgung 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya dengan mensubstitusikan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ke dalam persamaan parabola (𝑥 − ℎ)2 = −2𝑝(𝑦 − 𝑘), sehingga didapat

(𝑥 − ℎ)2 = −2𝑝(𝑚𝑥 + 𝑛 − 𝑘) 𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 = −2𝑝𝑚𝑥 − 2𝑝𝑛 + 2𝑝𝑘 𝑥 2 − 2𝑥ℎ + ℎ2 + 2𝑝𝑚𝑥 + 2𝑝𝑛 − 2𝑝𝑘 = 0 𝑥 2 + (−2ℎ + 2𝑝𝑚)𝑥 + ℎ2 + 2𝑝(𝑛 − 𝑘) = 0 Karena menyinggung garis maka 𝑫 = 𝟎 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎 (−2ℎ + 2𝑝𝑚)2 − 4(1)(ℎ2 + 2𝑝(𝑛 − 𝑘)) = 0 4ℎ2 − 8ℎ𝑝𝑚 + 4𝑝2 𝑚2 − 4ℎ2 − 8𝑝(𝑛 − 𝑘) = 0 −8ℎ𝑝𝑚 + 4𝑝2 𝑚2 − 8𝑝(𝑛 − 𝑘) = 0 … . (𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 8𝑝) 1 −ℎ𝑚 + 𝑝𝑚2 − 𝑛 + 𝑘 = 0 2 1 𝑚 ( 𝑚 − ℎ) − 𝑛 + 𝑘 = 0 2 1 𝑛 = 𝑚 ( 𝑚 − ℎ) + 𝑘 2 Substitusi nilai 𝑛 ke persamaan berikut 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 1 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚 ( 𝑚 − ℎ) + 𝑘 2 1 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚2 − ℎ𝑚 + 𝑘 2 1 𝑦 − 𝑘 = 𝑚(𝑥 − ℎ) + 𝑚2 2 𝟏

 Maka Persamaan Garis Singgungnya ialah 𝒚 − 𝒌 = 𝒎(𝒙 − 𝒉) + 𝟐 𝒎𝟐

5

Contoh Soal:

1. Tentukan persamaan garis singgung parabola (𝑥 − 2)2 = 8(𝑦 − 2) di titik (6,4) Penyelesaian: Menentukan nilai 𝑃 𝑥 2 = 2𝑝 𝑥1 = 6 dan 𝑦1 = 4 8 = 2𝑝 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑢𝑛𝑐𝑎𝑘 (2, 2) 𝑝=4 𝑓𝑜𝑘𝑢𝑠 (ℎ, 𝑝 + ℎ) → (2, 6) Subtitusikan nilai direktris, titik puncak ke persamaan garis singgung yang berlaku 𝑝(𝑦 + 𝑦1 − 2𝑘) = (𝑥 − ℎ)(𝑥1 − ℎ) 4(𝑦 + 4 − 2(2)) = (𝑥 − 2)(6 − 2) 4(𝑦 + 0) = (𝑥 − 2)(4) 4𝑦 = 4𝑥 − 8 𝑦 =𝑥−2 Maka, persamaan garis singgungnya adalah 𝑦 = 𝑥 − 2 2. Persamaan garis singgung parabola (𝑥 − 2)2 = −8(𝑦 + 1) dengan gradien 2 adalah…. Penyelesaian: Menentukan nilai 𝑃 𝑥 2 = 2𝑝 𝑚=2 −8 = 2𝑝 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑢𝑛𝑐𝑎𝑘 (ℎ, 𝑘) → (2, −1) 𝑝 = −4 𝑓𝑜𝑘𝑢𝑠 (ℎ, 𝑘 − 𝑝) → (2, −5) Subtitusikan nilai direktris, titik puncak, gradien ke persamaan garis singgung yang berlaku 1 (𝑦 − 𝑘) = 𝑚(𝑥 − ℎ) − 𝑝𝑚2 2 1 𝑦 + 1 = 2(𝑥 − 2) − (2 (4)(22 )) 𝑦 + 1 = 2𝑥 − 4 − 8 𝑦 = 2𝑥 − 13 Maka, persamaan garis singgungnya adalah 𝑦 = 2𝑥 − 13 3. Persamaan garis singgung bergradien 𝑚 = 2 pada parabola (𝑥 − 3)2 = −6(𝑦 + 1) Penyelesaian : 1 2

𝑦 − 𝑘 = 𝑚(𝑥 − ℎ) + 𝑝𝑚2

𝑥 2 = 2𝑝

1

𝑦 + 1 = 2(𝑥 − 3) + (2 (−3)(2)2 )

−6 = 2𝑝

𝑦 + 1 = 2𝑥 − 6 − 6

𝑝 = −3

𝑦 + 1 = 2𝑥 − 12 𝑦 = 2𝑥 − 13

6

Latihan Soal: 1. Diketahui persamaan parabola 𝑥 2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 20 = 0 dengan titik absis 𝑥 = 6. Tentukan persamaan garis singgungnya! 𝑥 2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 20 = 0 𝑥 2 − 4𝑥 = 8𝑦 − 20 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 8𝑦 − 20 + 4 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 8𝑦 − 16 (𝑥1 − 2)(𝑥 − 2) = 8𝑦 − 16 (𝑥1 − 2)(𝑥 − 2) = 8(𝑦1 − 2) Didapat (ℎ, 𝑘) = (2,2) 𝑑𝑎𝑛 𝑝 = 4 Pada absis 𝑥 = 6, Maka substitusikan nilai-nilai nya ke dalam persamaan (𝑥 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦1 − 𝑘): (6 − 2)2 = 8(𝑦1 − 2) 16 = 8𝑦1 − 16 16 + 16 = 8𝑦1 36 = 8𝑦1 4,5 = 𝑦1 Maka dapat diketahui bahwa (𝑥1 , 𝑦1 ) = (6 ; 4,5) ; puncak (ℎ, 𝑘) = (2,2) 𝑑𝑎𝑛 𝑝 = −4 Substitusikan nilai-nilainya kedalam persamaan garis singgung parabola: 𝑝(y + 𝑦1 − 2𝑘) = (𝑥1 − h)(𝑥 − ℎ) (4)(𝑦 + 4,5 − 2(2)) = (6 − 2)(𝑥 − 2) 4(𝑦 + (0,5)) = 4(𝑥 − 2) 4𝑦 + 2 = 4𝑥 − 8 4𝑦 = 4𝑥 − 8 − 2 4𝑦 = 4𝑥 + 10 𝑦=𝑥+

5 2

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (𝑥 − 2)2 = 6(𝑦 + 2) di titik yang mempunyai absis 𝑥 = 4! Penyelesaian: (𝑥 − 2)2 = 6(𝑦 + 2)

;

dengan 𝑥1 = 4 (𝑥1 − ℎ)2 = 2𝑝(𝑦1 − 𝑘) (𝑥1 − 2)2 = 6(𝑦 + 2)

Dari data di atas didapat bahwa (ℎ, 𝑘) = (2, −2) 𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝 = 3 Dan dengan nilai absis 𝑥1 = 4, maka subtitusi nilai 𝑥1 kedalam bentuk persamaan (i) Maka didapat seperti dibawah : (𝑥1 − 2)2 = 6(𝑦1 + 2) 7

(4 − 2)2 = 6 (𝑦1 + 2) 4 = 6 𝑦1 + 12 4 − 12 = 6𝑦1 −8 = 6𝑦1

4 − = 𝑦1 3 4

Lalu setelah diketahui nilai (𝑥1 , 𝑦1 ) = (4, − 3 ) ; 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑃(ℎ, 𝑘) = (2, −2) 𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑝 = 3 Maka subtsitusikanlah ke dalam bentuk persamaan garis singgung parabola (𝑥 − ℎ)(𝑥1 − ℎ) = 𝑝(y + 𝑦1 − 2𝑘) 4 ((𝑥 − 2)(4 − 2)) = (3) (𝑦 − − (2(−2))) 3 ((𝑥 − 2) 2) = 3𝑦 − 4 + 12

2𝑥 − 4 = 3𝑦 − 8 2𝑥 + 8 = 3𝑦 2𝑥 + 8 =𝑦 3 4. Tentukan Persamaan Garis Singgung Parabola 𝑥 2 − 6𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 yang sejajar dengan garis 3𝑥 − 4𝑦 + 5 !

Penyelesaian: 𝑥 2 − 6𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 + 4 = 2𝑦 + 4 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 2𝑦 + 4 (𝑥 − 3)2 = 2(𝑦 + 2) 𝒙𝟐 = 𝟐𝒑 2 = 2𝑝 𝒑=𝟏 𝑇𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑢𝑛𝑐𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 (3, −2)𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑓𝑜𝑘𝑢𝑠 (3, −1) Mencari gradien m pada garis 3𝑥 − 4𝑦 + 5 𝑎 𝑚1 = − 𝑏 3 3 𝑚1 = − = −4 4 3 Karena garis yang dicari sejajar maka, 𝑚1 = 𝑚2 = 4

2

Persamaan garis singgung parabola 𝑥 − 6𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 yang sejajar dengan 3𝑥 − 4𝑦 + 5 adalah

8

(𝑦 − 𝑘) = 𝑚(𝑥 − ℎ) + (𝑦 + 2) =

1 𝑝𝑚2 2

3 1 3 2 (𝑥 − 3) + ( (1) ( ) ) 4 2 4

3 9 9 𝑥− + 4 4 32 3 9 9 (𝑦 + 2) = 𝑥 − + … . 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑘𝑎𝑙𝑖 32 4 4 32 (𝑦 + 2) =

32𝑦 + 64 = 24𝑥 − 72 + 9 24𝑥 − 32𝑦 − 64 − 72 + 9 = 0 24𝑥 − 32𝑦 − 127 = 0 24𝑥 − 127 =𝑦 32

9