Perim Y Areas

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

Dibuja tres triángulos cuya base mida 6 centímetros y su altura 8 centímetros.

8 cm

1

8 cm

6 cm

2

8 cm

6 cm

6 cm

Dibuja tres paralelogramos cuya base mida 7 centímetros y cuya altura mida 5 centímetros.

5 cm

5 cm

7 cm

3

E M P E Z A R

5 cm

7 cm

7 cm

Dibuja tres trapecios tales que sus bases miden 5 y 9 centímetros, respectivamente, y su altura 4 centímetros. 5 cm 4 cm

5 cm 4 cm

9 cm

4

4 cm

9 cm

9 cm

Dibuja una circunferencia y un círculo cuyos radios midan 6 y 8 centímetros, respectivamente.

6 cm

5

5 cm

8 cm

El motivo ‘pajarita‘ que la dinastía nazarí utilizó en sus mosaicos se obtiene a partir de un triángulo equilátero.

Razona si la pajarita final ocupa la misma superficie que el triángulo. En la segunda figura, P es el punto medio del lado del triángulo equilátero y los arcos son iguales; por tanto, se conserva la superficie. Lo mismo ocurre en las figuras restantes. En consecuencia, la pajarita final de la dinastía nazarí tiene la misma superficie que el triángulo equilátero.

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

P E R Í M E T R O

PA R A

Y

S U P E R F I C I E

P R A C T I C A R

12.1 ¿Cuánto mide el perímetro de las siguientes figuras? a)

b)

4 cm 4 cm

7 cm

8 cm

4 6

a) Perímetro  7  8  6  21 cm

cm

10 cm

6 cm

cm

8 cm

b) Perímetro  4  10  8  6  4  4  36 cm

12.2 Calcula el perímetro de estas figuras, sabiendo que el lado de cada cuadrado mide 1 metro. a)

b)

a) Perímetro  3  1  2  1  1 1 1 2  1  2  1  1 1 1  2  2  2  1  1  3  1  1  1   1 1  1  2  1  2  1  42 m b) Perímetro  6  2  1  2  1  2  2  5  2  1  1  1  1  1  1  3  3  1  2  1  1  1  1   2  1  1  1  1  48 m Ejercicio resuelto 12.3 Expresa en metros cuadrados las siguientes medidas de superficie. a) 30 cm2

b) 0,05 km2

a) 30 cm2  0,003 m2

b) 0,05 km2  50 000 m2

12.4 Expresa en la unidad indicada en cada caso las siguientes medidas. a) 12 cm2 en metros cuadrados. b) 0,7 km2 en decámetros cuadrados. c) 36 mm2 en decímetros cuadrados. d) 9 hm2 en decímetros cuadrados. e) 36 m2 en kilómetros cuadrados. a) 12 cm2  0,0012 m2 b) 0,7 km2  7 000 dam2 c) 36 mm2  0,0036 dm2 d) 9 hm2  9 000 000 dm2 e) 36 m2  0,000036 km2

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

12.5 Ordena, de menor a mayor, estas medidas de superficie. a) 36 m2

0,04 dam2

3 605 dm2

b) 7 m2

0,7 dam2

340 dm2

a) 36 m2

0,04 dam2  4 m2

3 605 dm2  36,05 m2

0,7 dam2  70 m2

340 dm2  3,4 m2

0,04 dam2  36 m2  3 605 dm2 b) 7 m2 340 dm2  7 m2  0,7 dam2 12.6 Las diagonales de un rombo miden 16 y 12 centímetros, respectivamente. ¿Cuánto mide su lado? ¿Y su perímetro? Calculamos el lado del rombo aplicando el teorema de Pitágoras: l 2  82  62  100 → l 

l

8 cm

100   10 cm

6 cm

Perímetro del rombo: 4  10  40 cm

12.7 Calcula el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 6 y 15 centímetros, respectivamente, y su altura es igual a 8 centímetros. 6 cm

Calculamos el lado no paralelo del trapecio, aplicando el teorema de Pitágoras: l 2  82  4,52  84,25 → l 

84,25   9,18 cm

l

8 cm

Perímetro del trapecio: 6  15  2  9,18  36,36 cm 4,5 cm

6 cm

4,5 cm

15 cm

12.8 Halla el perímetro y el área de estas figuras, si un cuadrado equivale a un centímetro cuadrado. a)

b)

a) Perímetro  22  2 2  24,82 cm Área  16 cm2

b) Perímetro  14  5 2  21,07 cm Área  13,5 cm2

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

A P L I C A R

12.9 El Ayuntamiento de una ciudad ha presentado este plano dentro de un proyecto para la construcción de un polideportivo. Calcula el perímetro y el área del recinto destinado a dichas instalaciones.

1 m2

Perímetro del polideportivo: 10  2  1  3  1  2  12  6  2  1  40 m. Área del polideportivo: 12  3  11  3  10  79 m2

12.10 Se va a reformar un salón de actos, cambiando el suelo y colocando rodapié nuevo. Se ha recibido un presupuesto con el precio de los materiales. El suelo cuesta 35 euros el metro cuadrado, y el rodapié, 18 euros el metro.

1 m2

a) ¿Cuánto deberán pagar por los materiales? b) Si además hay que pagar un 7 % de IVA, ¿cuál será el importe total de la factura? a) Perímetro del polideportivo:

8

2  2  3  2  2 2  7  6  28  3 2  32,24 m

Precio del rodapié:

32,24  18  580,32 €

Área del polideportivo:

8  4  7  2  6  11,5  63,5 m2

Precio del suelo:

63,5  35  2 222,5 €

Precio total:

580,32  2 222,5  2 802,82 €

b) 107 % de 2 802,82 € = 2 999,02 €

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Á R E A

D E

PA R A L E L O G R A M O S

PA R A

P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto 12.11 Calcula el área de estas figuras construidas sobre una cuadrícula de lado 1 metro. a)

b)

Las dos figuras son paralelogramos. a) A  b  h → A  5  3  15 m2

b) A  b  h → A  2  4  8 m2

12.12 Halla el área de los siguientes paralelogramos construidos sobre un geoplano. ¿Existe alguna relación entre todas las áreas? Justifica la respuesta. Suponemos que el lado de la cuadrícula mide 1 cm. a) Todos los paralelogramos tienen 2 cm de base y 4 cm de altura; por tanto, el área de todos ellos es: A  2  5  10 cm2 b) En efecto, todos los paralelogramos tienen la misma área, ya que todos tienen la misma base y la misma altura.

12.13 Determina el área de los siguientes paralelogramos, donde b es la base y h es la altura. Expresa el resultado en metros cuadrados. a) b  36 m

h  0,5 dm

c) b  0,23 dam

h  3,5 dm

b) b  0,005 hm

h  39 dam

d) b  15 dm

h  0,007 hm

a) A  36 m  0,05 m  1,8 m2

c) A  2,3 m  0,35 m  0,805 m2

b) A  0,5 m  390 m  195 m2

d) A  1,5 m  0,7 m  1,05 m2

12.14 Calcula el perímetro de un rectángulo cuya base mide 9 metros, sabiendo que su área es igual a 108 metros cuadrados. 108 m2  9  h →

108 m2 h    12 m 9m

Perímetro del rectángulo  2  (9  12)  2  21  42 m 12.15 El área de un cuadrado es 121 metros cuadrados. Calcula su perímetro. l 2  121 →

l

121   11 m

Perímetro del cuadrado: 4  11  44 m

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

12.16 El cuadrado ABCD tiene 10 centímetros de lado. Se ha construido un nuevo cuadrado MNPQ, siendo M, N, P y Q los puntos medios de los lados del cuadrado inicial. Halla el perímetro y el área del cuadrado MNPQ. El lado del cuadrado MNPQ lo obtenemos del siguiente modo: PN 2  BP 2  BN 2  52  52  50 → PN  50   7,07 cm Perímetro del cuadrado MNPQ: 4  7,07  28,28 cm Área del cuadrado MNPQ: 7,072  50 cm2

B

P

N

A

C

Q

M

D

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PA R A

A P L I C A R

12.17 Un pintor cobra 12 euros por cada metro cuadrado que pinta. ¿Cuánto costará pintar una pared que tiene 6 metros de largo y 2,5 metros de altura? Superficie de la pared: 6  2,5  15 m2 Precio del pintor: 15  12  180 euros 12.18 Un arquitecto ha diseñado un teatro. La planta de su vestíbulo tiene forma de romboide y la medida de su base es el doble que la de su altura. El área del vestíbulo mide 2 592 metros cuadrados. a) ¿Cuánto mide la altura del vestíbulo? b) ¿Y la base? a) Altura del romboide: h Longitud de la base del romboide: 2h Ecuación: h  2h  2 592 2h2  2 592 h

2 592 m2

 1 296  36 m

h

2h

La altura del romboide mide 36 metros b) La base del romboide mide 72 metros 12.19 El lado de una alfombra cuadrada mide 0,5 metros. La medida del lado de otra alfombra es el triple que la de la anterior. a) ¿Cuánto mide el área de la primera alfombra? b) El área de la segunda, ¿es el triple que el área de esta alfombra? Razona la respuesta. a) Área de la primera alfombra: 0,52  0,25 m2 b) Lado de la segunda alfombra: 3  0,5  1,5 m Área de la segunda alfombra: 1,52  2,25 m2 Como vemos, si el lado es triple, el área no es triple, sino 32  9 veces mayor. 12.20 Javier está pintando sobre una cartulina cuadrada de lado 0,60 metros. El motivo principal del cuadro está situado en el cuadrado ABCD, obtenido al unir los puntos medios de las semidiagonales. Calcula el perímetro y el área del cuadrado ABCD. Calculamos la diagonal del cuadrado: d 2  0,62  0,62  0,72 m2 → d 

0,72   0,85 m

A

B

D

C

Si llamamos O al punto medio de la semidiagonal: 1 0,85 AO   d    0,21 m 4 4 AB2  0,212  0,212  0,09 → AB 

0,09   0,3 m

Perímetro del cuadrado ABCD: 4  0,3  1,2 m Área del cuadrado ABCD: 0,32  0,09 m2

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

12.21 La planta de la biblioteca pública es rectangular. La base mide el triple que la altura y su área es igual a 108 metros cuadrados. Calcula: a) El perímetro de la biblioteca. b) El área de otra parcela cuadrada que tenga el mismo perímetro que la biblioteca.

108 m2

Altura de la biblioteca: h 3h

Base de la biblioteca: 3h 108 108  h  3h  3h2 → h2    36 m → h  6 m 3 La altura de la planta de la biblioteca mide 6 metros, y la base, 18. a) Perímetro de la biblioteca: 2  (6  18)  48 m b) El lado de parcela medirá 48  4  12 m , por tanto, su área mediría: APARCELA  122  144 m2

Área de triángulos y de trapecios Ejercicio resuelto 12.22 Halla el área de este rombo. El área del rombo ABCD es el cuádruple del área del triángulo OCD. B 3 cm

1 3,75 ATRIÁNGULO    1,5  2,5   cm2 2 2 A

AROMBO  4  ATRIÁNGULO

3,75 = 4    7,5 cm2 2

5 cm O

D

Observa que el área obtenida es la mitad del producto de las diagonales del rombo.

C

h

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto 12.23 Calcula el área de estas figuras. a)

b) 7 cm

4 cm

1 1 a) A    b  h → A    4  7  14 cm2 2 2

Bb 12  7 b) A    h → A    5  47,5 cm2 2 2

12.24 Halla el área de estos triángulos sabiendo que el lado de cada cuadrado mide 1 metro. a)

b)

1 a) A    3  4  6 m2 2

1 b) A    3  5  7,5 m2 2

12.25 Determina el área de los siguientes triángulos. a)

b) 6

cm 14

m

9c

cm 10

1 a) A    14  6  42 cm2 2

cm

1 b) A    10  9  45 cm2 2

12.26 Calcula el área de estos triángulos construidos sobre un geoplano, si el lado de cada cuadrícula mide 1 centímetro. Todos los triángulos construidos sobre el geoplano tienen 4 cm de base y 4 cm de altura; por tanto, su área mide: 1 A    4  4  8 cm2 2

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

12.27 ¿Cuál es el área de los siguientes trapecios? a)

b) 3 cm

4 cm

6 cm

5 cm

8 cm 4 cm

56 a) A    4  22 cm2 2

84 b) A    3  18 cm2 2

12.28 En el cuadrado ABCD se han cortado las esquinas, como muestra la figura. Calcula el área total de las esquinas recortadas. Nombramos los puntos intermedios como M, N, P y Q.

A

1 AMAQ    3  2  3 cm2 2

Q

ANPC

1    5  4  10 cm2 2

1 AMBN    5  3  7,5 cm2 2 APDQ

M

B

N

1    4  6  12 cm2 2

ATOTAL  3  7,5  10  12  32,5 cm2 D

P

8 cm

C

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PA R A

A P L I C A R

12.29 Se ha cortado un tablero con forma de triángulo isósceles. Si la base mide 6 centímetros más que los lados iguales y el perímetro es igual a 33 centímetros, averigua la medida de cada uno de los lados. Perímetro  33  l  l  l  6  3l  6 3l  27 l

l9

l

Los lados iguales miden 9 cm, y el desigual, 15. l+6

12.30 Un mural que ha confeccionado un grupo de jóvenes, con el fin de transmitir la importancia de reciclar los residuos sólidos, tiene forma de trapecio. La base menor es el doble que la altura y la mitad que la base mayor. Calcula el área del mural si la suma de las bases y la altura es igual a 84 centímetros. Altura: B Base menor: 2B Base mayor: 4B 4B  2B  B  84 → 7B  84 → B  12 cm La base mayor mide 48 cm; la base menor, 24, y la altura, 12 48  24 72 A    12    12  432 cm2 2 2

2B B 4B

12.31 Se ha acotado un recinto para preservar las especies autóctonas de posibles depredadores. El recinto tiene forma de trapecio rectángulo cuyas bases miden 12 y 18 kilómetros, respectivamente, y la altura, 9 kilómetros. a) ¿Cuál es el área del recinto? b) Para su vallado se ha utilizado una malla metálica que cuesta 30 euros el metro. ¿Cuánto habrá costado cercar el recinto teniendo en cuenta que no ha habido que pagar sueldos, ya que las tareas han sido realizadas por jóvenes voluntarios de la comarca?

l  9  6  117 2

l

2

2

117   10,82 km.

Perímetro del recinto  12  18  9  10,82  49,82 km  49 820 m. Precio del vallado: 49 820  30  1 494 600 euros  1 500 000 euros

12 km 9 km

12  18 a) A    9  135 km2 2 b) Calculamos la medida del lado oblicuo.

l 6 km 18 km

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Área de polígonos Problema resuelto 12.32 Halla el área del espejo. El espejo es un hexágono regular. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo MBO, obtenemos la apotema del polígono. 222  a2  112 → a2  484  121  363 → a 

363 

Como la raíz cuadrada entera de 363 es 19 y el resto es 2, la apotema mide aproximadamente 19 centímetros. pa (6  22)  19 El área del hexágono es: A      1 254 cm2 2 2 El área del espejo mide 1 254 centímetros cuadrados.

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto 12.33 Calcula el área de este polígono descomponiéndolo en triángulos y trapecios. 1 32 A1    2  2  2 cm2 A2    2  5 cm2 2 2 1 21 2 A3    2  2  2 cm A4    2  3 cm2 2 2 A  A1  A2  A3 A4  2  5  2  3  12 cm2 12.34 Halla el área de estos polígonos. a)

A1 1 cm2

A2

A3 A4

b) 1 cm2

1 cm2

a) Descomponemos el primer polígono del siguiente modo. 31 A1    3  6 cm2 2 1 A3    2  2  2 cm2 2 1 A5    2  2  2 cm2 2 APOLÍGONO  A1  A2  A3  A4 

32 A2    1  2,5 cm2 2 42 A4    2  6 cm2 2 32 A6    1  2,5 cm2 2 A5  A6  6  2,5  2  6  2  2,5  22 cm2

A1 A2 A3

1 cm2

A4

A5 A6

b) Descomponemos el segundo polígono del siguiente modo. 42 A1    2  6 cm2 2 1 A3    2  2  2 cm2 2

1 A2    2  2  2 cm2 2 42 A4    1  3 cm2 2 1 A5  1  4  4 cm2 A6    2  4  4 cm2 2 APOLÍGONO  A1  A2  A3  A4  A5  A6  6  2  2  3  4  4  21 cm2

1 cm2

A2 A3

A1 A4 A5 A6

12.35 ¿Cuál es el área de un octógono regular cuyo lado mide 10 centímetros y su apotema es igual a 5,7 centímetros? 1 1 A    p  a    8  10  5,7  228 cm2 2 2 12.36 Determina el área de un hexágono regular cuyo lado mide 8 centímetros, si está inscrito en una circunferencia. (Recuerda que el lado del hexágono regular es igual que el radio de la circunferencia circunscrita.) Calculamos la apotema del hexágono. a2  82  42  48 → a  48   6,93 cm 1 1 A    p  a    6  8  6,93  166,32 cm2 2 2

a

8 cm 4 cm

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

A P L I C A R

12.37 A un cuadrado de 6 metros de lado se le cortan las esquinas, como indica la figura. Calcula el área del octógono resultante. 1 El área de una esquina mide: ATRIÁNGULO    2  2  2 m2 2 El área del octógono: ACUADRADO  4  AESQUINAS  62  4  2  36  8  28 m2

A

B

H

C

G

D F

E

12.38 El arco persa, tan utilizado en decoración, se construye fácilmente con regla y compás a partir de 4 triángulos equiláteros iguales. B

A

6 cm

C

Halla el área del arco persa.

B

El área del arco persa es igual al área del triángulo equilátero ABC de lado 6 centímetros. Hallamos la altura del triángulo equilátero: h2  62  32  36  9  27 → h 

27   5,2 cm

1 Por tanto, el área del triángulo ABC mide: ATRIÁNGULO    6  5,2  15,6 cm2 2 El área del arco persa mide 15,6 cm2

h

A

12.39 El área de una bandera triangular mide 192 centímetros cuadrados. a) Si la base de la bandera mide 16 centímetros, calcula la altura. b) Si se fabrica otra bandera triangular con doble área y doble base, ¿se dobla la altura? c) Si se dobla el área y se deja la misma base, ¿cómo varía la altura? 1 1 a) ABANDERA    b  h → 192    16  h → h  24 cm 2 2 La altura de la bandera mide 24 cm. 1 b) Calculamos la altura de la nueva bandera: 384    32  h2 → h2  24 cm 2 La altura de la nueva bandera permanece igual y, en consecuencia, no mide el doble que la anterior. c) En este caso, la altura valdría el doble de la altura inicial.

6 cm

3 cm

C

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

12.40 Un terreno destinado a construir un centro médico tiene forma de polígono irregular, como muestra la figura. a) Halla el área del terreno. b) Se quiere rodear con una valla de 3 metros de alto. Calcula su área.

1 m2

a) Descomponemos el polígono en figuras de área conocida:

A8

A2

A1

A5 A7 A3

A4 A6

A9 A10

A11 A12

1 m2

34 A1    1  3,5 m2 2

A2  5  4  20 m2

A4  2  2  4 m2

A5  2  4  8 m2

A7  2  1  2 m2

A8  3  7  21 m2

33 A3    4,5 m2 2 21 A6    3  4,5 m2 2 54 A9    1  4,5 m2 2

13 A10    3  6 m2 2

13 A11    2  4 m2 2

A12  3  1  3 m2

ATERRENO  A1  A2  A3  A4  A5  A6  A7  A8  A9  A10  A11  A12   3,5  20  4,5  4  8  4,5  2  21  4,5  6  4  3  85 m2 b) Perímetro:

2  5  1  2  1  7  3  1  2  8  1  3   13  1   10  1  2  1  3 2  1  3   33  5 2

8  13   10   49,67 m

Área del muro  49,67  3  149,01 m2 12.41 Dos jardineros van a intercambiar los terrenos que cuidan, ya que tienen la misma área. El de uno de ellos tiene forma de hexágono regular de 30 metros de lado, y el del otro tiene forma de triángulo equilátero cuya altura mide 57,5 metros. ¿Cuánto mide el lado del terreno triangular? Calculamos la apotema del hexágono regular: a2  302  152  675 → a  675   25,98 m 1 1 AHEXÁGONO     p  a    6  30  25,98  2 338 m2 2 2 Sea l el lado del triángulo equilátero, calculamos su altura.

l a

30 m

15 m

57,5 m

l 2

l2 3 l h2  l 2     l 2 → h    3 4 4 2 1 l l2 ATRIÁNGULO    l    3    3  AHEXÁGONO  2 338 2 4 2 4  2 338 l 2    5 400 → l   5 400  73,48 m 3 Lado del triángulo equilátero de igual área que el hexágono regular: 73,48 m.

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

12.42 La planta de un museo tiene forma de hexágono regular de 18 metros de lado. a) Halla el lado de un cuadrado que tenga la misma área. b) ¿Cuánto mide la diagonal del cuadrado? Para hallar el área del hexágono calculamos previamente la apotema: a2  182  92  243 → a  AHEXÁGONO

243   15,588 m

1 1    p  a    6  18  15,588  841,752 m2 2 2

d a

18 m 9m

a) Sea l el lado del cuadrado de igual área que el hexágono, entonces: l 2  841,752 → l 

841,75 2  29,01 m

El lado del cuadrado mide 29,01 m. b) d 2  29,012  29,012  1 683,16 → d 

 1 683,16  41,03 m

La diagonal del cuadrado mide 41,03 m

Longitudes en la circunferencia Ejercicio resuelto 12.43 La longitud de una circunferencia mide 47,1 metros. Halla la medida del diámetro. 47,1 47,1  3,14  d → d    15 3,14 El diámetro mide 15 metros.

l

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

P R A C T I C A R

12.44 Calcula la longitud de las circunferencias si las medidas de sus radios son las siguientes. a) 3 m

c) 1,5 dam

b) 6,7 dm

d) 35,4 hm

a) L  2    3  18,85 m2

c) L  2    15  94,25 m2

b) L  2    0,67  4,21 m2

d) L  2    3 540  22 242,48 m2

Ejercicio resuelto 12.45 La longitud de una circunferencia mide 99,852 metros. Halla el radio de esta circunferencia. 99,852 L  2    r → 99,852  2  3,14  r → r    15,9 6,28 El radio mide 15,9 metros. 12.46 La longitud de una circunferencia es igual a 47 213 centímetros. Halla la medida del diámetro. 47 213 L  47 213    d → d    15 036 cm 3,14 12.47 Determina la longitud, en metros, de los arcos de sectores circulares de radio r y ángulo central n. a) r  10 m

n  15

2    10  15 a) LARCO    2,62 m 360

b) r  60 dm

n  120

2    60  120 b) LARCO    125,6 dm = 12,56 m 360

Ejercicio resuelto 12.48 El ángulo central de un sector circular mide 55. Si la longitud del arco de este sector es igual a 16,32 metros, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia? 2    r  n 2  3,14  r  55 LARCO   → 16,32   360 360

55o r •

16,32  360 r    17 2  3,14  55 El radio mide 17 metros.

12.49 En una circunferencia de radio 60 centímetros, la medida del arco de un sector circular es igual a 81,64 centímetros. Calcula el valor del ángulo central. 2    60  n 81,64  360 LARCO  81,64   → n    78 360 2  3,14  60 12.50 La longitud de un sector circular cuyo ángulo central mide 110º es 67,161 centímetros. a) Halla el radio del sector. b) ¿Cuál es la longitud de otro sector circular cuyo ángulo central mide 75º? 2    r  110 a) LARCO  67,161   360 67,161  360 r    35 cm 2  3,14  110

2    35  75 b) LARCO   360 LARCO  45,79 cm

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

A P L I C A R

12.51 Averigua el perímetro de las figuras coloreadas. b) cm

a)

8 cm

5

cm

2

16 cm

1 5 1 1 7 a) p    2        2    1    2        (2,5  1  3,5)  7  21,98 cm 2 2 2 2 2 1 1 1 b) p    2    8    2    4    2    12    (8  4  12)  24  75,36 cm 2 2 2 12.52 Se han dibujado 4 circunferencias de radio 6 centímetros, tangentes entre sí. Determina la longitud de la línea de color rojo y de la línea de color verde. Longitud de la línea roja: 12  2    6  2    6  24  12  87,36 cm Longitud de la línea verde: 2    6  12  37,68 cm

12.53 Este símbolo representa a una determinada marca de ordenadores. Halla el perímetro de la zona coloreada.

2 cm

1 1 1 1 p    2    2    2    2    2    3 +   2    1 2 2 2 2

2 cm

p    (2  2  3  1)  8  25,12

4 cm

12.54 Unos amigos han diseñado el logotipo para el periódico del centro escolar donde estudian. Calcula el perímetro, sabiendo que todos los arcos tienen el centro en cada vértice y pasan por el centro del cuadrado. El radio de cada arco mide la mitad de la diagonal del cuadrado. d 2  102  102  200 → d  1 r    d  7,07 cm 2

x

r

200   14,14 cm d

Toda la parte curva del logotipo mide la longitud de una circunferencia de 7,07 cm de radio. L  2    7,07  44,4 cm Las esquinas son triángulos rectángulos isósceles de cateto: x  10  7,07  2,93 Entonces: l 2  2,932  2,932  17,17 → l 

17,17   4,14 cm

Perímetro del logotipo: 44,4  4  4,14  60,96 cm

10 cm

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Áreas en el círculo Ejercicio resuelto 12.55 El área de un sector circular de 57º es igual a 17,9 metros cuadrados. Halla su radio. 3,14  r 2  57 17,9  360 17,9   → r 2    36 → r  360 3,14  57 El radio mide 6 metros.

36 6

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

P R A C T I C A R

12.56 Halla el área de los círculos si las medidas de sus radios son las siguientes. a) 4 cm

c) 1,5 dm

b) 0,07 km

d) 23,6 m

a) ACÍRCULO    42  16  50,24 cm2

c) ACÍRCULO    1,52  2,25  7,065 dm2

b) ACÍRCULO    0,072  0,0049  0,0154 km2

d) ACÍRCULO    23,62  556,96  1 748,85 cm2

Ejercicio resuelto 12.57 Averigua el radio de un círculo sabiendo que su área es igual a 803,94 centímetros cuadrados. 803,84 803,84  3,14  r 2 → r 2    256 → r  3,14 El radio del círculo mide 16 centímetros.

256   16

12.58 Determina el diámetro de un círculo sabiendo que su área es igual a 1 962,5 metros cuadrados. 1 962,5 1 962,5  3,14  r 2 → r 2    625 → r  3,14 Por tanto, el diámetro mide 50 m.

625   25

12.59 Calcula la longitud de una circunferencia, sabiendo que el área del círculo que encierra es igual a 50,24 decímetros cuadrados. 50,24 ACÍRCULO  50,24  3,14  r 2 → r 2    16 → r  3,14

16 4

Longitud de la circunferencia: 2    r  2    4  8  25,12 dm 12.60 Halla el área, en centímetros, de los siguientes sectores circulares, siendo r el radio y n la medida, en grados, del ángulo central. a) r  5 m n  95º b) r  3,7 dm n  35º c) r  2,35 mm n  115º   52  95 a) ASECTOR    20,72 m2 360   3,72  35 b) ASECTOR    4,18 dm2 360   2,352  115 c) ASECTOR    5,54 mm2 360 12.61 El área de un sector circular de radio 5,2 centímetros es igual a 7,075 centímetros cuadrados. Calcula la medida, en grados, del ángulo central.   5,22  n 7,075  360 7,075   → n    30 El ángulo central mide 30. 360 3,14  5,22 12.62 El área de un sector circular cuyo ángulo central mide 75 es igual a 6 541,667 decímetros. Calcula la medida del radio y expresa el resultado en centímetros.   r 2  75 360  6 541,667 ASECTOR  6 541,667   → r 2    10 000 → r  360 3,14  75 El radio mide 1 000 cm.

 10 000  100 dm  1 000 cm

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

12.63 Halla el área de la región coloreada. Área del sector circular de ángulo 30º:

  62  30 A1    9,42 cm2 360

Área del sector circular de ángulo 45º:

  62  45 A2    14,13 cm2 360

17 cm

o 6 cm 30

Área del rectángulo: 17  6  102 cm2 Área de la región coloreada: 102  A1  A2  102  9,42  14,13  78,45 cm2

45o

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

A P L I C A R

12.64 Calcula el área de las siguientes figuras coloreadas, cuyas medidas están en centímetros. a)

b)

2 cm

4 cm

a) A1    12  3,14 cm2 A2    22  12,56 cm2 A3    32  28,26 cm2 A  28,26  3,14  12,56  12,56 cm2

5 cm

b) El área de la figura coincide con la de un cuadrado de 5 cm de lado. A  52  25 cm2

12.65 El lado de una alfombra cuadrada mide 2 metros. En el centro tiene un motivo coloreado, como muestra la figura. Determina el área del motivo central. AALFOMBRA  22  4 m2 ACÍRCULO    12  3,14 m2 ACENTRAL  AALFOMBRA  ACÍRCULO  4  3,14  0,86 m2

12.66 Si el diámetro de cada una de estas monedas mide 23,25 milímetros, calcula el área de la región coloreada.





23,25 2 AMONEDA      424,34 mm2 2 ARECTÁNGULO  (3  23,25)  (2  23,25)  3 243,38 mm2 Calculamos el área coloreada: ARECTÁNGULO  6  AMONEDA  3 243,38  2 546,04  697,34 mm2 12.67 En un jardín se van a plantar petunias en un sector circular con un radio de 4 metros. a) Halla el área del sector circular sabiendo que el ángulo central es de 180º. b) Si se debe plantar una petunia cada 40 centímetros cuadrados, ¿cuántas petunias se plantarán?   42  180 a) ASECTOR    25,12 m2  251 200 cm2 360 b) Total de petunias que se plantarán: 251 200  40  6 280 petunias.

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

M AT E M Á T I C A S

PA R A

C O T I D I A N A S

A P L I C A R

12.68 Calcula el área de la región coloreada. 12 El radio de cada círculo mide: r    2 cm 6 El área de cada círculo mide: ACÍRCULO    22  4  4  3,14  12,56 cm2 El área de los 9 círculos es: A9 CÍRCULOS  9  12,56  113,04 cm2 Área de la región coloreada: 122  113,04  30,96 cm2

12 cm

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

A C T I V I D A D E S

C Á L C U L O

F I N A L E S

M E N TA L

12.69 Halla las longitudes de las circunferencias cuyos diámetros son los siguientes. Utiliza 3 como valor aproximado del número p. a) 27 cm

c) 81 cm

b) 76 mm

d) 96 m

a) LCIRCUNFERENCIA  2    27  2  3  27  162 cm b) LCIRCUNFERENCIA  2    27  2  3  76  456 mm

c) LCIRCUNFERENCIA  2    27  2  3  81  486 cm d) LCIRCUNFERENCIA  2    27  2  3  96  576 m

12.70 Si las bases y las alturas de distintos paralelogramos son las siguientes, ¿cuál es el área de cada uno de ellos? a) b  18 cm

h  12 cm

b) b  24 cm

h  13 cm

c) b  35 cm

h  21 cm

d) b  28 cm

h  24 cm

e) b  37 cm

h  15 cm

a) APARALELOGRAMO  18  12  216 cm2 b) APARALELOGRAMO  24  13  312 cm2 c) APARALELOGRAMO  35  21  735 cm2 d) APARALELOGRAMO  28  24  672 cm2 e) APARALELOGRAMO  37  15  555 cm2 12.71 Calcula, utilizando 3 como valor aproximado del número p, las áreas de los círculos cuyos radios son los siguientes. a) 3 cm

d) 8 m

b) 6 mm

e) 10 cm

c) 5 dm

f) 100 m

a) ACÍRCULO    32  3  32  27 cm2

d) ACÍRCULO    82  3  82  192 m2

b) ACÍRCULO    62  3  62  108 mm2

e) ACÍRCULO    102  3  102  300 cm2

c) ACÍRCULO    52  3  52  75 dm2

f) ACÍRCULO    1002  3  1002  30 000 m2

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

P R A C T I C A R

Y

A P L I C A R

12.72 El área de un romboide es 70 metros cuadrados y su altura mide 14 metros. ¿Cuánto mide su base? 70 AROMBOIDE  b  h → 70  b  14 → b    5 14 La base del romboide mide 5 metros. 12.73 Las medidas de las bases de un trapecio isósceles son 16 y 12 metros, respectivamente, y su altura mide 5 metros. a) ¿Cuál es su perímetro?

12 m

b) Halla su área. Hallamos el lado oblicuo: l 2  22  52  29 → l 

29   5,385 m

l

5m

2m 16 m

a) p  2  5,385  12  16  38,77 m 16  12 b) ATRAPECIO    5  70 m2 2 12.74 Halla el área de un cuadrado sabiendo que la diagonal mide 5,7 decímetros. Sea l el lado del cuadrado: 5,72 5,72  l 2  l 2  2 l 2 → l 2    16,245 2 Puesto que ACUADRADO  l 2, el área del cuadrado es de 16,245 dm2

12.75 Si un rectángulo mide 40 metros de base y 25 metros de altura tiene el mismo perímetro que un cuadrado. ¿Cuál de los dos tiene mayor área? p  2  (40  25)  130 m 130 Lado del cuadrado: l    32,5 m 4 Área del rectángulo: ARECTÁNGULO  40  25  1 000 m2 Área del cuadrado: ACUADRADO  32,52  1 056,25 m2 Tiene mayor área el cuadrado. 12.76 Calcula el lado de un hexágono sabiendo que su apotema mide 8,66 centímetros y su área mide 259,8 centímetros cuadrados. 1 1 259,8  2 AHEXÁGONO    p  a → 259,8    p  8,66 → p    60 cm 2 2 8,66 60 Lado del hexágono:   10 centímetros 6 12.77 En una circunferencia se ha dibujado un sector circular cuyo ángulo central mide 50º y su área es igual a 15,7 metros cuadrados. Halla el radio de la circunferencia.   r 2  n ASECTOR   360   r 2  50 15,7  360 15,7   → r 2    36 → r  360 3,14  50 El radio de la circunferencia mide 6 metros.

15,7 m2

36 6

50o r

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

12.78 Determina el área de la superficie coloreada sabiendo que el radio del círculo mide 10 centímetros. ACÍRCULO PEQUEÑO    52  25  78,5 cm2   102  120 ASECTORES    104,67 cm2 360 ACOLOREADA  ACÍRCULO PEQUEÑO  ASECTORES  183,17 cm2

60o

12.79 Una alfombra tiene forma circular y su radio mide 75 centímetros. a) Halla el área de esta alfombra. b) Se le quiere poner un borde con flecos alrededor. Si el metro lineal cuesta 36 euros, ¿cuánto costará el material para hacerlo? a) AALFOMBRA    752  5 625  17 662,5 cm2 b) PerímetroALFOMBRA  2    75  2  3,14  75  471 cm = 4,71 m Precio del material: 4,71  36  169,56 € 12.80 Se va a rehabilitar un local rectangular ampliando el largo y el ancho un 20 %. a) ¿En cuánto se incrementará el área? b) ¿En cuánto se incrementará el perímetro? a) Largo del local: b

Ancho del local: h

Largo del local incrementado un 20 %: 1,2b

Ancho del local incrementado un 20 %: 1,2h

AANTIGUO  b  h

ANUEVO  1,2  b  1,2  h  1,44  b  h  1,44  AANTIGUO

El área del nuevo local se incrementará un 44 % b) PerímetroANTIGUO  2  (b  h)

PerímetroNUEVO  2  (1,2  b  1,2  h)  1,2  PerímetroANTIGUO

El perímetro del nuevo local se incrementará un 20 % 12.81 Un terreno tiene forma de triángulo equilátero, y otro, de cuadrado. Si el perímetro de ambos terrenos es igual a 36 kilómetros, ¿cuál de los dos tiene mayor área? 36 Lado del triángulo equilátero:   12 km 3 Altura del triángulo equilátero: h2  122  62  108 → h  1 ATRIÁNGULO    12  10,39  62,34 km2 2 36 Lado del cuadrado:   9 km 4 ACUADRADO  92  81 km2 Tiene mayor área el cuadrado que el triángulo equilátero.

108   10,39 km h

12 km

6 km

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

12.82 Se dispone de 24 metros de alambre para construir polígonos regulares, todos con el mismo perímetro. Halla el área del triángulo equilátero y del hexágono regular. ¿Qué se puede concluir?

Altura del triángulo equilátero: h2  82  42  48 → h 

48   6,93 m

1 ATRIÁNGULO    8  6,93  27,72 m2 2 24 Lado del hexágono regular:   4 m 6 Apotema del hexágono regular: a2  42  22  12 → a 

8m

h

24 Lado del triángulo equilátero:   8 m 3

4m

4m

a

12   3,46 m

2m

1 AHEXÁGONO    6  4  3,46  41,52 m2 2 Se deduce que en todos los polígonos isoperimétricos, cuanto mayor es el número de lados, mayor es el área.

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

R E F O R Z A R

12.83 Expresa las siguientes medidas de superficie en metros cuadrados. a) 0,23 km2

c) 46 cm2

e) 0,9 dam2

b) 725 mm2

d) 89 dm2

f) 0,003 hm2

a) 0,23 km2  23 000 000 m2

c) 46 cm2  0,0046 m2

e) 0,9 dam2 = 90 m2

b) 725 mm2  0,000725 m2

d) 89 dm2  0,89 m2

f) 0,003 hm2 = 30 m2

12.84 Calcula el perímetro y el área de esta figura. PFIGURA  36  8 2  47,31 m AFIGURA  41 m2

1 m✒

12.85 Halla el área de las siguientes figuras. a)

3 cm

c)

3 cm

3 cm

12 cm

b)

3 cm

d)

10 cm

6 cm

7 cm 15 cm

a) ACUADRADO  32  9 cm2 b) ARECTÁNGULO  12  10  120 cm2

c) AROMBOIDE  9  6  54 cm2 6  15 d) ATRAPECIO    4  42 cm2 2

12.86 Calcula el área de estas figuras. a)

b) 9 cm

10 cm 12 cm

7 cm

1 a) ATRIÁNGULO    7  9  31,5 cm2 2

8  12 b) AROMBO    48 cm2 2

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

12.87 Halla la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 3,5 metros. LCIRCUNFERENCIA  2    3,5  2  3,14  3,5  21,98 m

12.88 Averigua la longitud del arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 80º sabiendo que el radio de la circunferencia mide 10 centímetros. 2    10  80 LARCO    13,96 cm 360 12.89 Halla el área de un círculo, sabiendo que su radio mide 12,7 metros. ACÍRCULO    r 2  3,14  12,72  506,45 m2

12.90 Calcula el área de estos sectores circulares. a)

b) m 5c

210o 45o 6 cm

  52  45 a) ASECTOR CIRCULAR    9,8125 cm2 360

  62  210 b) ASECTOR CIRCULAR    65,94 cm2 360

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PA R A

A M P L I A R

12.91 Sobre los lados de un triángulo equilátero que miden 3, 4 y 5 centímetros, respectivamente, se han construido semicírculos. Halla el área de los semicírculos y comprueba si estas cumplen el teorema de Pitágoras. 1 A1      1,52  3,53 cm2 2 1 A2      22  6,28 cm2 2 1 A3      2,52  9,81 cm2 2

A3 A1

3

4 5

Comprobamos que se cumple el teorema de Pitágoras:

A2

3,53  6,28  9,81 Efectivamente A3  A1  A2 12.92 El diámetro de una circunferencia mide 8 centímetro y se divide en 4 partes iguales y se construyen las 4 regiones que muestra la figura. Comprueba que todas las regiones tienen igual área. Es evidente que A1  A4 y que A2  A3, por lo que basta con probar que A1  A2 A1

1 1 1 1 A1      12      42   ·   32   (1  16  9)  4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 A2      22      12      32      22   (4  1  9  4)  4 2 2 2 2 2

A2 A3 A4

Por tanto, todos los recintos tienen igual área.

12.93 El tangram es un antiguo juego chino que consta de 7 figuras que forman un cuadrado como este. a) Si el lado del cuadrado es 12 centímetros, determina el lado de cada una de las figuras. b) Si el área del cuadrado es 16 centímetros cuadrados, averigua el área de cada una de las figuras. 2

  122  122  288 →  a) FB FB 

288   16,97 cm

B

1  AH     FB  8,485 cm 2 1  HJ     FB  4,2425 cm 4   BC    IJ CD   FE   ED  6 cm b) Área del cuadrado  42  16 cm2 → Lado del cuadrado  4 cm 1 ATRIÁNGULO GRANDE    4  2  4 cm2 2 22 ATRAPECIO    1  2 cm2 2 1 ATRIÁNGULO PEQUEÑO    2  2  2 cm2 2 1 ATRIÁNGULO MEDIANO    2  1  1 cm2 2 ACUADRADO  2  4 cm2 2

C

D J

I

E H G B

D

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

12.94 Con las 7 piezas del tangram se han formado estas dos figuras, una con pie y otra sin pie. ¿Qué diferencia hay entre sus áreas? Sus áreas miden lo mismo.

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PA R A

I N T E R P R E TA R

Y

R E S O LV E R

12.95 La nueva autopista La señora Elena Fontana posee una parcela B con forma rectangular de dimensiones 40 y 50 metros respectivamente.

Autopista 18 m

B A

20 m

C

40 m

32 m

25 m

Las autoridades competentes determinan que por sus inmediaciones se debe construir una nueva autopista por lo que deberán expropiar 18 m de de los 50 de largo que tiene la mencionada parcela. Con el dinero que recibirá en concepto de indemnización, la propietaria tiene suficiente para adquirir cualquiera de las parcelas adyacentes A o C. ¿Cuál de ellas deberá comprar si quiere invertir el menor dinero posible pero teniendo al final como mínimo la misma superficie que tenía antes de la expropiación? La superficie de las parcelas es: A: 20  32  640 m2

B: 40  50  2 000 m2

C: 25  32  800 m2

La superficie expropiada es de A: 40  18  720 m2 Por tanto, deberá adquirir la parcela C ya que el terreno de la A no es suficiente para conservar la superficie inicial.

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12.96 Losas Se cuenta con dos tipos de losa de la misma forma pero de diferente color. 1 cm

Las losas tiene color por las dos caras, y para pavimentar el suelo se disponen de la siguiente forma.

Calcula el número de losas de cada color que se precisan para pavimentar una superficie rectangular de 8  4 metros. Área de una losa: 4 cm2 Área que hay que pavimentar: 32 m2  320 000 cm2 Se necesitan 320 000  4  80 000 losas. Como se utiliza igual número de losas de cada color, se necesitarán 40 000 losas de cada tipo.

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A U T O E VA L U A C I Ó N

12.A1 Expresa estas medidas de superficie en metros cuadrados. d) 35 000 mm2 a) 15 km2 b) 35 dam2 e) 0,7 hm2 2 c) 1 575 cm f) 44 dm2 a) 15 km2  15 000 000 m2 b) 35 dam2  3 500 m2 c) 1 575 cm2  0,1575 m2

d) 35 000 mm2  0,035 m2 e) 0,7 hm2  7 000 m2 f) 44 dm2  0,44 m2

12.A2 El lado de un cuadrado mide 3,5 metros. ¿Cuánto mide su área? ACUADRADO  l 2  3,52  12,25 m2 12.A3 El perímetro de un rectángulo mide 48 centímetros y un lado mide los tres quintos del otro. a) Calcula el área del rectángulo b) Halla la medida de la diagonal del rectángulo 3 Altura del rectángulo: b Base del rectángulo: b 5





3 3 8 Puesto que pRECTÁNGULO  2  (b  h), tenemos: 48  2  b + b → 24  b  b → 24  b 5 5 5

b  15

La base del rectángulo mide 15 cm, y la altura, 9. a) ARECTÁNGULO  15  9  135 cm2 b) d 2  152  92  306 → d 

306   17,49 cm

12.A4 Dibuja un trapecio rectángulo cuyas bases midan 7 y 15 centímetros, respectivamente, y su altura sea igual a 6 centímetros. a) Halla su perímetro. 7 cm b) Calcula su área. 6 cm

a) Hallamos el lado oblicuo. l 2  62  82  100 → l  100   10 cm pTRAPECIO  7  6  15  10  38 cm

l 8 cm 15 cm

7  15 b) ATRAPECIO    6  66 cm2 2

12.A5 Se ha construido un tablero con forma de rombo. Si sus diagonales miden 18 y 32 centímetros, respectivamente, ¿cuánto mide su superficie? Hallamos el lado del rombo: l 2  162  92  337 → l 

337   18,36 cm

18  32 AROMBO    288 cm2 2 12.A6 El lado de un hexágono regular mide 10 centímetros. Calcula su área sabiendo que está inscrito en una circunferencia. Apotema del hexágono regular: a2  102  52  75 → a  6  10  8,66 AHEXÁGONO REGULAR    259,8 cm2 2

75   8,66 cm

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12.A7 Si la longitud de una circunferencia mide 65,94 metros, ¿cuál es la medida del radio? LCIRCUNFERENCIA  2    r 65,94 65,94  2  3,14  r → r    10,5 2  3,14 El radio de la circunferencia mide 10,5 metros. 12.A8 Halla la longitud del arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 78º si el radio de la circunferencia mide 35,12 centímetros. 2    35,12  78 LARCO    47,79 360 La longitud del arco es de 47,79 centímetros. 12.A9 El área de una rotonda circular es 706,5 metros cuadrados. Calcula el radio de la rotonda. ACÍRCULO    r 2 706,5 706,5  3,14  r 2 → r 2    225 → r  3,14 El radio de la rotonda mide 15 metros.

225   15

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U N

R I N C Ó N

PA R A

P E N S A R

Encuentra el camino que tiene que seguir Anissa para llenar el cántaro en el pozo y después llevar el agua hasta su poblado sin pasar por los lugares peligrosos.

Hacer notar que una vez que la niña llega a coger agua del pozo, deberá volver sobre sus pasos hasta una intersección para luego llegar al poblado.