Trigonometría
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TRIGONOMETRÍA 1. Sabiendo que sen B = 0º < B < 90º . (Solución: cos B =
1 , hallar el valor de las restantes razones trigonométricas, siendo 3
2 2 2 3 2 , tg B = , cot g B = 2 2 , sec B = , cos ec B = 3 ) 3 4 4
1 , hallar las demás razones trigonométricas siendo 180º < B < 270º . 2 − 5 −2 5 − 5 (Solución: sen B = , cos B = , cot g B = 2, sec B = , cos ec B = − 5 ) 5 5 2 3. Sabiendo que sec B = −3 , y que 180º < B < 270º , hallar las demás razones trigonométricas del ángulo B . 2 2 −1 2 −3 2 (Solución: sen B = − , cos B = , tg B = 2 2 , cot g B = , cos ec B = ) 3 3 4 4 4 π 4. Sabiendo que sen α = y 0 < α < , hallar: 5 2 a) sen (π − α ) b) cos (π + α ) c) sen (−α ) 4 3 4 (Solución: a) , b) − , c) − ) 5 5 5 5. Sabiendo que cot g B = 4 y que 0º < B < 90º , hallar las demás razones trigonométricas. 2. Dado tg B =
17 4 17 1 17 , cos B = , tg B = , cos ec B = 17 , sec B = ) 17 17 4 4 sen α ⋅ cot g α cos α ⋅ tg α 6. Simplificar A = + sec α cos ec α (Solución: 1) 7. Simplificar: cos α − cos 3 α a) sen α − sen 3 α (Solución: sen B =
b)
sen 3 α − sen α ⋅ tg α cos α − cos 3 α
c) (sen α + cos α ) − tg α ⋅ cot g α 1 d) − cos α − tg 2 α ⋅ cos α cos α (Solución: a) tg α , b) -1, c) 2 ⋅ sen α ⋅ cos α , d) 0) 8. Una escalera apoyada en la pared forma un ángulo de 60º con la horizontal del suelo. Si la escalera mide 4 metros, hallar la altura que hay desde el suelo al punto donde la escalera se apoya. (Solución: 2 3 m.) 2
9. El extremo superior de un edificio se ve desde 40 m. de su base bajo un ángulo de 30º, hallar la altura del edificio. 40 3 (Solución: m.) 3 10. Un globo atado a un hilo recibe un empuje del aire que lo inclina formando el hilo un ángulo de 70º con la horizontal. Calcular la longitud del hilo sabiendo que desde la vertical del globo hasta el punto donde está atado dista 10 m. (Solución: 29’24 m.) 11. Calcular el perímetro y la superficie de un decágono regular de 15 cm. de radio. (Solución: 92’71 cm., 661’27 cm2.) 12. De la igualad tg A = tg B , ¿se puede asegurar que A = B ?. (Solución: No) 13. Razonar si son o no verdaderas las siguientes igualdades: a) sen (−α ) = − sen α b) cos (−α ) = − cos α c) tg (−α ) = − tg α (Solución: a) Sí, b) No, c) Sí) 14. Calcular: a) cos 135 b) sen 225 c) cos (−150) (Solución: a) − cos 45 , b) − sen 45 , c) − cos 30 ) 1 15. Dado el ángulo α (medido en radianes) del primer cuadrante y sabiendo que sen α = , hallar: 4 a) cos α
π
2
− α ), sen (
π
+α) 2 c) sen (π − α ), sen (π + α ) 3π 3π d) sen ( − α ), sen ( + α ) 2 2 e) sen (2π − α ), sen (2π + α ) b) sen (
15 15 1 −1 15 15 −1 1 , , c) , , d) − , − , e) , ) 4 4 4 4 4 4 4 4 sen 2 α − cos 2 α 16. Demostrar que = sec α − cos ec α sen α + cos α − sen 3 α − cos 3 α 17. Hallar los ángulos agudos de un triángulo rectángulo de catetos 2 cm. y 3 cm. (Solución: 56º18’, 33º42’) 18. Un triángulo rectángulo tiene 30 cm. de perímetro, calcular la medida de los ángulos sabiendo que la hipotenusa mide 13 cm. (Solución: 67º22’, 22º38’) 19. Hallar el área del triángulo de lados b = 6 cm., c = 8 cm. y A = 32º15’. (Solución: 12’81 cm2.) 20. El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 40º, siendo 3 dm. la medida del lado opuesto. Hallar el perímetro de dicho triángulo. (Solución: 11’77 dm) (Solución: a)
15 , b) 4
1 , hallar el valor de las restantes razones trigonométricas, siendo 3
2 2 2 3 2 , tg B = , cot g B = 2 2 , sec B = , cos ec B = 3 ) 3 4 4
1 , hallar las demás razones trigonométricas siendo 180º < B < 270º . 2 − 5 −2 5 − 5 (Solución: sen B = , cos B = , cot g B = 2, sec B = , cos ec B = − 5 ) 5 5 2 3. Sabiendo que sec B = −3 , y que 180º < B < 270º , hallar las demás razones trigonométricas del ángulo B . 2 2 −1 2 −3 2 (Solución: sen B = − , cos B = , tg B = 2 2 , cot g B = , cos ec B = ) 3 3 4 4 4 π 4. Sabiendo que sen α = y 0 < α < , hallar: 5 2 a) sen (π − α ) b) cos (π + α ) c) sen (−α ) 4 3 4 (Solución: a) , b) − , c) − ) 5 5 5 5. Sabiendo que cot g B = 4 y que 0º < B < 90º , hallar las demás razones trigonométricas. 2. Dado tg B =
17 4 17 1 17 , cos B = , tg B = , cos ec B = 17 , sec B = ) 17 17 4 4 sen α ⋅ cot g α cos α ⋅ tg α 6. Simplificar A = + sec α cos ec α (Solución: 1) 7. Simplificar: cos α − cos 3 α a) sen α − sen 3 α (Solución: sen B =
b)
sen 3 α − sen α ⋅ tg α cos α − cos 3 α
c) (sen α + cos α ) − tg α ⋅ cot g α 1 d) − cos α − tg 2 α ⋅ cos α cos α (Solución: a) tg α , b) -1, c) 2 ⋅ sen α ⋅ cos α , d) 0) 8. Una escalera apoyada en la pared forma un ángulo de 60º con la horizontal del suelo. Si la escalera mide 4 metros, hallar la altura que hay desde el suelo al punto donde la escalera se apoya. (Solución: 2 3 m.) 2
9. El extremo superior de un edificio se ve desde 40 m. de su base bajo un ángulo de 30º, hallar la altura del edificio. 40 3 (Solución: m.) 3 10. Un globo atado a un hilo recibe un empuje del aire que lo inclina formando el hilo un ángulo de 70º con la horizontal. Calcular la longitud del hilo sabiendo que desde la vertical del globo hasta el punto donde está atado dista 10 m. (Solución: 29’24 m.) 11. Calcular el perímetro y la superficie de un decágono regular de 15 cm. de radio. (Solución: 92’71 cm., 661’27 cm2.) 12. De la igualad tg A = tg B , ¿se puede asegurar que A = B ?. (Solución: No) 13. Razonar si son o no verdaderas las siguientes igualdades: a) sen (−α ) = − sen α b) cos (−α ) = − cos α c) tg (−α ) = − tg α (Solución: a) Sí, b) No, c) Sí) 14. Calcular: a) cos 135 b) sen 225 c) cos (−150) (Solución: a) − cos 45 , b) − sen 45 , c) − cos 30 ) 1 15. Dado el ángulo α (medido en radianes) del primer cuadrante y sabiendo que sen α = , hallar: 4 a) cos α
π
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− α ), sen (
π
+α) 2 c) sen (π − α ), sen (π + α ) 3π 3π d) sen ( − α ), sen ( + α ) 2 2 e) sen (2π − α ), sen (2π + α ) b) sen (
15 15 1 −1 15 15 −1 1 , , c) , , d) − , − , e) , ) 4 4 4 4 4 4 4 4 sen 2 α − cos 2 α 16. Demostrar que = sec α − cos ec α sen α + cos α − sen 3 α − cos 3 α 17. Hallar los ángulos agudos de un triángulo rectángulo de catetos 2 cm. y 3 cm. (Solución: 56º18’, 33º42’) 18. Un triángulo rectángulo tiene 30 cm. de perímetro, calcular la medida de los ángulos sabiendo que la hipotenusa mide 13 cm. (Solución: 67º22’, 22º38’) 19. Hallar el área del triángulo de lados b = 6 cm., c = 8 cm. y A = 32º15’. (Solución: 12’81 cm2.) 20. El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 40º, siendo 3 dm. la medida del lado opuesto. Hallar el perímetro de dicho triángulo. (Solución: 11’77 dm) (Solución: a)
15 , b) 4
