Ecuación De La Curva Elástica.docx

1.1 ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA Si la curva elástica parece difícil de establecer, se sugiere dibujar primero el diagrama de momento para la viga o el marco. Por la convención de signos para los momentos establecida en el capítulo 4, un momento positivo tiende a doblar una viga o elemento horizontal cóncavo hacia arriba, figura 8-1.

Del mismo modo, un momento negativo tiende a doblar la viga o el elemento cóncavo hacia abajo, figura 8-2.

ECUACION DIFERENCIAL DE LA CURVA ELASTICA

considere la viga de la figura 8-3 con su diagrama de mom ento asociado. Debido al soporte de pasador y rodillo, el desplazamiento en A y D debe ser cero. D entro de la región de momento negativo, la curva elástica es cóncava hacia abajo; y dentro de la región de momento positivo, la curva elástica es cóncava hacia arriba.

Usando estos mismos principios, observe cómo la curva elástica para la viga en la figura 8-4 se elaboró con base en su diagrama de momento. Específicamente tenga en cuenta que la reacción de momento positivo desde la pared mantiene la pendiente inicial de la viga horizontal

la ecuacion de la curva elastica permite el dezplazamiento y el giro de una viga. =

En la figura 8-5a,el rodillo ubicado en A permite la rotación libre sin deflexión,

FORMA ALTERADA DE CADA UNA DE LAS VIGAS

la pared fija en B impide tanto la rotación como la deflexión. La forma alterada se muestra mediante la línea gruesa. En la figura 8-5£>, no puede ocurrir rotación ni deflexión en A y B.

En la figura 8-5e, la viga com puesta se deforma de la manera que se muestra. I a pendiente cambia abruptamente a cada lado de la articulación en B.

En la figura 8-5c,el momento de par girará al extrem o A. Esto originará deflexiones en ambos extrem os de la viga, puesto que la deflexión no es posible en B ni en C. Observe que el segm ento CD permanece sin deformación (una línea recta), dado que en él no actúa ninguna carga interna.

En la figura 8-5¿/,el pasador (bisagra interna) en B permite la rotación libre y, por lo tanto, la pendiente de la curva de deflexión cam biará súbitam ente en este punto, mientras que la viga está restringida por su soporte.

en la figura 8-5f el claro BC se volverá cóncavo hada arriba debido a la carga. Dado que la viga es continua, los daros finales se volverán cóncavos hacia abajo.

1.2 MÉTODO DOBLE INTEGRACIÓN Las rotaciones* 0, y las deflexiones, y, de una viga puede. Calcularse integrando las ecuaciones 3.17 y 3.18 obtenidas en la sección anterior. La primera integración proporciona las rotaciones θ=∫

M dx 3.17 EI

La segunda las deflexiones. θ=∫∫

M dx 3.18 EI

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión. Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

d 2 y M (x ) = EI dx 2

( )

En dónde: M

: ecuación de momento de cargar real en cualquier sitio de la viga.

E

: módulo de Young.

I

: momento rectangular de inercia.

(d2y/dx2)

: segunda derivada.

El producto ‘EI’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:

EI

x

dy =∫ M ( x ) . dx+C 1 dx 0

( )

Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:

dy =tgθ=θ dx De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos: x

EI [ y ( x )]=∫ 0

x

(∫ 0

)

M ( x ) . dx +C 1 dx +C2

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga. El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C 1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información. En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en ‘A’ puede establecerse: x = LA → y = 0 Y, debido al apoyo en ‘B’: x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’: x = LA → y = 0 x = LA → θ = 0

*En éste método no se aplican cargas auxiliares; se toma la viga con sus cargas reales y se siguen los siguientes pasos:  Se resuelve la viga (se hallan las reacciones).  Se halla la ecuación de momento M haciendo un corte en un sitio de la viga en el cual se incluyan todas las cargas aplicadas.  Se hace una primera integración lo cual da la ecuación de las deflexiones de la viga. Como son ecuaciones matemáticas se le puede dar valor a “x” y obtener valores del giro o la deflexión en el sitio que desee, pero se deberán dividir por el que es conocido. Para las constantes de integración que se generan se utilizan “condiciones de frontera” que no son más que sitios de la viga en los cuales se conoce con certeza el giro o la deflexión: los sitios típicos de frontera son los apoyos en los cuales se sabe que no hay deflexión y para el giro, si la viga es simétrica en geometría y cargas, el centro de la luz. Para la ecuación de momento se utilizará paréntesis angular llamado “singularidad”, cuyo significado es que si el contenido de dicho paréntesis es cero o negativo, no tiene validez

1.3 MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS Los dos teoremas que forman la base de la teoría de las deflexiones y rotaciones por el Método de las Áreas del diagrama de Momentos, fueron presentados en la Universidad de Michigan en 1872 por el profesor de estructuras Charles Green. Ya en 1868 en Alemania, el profesor Otto Mohr presentó una teoría similar por el mismo método para la resolución de rotaciones y deflexiones sin que aparentemente Green supiera de su existencia. La continuidad, mejoramiento y ampliación del método quedó en manos del profesor alemán Muller-Breslau, que lo aplicó a estructuras estáticamente indeterminadas.

¿Cómo se aplica el método de área de momento para viga en voladizo, con cargas continuas y para vigas en discontinuidad? Si la sección es constante, EI también lo es, y el diagrama M/EI tomará la misma forma de diagrama del momento flexionante; en cambio, si se presentan variaciones de sección en intervalos definidos, deben tomarse en cuenta antes de aplicar los Teorema de Mohr.

TIPOS DE APLICACIÓN: Vigas en voladizo: La desviación tangencial de cualquier punto de una viga en voladizo con respecto al empotramiento, coincide con la flecha en ese punto. Vigas simplemente apoyadas: Generalmente en este tipo de vigas, se presenta momentos (+) y (-) en el mismo tramo, que dificultan el dibujo aproximado de la curva elástica, en tal situación, se fija cualquiera de los apoyos como punto de referencia, ya que ahí se sabe que ambas flechas son nulas. Vigas con simetría de cargas: Para vigas simplemente apoyadas con carga simétrica, la curva elástica también es simétrica, y la tangente de regencia puede establecerse en el centro del claro, donde mCL= 0 y la flecha es máxima. Vigas con Asimetría de cargas: Cuando hay variaciones de carga en toda la viga, no es posible establecer el sitio exacto donde se produce la flecha máxima, por lo tanto conviene analizar un intervalo de referencia, que se sugiere sea el intervalo entre los apoyos, y mediante relación Geométrica, calcular la pendiente o flecha en cualquier punto intermedio. ¿EN QUÉ CONSISTE EL MÉTODO DE LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS, Y QUIEN LO INVENTO Y EN QUÉ CASO NO PUEDE APLICARSE DICHO MÉTODO? En 1857, Clapeyron presentó a la Academia Francesa su “Teorema delos tres Momentos” para el análisis de las vigas continuas, en la misma forma que Bertot la había publicado dos años antes en las Memorias de la Sociedad de Ingenieros Civiles de Francia, pero sin darle crédito alguno. Puede decirse que a partir de este momento se inicia el desarrollo de una verdadera “Teoría de las Estructuras”. Por medio de este teorema puede analizar una viga apoyada por cualquier número de apoyos, esto se debe a que relaciona los momentos flexionantes en 3 apoyos entre sí y con las cargas que se encuentran en la viga. Este método sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o notables de la viga. Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i, j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales a movimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación que contiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos. Esto significa, que podemos escribir una

ecuación en forma independiente, para tres puntos de apoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n” ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son los movimientos en los apoyos, los cuales se hallan resolviendo el sistema.

La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualesquiera de una viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura. Tipo de vigas puede utilizarse dicho método. Solo se aplica a vigas continuas.

¿QUE SON LOS PUNTOS DE APOYO? Punto de un elemento estructural en el que se produce la transmisión de su reacción a una carga, en forma de fuerza sobre el elemento sustentante.

FÓRMULA DE LA ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS Y DEFINA LAS PARTES QUE LO CONFORMAN.

¿CUÁLES SON LOS TIPOS DE CARGA BÁSICA? Las cargas aplicadas a una viga pueden parecer bastante complicadas, pero hay solamente seis tipos básicos de cargas aplicadas. Una viga puede soportar una cualquiera, o una combinación de estas cargas que son: a) Sin carga. La misma viga se considera sin peso (o al menos muy pequeño comparado con las demás fuerzas que se apliquen). b) Carga concentrada. Una carga aplicada sobre un área relativamente pequeña (considerada aquí como concentrada en un punto). c) Carga uniformemente distribuida. La carga está igualmente distribuida sobre una porción de longitud de la viga. La intensidad de la carga se expresa corno el número de libras por pie; o el número de newton por metro de longitud de carga. d) Carga variable (generalmente distribuida). La carga varia en intensidad de un lugar a otro. e) Par o Momento Torsor. Esta es una torsión aplicada a una viga en alguna parte.

¿Qué hacemos si tenemos un empotramiento y su fórmula? Cuando exista un empotramiento en el extremo de una viga continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se añade un tramo ficticio sin carga y sin longitud en ese extremo, de manera que pueda plantearse una nueva ecuación para resolver ese momento de empotramiento.

1. Pasos de la ecuación de tres momentos 1. Determinar si el método de los tres momentos es aplicable para el caso que se desea analizar. Analizar si la viga es estáticamente indeterminada y continua, con su respectivo diagrama de cuerpo libre. Además, verificar que no exista asentamiento en los apoyos. 2. Determinar los tres apoyos que se analizarán y encontrar el momento en cada uno. Estos momentos serán cero a menos que exista una carga en voladizo. 3. Calcular los valores de cada uno de los términos restante en base al tipo de carga que está presente. En caso de que exista una combinación de cargas, por superposición, éstas pueden separarse, calcularse por separado para luego sumarlas. 4. Sustituir los valores encontrados en la fórmula de los tres momentos y despejar para el valor desconocido del momento que se desea encontrar.

UNA VIGA INCLINADA Y SU FÓRMULA. Modelo de cálculo: Viga inclinada con dos apoyos con balance superior sometida a una fuerza vertical uniformemente distribuida a lo largo de una dirección inclinada.

1.4 MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA DEFINICIÓN Este método consiste en cambiar el problema de encontrar las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistema de cargas aplicadas, por otro problema en que se averiguan las fuerzas de corte y momentos de una viga especial, llamada viga conjugada, que está cargada con el diagrama M/EI de la viga original.

En relación con el método del área de momentos tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero y, por consiguiente, en todos los casos se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión de cualquier punto de la elástica. Su aplicación está basada en 2 1. La pendiente de la elástica en cualquier sección de la viga real ,es igual a la fuerza de corte en la misma sección de la viga conjugada correspondiente (V) . V 2. La deflexión de cualquier punto de la viga real (y) sección correspondiente de su viga conjugada (M) . yM Equivalencia entre los apoyos de la viga real y los de la viga conjugada correspondiente VIG VIGA CONJUGADA A RE AL Tipo de apoyo Condición Condición Tipo de apoyo equivalente 0 Simple

y0

0 Empotramiento

y0

0 Libre

y0

0 Apoyo interior

y0

V 0 M 0

Simple

V 0 M 0

Lib re

V 0 M 0

Empotramient o

V 0 M 0

Articulación

0 Articulaci ón interior

y0

V 0 M 0

Apoyo interior

La tabla de equivalencias se puede explicar de la siguiente manera: si el apoyo es simple habrá rotación pero no deflexión, lo cual implica que en la viga conjugada debe haber corte pero no momento, o sea las condiciones que ofrece el mismo apoyo simple. En el caso de empotramiento, no hay giro ni deflexión, de tal manera que en la viga conjugada no puede haber ni corte ni momento, lo cual se logra dejando dicho extremo libre . En cambio, si el extremo de la viga real está libre por ser un voladizo, tendrá rotación y deflexión, obligando a empotrarlo en la viga conjugada para que allí se presenten corte y momento .En los apoyos interiores de la viga real no hay deflexión, pero la pendiente debe ser la misma hacia un lado y hacia el otro, por consiguiente, este tipo de apoyo se debe de reemplazar en la viga conjugada, por una articulación que brinda momento nulo e igual fuerza de corte a ambos lados. Cuando se presenta una articulación en la viga real, el raciocinio invees completamente válido, de ahí que deba de reemplazarse por un apoyo interior en la viga conjugada. Puede ser que al convertir la viga real en conjugada, esta última sea inestable, la cual mantendrá su equilibrio inestable al cargarlo con el diagrama M/EI. Hay que tener en cuenta, que conviene que en todos los casos la viga conjugada sea determinada, debido a que una viga conjugada indeterminada requerirá una viga real inestable. Relaciones entre la viga real y la viga conjugada. a.- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma. b.- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real. c.- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el mismo punto de la viga real. d.-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el mismo punto de la viga real. e.-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.

f.- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga conjugada. g.- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotradas

INTRODUCCIÓN Frecuentemente el diseño de una viga queda determinado más por su rigidez que por su resistencia. Por ejemplo, al diseñar elementos de máquinas para trabajos de precisión, tales como tornos, prensas, limaduras, etc. Las deformaciones deben permanecer por debajo de las tolerancias admisibles del trabajo que se va a realizar. Asimismo, en las vigas de pisos que tengan por debajo cielo raso de yeso o escalona, se suele limitar la deflexión máxima a 1/360 de claro, para que no aparezcan grietas en el yeso. Una de las más importantes aplicaciones del estudio de la deformación de las vigas es, por otra parte la obtención de ecuaciones de deformación que, junto con las condiciones de equilibrio estático, permitan resolver las vigas estáticamente indeterminadas. Se utilizan varios métodos para determinar la deformación de las vigas. Aunque basados en los mismos principios, difieren en su técnica y en sus objetivos inmediatos. En primer lugar se estudia un procedimiento modernizado del método de la doble integración, que simplifica mucho su aplicación. Otro método, el del área de momentos, se considera el más directo de todos en especial si se desea conocer la deformación en un punto determinado, y es no solamente sencillo sino extremadamente rápido. Otra variante de este método es que es muy cómodo de aplicar.

CONCLUSIÓN Existen una variedad de métodos que pueden utilizarse para resolver vigas continuas estáticamente indeterminadas. Sin embargo, lo más importante es comprender los conceptos que dichos métodos emplean para aprender acerca del comportamiento de las vigas ante cargas y deformaciones para entender la razón de ser de estos procedimientos. En el futuro, aprenderemos nuevos métodos pero, ya que el comportamiento de las vigas es el mismo, los principios en los cuales se basan deben ser los mismos.

BIBLIOGRAFÍA. Análisis Estructural GENARO DELGADO CONTRERAS Págs. 21 – 37 1º Edición. Mecánica de Materiales FERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR. Págs. 528 – 537 2º Edición Resistencia de Materiales I – II ARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C. Págs. 137 – 152 3º Edición.