S5 La Curva Normal

La Curva Normal Capítulo V

Introducción • La curva normal es un modelo teórico o ideal que se obtuvo de una ecuación matemática más que de una investigación y recolección de datos real. • Se emplea para describir distribuciones de puntajes, para interpretar la desviación estándar y para hacer un informe de probabilidades.

Curvas normales: El modelo y el mundo real

• Es simétrica, tiene forma de campana, es Unimodal, ya que tiene un solo pico o punta y coinciden en el centro la Mo, Mnd y Media.

Curvas normales y el mundo real • Veamos, hay cosas que si se sujetan a las características de la curva normal, como la afinidad política, el flujo de tráfico en las entradas, el coeficiente intelectual, la estatura, etc. • Pero otros fenómenos simplemente no se ajustan: La repartición de la riqueza en el mundo, la edad de la población, etc. • Por ello, para aplicar la curva normal hay que cuestionar si nuestros datos son normales o no.

El área bajo la curva normal

• Observa como se distribuyen los datos y mira los porcentajes.

Aclarando la desviación estándar: Una ilustración

El uso de la tabla B • ¿Cómo determinar el porcentaje de datos para 1, 2 o más desviaciones estándar? • Mediante el uso de la tabla B. • Ejemplo: Determinar el porcentaje de datos que hay entre la media y 1.40 DE. – Primero: Se busca el puntaje z correspondiente a los enteros y décimos del lado izquierdo en la tabla B. – Segundo: Se cruza con las columnas superiores de los centésimos.

Los puntajes estándar y la curva normal • ¿Cómo determinamos la distancia sigma de cualquier puntaje crudo? • Por fórmula: Se divide la diferencia del puntaje menos la media, entre la desviación estándar.

X −X z= σ

x ó= σ

• Donde: σ x= El puntaje de desviación =La desviación estándar de una distribución

Ejemplo 1 • Se estudia el ingreso anual en una ciudad cuyo promedio es de $5,000 y su DE es de $1500. Convertir el puntaje crudo de $7000, en un puntaje estándar.

X −X z= σ

7000 − 5000 = = 1.33 1500

• Por lo tanto, un puntaje de $7000, está a 1.33 DE por arriba del ingreso medio anual de $5000.

Ejemplo 2 Ahora vas tú: • Una distribución tiene una media de 10 y una D.E. de 2. Para determinar a cuántas unidades de desviación estándar está un puntaje de 3 de la media. X −X z= σ

Probabilidad y la curva normal • La probabilidad clásica dice que: Número de veces que ocurre el Probabilidad=evento Número total de resultados o eventos

¿Qué probabilidad hay de obtener uno al tirar un dado? ¿Y de obtener un número par? ¿Y al lanzar una moneda que caiga águila o sol?

Probabilidad • La probabilidad será 0, cuando estemos seguros que un evento no ocurrirá y 1 cuando ocurre. En el medio están las demás posibilidades. Se expresa como una fracción común por cada 100 datos. Es decir, una proporción. Por eso la probabilidad de que caiga sol será de 50/100 ó 0.50. • La regla de la multiplicación afirma que si queremos calcular dos probabilidades consecutivas que se excluyan mutuamente, se han de multiplicar.

Ejemplo • ¿Cuál es la probabilidad de sacar águila al lanzar dos veces consecutivas una moneda? – Como la probabilidad es de ½ para cada lanamiento, se procede a multiplicar las probabilidades individuales: – (½) (½) = ¼ ; Es decir, la P= 0.25

• Ahora, usando el ejemplo anterior: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un puntaje entre $5000 (la media) y

Ejemplo… • Paso 1: Convertir el puntaje crudo ($7,000) en uno X −z X(D.E.) 7000 − 5000 z=

σ

=

1500

= 1.33

• Así un puntaje crudo de $7,000, está a 1.33 D.E. de la media. • Paso 2: Usando la Tabla B, buscar el porcentaje correspondiente. En este caso correspondería a:_________. Por lo tanto la probabilidad de obtener un puntaje entre 5,000 y $7000 es de 41/100 (Redondeando a enteros) ó P=0.41