Trabajo De Investigación Ecuaciones Diferenciales.docx

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TRABAJO DE INVESTIGACIÓN NOMBRE: DIEGO APELLIDO: REYES ORTIZ MAMANI MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA: 1 DE JUNIO 2018

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USOS ADICIONALES DEL PROCESO DE FROBENIUS

Este metodo se convirtio en una herramienta muy poderosa para la determinacion de soluciones para un amplio espectro de ecuaciones diferenciales de segundo orden con una inmediata repercusion en aplicaciones de la fisica en innumerables problemas. En el siguiente ejemplo se muestra una aplicacion del metodo de Frobenius especificamente aplicado al campo de la fisica en el comportamiento de un material al ser sometido a una fuerza compresiva precisamente el pandeo de una columna cónica.

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES PANDEO DE UNA COLUMNA CÓNICA

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APLICACIÓN PRÁCTICA DE LA ECUACION DE LEGENDRE En matemáticas, en el análisis de ecuaciones diferenciales ordinarias, las funciones de Legendre son las soluciones de las ecuaciones diferenciales de Legendre. La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de serie de potencias. En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre. El polinomio de legendre es uno de los ejemplos más importantes de los Polinomios Ortogonales Aparecen como soluciones en varios problemas clásicos como:    

Aplicaciones matemáticas Propagación de ondas Reconocimiento de patrones Reconstrucción de señales digitales

Los polinomios de Legendre, igual que los de Hermite y Laguerre, son útiles en ramas de la Física y en el cálculo numérico ya que permiten el cómputo de integrales definidas sin necesidad de usar fórmulas analíticas, tan sólo fijando como intervalo de integración [ -1 ; +1] (con el correspondiente cambio de variable). Esto es especialmente interesante en programas de cómputo que tratan de resolver una integral definida. Los polinomios de Legendre son útiles en el desarrollo por serie, de funciones como

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donde r y r´ son las longitudes de los vectores x y x´ respectivamente y ´´γ´´ es el ángulo entre los dos vectores. La expansión mantiene r > r´. Esta expresión está usada, por ejemplo, para obtener el potencial de una carga puntual, que se siente en un punto x mientras la carga está localizada en el punto x´. La expansión usando polinomios de Legendre puede ser útil para integrar esta expresión sobre una carga continua distribuida.

APLICACIÓN PRÁCTICA DE LA ECUACION DE BESSEL La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtzpor el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (α = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero ((α = n + 1/2), por ejemplo:     

Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas. Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas. Conducción del calor en objetos cilíndricos. Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo). Difusión en una red.

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesamiento de señales, propagación de ondas largas en ingeniería marítima y en problemas que tengan ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.