Trabajo De Investigacion 2 Ecuaciones Diferenciales.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA ECUACIONES DIFERENCIALES

ASIGNATURA: Ecuaciones Diferenciales TEMAS: Aplicaciones de la EDOL de segundo orden Fenomeno de la resonancia DOCENTE: Raúl Castro Vidal SEMESTRE ACADÉMICO: 2016-I FECHA DE ENTREGA: 14/07/16 GRUPO: 4 ALUMNO:  Segovia Pujaico,Alvaro Saul

CÓDIGO: 15190039



Gutierrez Condor,Victor

13190267



Pereyra Pelaez Oscar Abel

15190023



Minaya Ramirez , Yassef

15190017



Campos del Aguila , Marco



Delgado Puelles,Kevin

15190073

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Aplicaciones a la física: Movimiento Armónico Simple: La Ley de Hooke: Supongamos que un cuerpo de masa M está sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto. Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. Alarga el resorte en 1/2 pie, entonces, 10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie. Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. Alarga el mismo resorte en 2/5 pie.

Segunda Ley de Newton: Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso Wes equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:

W=m.g

En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y g = 9.8 mt/s² , p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b,la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución: m d²x/dt² = - k (s + x) + mg = - kx + mg - ks = - kx cero Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado: Dividiendo la última ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden: d²x/dt² + k/m x = 0 o bien d²x/dt² +

²x = 0

En donde

² = k/m. Se dice que la ecuación d²x/dt² + ²x = 0 describe el movimiento armónico simple o movimiento vibratorio no amortiguado. Hay dos condiciones iniciales obvias asociadas con dicha ecuación: x(0) =

, dx/dt% = %t = 0

Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial, respectivamente. Por ejemplo si >0y < 0, se trata de una masa que parte de un punto abajo de la posición de equilibrio y a la cual se ha comunicado una velocidad dirigida hacia arriba. Si <0y > 0, se trata de una masa en reposo que se suelta

desde un punto que está % posición de equilibrio. Los demás casos son análogos.

%unidades arriba de la

Solución y ecuación de movimiento: Para resolver la ecuación d²x/dt² + ²x = 0 observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar M² - w² = 0 son los números complejo M = i y Mi = i. De esta forma se obtiene una solución general: x (t) = C1 cos t + C2 sen t. El periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuación general planteada es T = 2 / y la frecuencia es = 1/T = /2 . Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo es 2 /3 y la frecuencia es 3/2 . El primer número indica que hay 3 ciclos de la gráfica de cada 2 unidades; en otras palabras, la masa realiza 3/2 oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 2 / es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantes C1 y C2 en x (t) = C1 cos t + C2 sen t mediante las condiciones iniciales x(0) =

, dx/dt% = %t = 0

, Decimos que la solución particular resultante es la ecuación de movimiento. Ejemplo: Resolver e interpretar el problema de valor inicial: d²x/dt² + 16 x = 0 x(0) = 10, dx/dt% = 0 %t = 0 Solución: Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución: x (t) = C1 cos 4t + C2 sen 4t. Resulta x (0) = 10 = C1 . 1 + C2 . 0 de modo que C1 = 10 y por lo tanto x (t) = 10 cos 4t + C2 sen 4t. dx/dt = 40 sen 4t + 4C2 cos 4t

dx/dt% = 0 = 4C2 . 1 %t = 0 La ultima ecuación implica que C = 0 y por lo tanto la ecuación de movimiento es x (t) = 10 cos 4t. La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento, permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente 10 unidades hacia cada lado de la posición de equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es 2 /4 = /2 segundos. Ejemplo: Un cuerpo que pesa 2lb. Se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x (t) que describe el movimiento libre resultante. Solución: Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie. Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de masa. M = W/g Tenemos M = 2/32 = 1/16slug; Además, por la Ley de Hooke se tiene: 2 - k (1/2) lo que implica que k = 4lb/pie. Por consiguiente, se tiene: 1/16 d²x/dt² = -4x y d²x/dt² + 64x = 0. El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por: x(0) = 2/3, dx/dt% = - 4/3 %t = 0 En donde el signo negativo que aparece en la última condición en consecuencia de que a la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es, dirigida hacia arriba. Ahora bien, ² = 64, osea 8, de modo que la solución general de la ecuación diferencial es: x (t) = C1 cos 8t + C2 sen 8t. Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que: x (0) = 2/3 = C1 . 1 + C2 . 0 (C1 = 2/3) x (t) = 2/3 cos 8t + 8C2 cos 8t x´(t) = - 16/3 sen 8t + 8C2 cos 8t x´(0) = - 4/3 = - 16/3 . 0 + 8C2 .1, (C = -1/6) Luego C2 = - 1/6. Por consiguiente, la ecuación de movimiento es: x (t) = 2/3 cos 8t - 1/6 sen 8t.

=

Movimiento Vibratorio Amortiguado: El estudio del movimiento armónico libre es un tanto irreal puesto que el movimiento descrito por la ecuación - kx + mg - ks = - kx supone que no actúan fuerzas retardados sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté suspendida en un vacío perfecto, por lo menos habrá una fuerza opuesta debida al medio que la rodea. Por ejemplo, como muestra la figura 5.8, la masa m podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un mecanismo de amortiguación. Ecuación diferencial del movimiento con amortiguación: En los estudios de mecánica se supone que las fuerzas de amortiguación que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el estudio que sigue que esta Fuerza está dado por un múltiplo constante de dx/dt. Cuando no actúan otras fuerzas exteriores sobre el sistema, se tiene, por la segunda ley de Newton, que: m d²x/dt² = -kx -

dx/dt

En donde es una constante de amortiguación positiva y el signo negativo se debe a que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta al movimiento. Dividiendo m d²x/dt² = -kx dx/dt entre la masa m se obtiene la ecuación diferencial del movimiento vibratorio amortiguado libre. d²x/dt² +

dx/ m dt +(k/m)x = 0

o bien d²x/dt² + 2 =0

dx/dt +

En la ecuación d²x/dt² + identificamos 2

²x dx/ m dt + (k/m) x = 0

=

/m,

² = k/m. El símbolo 2 se usa sólo por conveniencia algebraica ya que la ecuación auxiliar es m² + 2 m+ ² = 0 y por lo tanto las correspondientes raíces son: m1 = "(

+ "( ²), m2 = ²-

²²).

Según el signo algebraico de

²², podemos distinguir tres casos posibles. Puesto que cada solución contendrá el factor de amortiguación e, siendo > 0, los desplazamientos de la masase volverán insignificantes para valores grandes del tiempo. Caso I: ²² > 0. En esta situación decimos que el sistema está sobre amortiguado, puesto que el coeficiente de amortiguación es grande comparado con la constante k del resorte. La correspondiente solución de d²x/dt² + 2 dx/dt + ²x =0 es x(t) = C1e + C2e

O bien: X (t) = e (C1e + C2e). Caso II: ²² = 0. Decimos que el sistema está críticamente amortiguado ya que una pequeña disminución de la fuerza de amortiguación produciría un movimiento oscilatorio. La solución general será: X(t) = e (C1 + C2t) Caso III: ²² < 0.En este caso se dice que el sistema está subamortiguado, ya que el coeficiente de amortiguación es pequeño comparado con la constante del resorte. Las raíces m1 y m2 son ahora complejas. m = + "( ²²)i m = "( ²²)i Y por lo tanto la solución general es: x(t) = e [C1 cos "( sen "(

²²-

²)t + C2 ²)t]

Ejemplo: Un cuerpo que pesa 8lb. Estira un resorte 2 pie. Suponiendo que una fuerza de amortiguación numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema y que el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 3pie/s, determinar la ecuación del movimiento. Solución: Por la ley de Hooke tenemos: 8 = k (2), k = 4lb/pie y por m = W/g m = 8/32 = 1/4slug. En consecuencia, la ecuación diferencial del movimiento es: 1/4 d²x/dt² = - 4x - 2 dx/dy ó bien d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0 Las condiciones iniciales son: x(0) = 0, dx/dt% = - 3 %t = 0 Ahora bien, la ecuación auxiliar de d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0 es: m² + 8m + 16 = (m + 4)² = 0 De modo que m1 y m2 = - 4. Por lo tanto, el sistema está críticamente amortiguado y: x(t) = - 3te es la ecuación de movimiento. Movimiento Vibratorio forzado con amortiguación:

Supongamos que se considera una fuerza (t) que actúa sobre una masa oscilante sujeta a un resorte. Por ejemplo, (t) podría representar una fuerza impulsora que causa un movimiento oscilatorio vertical del soporte del resorte. Al incluir (t) en la formulación de la segunda Ley de Newton resulta: m d²x/dt² = -kx [d²x/dt² + 2

dx/dt + (t). dx/dt +

dx / m dt + (k / m) x = (t) / m] = d²x/dt² + ²x = F(t)

En donde F(t) = (t)/m y, 2

= /m, ² = k/m. Para resolver la última ecuación no homogénea podemos usar indistintamente el método de variación de parámetros o el de los coeficientes indeterminados. Ejemplo: Interpretar y resolver el siguiente problema de valor inicial 1/5 d²x/dt² + 1.2 dx/dt + 2x = 5 cos 4t x(0) = 1/2, dx/dt% = 0. %t = 0 Solución: Podemos interpretar el problema como una representación de un sistema oscilatorio que consiste en una masa (m = 1/5 Kg) sujeta a un resorte (k = 2 N/m). La masa se suelta, a partir del reposo, desde un punto que está 1/2 unidad (metro) bajo la posición de equilibrio: El movimiento es amortiguado ( = 1.2) y es impulsado por una fuerza externa periódica (T = /2 segundos) a partir del instante t = 0. Intuitivamente, esperamos que aun con amortiguación el sistema se mantenga en movimiento hasta que el instante en que la función forzante se “corte”, en cuyo caso las amplitudes disminuirían gradualmente. Sin embargo, por la forma en que el problema está dado, se tiene (t) = 5 cos 4t permanecerá “en acción” indefinidamente. Primero multiplicamos 1/5 d²x/dt² + 1.2 dx/dt + 2x = 5 cos 4t por 5 y resolvemos la ecuación homogénea d²x/dt² + 6 dx/dt + 10x = 0 Por los métodos usuales. Como m1 = - 3 + i, m2 = - 3 - i se tiene que: xc(t) = e (C1 cos t + C2 sen t). Usando el método de los coeficientes indeterminados, postulamos una solución particular de la forma xp (t) = A cos 4t + B sen 4t. En tal caso: xp´ = - 4A sen 4t + 4B cos 4t. xp´ ´ = - 16A cos 4t - 16B sen 4t. De modo que xp´ ´ + 6 xp´ + 10 xp = - 16A cos 4t-16B sen 4t - 24ª sen 4t = 24B cos 4t + 10A cos 4t + 10B sen 4t = (- 6 A + 24B) cos 4t + ( -24A - 6B) sen 4t = 25 cos 4t

Del sistema de ecuaciones que resulta -6A +24B = 25 y - 24A -6B = 0 da A = -25/102 y B = 50/51. Se tiene pues: x(t) = e ( C1 cos t + C2 sen t ) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t Si en la ecuación anterior hacemos t = 0 inmediatamente resulta C1 = 38/51. Derivando la expresión y haciendo t = 0 encontramos que C2 = - 86/51. Por lo tanto, la ecuación del movimiento es: x(t) = e ( 38/51 cos t - 86/51 sen t ) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t Términos transitorios y estacionarios: Nótese que la función complementaria x(t) = e ( 38/51 cos t - 86/51 sen t) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t del ejemplo precedente tiene la propiedad de que lim xc(t) = 0. t!" Puesto que xc(t) se vuelve insignificante ( es decir tiende a 0) cuando t!", se dice que es un termino transitorio o una solución transitoria. Así, para valores grandes del tiempo, los desplazamientos del cuerpo se aproximan estrechamente por la solución particular x (t). A esta última función también se la llama solución estacionaria (o de estado permanente). Cuando F es función periódica como F(t) = Fo sen t o bien F(t) = Fo cos t. la solución general consiste en: x(t) = termino transitorio + termino estacionario.

EL FENOMENO DE LA RESONANCIA

I) INTRODUCCIÓN Desgraciadamente es una experiencia común comprobar que no solo a nivel de la enseñanza media superior, sino incluso en estudiantes de licenciatura que han llevado cursos de mecánica, de circuitos y de electromagnetismo, se tiene un conocimiento muy deficiente de lo que es el fenómeno de la resonancia así como del ancho campo de sus aplicaciones. Una posible explicación de este hecho es que libros de texto usuales [1] en la sección de mecánica se limitan a ilustrar el fenómeno con los ejemplos de la resonancia en un resorte, en una cuerda tensa o en tubos, casos que en sí pudieran presentar poco interés para los alumnos ya que en general tienen poca pertinencia en su vida cotidiana. Esto es lamentable porque este fenómeno tiene una gran cantidad de aplicaciones en el mundo de la tecnología, y además está presente en multitud de situaciones de la vida real, tanto a nivel doméstico, como en la vida pública, o en los ámbitos laborales. Se presenta en este artículo una deducción matemática del fenómeno para un caso sencillo como es el sistema resorte-masa, para luego ir más allá ilustrándolo con una serie de casos en los cuales el fenómeno está presente en la vida real, por ejemplo: en la comunicación entre insectos como los mosquitos al sintonizarse la frecuencia del aleteo de las hembras con las frecuencias naturales de las antenas de los machos, durante la ocurrencia de un sismo cuando la frecuencia de éste coincide con algunas de las frecuencias naturales de los edificios, en la vibración de ventanas cuando las notas musicales coinciden con alguno de los modos de vibración de éstas, en el diseño de los automóviles para evitar que las frecuencias del motor provoquen indeseables vibraciones en sus partes, y en el cuerpo humano sujeto a vibraciones en ciertas situaciones de la vida laboral. Finalmente, mostramos algunas prácticas y dispositivos que se pueden desarrollar en el laboratorio para inducir a los estudiantes a desarrollar un conocimiento detallado del fenómeno. II) LA RESONANCIA EN UN SISTEMA SENCILLO Para ilustrar algunos de los aspectos más relevantes del fenómeno de la resonancia, es conveniente desarrollar el análisis de un sistema sencillo como es el de una masa m ligada a un resorte de constante elástica K, ya que este caso, pese a su sencillez ilustra conceptos básicos del fenómeno que se presentan en casos más complejos. Para describir la dinámica de una masa acoplada a un resorte se parte de la 2ª Ley de Newton

Se propone como solución para su posición en función del tiempo un movimiento armónico simple

al sustituir esta función en la ecuación 1 se tiene que la frecuencia angular con que en el estado estacionario se moverá la masa es

Es de hacer notar que la frecuencia angular no depende de la amplitud sino solo de la constante K del resorte y de la masa, por tanto, este sistema tiene una sola frecuencia que “adopta” en forma espontánea en cuanto se le deja oscilar libremente, por ello se le denomina “frecuencia natural del sistema”. Analicemos ahora el caso de un oscilador forzado, para ello se aplica sobre la masa otra fuerza más la cual tendrá un carácter periódico con una amplitud F, frecuencia angular ω y actuando en la dirección del eje del resorte, tal como se observa en la figura 1.

Si la fuerza externa periódica tiene la forma F = F cosωt , entonces la fuerza total que actúa sobre la masa m es

Ahora la segunda ley de Newton toma la forma

Si al igual que el caso anterior se propone como solución de la anterior ecuación y = Acosωt , con ω la frecuencia angular de la fuerza externa, al sustituir este valor de y, así como de su segunda derivada respecto al tiempo se tiene que

y al despejar el valor A de la amplitud de la oscilación ésta tiene el valor

Pero de acuerdo a (3), 2 K = mω0 , así es que sustituyendo este valor en la anterior relación se obtiene finalmente que

Se observa que cuando ω tiende a ωo, el valor absoluto de la amplitud A tiende a infinito. En esta situación en que el sistema elástico tiende a oscilar con una máxima amplitud se dice que el sistema entra en un estado de Resonancia. Si nos aproximamos a la frecuencia natural con valores mayores que ωo El valor de la amplitud tendrá valores

negativos; para evitar este comportamiento anómalo se introduce en la solución propuesta un ángulo de fase α

Tal que α será igual a 0 para valores de ω menores que ωo , y π para valores mayores. Para que este comportamiento sea un modelo más realista se tiene que tomar en cuenta la fricción. Si se supone que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de la masa, la segunda ley de Newton ahora es

Con b una constante de proporcionalidad, la amplitud resultante (ver referencia [2]) resulta

Donde γ=b/m. Aunque ahora la amplitud máxima ya no ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa es exactamente la frecuencia natural ωo, para muchos problemas de interés la diferencia no es considerable. El fenómeno de la resonancia requiere por tanto: a) De un sistema elástico que presente frecuencias naturales de vibración, b) De una fuerza externa de tipo periódico que actúe sobre el sistema elástico, c) De una coincidencia entre ambos tipos de frecuencia.

¿Qué tan factible es que este tipo de condiciones se presenten en la vida real? La respuesta a esta pregunta permitirá ver el campo de aplicación de este concepto así como su gran capacidad explicativa para el entendimiento de una gran cantidad de fenómenos. III. LA PRESENCIA DE LAS FUERZAS OSCILANTES, LAS FRECUENCIAS NATURALES Y LA RESONANCIA EN LA VIDA REAL A. Fuerzas oscilantes Pese a la apariencia de quietud del suelo que pisamos, de los edificios, de los puentes y de muchas otras estructuras arquitectónicas que nos rodean, en realidad están en continuo cambio y movimiento, y un tipo especial del movimiento es el debido a las fuerzas mecánicas oscilantes, basta un pequeño repaso mental para enumerar una gran cantidad de ellas: Los diversos sonidos ambientales son vibraciones de tipo mecánico, ya que son las variaciones periódicas de la presión del aire o de las cosas que nos rodean las que generan los sonidos. Los edificios en que habitamos o en que trabajamos son estructuras elásticas que permanentemente están vibrando debido al paso cercano de los automotores pesados o a los mismos impulsos mecánicos producidos por quienes los habitan, al caminar, al bailar, al mover muebles, etc. El suelo mismo en que nos movemos experimenta movimientos oscilatorios todos los días, tal como nos lo indica el reporte diario del Servicio Sismológico Nacional, simplemente que son de tan pequeña magnitud que en general no los alcanzamos a percibir. Así, del 21 de febrero al 11 de marzo de 2009 se reportaron 93 eventos sísmicos de magnitud mayor a 3 grados en la escala Richter, es decir, casi 3 movimientos oscilatorios del suelo por día [3]. Las vibraciones que parten del motor de los automóviles someten a todas las partes de un auto y a sus ocupantes a continuas oscilaciones mecánicas. El mundo laboral está lleno de máquinas de diferentes tamaños que van desde los taladros de mano hasta máquinas más potentes que producen toda una variedad de vibraciones mecánicas. Las mismas fuerzas gravitatorias oscilan, tal como lo muestra el fenómeno de las mareas en que el nivel del mar sube y baja acompasado con el movimiento periódico de la Luna. B. Estructuras elásticas y frecuencias naturales La elasticidad es la propiedad que tienen los cuerpos de deformarse bajo la acción de fuerzas externas y de recuperar su forma una vez que desaparecen estas fuerzas; dentro de ciertos rangos la deformación para todos los cuerpos es proporcional a la fuerza deformante aplicada. Por tanto, antes de alcanzar otra vez su estado de equilibrio, los cuerpos desarrollarán un cierto número de oscilaciones; y cada cuerpo, dependiendo de su forma, de su masa, del material de que esté hecho, así como de las restricciones a que esté sometido, oscilará con ciertas frecuencias propias a las que, como se ha indicado, se les denomina frecuencias naturales. Un sistema resorte masa tiene una sola frecuencia natural de vibración; una cuerda tensa sujeta por sus dos extremos presenta una cantidad infinita de frecuencias naturales, todas ellas múltiplos de una frecuencia básica; las placas de metal o de vidrio o las membranas de cuero también presentan frecuencias naturales; si bien no todas ellas son múltiplos de una

frecuencia básica; estructuras como los puentes también presentan frecuencias naturales. C. Diversos casos de resonancia Si estamos en un mundo sometido continuamente a fuerzas oscilantes, y si además estamos rodeados de estructuras elásticas tales como ventanas, puentes, edificios, etc., es factible que en muchos casos la frecuencia de las fuerzas oscilantes coincida con alguna de las frecuencias naturales de las estructuras elásticas provocando fenómenos de resonancia. Se mostrarán algunos ejemplos: 1) Cuando decenas o cientos de soldados marchan dando golpes rítmicos de frecuencia muy constante en el piso, al cruzar sobre un puente, que como se ha señalado es una estructura elástica con sus propias frecuencias naturales de vibración, en caso de que conserven su marcha acompasada se corre el peligro de que su frecuencia de golpeteo – aproximadamente de 1 Hz- coincida con alguna de las frecuencias naturales del puente; hay que tomar en cuenta además que la fuerza del golpe colectivo puede alcanzar magnitudes de decenas de miles de N, para evitar ese peligro es que a las formaciones de soldados se les ordena romper la marcha cuando cruzan un puente. 2) Es una experiencia común que cuando se escucha música dentro de un cuarto, algunas veces al aparecer sonidos de frecuencia muy baja los vidrios de las ventanas empiezan a vibrar violentamente. Esto ocurre, naturalmente, porque hay un fenómeno de resonancia, ya que en tales casos la frecuencia de los sonidos graves coincide con alguna de las frecuencias naturales de oscilación de los vidrios de las ventanas. 3) Los autos están hechos de muchas partes elásticas, como por ejemplo el volante, la palanca de velocidades, los vidrios de las ventanas, etc.; de hecho, cuando al volante se le da un golpe, se siente inmediatamente su vibración; pues bien, cuando el motor genera vibraciones que coinciden con la frecuencia natural de vibración de algunas de estas partes sucede el fenómeno de resonancia; es por ello que los diseñadores de las carrocerías deben tener en cuenta que la potente fuente de vibraciones del motor no provoque la coincidencia con las frecuencias naturales de los diversos componentes de los automotores. 4) El cuerpo humano está conformado con estructuras elásticas como son los huesos, y es así que en el mundo de la medicina laboral se debe cuidar que la frecuencia de golpeteo de máquinas como los taladros que rompen las capas de pavimento, no coincida con la frecuencia natural de algunas de las partes de la estructura ósea. Cuando el cuerpo humano está sometido a vibraciones de baja frecuencia, éste se mueve como un todo, pero a frecuencias altas la respuesta del cuerpo es específica; así de 4 a 12 Hz las caderas y los hombros comienzan a resonar, entre 20 y 30 Hz es el cráneo el que resuena, a frecuencias más altas de 60 a 90 Hz son los globos oculares los que pueden entrar en resonancia [4]. 5) Un caso muy conocido de resonancia es cuando un o una cantante dirigen su voz hacia una copa de cristal; es aparente que la copa es una estructura elástica que vibra a frecuencias claramente reconocibles por el oído humano, por tanto, el afinado oído de los cantantes se entona con esos sonidos y lanza contra la copa un sonido potente de la misma frecuencia, con ello se forman en la copa ondas estacionarias, y si la intensidad y la frecuencia se mantienen el tiempo suficiente, se produce el fenómeno de resonancia hasta que la copa a causa de sus intensas vibraciones se rompe.

6) En el mundo animal se tienen también ejemplos muy hermosos de resonancia; por ejemplo ¿cómo pueden los mosquitos machos detectar a los mosquitos hembras? De acuerdo a H. Schmidt [5], las frecuencias de aleteo de los machos y las hembras son diferentes; los machos aletean a una frecuencia aproximada de 500 Hz, mientras que las hembras lo hacen a una frecuencia aproximada de 300 Hz; pues bien, se encuentra que las antenas de los machos tienen una frecuencia natural de vibración muy cercana a los 300 Hz, por tanto, el aleteo de las hembras provoca en ellos resonancia de sus antenas y es así como se efectúa el reconocimiento (Figura 3).

7) Finalmente, un ejemplo muy drástico de los efectos destructivos que pueden producirse en caso de resonancia, se presenta cuando una ciudad es afectada por un sismo; la ciudad está llena de estructuras elásticas de gran escala, tales como edificios y puentes; la frecuencia de los sismos, es decir, la frecuencia con que se mueve el suelo, está ante todo en el rango de los 0.5 -2 Hz, son frecuencias relativamente bajas, pero las grandes masas de los edificios de más de 5 pisos de altura por su propia inercia tienden a tener frecuencias bajas y propician por tanto la ocurrencia del fenómeno de resonancia. En este caso la amplitud de las oscilaciones mecánicas de los edificios tiende a crecer tanto en cada ciclo que pueden llegar al punto de ruptura, tal como sucedió con muchos edificios en el gran terremoto de la ciudad de México en 1985. IV. LA RESONANCIA EN EL LABORATORIO En los párrafos anteriores se ha tratado de mostrar la importancia de analizar detalladamente el fenómeno de la resonancia ya que como se ha indicado, tal fenómeno se presenta en muchos casos de la vida cotidiana, por estas razones es que es muy importante que en un laboratorio de enseñanza se le dedique la mayor atención posible a éste fenómeno. A. Resonancia en cuerdas tensas

Como sabemos, una cuerda tensa sujeta por sus dos extremos es un sistema elástico que a diferencia del sistema resorte masa presenta no una sino varias –de hecho teóricamente un número infinito– de frecuencias naturales.

Donde n es un número entero, L la longitud de la cuerda, F la tensión, y ρ la densidad lineal de masa. Cuando se estimula uno de los extremos de la cuerda con un pivote que oscila con pequeña amplitud y frecuencia variable, mientras que el otro extremo de la cuerda descansa sobre una polea y se le aplica una tensión mediante un porta pesas (ver figura 4), se puede observar claramente como a determinadas frecuencias la cuerda oscila con gran amplitud. Para este experimento se puede utilizar un equipo comercial marca Pasco. Si no se tiene la posibilidad de comprarlo se puede construir uno acoplando el chip XR-2206 a un amplificador de potencia (en el mercado los hay de muy bajo precio como los de la marca MITZU), un electroimán (ver figura 5) se conecta a la salida del amplificador para que haga oscilar a una pequeña placa de metal atada a un extremo de la cuerda tensa. La configuración del chip se puede conseguir en internet, y con tan solo un condensador y dos resistencias variables se pueden obtener señales sinodales de diferente frecuencia y amplitud.

B. Resonancia en vigas voladizas De acuerdo a Feynman [6], el desplazamiento vertical del extremo libre de una viga voladiza a la cual se le aplica una fuerza en este extremo está dado por

Donde W es el peso aplicado, Y el módulo de Young, I el momento de inercia de la sección transversal, L su longitud y Z el desplazamiento del extremos libre; si

hacemos que Es claro que esta relación para la fuerza de restauración de una viga nos permite afirmar que una masa acoplada a su extremo desarrollará un movimiento armónico simple, y que por tanto si se le aplica a la placa una fuerza periódica de frecuencia adecuada entrará en resonancia. Para visualizar el fenómeno recurrimos a un montaje experimental como el de la figura 6; como viga voladiza se utilizará una placa alargada de metal (en este experimento se ha utilizado una segueta de arco). Los pulsos de fuerza periódicos se aplican con un electroimán conectado a un generador de pulsos de fuerza magnética como el descrito más adelante, o también utilizando el equipo comercial mencionado anteriormente. Para medir la frecuencia natural de oscilación de la placa para diferentes longitudes, hay 3 opciones: a) se le agrega un pequeño imán colocado a la mitad de su longitud, y enfrente del imán se coloca una bobina; se amplifica la señal de la bobina y se visualizan las señales de voltaje en un osciloscopio cuando se hace oscilar la placa; esto nos permite medir el período de las oscilaciones y por tanto su frecuencia natural para una longitud dada; b) otra opción es adherirle a la placa una pequeña pantalla opaca que interrumpa la luz que incide sobre una celda solar; la señal de la celda solar se amplifica y se visualiza igualmente con un osciloscopio, y

c) usar luz estroboscópica hasta alcanzar una frecuencia en que la varilla casi parezca detenida.

analizar este caso se ha diseñado y construido un generador de pulsos de fuerza magnética a partir de un generador de pulsos de frecuencia variable como el mostrado en la figura 7. Los pulsos de voltaje abren y cierran un interruptor digital como el mostrado en la figura 8 que conecta un electroimán a la línea. El circuito original reportado en [7] se ha modificado agregando un diodo a la salida de la bobina.

Se muestra en la figura 9 las oscilaciones naturales de la placa, así como su frecuencia. Para hacer estas mediciones se ha utilizado una tarjeta de captura de National

Instruments, así como un programa hecho en LabVIEW, y asimismo en la figura 10 se observa cómo se amplifican progresivamente las oscilaciones cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural. IV. CONCLUSIONES Es de hacer notar que la fórmula que usualmente se les muestra a los alumnos en la que se observa que cuando las frecuencias son iguales la amplitud de la oscilación tiende a infinito, o que adquiere su máximo valor en el caso de que exista fricción, es para describir solamente el estado estacionario, cuando esto es así y no se consideran las etapas transitorias a menudo se puede crear la impresión de que este valor máximo de la amplitud se adquiere instantáneamente; la observación experimental detallada del fenómeno, sin embargo, nos muestra que el crecimiento es paulatino y que solo después de transcurridos un cierto número de ciclos se alcanza el valor máximo de la amplitud, que por tanto, aún cuando se exponga el sistema elástico a una fuerza periódica con una amplitud igual a la de la resonancia, si esta exposición no es suficientemente duradera no se alcanzará la amplitud máxima.

El experimento nos indica también que otra forma de describir a la resonancia es que es un estado en el cual hay en cada ciclo del pulso de la fuerza externa una transferencia de energía que se va acumulando en el sistema elástico, por tanto, si hay una adecuada sincronización entre la fuerza externa y la oscilación del sistema se puede lograr esta progresiva transferencia de energía pese a que no haya coincidencia de las frecuencias, por ejemplo, dando pulsos de fuerza cada 2 ciclos de oscilación del sistema elástico. Esta situación, aunque en un tiempo mayor, también nos conduce a un estado estacionario en que la amplitud alcanza un máximo. Una vez que los alumnos han palpado mediante experimentos apropiados el fenómeno de la resonancia su mente está más abierta para entender el papel que la resonancia juega en diferentes esferas de la vida, no solo a nivel mecánico, sino también, por ejemplo, en la detección de ondas electromagnéticas, ya que la sintonización en el mundo de la radio, la televisión, los teléfonos celulares, etc. se basa justamente en la respuesta de circuitos resonantes a las ondas de determinada frecuencia que inundan el medio ambiente. Sin el uso del fenómeno de la resonancia, nuestra vida no sería lo que es.

BIBLIOGRAFIA file:///C:/Users/ALVARO%20SEGOVIA/Downloads/306473976-Aplicaciones-Edode-Segundo-Orden.pdf http://es.slideshare.net/xiomithaditte/aplicaciones-de-las-ecuacionesdiferenciales-de-segundo-orden http://es.slideshare.net/sheep242/aplicaciones-de-las-ed-de-segundo-orden http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/5.AplicacionesOrdenSuperior/ImpArmon icoSimple.pdf