17) Dinámica I (leyes De Newton)

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DINÁMICA : La Dinámica estudia el movimiento de los cuerpos en relación a sus causas, que son las fuerzas actuantes. De modo que la dinámica es un estudio más completo del fenómeno del movimiento, pues no es meramente descriptivo del mismo (como la Cinemática), sino que indaga en la interacción entre las causas (fuerzas) y la consecuencia del fenómeno (aceleración). Las leyes fundamentales de la dinámica fueron enunciadas por Isaac Newton (1642-1727) y Galileo Galilei (1564-1642) en la segunda mitad del siglo XVII. PRIMERA LEY DE NEWTON : Principio de Inercia La primera ley de Newton establece que: “todo cuerpo sobre el cual no actúa ninguna fuerza exterior, o sobre el cual actúa un sistema de fuerzas de resultante nula, tiende a mantener su estado de reposo o de Movimiento Rectilíneo Uniforme”. De esta manera, vemos que se equiparan dos estados de movimiento en apariencia muy distintos (el reposo y el M.R.U). Éstos son los estados de movimiento inerciales, o sea los estados de movimiento que pueden mantenerse indefinidamente en el tiempo siempre que no actúe una fuerza exterior sobre el cuerpo (o haya una resultante de fuerzas exteriores, o fuerza neta aplicada). El término “inercia” proviene del vocablo “inerte”, sin vida propia, que es la característica de la materia inanimada. Como es obvio los objetos materiales no se mueven espontáneamente sin mediar una causa externa que es la aplicación de una fuerza. REPOSO

M.R.U.

VELOCIDAD

0

Distinta de 0

ACELERACIÓN

0

0

Vemos que el reposo y el M. R. U. tienen en común que son estados de movimiento sin aceleración. O sea que el principio de inercia puede también enunciarse: “Si no hay fuerza neta aplicada, entonces el cuerpo no tendrá aceleración”.

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a=0 F=0

Si no hay resultante de fuerza exterior aplicada, no hay aceleración, en consecuencia hay reposo o M.R.U.

Como ejemplos de este principio de inercia, podemos citar: • Cuando estamos en un vehículo que inicia su marcha o incrementa su velocidad experimentamos un movimiento hacia atrás. Por inercia tendemos a quedarnos en la posición anterior y como el móvil arranca notamos que nos movemos hacia atrás. • Por caso contrario, cuando el móvil desacelera o frena bruscamente nos movemos hacia adelante, dado que tendemos a seguir con la velocidad más alta que traíamos y el vehículo viaja más lentamente. • También cuando arrojamos una piedra, una vez que la soltamos ésta continúa moviéndose por inercia y no es necesario seguir aplicándole una fuerza para que se mueva. • Si colocamos un cierto objeto (por ejemplo un vaso) encima de una hoja de papel sobre una mesa y retiramos bruscamente el papel, notaremos que el vaso no se ha movido de su posición. Por inercia ha permanecido en reposo. SEGUNDA LEY DE NEWTON : Principio de Masa La segunda ley de Newton es la ley básica y fundamental de la Dinámica que relaciona cuantitativamente la causa del movimiento (fuerza) con la consecuencia o efecto del mismo (aceleración).

F

F’

a

Si sobre un determinado cuerpo (por ejemplo en reposo) aplicamos una cierta fuerza F, el mismo adquirirá una cierta aceleración “a”. a’

F F' = = constante = m a a'

Si en cambio le aplicamos otra fuerza F’, el cuerpo adquirirá otra aceleración distinta a’. Se puede probar experimentalmente que el cociente entre la fuerza aplicada y la aceleración obtenida en cada caso es constante para este cuerpo. DINÁMICA - 2

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A esta constante intrínseca del cuerpo se la denomina “masa”. Sus unidades son: Sistema Técnico Sistema Internacional (M.K.S.) U.T.(m) kg Unidad Técnica de Masa kilogramo masa

Sistema C.G.S. g gramo masa

Que sea una característica intrínseca del cuerpo, significa que depende del cuerpo en sí y no de otros factores externos como su posición, velocidad, aceleración, etc. De esta forma, la masa está relacionada con la cantidad de materia que tiene el cuerpo y por ello es una característica extensiva del mismo: depende de su extensión, además de su composición interna o tipo de material de que se trate.

F = m.a

Despejando “F” llegamos a la expresión matemática de la segunda ley de Newton.

(1)

La Segunda Ley de Newton o Principio de masa puede enunciarse así: “Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza o un sistema de fuerzas de resultante no nula, el mismo adquiere una aceleración directamente proporcional a la fuerza neta aplicada, y en su misma dirección y sentido. El cociente entre la fuerza aplicada y la aceleración obtenida es una constante para cada cuerpo, llamada “masa” del mismo”. La fórmula (1) es una ecuación vectorial, donde la masa es un escalar positivo. Por lo tanto la fuerza neta y la aceleración son vectores colineales de igual sentido. F

F

a

m

m’

F a= m

Si a dos cuerpos de distinta masa (m y m’) le aplicamos la misma fuerza (F), el cuerpo de mayor masa adquirirá menor aceleración.

a’ Si m’ > m

⇒ a’ < a , para F = constante.

Para una misma fuerza neta aplicada, la aceleración obtenida es inversamente proporcional a la masa del cuerpo

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Esto sugiere que la masa representa la resistencia de un cuerpo a ser acelerado. A mayor masa menor aceleración obtenida con una misma fuerza. La masa es, entonces, una medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo. F’

F m’

En cambio si deseo obtener la misma aceleración en dos cuerpos de distintas masas (m y m’) tendré que aplicar mayor fuerza neta al cuerpo de mayor masa Si m’ > m

⇒ F’ > F , para a = constante

m a

a

F = m.a

Para obtener una misma aceleración, la fuerza a aplicar es directamente proporcional a la masa del cuerpo.

Si la fuerza aplicada a un cuerpo es constante en el tiempo, la aceleración también lo será, con lo cual el móvil tendrá un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) Esta situación de fuerza constante es muy común en física, de allí la importancia de haber estudiado en detalle las características del M.R.U.V. PESO DE UN CUERPO El peso de un cuerpo es la fuerza con que la tierra lo atrae. Es por ello un vector de dirección vertical y sentido hacia abajo, dirigido hacia el centro de la tierra. Está aplicado en el centro de gravedad del cuerpo. Hemos visto en los movimientos verticales en el vacío (Caída Libre y Tiro Vertical) que la aceleración de los cuerpos es siempre constante e igual a g = 9,8 m/s2. La fuerza que actúa en estos casos es el “peso” del cuerpo. Pero, como vimos antes para que dos móviles de distinta masa adquieran una misma aceleración (g en este caso) debe aplicársele una mayor fuerza al cuerpo de mayor masa, lo cual ocurre naturalmente, pues el cuerpo de mayor masa tiene mayor peso o sea que la tierra lo atrae con mayor fuerza. De esta forma se logra demostrar por qué dos cuerpos de distintas masas (y pesos) caen libremente en el vacío con la misma aceleración. DINÁMICA - 4

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LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Isaac Newton formuló la Ley de Gravitación Universal, la cual establece que dos masas cualesquiera m1 y m2 (de tamaño puntual) siempre se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de dichas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa (d ). F

F

m .m F = G. 1 2 2 d

d

Esta proporcionalidad se convierte en igualdad con el agregado de una constante “G” llamada constante de gravitación universal. 2 F. d 2 −11 N .m G= = 6,67.10 m1 . m2 kg 2

Este valor indica que dos masas de 1 kg cada una, colocadas a una distancia de 1 m, se atraen con una fuerza de 66,7 pN. Ésta es una fuerza extremadamente pequeña y virtualmente imposible de ser detectada a través de los sentidos. Por ello la fuerza de atracción gravitatoria es la fuerza más débil de las fuerzas de acción a distancia o debidas a campos. Solamente cuando por lo menos una de las masas que se atraen es muy grande se pueden observar claramente sus efectos; como pasa con la fuerza peso de un cuerpo, la cual surge de la atracción entre dicho cuerpo y el planeta tierra. m M Tierra

p = G. RT = Radio de la tierra Relación entre el peso y la masa

M .m RT2 g

p = m. g

Como la masa del planeta tierra “M” y el radio del mismo “RT” es aproximadamente constante, el producto G por M sobre RT2 también lo es y es la llamada “aceleración de la gravedad”. DINÁMICA - 5

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A ésta fórmula también puede llegarse aplicando la segunda ley de Newton a un cuerpo en Caída Libre, el cual tiene como fuerza neta el peso “p” y la aceleración que adquiere es “g”. F=m.a p=m.g

p=m.g

Por ello se habla de masa gravitatoria y masa inercial. Aunque se trate de la misma masa, en el primer caso se la toma como una cualidad de un cuerpo que hace que se manifiesten fenómenos de atracción gravitatoria y en el segundo caso se considera como una medida de la resistencia del mismo a ser acelerado. La Ley de Gravitación Universal también es aplicable a las fuerzas de interacción entre los planetas, el sol, la luna, etc. Este interacción gravitatoria explica los movimientos de los astros en sus órbitas y también la trayectoria de los satélites artificiales de comunicaciones. Diferencias entre el peso “p” de un cuerpo y su masa “m” El peso de un cuerpo es una fuerza, y por ello es un vector. La masa de un cuerpo es una magnitud escalar. El peso de un cuerpo es relativo, pues depende del sistema gravitatorio en que se halle dicho cuerpo: Si está en la tierra tiene un cierto peso, si se halla en la luna tendrá un peso casi seis veces menor pues la masa de la luna es más pequeña y por ello su campo gravitatorio es más débil. En cambio la masa es absoluta, lo que significa que tiene siempre el mismo valor independientemente del campo gravitatorio donde se halla el cuerpo, y sigue existiendo igual aún en ausencia de gravedad (por ejemplo en el espacio exterior lejos de la influencia de algún planeta) VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD La aceleración de la gravedad “g” si bien la supusimos constante en los ejercicios de Caída Libre y Tiro Vertical, presenta pequeñas variaciones con la latitud y con la altitud. Variación de “g” con la latitud: La Tierra no es una esfera perfecta sino que está achatada en los polos y ensanchada en el ecuador. Por ello su radio es variable, siendo menor en los polos y mayor en el ecuador. El radio medio es de 6371 km. DINÁMICA - 6

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Radio del Ecuador 6378 km

gP = 9,8322 m/s2 Radio del Polo 6356 km

gE = 9,7803 m/s2

Polo Eje

45º Paralelo 45º Latitud Norte

La aceleración de la gravedad normal, se toma en un punto situado a 45º de latitud (Norte o Sur). g = 9,8062 m/s2

Ecuador Como “g” es inversamente proporcional al cuadrado del radio de la Tierra, a menor radio (polos) mayor aceleración y a mayor radio (ecuador) menor aceleración. Variación de “g” con la altitud: La aceleración de la gravedad también se ve afectada por la altura del punto considerado con respecto al nivel del mar. La aceleración normal se toma al nivel del mar, pero con la altitud “g” disminuye. Cada 1 000 m de altitud g diminuye 0,003 m/s2. A mayor altitud hay mayor distancia con respecto al centro de la tierra y por ello es menor el peso del cuerpo y la aceleración “g”. A gA

gA < gB

Nivel del mar B gB DINÁMICA - 7

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Equivalencia entre las unidades de fuerza ¿Cuánto pesa un cuerpo de 1 kg de masa? Responderemos a esta pregunta en el Sistema Técnico y en el Internacional: Sistema Técnico

Sistema Internacional

Un cuerpo de 1 kg de masa, a 45º de Latitud y sobre el nivel del mar pesa:

p=m.g p = 1 kg . 9,8 m/s2 p = 9,8 N

1 kgf : (Por definición de kgf) 1 kgf = 9,8 N

Buscamos ahora la equivalencia entre la unidad de fuerza del Sistema Internacional (N) y la del Sistema C.G.S. (dina):

1 N = 1kg .

1m 100 cm = 1000 g . = 100000 dina 2 2 s s 1 N = 105 dina

Equivalencia entre las unidades de masa En el Sistema Técnico la masa se mide en Unidad Técnica de masa U.T.(m) que se define como la masa de un cuerpo que precisa de una fuerza de 1 kgf, para acelerarse a razón de 1 m/s2.

F = m.a ⇒ m =

1 U .T .(m) =

F a

⇒

N 2

2

1 kgf 1 kgf . s 9,8 N .s = = = 9,8 m m m 1 2 s

kg.

m

2 . s 2

s m

1 U.T.(m) = 9,8 kg DINÁMICA - 8

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TERCERA LEY DE NEWTON : Principio de Acción y Reacción La Tercera Ley de Newton o Principio de Acción y Reacción establece que : “Cuando un cuerpo aplica una fuerza a otro (acción), éste reacciona con una fuerza de igual intensidad y dirección pero de sentido contrario sobre el primero (reacción)”. Las fuerzas de acción y reacción aparecen y desaparecen simultáneamente y son aplicadas sobre cuerpos distintos, de modo que no pueden componerse para dar resultante cero. Si el cuerpo “A” aplica una fuerza de acción “FA” sobre el cuerpo “B”, éste reacciona sobre el primero con una fuerza “FB”. Para analizar los pares acción-reacción se usan los Diagramas de Cuerpo Libre. En estos diagramas se aísla un cuerpo del resto del sistema de cuerpos con los que interactúa, y se colocan todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión. No se colocan las fuerzas que dicho cuerpo ejerce sobre otros cuerpos, sino sólo las que actúan sobre él. En los diagramas de cuerpo libre puede verse que las fuerzas actúan sobre cuerpos distintos: la fuerza de acción FA sobre el cuerpo B y la de reacción FR sobre el cuerpo A. A

B

FR

FA

| FA | = | FR | (Igual módulo) FA = – FR

B

(Sentidos opuestos)

FA Diagrama de Cuerpo Libre del cuerpo B

FR

A Diagrama de Cuerpo Libre del cuerpo A

Éste es un principio básico de la Física, y es muy importante conocerlo y aplicarlo a las situaciones donde hay varios cuerpos vinculados, ya sea a través de cables, vigas, poleas, pivotes o bisagras, etc. m1 F

F d

m2

Se cumple siempre, tanto para fuerzas de contacto como para fuerzas de acción a distancia (gravitatorias, eléctricas, magnéticas, etc.) DINÁMICA -

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Cualquiera de ambas fuerzas puede tomarse como acción y la otra reacción. A modo de ejemplo, aplicaremos el principio de acción y reacción a un tren formado por la locomotora de 30 000 kg de masa y dos vagones de 60 000 kg de masa cada uno, que es impulsado por una fuerza motora de 150 000 N. Calcularemos la aceleración del tren y las tensiones que aparecen en los puntos de acoplamiento de la locomotora con el primer vagón (T1) y entre los dos vagones (T2). F = 150 000 N

m1 = 30 000 kg

m2 = 60 000 kg

m3 = 60 000 kg

Sistema Tomando todo el tren como un sistema de cuerpos, y aplicando la segunda ley de Newton, podemos calcular la aceleración del conjunto. Debe tomarse entonces, la masa total del sistema “m t” y considerar la fuerza externa neta aplicada, que es la fuerza impulsora del motor (se considera fuerza exterior, aunque proviene de la propia locomotora, pues procede de la energía del combustible usado en la misma). Se supone que no hay otras fuerzas exteriores, de rozamiento por ejemplo, aplicadas sobre el sistema. Las tensiones T1 y T2 que aparecen entre los vagones no son ahora consideradas por tratarse de fuerzas interiores del sistema.

F = mt . a F 150 000 N =a= ⇒ mt 150 000 kg

m a =1  2 s 

A fin de calcular las tensiones T1 y T2 existentes en los acoplamientos entre la locomotora y los vagones, se realizó los diagramas de cuerpo libre correspondientes a estos cuerpos. La locomotora aplica la fuerza T1 sobre el primer vagón impulsándolo hacia la izquierda. Éste, por inercia, reacciona sobre la locomotora, aplicándole una fuerza igual y de sentido contrario T’1. DINÁMICA -

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R = m1 . a

Sistema

F – T’1 = m1 . a

F = 150 000 N T’1

m1 = 30 000 kg

F – m1 . a = T’1 150 000 N - 30 000 kg .1 m/s2 = T’1 120 000 N = T’1

| T1 | = | T’1| T1 = 120 000 N

T1

m2 = 60 000 kg

T’2

R = m3 . a T2 = m3 . a T2 = 60 000 kg .1 m/s

T2

m3 = 60 000 kg

2

T2 = 60 000 N El primer vagón le aplica al último la fuerza T2 para impulsarlo hacia la izquierda y éste reacciona con una fuerza igual y de sentido contrario sobre el primer vagón T’2. Como vemos, cada fuerza se coloca en el diagrama de cuerpo libre del cuerpo sobre el cual es aplicada. Aplicando la segunda ley de Newton a la locomotora se puede hallar T1. Nótese que ahora T’1 es una fuerza exterior y la resultante es la diferencia entre F y T’1. Por último hallamos T2 aplicando la segunda ley de Newton al último vagón. Observamos que T1 es mayor que T2. De los 150 000 N aplicados por el motor de la locomotora sólo hay 120 000 N disponibles para acelerar al resto del tren. Se han “perdido” 30 000 N, que se usaron para acelerar a la propia locomotora. Al final sólo hay 60 000 N para ser aplicado al último vagón, con lo cual se “perdieron” otros 60 000 N, que se emplearon para acelerar al primer vagón. DINÁMICA -

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PROBLEMAS CON ELEVADORES Otro caso típico de Dinámica son los problemas con elevadores o ascensores. Allí se puede considerar un cierto peso apoyado en el suelo o suspendido por una cuerda. Cuerpo Apoyado

Cuerpo Suspendido

N

N

p

p

El cuerpo está sometido a dos fuerzas: 1) El peso propio “p” que es la fuerza con que la tierra lo atrae. 2) El peso aparente “N” que es la reacción del piso del ascensor si el cuerpo está apoyado, o la tensión de la cuerda si se halla suspendido. Se pueden dar tres situaciones: A) El ascensor está en reposo, sube o baja a velocidad constante. En este caso la aceleración del ascensor siempre es cero, pues hay reposo o M.R.U. Por ello, la fuerza resultante también será cero. Como sobre el cuerpo sólo hay dos fuerzas “p” y “N” opuestas, ambas deben ser de igual módulo. En Reposo o M.R.U

a = 0 ⇒ R = m.a R = m .0

N

R=0⇒

| N |=| p|

El peso aparente es igual al peso real p

DINÁMICA -

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B) El ascensor tiene aceleración hacia arriba : Este caso puede darse cuando el ascensor parte del reposo hacia arriba, o bien está subiendo y se acelera aún más. También cuando está bajando pero desacelerando, puesto que su velocidad es para abajo pero su aceleración es ascendente. Con aceleración hacia arriba

V a

Sube acelerándose N R

a

V

Baja frenándose

R = m.a

p

a ↑⇒ R ↑

N − p = m.a N = p + m.a

N>p El peso aparente es mayor que el peso real.

Como el ascensor tiene aceleración hacia arriba, la fuerza resultante debe ser dirigida también hacia arriba. Para que esto sea posible el peso aparente “N” debe ser mayor que el peso real “p”. El objeto es en apariencia más pesado que su peso real. C) El ascensor tiene aceleración hacia abajo : En este caso puede ser que el ascensor parta del reposo hacia abajo o bien esté bajando y se acelere aún más. También cuando está subiendo pero desacelerando, puesto que allí su velocidad es para arriba pero su aceleración es descendente

DINÁMICA -

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Como vemos, lo que importa no es si el ascensor sube o baja, sino el sentido del vector aceleración. Ahora vemos el caso en que la aceleración es descendente. Con aceleración hacia abajo

Baja acelerándose a V

N

V

R

Sube frenándose

p

a

R = m.a p − N = m.a p − m.a = N

N
a ↓⇒ R ↓ El peso aparente es menor que el peso real.

Como el ascensor tiene aceleración hacia abajo, la fuerza resultante debe ser dirigida también hacia abajo. Para que esto sea posible el peso aparente “N” debe ser menor que el peso real “p”. El objeto es en apariencia más liviano que su peso real. Si la aceleración hacia abajo del elevador creciera en módulo, podría llegarse a la situación en que el peso aparente “N” se hiciera cero. En este caso el cuerpo literalmente “flotaría” en el interior del ascensor, pero en realidad todo el elevador y el cuerpo incluido estarían cayendo en caída libre (a = g = 9,8 m/s2). DINÁMICA -

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Si quisiéramos aumentar aún más la aceleración hacia abajo, el cuerpo apoyado sobre el piso se levantaría hasta tocar el techo del elevador. Y si estuviera suspendido, debería estarlo de una barra y no de una cuerda, para poder aplicarle una fuerza hacia abajo. PROBLEMAS CON POLEAS Y PLANOS INCLINADOS Otro problema muy frecuente involucra poleas y dos masas que se mueven sin rozamiento por planos horizontales o inclinados. Se considera que la cuerda es inextensible y despreciable su peso y el de la polea. La cuerda, al estar bajo tensión, aplica una fuerza de igual módulo a las dos masas que está uniendo. Estas fuerzas deben colocarse en el diagrama de cuerpo libre del cuerpo sobre el que actúen. pt1 = p1. sen (α)

pt2 = p2. sen (β)

N1

m1

m2

pt1 α

Pn1

N2

pn2 β

pt2

p1 p2

α

β

Para resolver estos problemas, lo más práctico es considerar un modelo linealizado. En el mismo, se supone que la cuerda está horizontal y se colocan en ambos extremos las fuerzas que tenderán a que el sistema de cuerpos se desplace hacia la derecha o izquierda. Estas fuerzas serán las componentes de los pesos en una dirección tangencial o paralela a los planos donde se muevan. Sistema pt1

mA

mB

R = m.a p t2 − p t1 = (m A + mB ) . a

pt2

De aquí se despeja y calcula “a” que es la aceleración de todo el sistema de cuerpos.

DINÁMICA -

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Luego de calcular la aceleración del conjunto, se procede a hallar la tensión de la cuerda “T”. Para ello se trabaja con el diagrama de cuerpo libre de alguno de los móviles (por ejemplo del móvil 2).

R = m.a p t2 − T = m2 . a

T m2

p t2 − m2 . a = T pt2 β También se puede calcular la tensión “T” trabajando con el diagrama de cuerpo libre del otro cuerpo, arribándose al mismo resultado final.

m1

T

pt1

R = m.a T − p t1 = m1 . a T = m1 . a + p t1

α IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Impulso de una fuerza: Una nueva magnitud física es el llamado “Impulso de una fuerza”, el cual se define como el producto entre la fuerza aplicada por el tiempo durante el cual actúa. I=F . ∆t

El impuso de una fuerza es una magnitud vectorial

Sus unidades son: Sistema Técnico Sistema Internacional (M.K.S.) kgf . s N.s

Sistema C.G.S. dina . s

El vector impulso “ I ” tiene la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada, pues surge de la multiplicación del vector fuerza por un escalar positivo que es el “∆t”. Los intervalos de tiempo siempre son positivos: el DINÁMICA -

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tiempo final es mayor que el inicial (el tiempo siempre transcurre hacia delante). F

Si al fuerza aplicada no fuera constante en módulo (aunque sí en dirección y sentido) y se conociera su variación en el tiempo, para conocer el impulso habría que calcular el área de debajo de la representación grafica de F = f(t)

Impulso

t

Cantidad de Movimiento: Se define otra magnitud vectorial llamada “cantidad de movimiento”, que es igual al producto de la masa del cuerpo por la velocidad del mismo. La cantidad de movimiento es una magnitud instantánea, o sea que en cada instante puede adquirir un valor distinto en función del valor de la velocidad en ese momento. En cambio el impulso de una fuerza no es instantáneo, sino que requiere de un cierto intervalo de tiempo, lo que nos debe llevar a definir dos instantes, el inicial y el final para poder calcular su valor. No pueden existir impulsos instantáneos. La Cantidad de Movimiento es una magnitud vectorial

q=m . v

Sus unidades son: Sistema Técnico Sistema Internacional (M.K.S.) U.T.(m) . m / s kg . m / s

Sistema C.G.S. g . cm / s

Las unidades del Impulso son equivalentes a las de la Cantidad de Movimiento.

[I ] = N . s = kg. m2 .s = kg. m s

[q ] = kg. m

s

Impulso y Cantidad de Movimiento tienen la misma dimensión.

s

DINÁMICA -

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TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO El impulso de la fuerza neta externa, actuante sobre un cuerpo entre dos instantes de tiempo ti y tf , es igual a la variación de la cantidad de movimiento sufrida por el cuerpo, en ese tiempo. Es importante resaltar que ésta es una fórmula vectorial, puesto que tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores. Este Teorema es de aplicación vectorial, pues las magnitudes que intervienen son vectores. Hay que tener en cuenta por ello, los signos de los vectores velocidad, fuerza, impulso y cantidad de movimiento, si todos los mismos son colineales. Si dichos vectores fueran coplanares, habría que operar con ellos previa descomposición en dos direcciones, como es habitual al sumar o restar vectores en el plano.

F = m .a F.∆ t = m.a.∆ t F.∆ t = m.

Segunda ley de Newton Multiplico miembro a miembro por ∆t

∆v .∆ t ∆t

Cancelo los ∆t

F . ∆ t = m . (v f − vi )

Reemplazo ∆v por vf - vi

I = m . v f − m . vi

Aplico propiedad distributiva

I = q f − qi

⇒

I = ∆q

El Impulso es igual a la variación de la cantidad de movimiento

Ejemplo de aplicación del Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento

VF = + 4 m/s

VI = – 5 m/s m = 2 kg

q F = + 8 kg.m/s

q I = – 10 kg.m/s

Una pelota de 2 kg de masa viaja hacia la izquierda a una velocidad de DINÁMICA -

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–5 m/s, choca contra una pared, y rebota en sentido contrario con una velocidad de + 4 m/s. En este ejemplo los vectores involucrados son colineales, de modo que sólo hay que tener en cuenta los signos de los mismos. Se puede calcular el impulso que le aplica la pared a la pelota: I = ∆q = qF – qI = + 8 kg.m/s – (–10 kg.m/s) I = + 18 kg.m/s = + 18 N.s I = + 18 N. s I = + 18 N.s La pared le aplica un impulso hacia la derecha a la pelota, de modo de frenarla, quitándole su cantidad de movimiento hacia la izquierda y luego dándole una cantidad de movimiento hacia la derecha. Por ello, el impulso que es igual a la diferencia de la cantidad de movimiento (final e inicial), se convierte, en este caso, en una suma de dos cantidades positivas. Si se conoce el tiempo de contacto de la pelota y la pared, y se supone que durante este tiempo la fuerza que le aplica la pared a la pelota es constante, puede calcularse dicha fuerza. Supongamos que el tiempo de contacto sea de 50 ms:

I = F .∆ t I

∆t

=F

⇒

F=

+ 18 N . s = 360 N ⇒ 0,050 s

F = 360 N

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Es un principio fundamental en Física. Establece que: “En todo sistema de cuerpos donde no actúa resultante de fuerza externa alguna, (no hay fuerza neta), se mantiene constante al cantidad de movimiento del sistema”. Matemáticamente, su demostración es sencilla:

I = ∆ q Si la fuerza neta externa es cero ⇒ 0 = ∆q 0 = q f − qi

⇒

qi = q f

I =0

La Cantidad de Movimiento se mantiene constante cuando no hay fuerza exterior neta. DINÁMICA -

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Tomando un solo cuerpo este principio es fácil de interpretar: Si este cuerpo está en movimiento y sobre él no actúa fuerza externa neta, no habrá aceleración, con lo cual la velocidad será constante tanto en módulo como en dirección y sentido (M.R.U.) y por ello la cantidad de movimiento también lo será. Sin embargo la aplicación práctica de este principio, es muy importante para analizar los sistemas de cuerpos, por ejemplo los choques entre partículas. En los choques o colisiones entre móviles, se toma como sistema al conjunto de los cuerpos que van a chocar y se supone que no actúa ninguna fuerza exterior al mismo. Las únicas fuerzas que actuarán serán las que los móviles se apliquen entre sí al chocar. Se analiza el sistema antes y después del choque. Durante el mismo un cuerpo le ejerce al otro una fuerza de acción y el segundo reacciona con una fuerza igual y de sentido contrario (reacción). Ambas fuerzas son de igual módulo y sentido contrario y actúan durante igual tiempo. Por ello, las dos fuerzas ejercen impulsos iguales y de sentido contrario sobre los móviles, de modo que producen también vectores “∆q” iguales y opuestos sobre ambos cuerpos. Por todo esto es que la cantidad de movimiento inicial de todo el sistema “q i”, (que se toma como la suma vectorial de los vectores cantidad de movimiento inicial de cada uno de los cuerpos) se mantiene constante al final del choque (q f). Ejemplo de Conservación de la cantidad de movimiento en un choque unidimensional. Analizaremos el caso de un choque totalmente plástico en el cual los dos cuerpos involucrados permanecen unidos luego de la colisión. q2

q1 m1

v1

v2

m2

qi = q1 + q2

Sistema antes del choque

m1

m2

v

qf = qi Sistema después del choque

El sistema antes del choque consiste en dos cuerpos de distintas masas m1 y m2 que viajan en sentido opuesto con velocidades v1 y v2. Los móviles chocan frontalmente de modo que sus velocidades antes y después de la colisión son colineales. Por ello decimos que el choque es unidimensional. Llevan sendas cantidades de movimiento q1 y q2 . Sumando vectorialmente estas cantidades de movimiento se obtiene la cantidad de movimiento inicial del sistema q i. DINÁMICA -

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Esta cantidad de movimiento total del sistema es la que permanece constante luego del choque. Se aplica entonces el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento pues sobre el sistema no actúa resultante de fuerzas exteriores. Se calcula inicialmente las cantidades de movimiento de los dos cuerpos antes del choque. Se suman éstas vectorialmente y se halla la cantidad de movimiento del sistema antes del choque. Luego del choque, el sistema tendrá la misma cantidad de movimiento (en módulo, dirección y sentido), con lo cual puede calcularse la velocidad final del conjunto de los dos cuerpos, que terminan moviéndose juntos. Ejemplo de Conservación de la cantidad de movimiento en un choque bidimensional. Si los cuerpos que colisionan terminan moviéndose en direcciones distintas, estamos en presencia de un choque bidimensional. Se aplica el mismo Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento, recordando que las magnitudes involucradas son vectores, y por ello deben operarse vectorialmente. q1f v1f m1 q1i m1

v1i

m2 qi

Sistema antes del choque

q1f

α β

qf

q2f m2 qf = qi

q2f v2f

Sistema después del choque En el ejemplo, el móvil de masa m1 se mueve con velocidad v1 en dirección a otro cuerpo de masa m2 el cual está en reposo. La cantidad de movimiento total del sistema antes del choque es la del móvil 1 (q1). Luego de la colisión los cuerpos salen en direcciones distintas, la masa m1 sale formando un ángulo “α” con respecto a la dirección inicial y la masa m2 formando un ángulo “β” con respecto a la misma. Si se conocen las masas y las velocidades iniciales de los dos móviles, puede calcularse el vector cantidad de movimiento total del sistema antes del choque. DINÁMICA -

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Luego de la colisión dicho vector debe mantenerse constante, por lo cual si se conociera por ejemplo el módulo y la dirección de la velocidad final de uno de los móviles (v1f) podría calcularse vectorialmente v2f , o sea conocerse tanto su módulo como su dirección.

DINÁMICA -

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TRABAJO PRACTICO N° 13: “DINÁMICA 13.1) En un cuerpo en el que actúa una fuerza neta constante se produce que: a) Adquiere movimiento rectilíneo y uniforme. b) Su aceleración aumenta linealmente con el tiempo. c) Su velocidad crece con el cuadrado del tiempo. d) Su aceleración es directamente proporcional a su masa. e) Nada de lo anterior es correcto. 13.2) El principio de inercia establece que "todo cuerpo… a) Que se encuentra en reposo o en movimiento tiende a seguir en ese estado. b) Que se encuentra con MRU al aplicarle una fuerza neta distinta de cero, permanece en ese estado. c) Que se encuentra con MRUV sigue en ese estado si no se le aplica ninguna fuerza neta. d) Que se encuentra en reposo o en MRU sigue en ese mismo estado si la fuerza neta es distinta de cero. e) Nada de lo anterior es correcto. 13.3) Un niño impulsa una piedra de 2 kg con una fuerza neta de 50 N, sobre una superficie horizontal con rozamiento nulo. La aceleración que adquiere la piedra es de: a) b) c) d) e)

5 m/s2 10 m/s2 25 m/s2 20 m/s2 50 m/s2

13.4) Sí se aplica una fuerza de 9 800 dinas sobre un cuerpo de 0,05 UT(m), experimenta una aceleración de: a) b) c) d) e)

9,8 m/s2 0,5 m/s2 4,1.10-3 m/s2 0,2 m/s2 5,3 m/s2

13.5) Si se aplica una fuerza de 50 N sobre un determinado cuerpo, habiendo rozamiento nulo y su aceleración es de 100 cm/s2.¿Cuál es su masa? a) 5,1 UT(m) b) 4,7 UT(m) c) 6,7 UT(m) d) 10 UT(m) DINÁMICA -

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e) 45 UT(m) 13.6) En un cuerpo sobre el cual actúa una fuerza neta constante, se cumple que: a) La diferencia de posición del móvil es directamente proporcional al tiempo transcurrido. b) La fuerza es directamente proporcional a la masa. c) Su velocidad aumenta con el cuadrado del tiempo. d) La aceleración es directamente proporcional a la masa. e) La aceleración aumenta linealmente con el tiempo. 13.7) Con respecto al peso y la masa es correcto afirmar que: a) El peso es una magnitud vectorial y la masa escalar. b) La constante que relaciona peso y masa es la aceleración de g. c) En el vacío desparece el peso pero no la masa. d) Todo lo anterior es correcto. e) Sólo a y b son correctas. 13.8) Dos masas m1 y m2 se encuentran separadas por una distancia "d" y se atraen con una fuerza F1. Si las masas se triplican y la distancia se hace cuádruple, la relación entre la primera fuerza (F1) y la segunda (F2) será de: a) F1 = 1,78 F2 b) F1 = 1,50 F2 c) F1 = 0,44 F2 d) F1 = 0,33 F2 e) F1 = 0,25 F2 13.9) La Ley de Gravitación Universal afirma todo lo siguiente, excepto: a) La fuerza atractiva entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas. b) Si un cuerpo A atrae a otro cuerpo B con una fuerza F1, entonces B atrae a A con una fuerza F2 igual en magnitud a F1. c) La fuerza de atracción entre dos cuerpos es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros de masa. d) El cociente entre la fuerza de atracción y la masa de uno de los cuerpos en particular, da la aceleración a la que el cuerpo está sometido por causa de la atracción gravitatoria. e) La constante de proporcionalidad entre la fuerza de atracción, las masas y la distancia tiene dimensión de: L3 M-1 T-1. 13.10) Un individuo subido a una balanza acusa un peso de 100 kgf: DINÁMICA -

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a) ¿Cuál es la fuerza con que el individuo es atraído hacia el centro de la tierra? b) ¿Cuál es la masa expresada en kg? c) ¿Que aceleración experimenta el sujeto? A) a) 100 N b) 10 kg c) 9.8 m/s2 B) a) 100 kgf b) 100 kg c) 0 13.11) Un cuerpo que pesa 98 N pende de un resorte suspendido del techo de un ascensor. ¿Que fuerza actúa sobre el resorte? a) Cuando el ascensor está en reposo. b) Cuando el ascensor tiene una aceleración vertical ascendente de 1,2 m/s2. c) Cuando el ascensor adquiere una velocidad constante de 20 m/s. d) Cuando desciende con una aceleración de 1.2 m/s2. A) a) 98 N b) 110 N B) a) 98 kgf b) 86 N

c) 98 N c) 98 N

d) 86 N d) 110 N

13.12) Para un hombre en reposo con respecto a la tierra y ubicado en el Ecuador (RT = 6400 km), se cumple que: a) La velocidad angular es de 72,7.106 rad/s. b) La velocidad tangencial es de 1 675 km/h. c) La aceleración centrípeta es de 3,38.10-3 m/s2. d) La aceleración de la gravedad neta en el Ecuador es de 9,797 m/s2. e) Todo lo anterior es correcto. 13.13) Un recipiente ideal sin peso, conteniendo 2 litros de agua describe una circunferencia de 0,8 m de radio en un plano vertical. Se cumple todo lo siguiente, excepto: a) EI peso del balde con agua es igual en módulo, a la fuerza centrípeta para la mínima velocidad angular. b) La velocidad mínima que debe poseer el balde para franquear la parte más alta de la trayectoria, boca abajo, sin derramar el agua, vale 3,13 m/s. c) La velocidad mínima calculada en (b) no depende del peso. d) Si el radio vale 1 m, la velocidad mínima para franquear la parte más alta de la trayectoria, boca abajo, sin derramar el agua, vale 3,13 m/s. e) La velocidad mínima calculada en (b) depende del radio de la trayectoria. 13.14) Dos esferas “a” y “b”, de masas 50 kg Y 70 kg respectivamente, se dejan rodar por un plano inclinado, con rozamiento nulo y que forma un DINÁMICA -

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ángulo de 30° con la horizontal. La esfera “a” completa el recorrido empleando 10 s y alcanzando una velocidad de 49 m/s. ¿Cuánto valdrá la velocidad final de la esfera “b” y cuánto tiempo empleará en recorrer el plano?: a) 56 m/s y 12 s b) 64 m/s y 8 s c) 49 m/s y 10 s d) 49 m/s y 12 s e) 45 m/s y 10 s 13.15) Un cuerpo que pesa 25 kgf cuelga del extremo de una cuerda. Hallar la aceleración de dicho cuerpo si la Tensión en la cuerda es: a) 25 kgf b) 20 kgf c) 40 kgf 13.16) Un montacargas de 3200 kgf de peso desciende con una aceleración de 1 m/s2. Hallar la tensión en el cable. a) 3200 kgf b) 3256 kgf c) 2800 kgf d) 2873 kgf e) 2673 kgf 13.17) Por la garganta de una polea pasa un hilo de peso despreciable de cuyos extremos penden pesas. Una tiene una masa de 80 kg y la otra pesada con un dinamómetro pesa 833 N en condiciones normales. Se desea saber cuál es la aceleración del sistema: a) 0 m/s2 b) 29,7 m/s2 c) 0,297 m/s2 d) 9,8 m/s2 e) 19,6 m/s2 13.18) En el sistema de la figura m1 = 30 g y m2 = 20 g y están conectadas por una cuerda inextensible y sin peso, que mueve las masas simultáneamente sobre una superficie sin rozamiento. Se quiere saber la tensión de la cuerda y la aceleración que adquiere el sistema: a) T = 12 gf; a = 392 cm/s2 b) T = 20 gf; a = 98 cm/s2

m1

DINÁMICA -

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m2

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c) T = 15 gf; a = 0,780 cm/s2 d) T = 40 gf; a = 9,80 cm/s2 e) T = 50 gf; a = 1 002,89 cm/s2 13.19) Dos bloques, m1 = 100 kg y m2 = 50 kg, unidos por una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento, descansa sobre planos sin rozamientos como indica la figura: A) ¿En que sentido se moverá el sistema? B) ¿Cuál es la aceleración de los bloques? C) ¿Que tensión soporta la cuerda? a) Sentido de la menor; 9,80 m/s2; 53,4 kgf b) Sentido de la mayor; 4,90 m/s2; 43,3 kgf c) Sentido de la menor; 0,78 cm/s2; 50 kgf d) Sentido de la mayor; 0.66 m/s2; 43,3 kgf e) Sentido de la mayor; 7,98 cm/s2; 12,3 kgf

m1 m2 30°

53°

13.20) Dada una fuerza de acción F1 y otra de reacción F2 se cumple todo lo siguiente, excepto: a) F1 es colineal con F2 y tienen diferente sentido. b) F1 y F2 se aplican a cuerpos diferentes. c) F1 y F2 son simultáneas. d) F1 precede en el tiempo a F2. e) F1 y F2 tienen igual módulo. 13.21) Un objeto en reposo apoyado sobre una superficie horizontal, en el campo gravitatorio terrestre, no se acelera porque: a) Sobre él no actúa ninguna fuerza. b) Sobre él actúan dos fuerzas de igual dirección y sentido. c) Las dos fuerzas que actúan sobre él son de contacto. d) La acción y reacción aplicadas al cuerpo son de igual sentido. e) La fuerza peso es de igual intensidad y sentido opuesto a la reacción de la superficie de apoyo. 13.22) Con referencia a las fuerzas de acción y reacción, es correcto afirmar todo lo siguiente, excepto: a) Aparecen y desaparecen simultáneamente. b) Son de igual magnitud. c) Están aplicadas sobre distintos cuerpos. d) Son colineales y de sentido opuesto. e) La fuerza de acción es la equilibrante de la reacción. 13.23) Según el principio de inercia (Primera Ley de Newton) es correcto DINÁMICA -

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afirmar que: a) Un cuerpo no puede tener MRU cuando sobre él actúan dos fuerzas colineales con igual intensidad y sentido contrario. b) El estado de MRU de un cuerpo no puede variar a menos que sobre el cuerpo actúe una fuerza neta. c) Si sobre un cuerpo animado de MRU actúa una fuerza, neta siempre se modifica el módulo de su velocidad. d) Un cuerpo solo puede estar en reposo si sobre él no actúa ninguna fuerza. e) Nada de lo anterior es correcto. 13.24) Con respecto a la cantidad de movimiento, puede decirse que: a) Es una magnitud vectorial. b) Es el cociente entre la masa del cuerpo y la velocidad que tiene. c) La variación en la cantidad de movimiento que sufre un cuerpo sometido a la acción de una fuerza neta F es directamente proporcional al tiempo durante el cuál actúa la fuerza. d) El producto del tiempo de acción de la fuerza por la variación de la cantidad de movimiento es igual al módulo de la fuerza. e) Sólo a y c son correctas. 13.25) Un cuerpo de 5 kg de masa tiene una velocidad vertical en sentido ascendente de 4 m/s en un punto “P” situado a cierta altura. El cuerpo asciende hasta que su velocidad es cero, y luego cae libremente, teniendo una cantidad de movimiento de 76,7 kg.m/s en el instante previo a tocar el piso. Calcule: a) El valor absoluto de la variación en la cantidad de movimiento entre el instante en que pasó por el punto “P” en el ascenso y el momento previo a tocar el piso. b) El tiempo total transcurrido en el intervalo señalado en el ítem a). c) Suponiendo que el cuerpo fue lanzado hacia arriba desde el plano del piso, calcule la variación de la cantidad de movimiento desde el instante en que fue lanzado hasta el instante en que toca nuevamente el piso. 13.26) La bala de un rifle pesa 200 gf, su velocidad de salida es de 100 m/s y la longitud del cañón es de 160 cm. ¿Cuál es la fuerza aceleradora de la bala?: a) 625 N b) 625 kgf c) 62,5 kg. m/s2 DINÁMICA -

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d) 625 dinas e) Nada es correcto. 13.27) Calcular la velocidad final que alcanzará un proyectil sabiendo que la fuerza impulsora vale 20 N, el tiempo de aplicación es de 30 ms y la masa del proyectil es de 3 g. a) 2 m/s b) 0,2 m/s c) 200 m/s d) 20 m/s e) Nada es correcto. 13.28) Un cañón de 2500 kg de peso dispara un proyectil de 30 N de peso en una dirección que forma 30° con la horizontal. Como consecuencia, el cañón retrocede con una velocidad de 0,8 m/s. Suponiendo nulo el rozamiento, la velocidad que lleva el proyectil al abandonar el cañón tiene un módulo de: a) 1054 m/s b) 955 m/s c) 854 m/s d) 755 m/s e) 654 m/s 13.29) Un cañón de 2500 kg de masa dispara un proyectil de 2 kg con una velocidad inicial de 850 m/s cuya dirección forma un ángulo de 25° con la horizontal (g = 9,8 m/s2). Se cumple que: a) Si el cañón está montado sobre rodillos sin roce, al cabo de 3 (s) del disparo, habrá retrocedido una distancia de 1,85 m. b) Al cabo de 3 (s) del disparo, el proyectil tendrá una cantidad de movimiento de 1 676 kg.m/s, cuya dirección forma un ángulo de 23° 10' con la horizontal. c) Cuándo el proyectil alcanza la altura máxima su cantidad de movimiento no es nula. d) Cuándo el proyectil alcanza nuevamente el plano del cañón, el módulo de su cantidad de movimiento es igual que en el momento del disparo. e) Todo lo anterior es correcto. 13.30) Un cuerpo de 4 kg, se mueve sobre el eje “X” con velocidad de 6 m/s. Sí se ejerce una fuerza F = - 10 N durante 5 (s). ¿Cuál es la velocidad final?: a) 5

m/s DINÁMICA -

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b) - 7,5 m/s c) - 5 m/s d) - 6,5 m/s e) 6,5 m/s 13.31) Considerando la conservación de la cantidad de movimiento en los choques unidimensionales (colineales) que se muestran debajo, halle la velocidad de “B” después del choque. Las masas de “A” y “B” son de 1 kg cada una. Casos

Inmediatamente después del choque

Inmediatamente antes del choque 2 m/s

3 m/s

2 m/s

VB = ?

a A

B

A

2 m/s

3 m/s

B

2 m/s

VB = ?

b B

A

B

A 6 m/s

VA = VB = ?

c B

A

Reposo

A

Unidas

B

13.32) Una pelota de 0,6 kg se lanza hacia la izquierda contra una pared a una velocidad de 50 m/s. Rebota hacia la derecha con una velocidad de 40 m/s. Calcular el impulso de la pared sobre la pelota. a) 68 N.s b) 54 N.s c) 67 N.s d) 38,5 N.s e) Nada es correcto. 13.33) Dos cuerpos se mueven uno hacia el otro sobre una superficie sin rozamiento, según los datos del esquema. Sabiendo que el cuerpo “B” se aleja con velocidad final de + 4 m/s. ¿Cuál es la velocidad final de “A”? a) - 2,5 m/s b) - 5,5 m/s c) + 2,5 m/s

Vi A = 2 m/s

Vi B = - 2 m/s

Vf B = 4 m/s

DINÁMICA -

m A = 8 kg

m B = 6 kg

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d) + 5,5 m/s e) + 4,5 m/s 13.34) En la figura el cuerpo “A” de mA = 5 kg se mueve sobre el eje “x” con velocidad inicial de ViA = 2 m/s. Este cuerpo choca con otro “B” de mB = 3 kg que se encuentra en reposo. Después del choque la velocidad de “A” es VA = 1 m/s con un ángulo de 30º con el eje de “x”. ¿Cuál será la velocidad final de “B”? a) 4,18 m/s b) 5,67 m/s c) 2,50 m/s d) 1,00 m/s e) 6,20 m/s

Vf A = 1 m/s A

Vi A = 2 m/s A m A = 5 kg

A

30º

x

B m B = 3 kg B Vf B = ?

13.35) Un proyectil de 15 g de masa viaja a 800 m/s e impacta en un bloque de madera, inicialmente en reposo ubicado sobre un riel con rozamiento nulo. Como resultado del impacto, el conjunto formado por el proyectil y el bloque tiene una velocidad de 4,77 m/s. Por lo tanto la masa del bloque es aproximadamente de: a) 3,2 .103 g b) 3,0 .103 g c) 2,5 .103 g d) 1,2 .102 g e) 1,5 .104 g 13.36) Una esfera de 3 kgf de peso cae libremente desde 8 m de altura, choca contra el suelo y rebota elevándose verticalmente hasta 7 m de altura. Sin tener en cuenta el rozamiento, la variación de la cantidad de movimiento producida en el choque con el suelo es de: a) 2,4 kg m/s b) 18,0 kg m/s c) 24,2 kg m/s d) 72,7 kg m/s e) 80,0 kg m/s 13.37) Un avión comercial de 150 toneladas de masa debe aterrizar en una DINÁMICA -

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pista de 2000 m de largo, deteniéndose completamente al final de ella. Si el avión ingresa a la pista con una componente horizontal de velocidad de 340 km/h, calcule: a) La aceleración negativa (supuesta constante) que deben imponer los sistemas de frenado del avión. b) La variación en la cantidad de movimiento. c) La fuerza (supuesta constante) que aplican los sistemas de frenado. d) El tiempo que tarda en detenerse completamente el avión, considerando t = 0 en el instante en que toca tierra. 13.38) Sobre un cuerpo de masa igual a 15 kg que se desplaza con MRU a 6 m/s, actúa una fuerza neta constante de 8 N colineal y de igual sentido que el desplazamiento. La velocidad final del cuerpo es de 12 m/s. Por lo tanto la fuerza fue aplicada durante: a) 9,85 s b) 7,5 s c) 6,52 s d) 5,35 s e) 11,25 s 13.39) Un individuo de 60 kg salta desde una altura de 1,8 m. La aceleración de la gravedad es de 9,8 m/s2 y el tiempo transcurrido entre el momento en que sus pies tocan el piso y el momento en que su centro de masa se detiene completamente es de 0,5 s. Por lo tanto, la fuerza de reacción del piso, supuesta constante, que actúa sobre el individuo será de aproximadamente: a) 778 N b) 557 N c) 1860,5 N d) 712,8 N e) Nada es correcto 13.40) Con respecto a la cantidad de movimiento de un cuerpo, es correcto afirmar todo lo siguiente, excepto: a) Tiene dimensión L.M.T -1. b) Es directamente proporcional a la masa del cuerpo. c) Es una magnitud escalar. d) Se mantiene constante si sobre el cuerpo no actúan fuerzas netas. e) Si el cuerpo choca con otro, la cantidad de movimiento del conjunto tiende a conservarse. DINÁMICA -

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13.41) Una esfera de 2 kg de masa que tiene una velocidad de + 12 m/s en dirección horizontal, impacta sobre un bloque de cemento de 60 kg de masa, que se halla sobre una superficie horizontal sin roce. Tras el impacto, la esfera adquiere una velocidad de - 12 m/s en dirección horizontal. Por lo tanto, el bloque se desplazará con una velocidad de: a) 20 cm/s b) 40 cm/s c) 60 cm/s d) 80 cm/s e) 90 cm/s 13.42) Un avión de 180 toneladas de masa debe aterrizar en una pista de 1500 m de largo, deteniéndose completamente al final de ella. Si el avión ingresa a la pista con una componente horizontal de la velocidad de 240 km/h, se cumple que: a) Si el movimiento en la pista es uniformemente variado, la aceleración es de 1,48 m/s2 en el sentido de la velocidad inicial. b) La variación de la cantidad de movimiento tiene la misma dirección y sentido que la velocidad del avión. c) La fuerza y la velocidad inicial son de igual sentido. d) La fuerza constante que aplican los sistemas de frenado, es de 2,67.107 N. e) La fuerza que se calcula como ∆q/∆t es la fuerza media desarrollada durante la interacción.

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Resultados del Trabajo Práctico N° 13: “Dinámica” a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

c

d

e x x

x x x x x x x Opción B Opción A x x x a) a = 0 ;b) a = -1,96 m/s (para abajo) c) a = + 5,88 m/s (para arriba) x x

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

b

x x x x x x x a)|∆q| = 96,7 kg.m/s b) t = 1,97 (s) c) ∆q = -153,4 kg.m/s x x x x x a) VB = 1 m/s b) VB = 3 m/s c) VA = VB = 3 m/s x x x x x DINÁMICA -

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37 38 39 40 41 42

a) a = - 2,23 m/s2 b) ∆q = - 14,17.106 kg.m/s c) F = - 334,5.103 N d) t = 42,3 (s) x x x x x

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