3) Números Irracionales

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MATEMÁTICA Guía º 3

ÚMEROS IRRACIO ALES Los números irracionales son números decimales reales que tienen infinitas cifras decimales y no aparece en ellas ningún período. Surgen al resolver raíces (de cualquier índice) de números racionales. No es correcto expresarlos con una cierta cantidad de decimales, puesto que el número exacto tiene infinitos decimales. La exactitud que requiere la Matemática, hace que estos números se deban indicar con el símbolo radical. También son irracionales algunos números especiales surgidos del análisis matemático como el número "π", que se aplica al cálculo de longitud de circunferencias, superficies de círculos; y superficies y volúmenes de sólidos de revolución, y el número "e" (Número de Neper) que sirve de base a los logaritmos naturales. ¿Cómo aparece un número así en la recta numérica? Supongamos que tenemos un triángulo isósceles rectángulo, cuyos catetos iguales valen 1. Entonces la hipotenusa será: Por Pitágoras: x2 = 12 + 12

x 1

x2 = 2

⇒

x=

2

La hipotenusa es un número irracional

1 Coloquemos este triángulo en la recta numérica, como se muestra en la figura, y haciendo centro en el origen llevemos la longitud de la hipotenusa hacia la recta numérica. Queda demostrado así que hay un punto de dicha recta numérica que es un número irracional.

2 -1

0

1 1

2

Se puede demostrar que en la recta numérica hay infinitos números irracionales.

2 MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 1 -12

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Operaciones con números irracionales 1) Extracción de factores: Es práctica habitual en matemática la extracción de factores de los radicales que lo permitan. Para que la extracción de factores sea posible el exponente de la potencia debe ser mayor o igual al índice de la raíz. Se puede hacer aplicando propiedades de potencias o con una regla práctica: a) Aplicando propiedades de potencias: 3

x 7 = 3 x 3 . x 3 . x = 3 x 3 . 3 x 3 . 3 x = x. x. 3 x = x 2 . 3 x 3

Descomponemos la potencia del radicando en factores

Aplicamos propiedad distributiva

Cancelamos potencia y raíz

x7 = x2. 3 x

b) Aplicando regla práctica:

3

x7 = x2. 3 x

Dividimos el exponente de la potencia por el índice de la raíz 7 1

3 2 Exponente de las potencias que salen de la raíz

Exponente de las potencias que quedan dentro de la raíz

A menudo se presenta el caso del radical de un número que se puede factorear (o sea descomponer en sus factores primos). Se procede así:

108 = 22.33 = 22 . 33 = 2 . 3 3 = 6 3

108 = 6 3

3 1

2 1

108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 108 = 22. 33

MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 2 -12

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Extraer factores de los siguientes radicales

Para practicar: a) 5

64 x 4 y 7

2 y 5 2x4 y2

b) 4

0,01 z2

.y 4

y 10 z

2) Introducción de factores: Si se necesita es posible introducir un factor que se halla afuera del radical hacia adentro del mismo. Se puede hacer aplicando propiedades (con un artificio) o con una regla práctica: 1) Aplicando propiedades de potencias (con un artificio matemático) El artificio matemático consiste en tomar el factor que se va a introducir al radical, elevarlo a la potencia del índice de esta raíz y al mismo tiempo extraerle una raíz del mismo índice. Ambas operaciones son inversas de modo que este factor a introducir no se altera.

( )

( )

3 3

3

x2 . 3 x = 3 x2 . x = 3 x2 . x = 3 x6. x = 3 x7

Artificio matemático

Aplicamos propiedad asociativa

Potencia de potencia

x2. 3 x = 3 x7

Producto de potencias de igual base

2) Aplicando regla práctica: Multiplicamos el exponente de la potencia a introducir por el índice de la raíz.

x2 . 3 x = 3 x6.x = 3 x7

x2. 3 x = 3 x7

Luego propiedades de potencias

MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 3 -12

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3) Suma algebraica de Radicales: Los números irracionales sólo se pueden sumar o restar en forma exacta si tienen radicales semejantes. Números irracionales de radicales semejantes

6 2

2 2 ; −5 2 3

;

Para sumarlos simplemente se suman algebraicamente sus partes racionales, lo que equivale a sacar el radical como factor común. Por ejemplo:

6 2+

2 2  5  2 − 5 2 = 2.  6 + − 5  = 2 3 3  3 

Si los números irracionales no son de radicales semejantes no se pueden sumar y se debe expresar el resultado como un binomio irracional:

6 2+2 3=

Binomio Irracional

A veces hay que sumar radicales que en apariencia no son de radicales semejantes, pero en los cuales al extraer factores se puede llegar a que aparezcan radicales semejantes. Por ejemplo:

5 18 −

2 50 + 2 2 = 3

5 2.32 −

18 2 9 3 3 3 1

2 2.52 + 2 2 = 3

5 32 2 −

18 = 2. 32

50 = 2. 52

2 2 5 2+2 2 = 3

2 5.3 2 − 5 2 + 2 2 = 3 15 2 −

50 2 25 5 5 5 1

10 2+2 2 = 3

41 2 3

Una vez extraídos los factores de las raíces, los radicales quedan semejantes y se pueden sumar.

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Para practicar:

Efectuar las siguientes sumas algebraicas:

a)

1 1 12 + 4 75 − 108 2 3

b)

4

19 3

4 − 2 + 5 0,02 81

−

1 2 6

4) Multiplicación de Radicales: Pueden ser de raíces de igual o de distinto índice. A) De Raíces del mismo índice: Propiedad Asociativa 5

Se aplica la propiedad asociativa y se colocan los radicandos bajo el mismo símbolo radical.

x 3 .5 x = 5 x 3. x = 5 x 4 B) De Raíces de distinto índice:

Para multiplicar raíces de distinto índice debe hallarse el "Mínimo Común Índice" que es el mínimo común múltiplo de los índices. Para ello debe hacerse el factoreo conjunto de dichos índices, tal como se explicó en el apunte "Conjuntos Numéricos", para sacar el común denominador al hacer la suma de fracciones. Luego se realiza un artificio que consiste en multiplicar el índice y el exponente de cada radical por un mismo número. Este número es el necesario para llevar el índice de la raíz al Mínimo Común Índice. Al hacer esta operación de multiplicar por un mismo número al exponente y al índice de una raíz no se altera su valor, de modo que es un paso correcto. Por último se asocian las dos raíces (que ya quedan de igual índice) en un sólo radical. El resultado final debe expresarse con los factores extraídos del radical. Multiplico por 5

Multiplico por 3 5

x3 . 3 x2 =

5.3

3.5

x 3.3 .

x 2.5 =

15

El Mínimo Común Índice entre 3 y 5 es 15.

15

x 9 . x10 = 15 x 9 . x10 = 19 4

15 1

15

⇒ x.

x19 =

15

x4

MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 5 -12

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Para practicar: a)

b)

c)

Realizar las siguientes multiplicaciones y divisiones:

3

2 10 5 .3 2 2 .3 2 xy x y x y

3

xy . 4 x 2 . y 5

1 100 .3 xy x 2 y

y 2 6 x5 y 5

13 7 . x y.z : (−2.5 x 2 y ) 2

1 − x . 15 x14 y 2 z 5 4

5) Racionalización de Denominadores: Es una tradición en Matemática no dejar "nunca" un número irracional en los denominadores de fracciones. Esto se debe a que no podemos realizar una división (por métodos numéricos, o sea con lápiz y papel) si el divisor tiene infinitos decimales como ocurre con los números irracionales. Es preciso realizar una operación para racionalizar (convertir en racional) el denominador, para luego sí proceder a dividir. Lo que ocurre al racionalizar es que un número irracional aparece en el numerador, pero esto no es mayor problema pues al ser racional el denominador podemos efectuar la división con tanta precisión como queramos a condición de tomar los decimales suficientes del numerador irracional. Se aconseja siempre extraer todos los factores que sean posibles de la raíz a eliminar antes de proceder con el caso de racionalización que corresponda. Hay tres casos de racionalización de denominadores: A) Primer Caso: Hay una raíz cuadrada en el denominador:

1 1 2 = . = 2 2 2

2

( 2)

2

⇒

2 2

5 5 5 2 5. 2 = 3 = . = ⇒ 2 8 2 . 2 2 2 2. 2

( )

Se multiplica y se divide por la misma raíz a eliminar.

5. 2 4

MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 6 -12

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B) Segundo Caso: Hay una raíz no cuadrada en el denominador:

1 5

x3

=5

1 x

5

. 3 5

x2 x2

5

=

5

5

x2

x 3. x 2

=

5

x2 x5

5

⇒

x2 x

Se multiplica y se divide por una raíz del mismo índice de la que se va a eliminar, que contenga las potencias que le faltan a dicha raíz para que el exponente de sus factores iguale al índice.

a.b.3 a 2 . b = . = = ⇒ 4 2 2 3 2 3 3 3 3 a . a . b a .b a . a .b a . b a. a .b a.b

3

3

a.b

a2. b

a.b. 3 a 2 . b

3

a2. b a

C) Tercer Caso: Hay un binomio con una o dos raíces cuadradas en el denominador:

3 3 5+ 2 . = = 5− 2 5− 2 5+ 2

(

)

(

)

3. 5 + 2 3. 5 + 2 = ⇒ 5−2 3

(

3. 5 + 2

( 5)

2

)

+ 5 2− 5 2−

( 2)

2

=

5+ 2

Se multiplica y se divide por el binomio conjugado del denominador, que corresponde a un binomio similar pero con el signo del medio cambiado. Casos Combinados de Racionalización de Denominadores A veces pueden aparecer casos combinados de racionalización de denominadores, en los cuales hay que aplicar los casos ya vistos en el orden adecuado a fin de eliminar todas las raíces del denominador:

−2 2 +1

=

−2 2 +1

.

2 +1 2 +1

=

−2

(

2 +1 2 +1

)

2

=

MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 7 -12

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−2

2 +1 −2

2 + 1.

Para practicar:

=

2 −1

(

2 + 1.

( ) 2

2

(

)=

2 −1

− 2 + 2 −1

) = −2

2 −1

2 −1

a)

−2

2 + 1. 2 − 1

2 + 1.

(

)

2 −1

Racionalizar los denominadores en las siguientes fracciones:

2 3. 2 y

2y 3y

b)

y. x 3

6

y2

(

2 − x. 2 + 2 + x

2− x c) 2− 2+ x 2

x3 y 2

)

2−x 2 . 3

d)

5− 2

5 − 2.

(

5+ 2

)

Por último es importante destacar que, al simplificar exponentes con índices en un determinado radical pueden aparecer situaciones que conviene aclarar:

( ( ( (

3

3

) −8 ) −8

) −4 ) −4

3

3

2

2

3

= ( −2 ) = −8 = −8 = ∃ en » ≠ −4

Aquí se arriba al mismo resultado resolviendo las operaciones en el orden marcado o simplificando el exponente con el índice.

Aquí no tiene solución real la expresión dada, pero simplificando el exponente y el índice se arribaría a un resultado erróneo.

MATEMÁTICA-NÚMEROS IRRACIONALES- 8 -12

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( −4 )

2

( −4 )

2

≠ −4

Resolver las siguientes Potencias de Exponente fraccionario (Ver teoría en guía N° 1)

Para practicar: 3  1 2   . a) 2 2

 

 

Aquí la solución de la expresión dada es 4, pero simplificando el exponente y el índice se arribaría a un resultado erróneo (−4).

= 16 = 4

(2) 5

−2

1   2 c)

4

8 32

−

3 2

2 1 15 b) 3 5 . 

 3

1 1 : 3 5 .9 5

1

.2 −1

2 2 −  1 − 3 3 3.

2

   3

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Trabajo Práctico ° 3 " úmeros Irracionales" 3.1) Extraer factores de los siguientes radicales:

a)

3

81m11n16 125

b)

4

32 x10 81 y 20

c)

3

0,064a 8b10 c 21

3.2) Introducir factores en los siguientes radicales y operar:

a) 8 x

23

3x 2 b) 2y

2

2x y

5

(4 y )

3

a 2b 5b −1 c) 5c 3 2c −7 a 3

81x 8

3.3) Efectuar las siguientes sumas algebraicas:

a) 3 18 − 11 2 + 2 50 b)

c)

4

9 y 8 + 6 27 y12

3 3 16 5 3 2 − 54 + 5 3 2 27 3 125

d) −

3 3 20 y 5 + 2 y 0,05 y 3 − 125 y 7 4 5y

3.4) Realizar las siguientes multiplicaciones y divisiones:

a)

4

2 4 4 32 y −3 .4 . x 2 y x 3 y −2 x

5 c) − . 4 x 3 y : 3. 3 x 2 y z −2 2

(

4 x . 3 4 x 2 . 6 16 x 3

b)

)

3

d)

4x. 2x 6

8x2

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3.5) Racionalizar los denominadores en las siguientes fracciones:

−5y a) x xy

b)

a 2 b c −2 5

c)

a 2b c 4

6 −1 4− 6

d)

2 5− 2+ 3

3.6) Resolver los siguientes ejercicios aplicando Potencias de Exponente fraccionario y reduciendo todo a potencias de igual base. a)

4

2 −1.82 32

b)

c)

4

25. 3 5−2 1   125  5 

2

  −2   1 9 3.  1  27    3 

2

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Resultados del Trabajo Práctico ° 3 " úmeros Irracionales"

3.1)

2 x2 4 2 b) 2x 3y5

3 a) m 3n 5 3 3m 2 n 5

3

3.2)

a)

3.3)

a) 8 2

10

8

2 x y

b)

6x 2 y2

5

b) 2 y 2 3

3.4)

4 a) x xy

3.5)

a) −

3

xy

d)

1 6

(

d) −

43 2 y 5y 10

5 x z8 c) − 12 y 6

2

b)

abc 10

c)

c) −3 3 2

b) 4 x 2 x

5 x2

2 a 2 b3 3 2 c) ab 5 c7

a 5 3 4 abc c3

)(

c)

3 + 2 − 5 2 + 10

d)

3.6)

a)

2

5

b)

3

5

16x 3

1 3 + 6 5 10

) 8

8

6

c)

27 37

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