2) Teoría De Conjuntos

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MATEMÁTICA, Guía N° 2 : TEORÍA DE CONJUNTOS Un "conjunto" es una agrupación o colección de objetos bien diferenciados que tienen alguna propiedad en común. A estos objetos se los llama "elementos". Por ejemplo, son conjuntos los meses del año, los alumnos de un colegio, los números impares, etc. Designaremos a los conjuntos con letras mayúsculas y a los elementos con minúsculas. U

A

B

c d

a b

f

Con este rectángulo se denota el Universo de elementos tratados

e g

C h

i

j

Un conjunto se puede definir "por extensión" listando todos los elementos que lo componen: A = {a, b, c, d, e}

B = {d, e, f, g, h}

y

C=

{a, b}

Cuando se quiere relacionar un elemento con un conjunto deben usarse los operadores ∈ (pertenece) o ∉ (no pertenece). pertenece

a∈A Elemento

Conjunto

f ∉A no pertenece Matemática, Teoría de Conjuntos - 1 -7

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Cuando se quiere relacionar un conjunto con otro conjunto deben usarse los operadores ⊂ (está incluido) o ⊄ (no está incluido). está incluido

C⊂A Conjunto

Conjunto

B⊄ A no está incluido Para que un conjunto esté incluido en otro, todos sus elementos deben pertenecer al otro conjunto, no existe la inclusión parcial. Si al menos un elemento de un conjunto no pertenece al otro conjunto debe usarse el operador " ⊄ " (no está incluido) para relacionar ambos conjuntos. También un conjunto se puede definir "por comprensión" indicando la regla que debe cumplir cada elemento para pertenecer al conjunto. D = {2, 3, 4, 5, 6} puede expresarse: D = { x / x ∈ N ∧ (2 ≤ x ≤ 6) } tal que

y

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1) UNIÓN: A ∪ B A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h} A

c d

a b j

U

B f

e g h

i

La unión de dos conjuntos es otro conjunto que contiene a todos los elementos de ambos conjuntos.

Matemática, Teoría de Conjuntos - 2 -7

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2) INTERSECCIÓN: A ∩ B

A

A ∩ B = {d, e} U

B

c d

a

La intersección de dos conjuntos es otro conjunto que contiene a todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos al mismo tiempo.

f

e

b

g

j

h

i

3) DIFERENCIA: A − B

A

U

B

c d

a

g h

j

La diferencia entre dos conjuntos A y B es otro conjunto que contiene a todos los elementos de A que no pertenecen a B.

f

e

b

A−B={ a,b,c}

i

4) COMPLEMENTO DE A: CA = U − A A

c d

a b

U

B f

e

j

g h

i

CA = { f , g , h , i , j } El Complemento de un conjunto es igual a la diferencia entre el Universo menos dicho conjunto.

Otros símbolos usados en lógica simbólica y de proposiciones son:

∃ : existe algún ∄: no existe ningún

∀ : para todo

∨: o ⇔ : si y solo si ⇒ : entonces, ello implica que ∝: proporcional ∅ = {} : conjunto vacío “ : ” Se cumple que Matemática, Teoría de Conjuntos - 3 -7

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Trabajo Práctico N° 2: "Conjuntos" 2.1) Completar con ∈, ∉, ⊂

o ⊄ según corresponda:

a)

−5 …… 

i)

 …… 

b)

2 ......  3

j)

 …… 

c)

2 …… 

k)

− 5 …… 

l)

1+ 3 …… I

m)

3 − 2 i …… 

n)

|-5 | …… 

d)

 ....  …. 

e)

e …… 

f)

0 …… 

g)

I …… 

o)

h)

2 ……  5

p)

9 …… I 2 15 ……  3

2.2) Expresar por comprensión los siguientes conjuntos definidos por extensión: a) A = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

b) B = {8, 9, 10, 11}

2.3) Expresar por extensión los siguientes conjuntos definidos por comprensión: a) C = { x / x ∈  ∧ 3 <

x ≤ 8}

b) D = { x / x ∈  ∧ −8 ≤

x < −2 }

c) E = { x / x ∈  ∧ −5 <

x < 2}

Matemática, Teoría de Conjuntos - 4 -7

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2.4) Dados los conjuntos definidos anteriormente, hallar: a) A

∩C

b) B

∪C

c) A − C d) (A

∩ E) ∪ B

Matemática, Teoría de Conjuntos - 5 -7

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Respuestas al Trabajo Práctico Nº 2 de Matemática: "Conjuntos" 2.1) a)

−5 …∊… 

i)

b)

2 ...∊ ∊...  3

j)

⊂.   .⊄ . 

c)

2 …∉ ∉… 

k)

− 5 …∉… 

d)

.⊂ . .⊂ .

.

l)

1+ 3 …∊… I

e)

e …∊… 

m)

3 − 2 i …∊… 

f)

0 …∉… 

n)

|-5 | …∊… 

g)

I.

⊄. 

o)

h)

2 …∉…  5

p)

9 …∉… I 2 15 …∊…  3

2.2) a) A = { x / x ∈  ∧ −1 ≤ b) B = { x / x ∈  ∧ 8 ≤

x ≤ 5}

x ≤ 11}

2.3) a) C = {4, 5, 6, 7, 8} b) D = {}= ø c) E = {−4, −3, −2, −1, 0, 1}

Matemática, Teoría de Conjuntos - 6 -7

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2.4) a) A

∩ C = {4, 5}

b) B

∪ C = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

c) A − C = {−1, 0, 1, 2, 3} d) (A

∩ E) ∪ B = {−1, 0, 1, 8, 9, 10, 11}

Matemática, Teoría de Conjuntos - 7 -7