Leyes De Newton

7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento. §7.1. Fuerza (161); §7.2. Masa (163); §7.3. Segunda ley de Newton (164); §7.4. Peso. Peso aparente e ingravidez (165); §7.5. Sistemas de unidades mecánicas (166); §7.6. Cantidad de movimiento (168); §7.7. Impulsión (169); §7.8. Invariancia de las leyes de la Mecánica (171); §7.9. Tercera ley de Newton (175); §7.10. Conservación de la cantidad de movimiento (177); §7.11. Acción a distancia (179); §7.12. Limitaciones de la ley de la acción-reacción (180); Problemas (182)

§7.1. Fuerza.- Como ya vimos en la lección anterior, la primera ley de Newton o ley de la inercia contiene una definición cualitativa de la fuerza como agente capaz de modificar el estado de movimiento de los cuerpos. Buscaremos ahora una definición más precisa que nos permita establecer un método para la medida de las fuerzas y encontrar la relación "cuantitativa" existente entre el valor de una fuerza y la aceleración que produce al actuar sobre un determinado cuerpo. Conseguiremos este propósito definiendo el módulo y la dirección de la fuerza en función de la aceleración que adquiere un cuerpo concreto, que consideraremos como patrón o estándar, cuando se le coloca en un medio ambiente adecuado. La experiencia nos muestra que el movimiento de un cuerpo es el resultado directo de sus interacciones con los demás cuerpos que constituyen su medio ambiente. El concepto de fuerza no es más que una técnica para relacionar el medio ambiente con el movimiento del cuerpo que estamos analizando. Resulta conveniente utilizar como cuerpo patrón un cierto cilindro de platino e iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sèvres (cerca de París) y que se llama kilogramo patrón. Por lo que toca al medio ambiente, colocaremos el cuerpo patrón sobre una mesa horizontal lisa que presente un rozamiento insignificante. Un medio o agente conveniente para "actuar" sobre este objeto lo constituye un muelle provisto de un índice, en uno de sus extremos, que se mueve frente a una escala. Este aparato recibe el nombre de dinamómetro y, como veremos, nos permitirá "medir las fuerzas" a través de las deformaciones del muelle. Unamos uno de los extremos del dinamómetro a nuestro cuerpo patrón y tomemos el otro extremo con nuestra mano, como se muestra en la Figura 7.1. Tiremos horizontalmente de modo que el cuerpo adquiera una aceleración constante de

Manuel R. Ortega Girón

161

162

Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

1.00 m/s2 (para la medida de esta aceleración se utilizará una regla graduada y un cronómetro). En estas condiciones declaramos, por definición, que el muelle del dinamómetro está ejerciendo sobre el cuerpo patrón una fuerza constante que llamaremos "1.00 newton". Observaremos que mientras se está aplicando esa fuerza el muelle se mantiene estirado una cierta longitud Δl1 sobre su longitud normal. Análogamente, si un alargamiento Δl2 del muelle está asociado con una aceleración de 2.00 m/s2, diremos que la fuerza ejercida sobre el cuerpo patrón es de 2.00 newton. En general, si observamos que nuestro cuerpo patrón adquiere una aceleración a en un medio particular, diremos que dicho medio ejerce una fuerza F sobre el cuerpo patrón, tal que F (newtons) es numéricamente igual a a (m/s2).

Figura 7.1

Figura 7.2

El método anteriormente descrito nos ha permitido establecer una escala de fuerzas; esto es, hemos calibrado el dinamómetro en unidades de fuerza. La Figura 7.2 representa la curva de calibrado de un muelle ordinario, en el que la fuerza definida de ese modo es proporcional a la deformación Δl del muelle respecto de su longitud natural, siempre que estas deformaciones no sean demasiado grandes, lo que constituye la denominada LEY DE HOOKE. Observemos, sin embargo, que este comportamiento de los muelles no es necesario para nuestra definición de una escala de fuerzas ya que ésta se ha definido en función de las aceleraciones y no en función de los alargamientos del muelle; i.e., la relación entre fuerza y alargamiento no tiene porqué ser lineal. Definido el módulo o magnitud de la fuerza, definiremos la dirección y sentido de la misma como la de la aceleración que produce sobre el cuerpo. De este modo la fuerza queda caracterizada por su módulo, su dirección y su sentido. Parece como si a priori estuviéramos aceptando el carácter vectorial de las fuerzas; pero, como ya sabemos, para que una magnitud física tenga carácter vectorial (sea representable por vectores) no es suficiente que tenga esos tres atributos, sino que también debe obedecer las leyes de la adición vectorial. Solamente la experimentación nos pondrá de manifiesto si las fuerzas, tal como las hemos definido, obedecen efectivamente las leyes de la adición vectorial. Utilicemos ahora dos muelles calibrados (dinamómetros) unidos al mismo cuerpo patrón de modo que obren sobre él fuerzas de 4.00 y 3.00 newtons, respectivamente, en direcciones perpendiculares entre sí. ¿Cuál será la aceleración del cuerpo patrón cuando ambas fuerzas actúan simultáneamente sobre él? Experimentalmente encontraremos que la aceleración es de 5.00 m/s2 un una dirección que forma un ángulo de 37° con la fuerza de 4.00 newtons. En otras palabras, el cuerpo patrón está sometido a una fuerza resultante de 5.00 newtons en esa misma dirección. Este

§7.1.- Fuerza.

163

mismo resultado se obtiene sumando vectorialmente las fuerzas de 4.00 y 3.00 newtons de acuerdo con la regla del paralelogramo. Los experimentos de esta naturaleza demuestran de modo concluyente el carácter vectorial de las fuerzas. Este resultado experimental está contenido en el corolario de las leyes de Newton enunciado en la lección anterior. §7.2. Masa.- Newton definió la masa de un cuerpo como el producto de su

volumen por su densidad. Evidentemente esta definición no puede ser correcta, puesto que usualmente se define la densidad como la masa por unidad de volumen, de modo que la definición resulta ser circular. Entonces, podemos preguntarnos, ¿qué es la masa? En lugar de intentar responder directamente a la pregunta anterior, lo que podría resultar muy complicado1, encontramos más conveniente definir operativamente el concepto de masa. Esto es, vamos a establecer un procedimiento que nos permita comparar las masas de distintos cuerpos de modo que, tras tomar uno de ellos como patrón asignándole una masa unidad, podamos asignar un valor numérico a la masa de los demás cuerpos. De ese modo podremos comprender el significado de ese número, de esa etiqueta, que nos traduce cuantitativamente una de las propiedades fundamentales de la materia. Emplearemos uno de nuestros muelles calibrados (dinamómetros) para ejercer una determinada fuerza constante sobre diversos cuerpos en las mismas condiciones que en los experimentos descritos en el artículo anterior. Observaremos que aún cuando la fuerza aplicada a los distintos cuerpos sea la misma (lo que se traduce en un mismo alargamiento del muelle) las aceleraciones que éstos adquieren son distintas en general. Los cuerpos "más masivos" (de acuerdo con el uso corriente de esta palabra) adquirirán aceleraciones menores que los cuerpos "menos masivos". Esto nos sugiere que podemos cuantificar el concepto de masa considerando las aceleraciones que una misma fuerza origina al actuar sobre cuerpos diversos. Definiremos como relación de las masas de dos cuerpos el recíproco de la relación de las aceleraciones producidas en ambos cuerpos por la acción de una misma fuerza. Así, si una fuerza determinada produce una aceleración a cuando actúa sobre cierto cuerpo y una aceleración a0 cuando actúa sobre otro, las masas de esos cuerpos se encuentran en la relación. m m0

a0

[7.1]

a

Una vez definido el cociente de las masas para dos cuerpos cualesquiera, podemos establecer una escala de masas escogiendo un cuerpo concreto2 como masa

1

En última instancia, siempre podemos afirmar que la masa representa la inercia u oposición de la materia a los cambios de movimiento (vide más adelante). 2

Inicialmente se pretendía que fuese igual a la masa de 1000 cm3 de agua pura a la temperatura de 4°C; pero comprobaciones posteriores de gran exactitud demostraron que la relación es inexacta en un pequeña cantidad.

164

Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

patrón y considerándolo arbitrariamente como unidad de masa. La unidad SI de masa es el kilogramo, que corresponde a la masa del kilogramo patrón mencionado en el artículo anterior. La masa de cualquier otro cuerpo puede compararse con la masa patrón, por el procedimiento de aplicar a ambos cuerpos una misma fuerza y obtener el cociente de las aceleraciones producidas en cada uno de ellos. De este modo podemos asignar a la masa de cada cuerpo un número apropiado. Así, por ejemplo, si una fuerza determinada produce una aceleración de 6 m/s2 al cuerpo patrón y la misma fuerza produce una aceleración de 3 m/s2 a un cuerpo dado, la masa de este último cuerpo será m1 = (a0/a)m0 = 2 kg. Si repetimos el experimento anterior aplicando una fuerza común diferente, encontraremos que las aceleraciones son diferentes de las obtenidas antes, pero que su cociente permanece constante, o sea m m0

a0

a0

a

a

[7.2]

Esto es, el cociente de las aceleraciones producidas por una misma fuerza al actuar sobre cada uno de los cuerpos es independiente de la magnitud de la fuerza. Es también independiente del tipo de fuerza utilizado; es decir, bien sea la fuerza debida a la acción de muelles, a la atracción gravitatoria, a la atracción o repulsión eléctrica o magnética, etc. Así pues, la masa es una propiedad intrínseca del cuerpo que no depende del entorno del mismo, de ningún agente externo ni del tipo de fuerza que usemos para medirla. Siguiendo con estos experimentos, podemos demostrar que si unimos dos cuerpos de masas respectivas m1 y m2, el conjunto se comporta mecánicamente como si fuera un solo cuerpo de masa (m1 + m2). En otras palabras, la masa es una magnitud escalar que obedece las reglas ordinarias de la aritmética y el álgebra. Hemos llegado al concepto de masa a través de la aceleración producida por una fuerza determinada. Cuanto mayor es la masa de un cuerpo menor será la aceleración que adquiere bajo la acción de dicha fuerza. Así pues, la masa de un cuerpo es una medida cuantitativa de la inercia o resistencia que presenta ese cuerpo a modificar su estado de movimiento bajo la acción de las fuerzas. La masa es proporcional al tamaño (para una misma sustancia), independientemente del estado físico (sólido, líquido o gas), es aditiva, se conserva en las reacciones químicas y, dentro del dominio de la Mecánica Clásica o Newtoniana, es independiente del estado de movimiento del cuerpo. §7.3. Segunda ley de Newton.- Podemos resumir todas las definiciones y experiencias descritas anteriormente en la ecuación fundamental de la dinámica clásica

F

ma

[7.3]

donde F es la suma (vectorial) de todas la fuerzas que actúan sobre un cuerpo de masa m y a es la aceleración que éste adquiere. La ecuación [7.3] puede considerarse como un enunciado de la segunda ley de Newton: la fuerza neta o resultante que actúa sobre un cuerpo es proporcional a su

165

§7.3.- Segunda ley de Newton.

masa y a su aceleración. La ecuación [7.3] resume el hecho experimental de que si la fuerza exterior resultante F actúa sobre un objeto de masa m, el objeto se acelerará en la dirección de la fuerza F y que la magnitud de dicha aceleración será tanto mayor cuanto menor sea la masa del cuerpo. Por esta razón, la masa del cuerpo es la medida de su inercia o resistencia a los cambios de movimiento. Observamos también que la primera ley del movimiento está contenida en la segunda ley como un caso especial, porque si F=0, entonces a=0. Esto es, si es nula la fuerza neta o resultante exterior no hay aceleración y el cuerpo estará en reposo o se moverá con velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme), que es lo que dice la primera ley del movimiento. Por lo tanto, de las tres leyes del movimiento de Newton sólo dos son independientes, la segunda y la tercera. Conviene insistir en que la ecuación [7.3] es una ecuación vectorial que podemos escribir también descomponiéndola en tres ecuaciones escalares Fx

m ax

Fy

m ay

Fz

m az

[7.4]

que relacionan las componentes x,y,z de la fuerza resultante (Fx,Fy,Fz) con las componentes x,y,z de la aceleración (ax,ay,az). Podemos considerar la ec. [7.3] como la expresión de la ley central de la mecánica, como la clave de la síntesis de Newton de una gran parte de la filosofía natural de su época. Nuestras definiciones de fuerza y masa nos permiten describir una amplia variedad de fenómenos físicos utilizando pocas leyes de fuerzas y relativamente simples. Así, por ejemplo, añadiendo a las tres leyes del movimiento de Newton la ley de Gravitación Universal podemos explicar fenómenos tales como el movimiento de planetas y satélites en el Sistema Solar, la variación del valor de la aceleración gravitatoria aparente con la latitud debida a la rotación de la Tierra, la trayectoria de los cohetes balísticos y muchos otros problemas que aparecen en la ciencia y en la tecnología. §7.4. Peso. Peso aparente e ingravidez.- La fuerza con la que estamos más familiarizados, por nuestra experiencia diaria, es la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos que están sobre ella. Esta fuerza se denomina peso del cuerpo. Podemos determinar el peso de un cuerpo cualquiera, de masa m, midiendo la aceleración que adquiere cuando se le deja caer libremente de modo que la única fuerza que actúe sobre él sea su peso. La aceleración resultante para cualquier cuerpo en caída libre, que designaremos por g, es independiente de la masa del cuerpo en tanto que se pueda despreciar la resistencia y la densidad del aire. El módulo de esa aceleración es aproximadamente de 9.81 m/s2 en el nivel del mar y para las latitudes medias. Entonces el peso P de un cuerpo de masa m viene dado por

P

mg

[7.5]

y está dirigido hacia abajo (hacia el centro de la Tierra). La medida cuidadosa de la aceleración de caída libre de los cuerpos en diversos lugares de la Tierra pone de manifiesto que esta aceleración no es la misma en todos ellos, sino que depende de diversos factores como son la latitud del lugar, la altura

166

Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

sobre el suelo, la presencia de yacimientos minerales en el subsuelo, la presencia de formaciones montañosas en las proximidades, etc... Así pues, el peso, a diferencia de la masa, no es una propiedad intrínseca del cuerpo. Dado que el peso de un cuerpo viene dado por el producto de su masa por el valor de la aceleración gravitatoria del lugar, se deduce que si en un mismo lugar los pesos de dos cuerpos son iguales, sus masas serán también iguales. La balanza de brazos iguales es un instrumento por medio del cual se puede determinar con un gran grado de precisión cuando son iguales los pesos de dos cuerpos y, en consecuencia, la igualdad de sus masas. La sensación que tenemos de nuestro propio peso procede normalmente de las fuerzas que lo equilibran. Así, cuando nos situamos sobre una balanza de resorte, nuestros pies aprecian la fuerza que ejerce sobre nosotros la balanza. El resorte de la balanza está calibrado de forma que registra la fuerza que debe ejercer (por compresión del resorte) para equilibrar nuestro peso. La fuerza que equilibra nuestro peso se denomina peso aparente y es el peso que registra la balanza de resorte. Si no existe ninguna fuerza para equilibrar nuestro peso, como sucede en la caída libre, el peso aparente será cero. A esta situación se le denomina ingravidez. Los tripulantes de un satélite en órbita experimentan la situación de ingravidez. Existe una creencia con respecto a este interesante fenómeno que se asocia con la carencia de peso, ya que los tripulantes del satélite flotan dentro de la cápsula (o fuera de ella) sin necesidad de apoyarse en parte alguna. La idea es falsa, pues siempre existe una fuerza gravitatoria3 que actúa sobre la masa m del astronauta de modo que éste siempre tiene peso, de acuerdo con nuestra definición de este fenómeno. La única fuerza que actúa sobre el astronauta (y también sobre la cápsula) es su peso que produce la aceleración de caída libre g = v2/r, o sea la aceleración centrípeta necesaria para que la órbita sea circular, con radio r y celeridad v. Como esta fuerza no está equilibrada por ninguna otra, el peso aparente del astronauta (y también el de la cápsula) es cero. Una situación similar, aunque más artificial, se presenta en un ascensor en caída libre: los objetos en el interior del ascensor parecen flotar y una balanza de resorte (un dinamómetro) suspendido del techo del ascensor no registrará peso alguno para un cuerpo enganchado a su otro extremo. §7.5. Sistemas de unidades mecánicas.- Aunque para Newton la ecuación F = ma no es una definición de fuerza (que podría ser definida entonces como producto de la masa por la aceleración), sino que ésta es más bien un concepto intuitivo análogo, en último análisis, al esfuerzo muscular, resulta bien evidente que se puede utilizar la ecuación anterior para medir las fuerzas. Si disponemos de una unidad de masa y una unidad de aceleración podemos adoptar como unidad de fuerza aquélla que proporciona a un cuerpo de masa unitaria una aceleración unitaria. En el sistema mks de unidades mecánicas, que es un subconjunto del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad de masa es el kilogramo (kg) y la unidad de aceleración es el m/s2, de modo que la unidad de fuerza en dicho sistema es aquella fuerza que comunica a la masa de 1 kg una aceleración de 1 m/s2. Dicha fuerza se denomina newton (N). Así, en el SI de unidades

3

Para una altitud de 400 km, la intensidad del campo gravitatorio terrestre es 8.7 N/kg (m/s2).

167

§7.5.- Sistemas de unidades mecánicas.

F (N)

m (kg)

[7.6]

a (m/s 2)

La unidad de masa en el sistema cgs de unidades mecánicas es el gramo (g), o sea la milésima parte del kilogramo (1 kg = 1000 g) y la unidad de aceleración es el cm/s2 . En este sistema la unidad de fuerza, denominada dina (dyn), es la fuerza que proporciona a una masa de 1 g una aceleración de 1 cm/s2. Tenemos F (dyn) y es fácil comprobar que

1 N

m (g)

[7.7]

a (cm/s 2)

[7.8]

105 dyn

En el sistema técnico o terrestre se empieza por definir una unidad de fuerza, llamada kilogramo4 (kg), y una unidad de aceleración, el m/s2. Entonces se define la unidad de masa como la masa de un cuerpo que adquiere una aceleración de 1 m/s2 cuando sobre él actúa una fuerza de 1 kg. Tal unidad de masa se denomina unidad técnica de masa (utm). Tenemos F (kg)

[7.9]

m (utm) a (m/s 2)

Pudiera parecer a primera vista que se origina una cierta confusión al designar con el mismo nombre (kilogramo) y el mismo símbolo (kg) la unidad de masa del SI de unidades y la unidad de fuerza del sistema técnico; sin embargo, no es así. El kilogramo (fuerza) es la fuerza con que la Tierra atrae al kilogramo patrón (masa); esto es, el peso del kilogramo patrón. Como la aceleración producida por la atracción gravitatoria es aproximadamente de 9,8 m/s2, cerca de la superficie terrestre, tendremos P

1 kg

9.8 m/s 2

9.8 kg

Figura 7.3

m s2

9.8 N

1 kgf

[7.10]

por lo que 1 kg (fuerza) = 9.8 N. En el sistema técnico, la masa del kilogramo patrón es m

P g

1 kg 9.8 m/s 2

1 kg s 2 9.8 m

1 utm 9.8

1 kgm

[7.11]

de modo que 1 utm = 9.8 kg (masa). Cuando en un problema nos hagan referencia a un cuerpo de, digamos 24 kg, no es necesario que nos especifiquen si se trata de la masa o del peso del cuerpo. Si adoptamos el SI de unidades, 24 kg será la masa del cuerpo y entonces todas las fuerzas que intervengan en el problema deberán expresarse en newtons (N). Por el contrario, si adoptamos el sistema técnico de unidades para resolver el problema, 24 kg será el peso del cuerpo y entonces todas la masas deberán expresarse en utm y las fuerzas en kg.

4

A esta unidad de fuerza también se la llamó kilopondio (kp), aunque esta denominación está hoy prácticamente en desuso y no es aconsejable su utilización.

168

Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

§7.6. Cantidad de movimiento.- Si repasamos el enunciado original de Newton referente a la segunda ley del movimiento puede llamarnos la atención que en él no se haga referencia a la masa ni a la aceleración sino a la variación del movimiento. Lo que Newton llamaba movimiento hoy se denomina cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento de una partícula es una magnitud física definida como el producto de la masa de la partícula por su velocidad. Designándola por p, tenemos

p

mv

[7.12]

La cantidad de movimiento es una magnitud física vectorial, que tiene la misma dirección y sentido que la velocidad y, como ésta, depende del marco de referencia del observador; siempre deberemos especificar dicho marco. Esta nueva magnitud física no debemos entenderla simplemente como el resultado de una operación matemática, sino que representa un concepto físico de mucha importancia porque combina los dos elementos que caracterizan el estado dinámico de una partícula: su masa y su velocidad. Ya en el siglo XIV los escolásticos comprendieron la importancia que tenía tanto la masa como la velocidad en el movimiento de los cuerpos e introdujeron el concepto de ímpetu, precursor de la actual cantidad de movimiento. Escribiendo a = dv/dt para la aceleración y admitiendo que la masa de la partícula sea independiente de su estado de movimiento y que permanece constante en el transcurso del tiempo, tenemos F

m

dv dt

d (mv) dt

[7.13]

de modo que, utilizando la definición de cantidad de movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula viene dada por F

dp dt

[7.14]

La palabra "actúa" puede que no sea la apropiada, pues sugiere la idea de algo aplicado a la partícula. La fuerza es un concepto físico-matemático que, por definición, mide el cambio por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento de una partícula dada y cuyo valor, a su vez, depende de la interacción de la partícula con su medio ambiente; por consiguiente, desde el punto de vista físico, debemos considerar la fuerza como la expresión de una interacción; i.e., como una técnica para relacionar el medio ambiente con el movimiento de la partícula. Si la fuerza resultante sobre la partícula es nula, bien porque la partícula esté libre de acción exterior o bien porque las distintas interacciones se equilibren, i.e., si F=0, entonces p=cte; o sea que la cantidad de movimiento de la partícula libre permanece constante, que es otro modo de expresar la primera ley de Newton o ley de la inercia. En la Mecánica Clásica la masa de una partícula siempre es independiente de su estado de movimiento y las ecuaciones [7.3] y [7.14] pueden considerarse equivalentes. Sin embargo, cuando una partícula se mueve con una velocidad próxima a la de la luz, (c ≈ 3 108 m/s), el cociente entre los módulos de la fuerza y la aceleración depende de la velocidad de la partícula; esto es, la masa

169

§7.6.- Cantidad de movimiento.

es función de la velocidad. Como veremos más adelante en este libro, en el caso de partículas de alta velocidad, la Mecánica Clásica deberá modificarse de acuerdo con la teoría de la Relatividad Especial de Einstein. En la Mecánica Relativista, la ley de Newton no es válida cuando se escribe en la forma F = ma; sin embargo, sigue siendo válida cuando se expresa en la forma F = dp/dt, con tal de que definamos la cantidad de movimiento como m0v

p 1

[7.15]

v 2/c 2

donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz en el vacío. Cuando la velocidad de la partícula es mucho menor que la de la luz, el valor del denominador de la ec. [7.15] es muy próximo a la unidad y las expresiones relativista y clásica de la cantidad de movimiento son aproximadamente iguales. Por otra parte, la ec. [7.15] sugiere una nueva definición de masa (relativista) m0

m 1

2

v /c

[7.16] 2

de modo que la cantidad de movimiento pueda seguir escribiéndose como p = mv. Volveremos a tratar este asunto con más profundidad en temas posteriores dedicados a la Mecánica Relativista.

§7.7. Impulsión.- Consideremos una partícula, de masa m, sobre la que actúa una fuerza resultante F, que puede variar tanto en módulo como en dirección. El efecto de dicha fuerza es producir un cambio en la cantidad de movimiento de la partícula; dicho cambio viene expresado por la segunda ley del movimiento, ec. [7.14], que también podemos escribir en la forma

F dt

[7.17]

dp

que nos expresa el cambio elemental de la cantidad de movimiento durante un intervalo de tiempo infinitesimal. Podemos obtener el cambio de la cantidad de movimiento de la partícula durante un intervalo de tiempo finito, Δt = tB-tA, bajo la acción de la fuerza resultante F, integrando [7.17]; así, tB

pB

⌠ F dt ⌡t

⌠ dp ⌡p

A

[7.18]

A

La integral del primer miembro recibe el nombre de impulsión de la fuerza F durante el intervalo de tiempo tB-tA y es, manifiestamente, una magnitud vectorial que representaremos por Π. Esto es, Π

tB

⌠ F dt ⌡t

[7.19]

Figura 7.4

A

y, naturalmente, esta integral sólo podrá ser evaluada si conocemos como varía la fuerza en función del tiempo; es decir, si conocemos F=F(t). En realidad, esta situación nos la encontramos en muy contados problemas físicos de interés. Lo más

170

Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

frecuente es conocer F en función de la posición de la partícula en su medio ambiente. En otros casos, la información que tenemos acerca de como varía la fuerza en función del tiempo resulta insuficiente para poder integrar el primer miembro de [7.18]. Pensemos en la pelota de golf que es golpeada violentamente con el palo; poco antes de que el palo entre en contacto con la pelota la fuerza que actúa sobre ésta es cero, después aumenta rápidamente hasta un cierto valor máximo para disminuir de nuevo hasta cero cuando la pelota deja de estar en contacto con el palo. El tiempo total de contacto es muy corto, quizás del orden de los milisegundos. La información que tenemos sobre la intensidad (variable) de la fuerza y sobre el tiempo durante el cual actúa es muy escasa. Todo lo más, podemos dar una descripción cualitativa de la fuerza representando su módulo en función del tiempo, como se muestra Figura 7.5 en la Figura 7.5. Las fuerzas, como la de este ejemplo, que son relativamente intensas y que actúan durante un intervalo de tiempo relativamente corto reciben el nombre de fuerzas impulsivas. Aunque el primer miembro de [7.18] sólo puede ser integrado en condiciones bien concretas, la integral del segundo miembro conduce siempre al resultado pB

⌠ ⌡p

dp

pB

pA

Δp

[7.20]

A

Así pues, la ecuación [7.18] puede escribirse en la forma Π

Δp

[7.21]

que expresa el siguiente resultado importante: La impulsión de la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a la variación de la cantidad de movimiento de la partícula. Este es el enunciado del teorema de la cantidad de movimiento que, aunque es de uso general, se aplica fundamentalmente a las fuerzas impulsivas, como las que aparecen en las colisiones y explosiones, es decir, en aquellos casos en los que no conocemos, ni tenemos posibilidades de conocer, la dependencia de la fuerza (aplicada a la partícula) con el tiempo. En cualquier sistema de unidades, la unidad de impulsión será el producto de la unidad de fuerza por la unidad de tiempo. Así en los sistemas SI, cgs y técnico las unidades de impulsión son, respectivamente, el newton segundo (N s), la dina segundo (dyn s) y el kilogramo segundo (kg s), que no reciben nombres especiales. Puesto que la impulsión consiste, esencialmente, en el producto de una fuerza por un tiempo, es obvio que una fuerza muy intensa que actúe durante un corto intervalo de tiempo puede producir el mismo cambio en la cantidad de movimiento de la partícula que el que produzca una fuerza débil que actúe durante un largo intervalo de tiempo. Así pues, podemos interpretar la impulsión de una fuerza como una

171

§7.7.- Impulsión.

medida de su efectividad para modificar la cantidad de movimiento de la partícula sobre la que actúa. Tanto la impulsión como la cantidad de movimiento son magnitudes vectoriales. La expr. [7.21] es una ecuación vectorial que puede desglosarse en tres ecuaciones escalares; en coordenadas cartesianas: Πx

tB

⌠ F dt ⌡t x

Δpx

tB

⌠ F dt ⌡t y

Πy

A

Δpy

A

Πz

tB

⌠ F dt ⌡t z

Δpz

[7.22]

A

Podemos representar gráficamente la impulsión de cualquier componente de una fuerza (o de una fuerza cuya dirección sea contante) sin más que llevar los tiempo en abscisas y la magnitud de la fuerza en ordenadas (Figura 7.6). El área limitada por la curva, entre las ordenadas correspondientes a tA y tB, representa la impulsión de la Figura 7.6 fuerza durante ese intervalo de tiempo. Así, el valor medio de la magnitud de la fuerza F, de dirección constante, durante el intervalo de tiempo Δt = tB-tA, se define como F

tB

1 tB

tA

⌠ F dt ⌡t

[7.23]

A

§7.8. Invariancia de las leyes de la Mecánica.- La segunda ley de Newton representa un enorme progreso en la comprensión del movimiento; sin embargo no es la única ley posible y, para establecerla, Newton fue influido sin duda por los estudios que se realizaron en su época sobre las colisiones entre sólidos, por Huygens principalmente. Al decir que no es la única posible, queremos expresar la posibilidad de establecer una relación entre la fuerza y el cambio en la cantidad de movimiento por unidad de distancia recorrida sobre la trayectoria (esto es, F=dp/ds), en lugar de la que hemos adoptado (F=dp/dt); pero esa definición no sería útil y daría lugar a muchas dificultades. Son, sobre todo, consideraciones de invariancia las que fijan la forma de la segunda ley de Newton. Una ley, o un sistema, es invariante cuando no cambia al someterla a una cierta operación. La invariancia está íntimamente ligada con la simetría y pudiéramos haber titulado este artículo como "simetría de las leyes de la Mecánica". Así, por ejemplo, un cilindro presenta simetría de rotación porque al girarlo alrededor de su eje no cambia su aspecto; permanece invariante ante la rotación. La invariancia de las leyes de la Mecánica con respecto a la transformación de Galileo no es, obviamente, el único tipo de invariancia que debe exigirse de ellas. Investigaremos en primer lugar la invariancia de la segunda ley de Newton ante la

172

Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

traslación y la rotación del sistema de referencia5. Consideremos dos referenciales S y S′ que tienen sus ejes coordenados correspondientes paralelos entre sí, como se muestra en la Figura 7.7. Los vectores de posición de una partícula P con respecto a esos dos referenciales están relacionados en la forma r

r

OO

[7.24]

Si sobre la partícula P actúa una fuerza F, las componentes de esa fuerza a lo largo de los ejes coordenados de cada uno de los referenciales verifican obviamente las

Figura 7.7

relaciones

F

F

⎧ F ⎪ x ⇔ ⎨ Fy ⎪ F ⎩ z

Fx′ Fy′ Fz

[7.25]

Por otra parte, la masa es un escalar invariante por traslación; además, derivando [7.24] dos veces con respecto al tiempo se obtiene r¨

r¨

→ a

a

:

x¨

x¨

y¨

y¨

z¨

z¨

[7.26]

Por lo tanto se verifica ⎧ ⎪ Fx ⎨ ⎪ F ⎩ x

m x¨

Fy

m y¨

Fz

m z¨

m x¨

Fy

m y¨

Fz

m z¨

[7.27]

Entonces, si en el referencial S escribimos F = ma, en el S′ será F′ = ma′ y la segunda ley de Newton es invariante por traslación. Si esta ley pudiera dar cuenta de todos los fenómenos conocidos diríamos que en el Universo no hay un origen de coordenadas privilegiado. Aunque las leyes de Newton no dan cuenta de todos los fenómenos conocidos, no existe hasta ahora ninguna evidencia en contra de la invariancia por traslación de las leyes de la Física. En consecuencia, podemos afirmar que el espacio físico es homogéneo. Preocupémosnos ahora de la rotación. Consideraremos de nuevo dos referenciales S y S′ con una mismo origen pero girados uno con respecto al otro. Para mayor sencillez en el razonamiento supondremos que el giro tenga lugar alrededor del eje z, que será común para ambos referenciales, como se muestras en la Figura 7.8. Entre las componentes (Fx,Fy,Fz) de la fuerza en el referencial S y (Fx′,Fy′,Fz′) en el S′ existen las relaciones

5

En general, no es necesario preocuparse de la invariancia de las leyes físicas por traslaciones y rotaciones del sistema de referencia, porque se exige siempre que ambos miembros de una ecuación física tengan el mismo carácter (escalar o vectorial). Esta exigencia garantiza la invariancia de las leyes físicas por esas operaciones (un vector o un escalar son independientes de la orientación de los ejes) ya que los dos miembros de una ecuación se transforman de la misma manera.

§7.8.- Invariancia de las leyes de la Mecánica.

⎧ Fx ⎪ ⎨ Fy ⎪ F ⎩ z

Fx cos θ Fx sen θ Fz

Fy sen θ Fy cos θ

173

[7.28]

que son las mismas que existen entre las componentes de los vectores de posición r y r′ ⎧ ⎪ x ⎨ y ⎪ ⎩ z

x cos θ x sen θ z

y sen θ y cos θ

[7.29]

En el referencial S se verifica Fx

m x¨

Fy

m y¨

Fz

m z¨

[7.30]

y derivando [7.29] dos veces con respecto al tiempo (téngase en cuenta que θ=cte.) y sustituyendo el resultado, así como [7.28], en [7.30] se obtiene ⎧ ⎪ Fx cos θ Fy sen θ ⎪ ⎨ Fx sen θ Fy cos θ ⎪ ⎪ F m z¨ ⎩ z

m x¨ cos θ

m y¨ sen θ

m x¨ sen θ

m y¨ cos θ

[7.31]

de modo que en el referencial S′ se verifica Fx

m x¨

Fy

m y¨

Fz

m z¨

[7.32]

Así pues, la segunda ley de Newton es invariante por rotación del sistema de referencia. Como en el caso anterior, si esta ley pudiera dar cuenta de todos los fenómenos conocidos diríamos que en el Universo no hay ninguna dirección privilegiada, por lo que podemos afirmar que el espacio físico es isótropo.

Hemos establecido la invariancia de las leyes de la Mecánica por traslación y giro del sistema de referencia. Es un hecho probado que no sólo Figura 7.8 las leyes de la Mecánica, sino todas las leyes de la Física son simétricas (invariantes) respecto a esas operaciones; esto equivale a decir que el espacio físico es homogéneo e isótropo. Investiguemos ahora la invariancia de la segunda ley de Newton por la transformación de Galileo. Consideremos dos referenciales S y S′ que se mueven, uno con respecto a otro, con movimiento relativo de traslación uniforme (sin rotación). Como ya vimos en la lección anterior, las aceleraciones de una partícula en cada uno de estos referenciales son iguales, esto es a

a

[7.33]

de modo que la aceleración permanece invariante cuando se pasa de un referencial

174

Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

a otro que se encuentra en movimiento de traslación uniforme respecto del primero. Pero, ¿cómo se transformará la fuerza? La hipótesis de que las leyes de la Física son las mismas en ambos referenciales (invariancia galileana) significa que si F = ma (en el referencial S) será F′ = ma′ (en el referencial S′) con tal que de que la masa m sea independiente de la velocidad. En efecto, hemos demostrado que a = a′ y, por consiguiente, será F

[7.34]

F

de modo que las fuerzas son iguales en ambos referenciales. Llegamos a la conclusión de que si utilizamos la relación F = ma, todos los observadores inerciales coincidirán en el módulo y dirección de F independientemente de las velocidades relativas de sus referenciales. La segunda ley de Newton es, pues, invariante por la transformación de Galileo. Pero a diferencia de lo que sucedía con la traslación y el giro del sistema de referencia la transformación de Galileo no deja invariantes todas las leyes de la Física. Ya indicábamos en la Lección anterior que la transformación correcta, que deja invariantes las leyes de Maxwell del Electromagnetismo así como todas las demás leyes de la Física, es la de Lorentz, que se encuentra en la base de la Teoría de la Relatividad. Los requisitos de invarianza imponen restricciones a las posibles formas de las leyes físicas. Así, aunque desde la perspectiva de la invariancia por traslación y giro del sistema de referencia la ecuación fundamental de la dinámica podría ser del tipo F

m

dr dt

[7.35]

mv

resulta evidente que esta ecuación es inaceptable por no ser invariante por la transformación galileana, ya que se obtendría F

m (v′

[7.36]

v0 )

que es diferente de la ecuación original. Además, tampoco es invariante por la inversión temporal esto es por la transformación particular de Galileo x

x

y

y

z

z

t

t

[7.37]

ya que aunque F sigue siendo la misma, v′ = dr′/dt′ pasa a ser v

dr dt

dr d( t)

dr dt

v

[7.38]

de modo que en el referencial con primas es F

mv

[7.39]

que es diferente de la ecuación original. En cambio, la ecuación fundamental de la dinámica F

m

d2r dt 2

[7.40]

es invariante por la inversión temporal, pues el tiempo aparece al cuadrado y entonces no habrá alteración al sustituir t por -t′. Esta invariancia garantiza la reversibilidad de los fenómenos de la Mecánica. Si abandonamos un cuerpo desde una altura h y filmamos su caída, cuando pasamos la película marcha atrás veríamos subir el cuerpo por si solo hasta la misma altura h. Desde el punto

§7.8.- Invariancia de las leyes de la Mecánica.

175

de vista de la Mecánica estos dos fenómenos (caída del cuerpo y su lanzamiento hacía arriba) son enteramente equivalentes.

§7.9. Tercera ley de Newton.- Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo provienen de otros cuerpos que constituyen su medio ambiente. Por cada fuerza que actúa sobre un determinado cuerpo A debe existir un agente externo B responsable de dicha fuerza. La tercera ley de Newton establece que el cuerpo A ejerce, a su vez, una fuerza igual y opuesta sobre el cuerpo B. Esto es,

F AB

F BA

[7.41]

Una fuerza sola es únicamente un aspecto parcial de la interacción mutua entre dos cuerpos. Las fuerzas se presentan siempre por parejas, de modo que es totalmente imposible tener una fuerza aislada. Por ejemplo, la Tierra ejerce una fuerza de atracción gravitatoria sobre una pelota de masa m; dicha fuerza es el peso P de la pelota en el campo gravitatorio de la Tierra. La pelota adquiere una aceleración dirigida verticalmente hacia abajo igual a g = Figura 7.9 P/m (g=9.8 m/s2). De acuerdo con la tercera ley de Newton, la pelota ejerce una fuerza P′ sobre la Tierra, que representa el peso de la Tierra en el campo gravitatorio de la pelota. Ambas fuerzas, P y P′, son iguales en módulo y dirección pero de sentido opuesto. La Tierra, en respuesta a esa fuerza, debe acelerarse. Debido a la gran masa M de la Tierra esta contribución a su aceleración total resulta ser despreciable e inobservable. En efecto m/M = aT/g nos conduce a aT=(m/M)g≈0. Si a una de las dos fuerzas que intervienen en la interacción entre dos cuerpos se le llama acción, a la otra la llamaremos reacción. No importa qué fuerza en dicha pareja se llame acción y cuál reacción. En este proceso no se implica una relación de causa y efecto; lo único que se implica es una interacción mutua entre los dos cuerpos. Lo importante es que las fuerzas siempre se presentan en parejas acciónreacción y que la una es siempre opuesta a la otra. Nótese que las fuerzas de acción y reacción nunca pueden equilibrarse entre sí debido a que obran sobre cuerpos diferentes. Este último aspecto es de capital importancia pues si ambas fuerzas actuasen sobre el mismo cuerpo nunca se podría tener movimiento acelerado porque sería nula la fuerza resultante sobre el cuerpo. Aclararemos el significado de cuanto acabamos de decir con un ejemplo. Supongamos que tenemos un bloque sobre una superficie horizontal y que tiramos de el mediante una cuerda, como se indica en la Figura 7.10. No hemos representado en dicha figura ni el peso del bloque, ni la reacción normal de la mesa (que sostiene al bloque) ni el peso de la cuerda. El bloque puede estar o no en equilibrio; esto es, puede estar en reposo o moviéndose con velocidad constante o estar acelerado. Con la notación usada en la figura, las parejas acción-reacción son las (F1,F1′) y

176

Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

(F2,F2′). En cambio las parejas de fuerzas (F1,F2′) y (F1′,F2) no constituyen parejas de acción-reacción. Para comprenderlo, obsérvese que la fuerza F1 representa la fuerza ejercida por la mano sobre la cuerda; su reacción será la fuerza F1′ que ejerce la cuerda sobre la mano. La fuerza F2 representa la fuerza que ejerce la cuerda sobre el bloque; su reacción es la fuerza F2′ que ejerce el bloque sobre la cuerda. En ambos casos se cumple que F1

F′1

F2

F′2

[7.42]

Para comprender por qué las fuerzas F1 y F2′ no constituyen una pareja de acciónreacción observemos que ambas fuerzas actúan sobre el mismo cuerpo (la cuerda), mientras que una acción y su reacción deben ejercer necesariamente sobre cuerpos difeFigura 7.10 rentes. Lo característico de la pareja de acción-reacción es su reciprocidad. Por otra parte, las fuerzas F1 y F2′ no son necesariamente de igual magnitud. Si el bloque y la cuerda se mueven hacia la derecha con velocidad creciente, la cuerda no estará en equilibrio y necesariamente será F1 mayor que F2′. En efecto, siendo m la masa de la cuerda y a la aceleración del sistema tenemos F1

F′2

ma

[7.43]

de modo que solo en el caso de que la cuerda no esté acelerada, por encontrarse en reposo o moviéndose con velocidad constante, son iguales las magnitudes de las fuerzas F1 y F2′. Sin embargo, en cualquier caso, siempre serán iguales las magnitudes de las fuerzas F1 y F1′ y también las de F2 y F2′, aún cuando no lo sean las de F1 y F2′. En el caso de que la cuerda esté en equilibrio, esto es, no presente aceleración, al ser a=0 se deduce de [7.43] que será F1 = -F2′. Como por otra parte F2 es siempre igual a -F2′, resulta que, en esta situación especial, será F1 = F2 y cabe considerar que la cuerda transmite al bloque la totalidad de la fuerza ejercida sobre ella por la mano en su otro extremo. Este punto de vista tiene una gran utilidad práctica, pero conviene recordar que sólo es aplicable en las condiciones restringidas anteriores. En principio, el mismo resultado anterior es válido si m =0. En la práctica nunca encontraremos una cuerda sin masa, pero muy a menudo podremos considerar despreciable la masa de la cuerda o cuerdas que intervengan en un mecanismo frente a las masas de los demás cuerpos; en estas condiciones podemos suponer que estas cuerdas ideales transmiten íntegramente las fuerzas. Un cuerpo (como una cuerda, una varilla, ...) sometido a tracciones en sus extremos decimos que está en tensión. La tensión en cualquier punto es igual a la fuerza en dicho punto. Podemos medir la tensión en cualquier punto de la cuerda cortándola en dicho punto e intercalando un dinamómetro; la tensión será la lectura del dinamómetro. La tensión será la misma en todos los puntos de una cuerda

177

§7.9.- Tercera ley de Newton.

horizontal si ésta se encuentra en equilibrio o si su masa es despreciable. §7.10. Conservación de la cantidad de movimiento.- A partir de la tercera ley de Newton podemos llegar a una conclusión sencilla pero importante para el caso de dos partículas aisladas del resto del Universo, de modo que estén sometidas solamente a su interacción mutua. Como resultado de la interacción, la velocidad de cada una de las partículas, y por lo tanto su cantidad de movimiento, no permanece constante sino que cambia con el tiempo y la trayectoria será curvilínea en general, como se muestra en la Figura 7.11. En un cierto instante t, la partícula 1 se encuentra en A y tiene una velocidad v1 y la partícula 2 se encuentra en B y tiene una velocidad v2. En un instante posterior t′ las partículas se encuentran en A′ y B′ y tienen velocidades v1′ y v2′, respectivamente. Evidentemente, como resultado de la interacción, la cantidad de movimiento Figura 7.11 individual de cada una de las partículas no se conserva en el transcurso del tiempo. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la variación por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a la fuerza que actúa sobre ella. Así, en nuestro caso de dos partículas sometidas solamente a su interacción mutua actuará una fuerza única sobre cada una de ellas y las dos fuerzas, de acuerdo con la tercera ley de Newton, tendrán el mismo módulo y dirección pero sentidos opuestos. Esto es

F1

dp1

F2

dt

dp2

[7.44]

dt

con F1 = - F2, de modo que F1

F2

dp1

dp2

dt

dt

d (p dt 1

p2)

0

[7.45]

lo que significa que la variación de la cantidad de movimiento total, p1+p2, es nula, esto equivale a decir que la cantidad de movimiento total permanece constante p1

p2

cte.

[7.46]

Este resultado lo podemos enunciar del modo siguiente: La cantidad de movimiento total de un sistema compuesto por dos partículas sujetas solamente a su interacción mutua permanece constante en el transcurso del tiempo.

178

Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

enunciado que constituye el principio de la conservación de la cantidad de movimiento, uno de las principios fundamentales y universales de la Física y que podemos considerar como un enunciado equivalente de la tercera ley de Newton. Aunque en el enunciado anterior se hace referencia a sólo dos partículas el principio de conservación de la cantidad de movimiento es mucho más general y se cumple para cualquiera que sea el número de partículas que constituyan un sistema aislado; es decir, partículas sometidas solamente a sus interacciones mutuas y no a interacciones con otras partes del Universo. Por ello, el principio de la conservación de la cantidad de movimiento en su forma más general se enuncia del modo siguiente: La cantidad de movimiento total de un sistema de partículas aislado se mantiene constante.

En el caso concreto de dos partículas podemos reescribir la expr. [7.46] como Δp1

Δp2

0

[7.47]

donde Δpi = pi′-pi representa el cambio que experimenta la cantidad de movimiento de la partícula i-ésima durante el intervalo de tiempo Δt = t′-t; así, podemos escribir Δp1

Δp2

[7.48]

de modo que, en el caso de dos partículas interactuantes, la variación en la cantidad de movimiento de una de las partículas en un cierto intervalo de tiempo es igual y opuesta a la variación en la cantidad de movimiento de la otra durante el mismo intervalo de tiempo, de modo que la variación en la cantidad de movimiento total será nula, como ya habíamos indicado anteriormente. El resultado anterior podemos expresarlo igualmente diciendo que una interacción produce un intercambio de cantidad de movimiento, de manera que la cantidad de movimiento perdida por una de las partículas interactuantes es ganada por la otra. Es ésta una interpretación interesante de la interacción entre dos partículas, en la que vemos como la idea de fuerza queda en cierto modo difuminada. Podemos encontrar a nuestro alrededor numerosos ejemplos del principio de conservación de la cantidad de movimiento. Al disparar un fusil se desarrolla en el sistema constituido por el fusil y la bala fuerzas interiores que determinan la salida de la bala con una cierta cantidad de movimiento. El principio de conservación exige que el fusil retroceda con una cantidad de movimiento igual y opuesta a la de la bala. Debido a la masa relativamente grande del fusil frente a la de la bala, la velocidad de retroceso de aquél es pequeña frente a la de ésta. Cuando un núcleo radioactivo se desintegra, emitiendo por ejemplo una Figura 7.12 partícula α, la cantidad de movimiento total de la partícula α y del núcleo residual debe ser cero, ya que el sistema se encontraba inicialmente en reposo en el referencial inercial del laboratorio (Figura 7.12). Así pues, si consideramos la emisión de una partícula α por un núcleo de 212Po, la cantidad de movimiento del núcleo residual (208Pb), será igual y opuesta a la de la partícula α emitida.

No se conocen excepciones al principio de la conservación de la cantidad de movimiento. Es más, cuando ha parecido haber violación de este principio en un

§7.10.- Conservación de la cantidad de movimiento.

179

experimento, el físico siempre ha encontrado alguna partícula hasta entonces desconocida que daba cuenta de esta aparente violación del principio. De este modo los físicos han identificado el neutrón, el neutrino, el fotón y muchas otras partículas elementales. §7.11. Acción a distancia.- Parece ser que Newton llegó a su enunciado de la ley de acción-reacción a partir de los estudios realizados en su época sobre la cinemática de los choques. Durante el corto intervalo de tiempo en que se encuentran en contacto los cuerpos que chocan se ejercen entre ellos fuerzas muy grandes de modo que aún cuando existieran otras fuerzas (como el peso o el rozamiento), por ser éstas mucho menores que aquéllas, no producirán efectos apreciables y pueden ser despreciadas. A partir de las medidas cuidadosas, realizadas principalmente por HUYGENS (1629-95), de las cantidades de movimiento de los cuerpos colisionantes, Newton sabía que, independientemente de la clase de choque que tuviera lugar, la cantidad de movimiento total después del choque es la misma que había antes. La ec. [7.46] describe este resultado y sólo necesitamos derivarla con respecto al tiempo y sustituir dp1/dt por F1 y dp2/dt por F2 para establecer la ley de la acción-reacción. Sin embargo, la extrapolación de esta ley de acción-reacción para cuerpos en contacto a cuerpos muy separados presenFigura 7.13 Isaac NEWTON (1642-1727) ta dificultades conceptuales que Newton apenas había sospechado. Hemos visto que el enunciado de que la acción es igual a la reacción es equivalente a afirmar que la velocidad con la que un cuerpo adquiere cantidad de movimiento es igual a la velocidad con la que el otro la pierde. Esto es fácil de imaginar cuando los dos cuerpos están en contacto pero no cuando están muy separados, ya que esto implicaría aceptar que la cantidad de movimiento se transmite instantáneamente a través del espacio que los separa. Este concepto, llamado acción a distancia, resulta difícil de aceptar. Por ejemplo, aplicado al sistema Sol-Tierra, el concepto de acción a distancia implica que la cantidad de movimiento perdida por uno de estos dos cuerpos viaja instantáneamente a través de los casi 150 millones de kilómetros que los separan para ser adquirida por el otro. Newton justificaba su ampliación de la ley de acción-reacción para cuerpos separados aceptando la hipótesis de la acción a distancia, debido a que ésta le permitía calcular correctamente las órbitas de los planetas a partir de la ley de la Gravitación. Sin embargo Newton se daba cuenta de que la acción a distancia constituía un fallo de su teoría y en 1692 hizo un comentario famoso sobre este concepto: "Es inconcebible que la materia inanimada y bruta pueda operar e influir, sin la mediación de alguna otra cosa que no sea material, sobre la materia sin un contacto mutuo, como debe suceder si la gravitación, en el sentido de Epicuro, fuese esencial e inherente a ella. Y ésta es una razón por la cual yo desearía no tener que adscribirme a la gravedad innata. El que la gravedad deba ser innata, inherente y esencial a la materia, de modo que un cuerpo pueda actuar sobre otro a distancia a través del vacío, sin la mediación de ninguna otra cosa, de modo que

180

Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ... mediante él y a través de él su acción y fuerza pueda transportarse de un cuerpo a otro, es para mí un absurdo tan grande que no creo que haya ninguna persona competente en temas filosóficos que pueda nunca coincidir en ello." Isaac Newton: Tercera carta a Bentley (25 Febrero 1692)

El hecho de que dos partículas interactúen cuando las separa una cierta distancia significa que debemos considerar un mecanismo para la transmisión de la interacción. Hoy, resolvemos el problema de la acción a distancia introduciendo el concepto de campo. Consideramos que una partícula modifica en cierto modo las propiedades del espacio que la rodea, es decir, crea en dicho espacio una alteración que llamamos campo, y este campo produce una fuerza, expresión de la interacción, sobre una segunda Figura 7.14 partícula colocada en dicho espacio. Así pues, el campo actúa como agente intermedio en la propagación de la interacción. Análogamente, la segunda partícula crea a su vez un campo que produce una fuerza sobre la primera. Si repentinamente una de las partículas se mueve a una nueva posición, se modifica el campo creado por ella, pero este cambio no se propaga instantáneamente a todo el espacio sino que lo hace como máximo con la velocidad de 3×108 m/s, que es también la velocidad de la luz (Figura 7.14). Si podemos despreciar el tiempo empleado en la propagación del campo, podemos ignorar este agente intermedio y considerar que la interacción tiene lugar directamente entre las dos partículas. Por ejemplo, durante los 8 minutos que se emplea en la propagación del campo gravitatorio entre la Tierra y el Sol, la Tierra se mueve sólo una pequeña fracción de su órbita (5.5 milésimas de grado) de modo que con una buena aproximación podemos considerar las fuerzas entre el Sol y la Tierra como ejercida directamente entre ellos (acción a distancia). En la forma en que está escrita la ec. [7.46] se presupone que la interacción entre las dos partículas es instantánea. Sin embargo, puesto que las interacciones físicas se propagan con una velocidad finita, se emplearía un cierto tiempo para que se produzca el intercambio de cantidad de movimiento entre las dos partículas de modo que el principio de la conservación de la cantidad de movimiento será solo aproximado, ya que existirán fases durante la interacción en las que no se conservará la cantidad de movimiento. Sin embargo, la conservación de la cantidad de movimiento puede volverse a enunciar como una ley exacta introduciendo la idea de que el propio campo puede poseer cantidad de movimiento, de modo que durante el tránsito la cantidad de movimiento perdida por uno de los cuerpos es transportada por el campo. Puede demostrarse que en la interacción electromagnética entre dos cargas móviles el campo electromagnético transporta cantidad de movimiento; sin embargo no es fácil probarlo en el caso de la interacción gravitatoria. §7.12. Limitaciones de la ley de la acción-reacción.- De acuerdo con nuestro análisis de la acción a distancia, la tercera ley de Newton es sólo una ley aproximada para la interacción a distancia entre dos cuerpos separados. Puesto que la interacción se "propaga" con una velocidad finita, en cualquier instante durante la interacción no será F12 exactamente igual a -F21. En consecuencia,

§7.12.- Limitaciones de la ley de la acción-reacción.

181

La tercera ley de Newton sólo es válida si podemos despreciar el tiempo de transmisión de la cantidad de movimiento entre los cuerpos interactuantes. En los choques atómicos, no es siempre una buena aproximación. En los choques macroscópicos (bolas de billar, automóviles, ...) es una aproximación excelente, pues la duración de la colisión es grande en comparación con el tiempo que emplea la señal o interacción en "recorrer" la longitud de los cuerpos que colisionan. Existe otra limitación inherente a la validez de la ley de la acción-reacción, ya que esta ley sólo es aplicable en el caso de que la fuerza ejercida por una partícula sobre otra esté dirigida según la recta que las une. Tales fuerzas son llamadas fuerzas centrales; la tercera ley de Newton es sólo aplicable a fuerzas centrales atractivas o repulsivas. En el caso de las interacciones gravitatorias y electrostáticas este requisito se cumple y la tercera ley de Newton puede utilizarse en los problemas en los que aparecen estos tipos de fuerzas. En otros casos, como en el de una fuerza elástica (que a fin de cuentas es la manifestación macroscópica de fuerzas electrostáticas microscópicas), la fuerza tiene también carácter central. Así, dos cuerpos (puntuales) conectados por un muelle recto obedecen a la tercera ley de Newton. Cualquier fuerza que dependa de la velocidad de las partículas interaccionantes tiene carácter no-central y la tercera ley de Newton no es aplicable en esa situación. Así, las fuerzas de interacción entre dos partículas en movimiento (fuerzas electromagnéticas) dependen de las velocidades de las partículas, no tienen carácter central y no obedecen a la ley de la acción-reacción. Las fuerzas dependientes de la velocidad de las partículas son características en las interacciones que se propagan con una velocidad finita. La interacción electromagnética es de ese tipo. Incluso la fuerza gravitatoria entre partículas en movimiento depende de las velocidades de las partículas, pero el efecto es pequeño y difícil de detectar; el único efecto observado corresponde a la precesión del perihelio del planeta Mercurio. Hemos visto como la extensión de la ley de la acción-reacción a cuerpos separados ha engendrado ciertas dificultades conceptuales, de modo que no debemos aceptar esta ley como una ley general de la Naturaleza, en el mismo sentido en que puedan serlo las dos primeras leyes del movimiento de Newton. Sin embargo, las dificultades son realmente de tipo conceptual y no práctico, así que la ley de la acción-reacción es generalmente una aproximación excelente para describir muchas situaciones físicas.

182

Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

Problemas 7.1.- Una partícula de 2 g de masa se mueve a lo largo de una recta bajo la acción de una fuerza constante, en la misma dirección que la recta, definida por F = 12 - 24t dyn. Si en el instante t=0 la partícula se encuentra en reposo en el origen, determinar la posición y la velocidad de la partícula en función del tiempo. 7.2.- Sobre una masa de 2 kg actúa una fuerza definida por F = 2ti + 6t2j + 10k (N). En el instante t=0, el vector de posición de la partícula es r0 = 4i + j (m) y su velocidad es v0 = 6i + 2k (m/s). Encontrar la posición y la velocidad del cuerpo en el instante t=2 s. 7.3.- Una partícula de masa m se mueve en el plano xy de modo que su vector de posición es r = a cos ωt i + b sen ωt j, donde a, b y ω son constantes y a>b. a) Demostrar que la trayectoria es una elipse. b) Demostrar que la fuerza que actúa sobre la partícula está siempre dirigida hacia el origen y que su módulo es proporcional a la distancia de la partícula al origen. 7.4.- Demostrar que si la fuerza que obra sobre una partícula es constante, entonces su trayectoria será rectilínea o parabólica. 7.5.- Determinar las componentes tangencial y normal de la fuerza que actúa sobre un proyectil, lanzado horizontalmente desde lo alto de un edificio, en función del su desplazamiento horizontal. 7.6.- Dos bloques de masas m1 = 4 kg y m2 = 2 kg se encuentran en reposo sobre una superficie horizontal lisa y están en contacto mutuo, el uno junto al otro. a) Calcular el valor de la fuerza entre los dos bloques cuando empujamos horizontalmente el m1 con una fuerza de 3 kg. b) Ídem cuando la misma fuerza se aplica al cuerpo m2 en lugar de al m1. c) Explicar por qué son diferentes los dos resultados. 7.7.- Un avión de transporte va a despegar de una pista horizontal arrastrando dos planeadores, uno detrás del otro. Cada uno de los planeadores pesa 500 kg y la fuerza de rozamiento o resistencia sobre cada uno de ellos puede considerarse constante e igual a 200 kg. Si la tensión en los cables de remolque no debe

exceder 2000 kg y si se requiere una velocidad de 150 km/h para el despegue; a) ¿qué longitud mínima de recorrido sobre la pista es necesaria para el despegue?; b) ¿cuál será la tensión en el cable entre los dos planeadores mientras son acelerados para el despegue? 7.8.- Péndulo simple. Una masa puntual está suspendida mediante un hilo inextensible y ligero, de longitud l, de un punto fijo O, de modo que puede oscilar en un plano vertical. Aplicar las ecuaciones del movimiento para determinar el periodo de las pequeñas oscilaciones del péndulo simple. 7.9.- Una partícula se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza definida por F = -(k/x2)i. Si la partícula se encuentra inicialmente en reposo en el punto abscisa x0, obtener: a) la expresión de su velocidad en función de su posición y b) el tiempo que transcurrirá hasta que la partícula pase por el origen de coordenadas. 7.10.- Una cadena flexible y homogénea, de longitud L, se encuentra inicialmente en reposo sobre una mesa lisa, colgando una longitud b de la cadena por fuera del borde de la mesa. Calcular el tiempo que empleará la cadena en abandonar la mesa y su velocidad en ese instante. 7.11.- El cable de una grúa puede soportar una tensión máxima de 10 Tm. ¿Cuál sería el tiempo mínimo necesario para elevar un bulto de 6 Tm desde el suelo hasta una altura de 2 m? 7.12.- Un paquete cuelga de una balanza de resorte sujeta al techo de un ascensor. a) Si el ascensor tiene una aceleración hacia arriba de 1.2 m/s2 y la balanza marca 25 kg, ¿cuál es el verdadero peso del paquete?; b) ¿En qué circunstancias indicará la balanza 15 kg?; c) ¿Qué indicará la balanza si se rompe el cable del ascensor? 7.13.- Demostrar que el piloto de un avión puede establecer, durante un cierto periodo de tiempo, las condiciones de ingravidez en el interior del avión, de modo que él mismo y los objetos en el interior del avión presenten una aparente carencia de peso, volando en una trayectoria balística con una velocidad exacta-

Problemas

183

mente igual a la de un proyectil que se mueva sometido solamente a la acción de su peso. ¿Cómo puede conseguir dicha trayectoria?

partícula en ese instante? c) ¿A qué distancia del pie de la hemiesfera caerá la partícula sobre el plano horizontal?

7.14.- En un experimento típico destinado a conseguir las condiciones de "gravedad cero" (vide Problema 7.13), el piloto de un avión de reacción comienza una trayectoria balística a una altura de 6 000 m sobre el suelo, con una velocidad de 800 km/h y un ángulo de 70° sobre la horizontal. Cuando regresa a los 6 000 m de altura, abandona la trayectoria balística y recupera el control del aparato. a) ¿Durante cuánto tiempo se ha mantenido la condición de ingravidez en el interior del aparato? b) ¿Cuáles fueron la velocidad y la altura en el punto más alto de la trayectoria?

7.20.- Un automóvil cuyo peso es 1 200 kg circula por una carretera recta con una velocidad constante de 72 km/h. El automóvil toma una curva de 60° y 300 m de radio, manteniéndose constante su celeridad. Calcular: a) El cambio en su cantidad de movimiento a la salida de la curva; b) la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre el automóvil. ¿Quién ejerce esa fuerza?

7.15.- Calcular cuál debería ser el periodo de rotación de la Tierra para que el peso aparente de un cuerpo fuese nulo en el Ecuador. 7.16.- Una masa m colocada sobre una superficie lisa horizontal está unida a una masa M mediante una cuerda ligera que pasa por un agujero practicado en la superficie. La masa m se mueve describiendo una trayectoria circular de radio r con una celeridad v. Determinar el valor de la masa M para que ese movimiento se mantenga. 7.17.- Una bola de 2 kg de masa está sujeta al extremo de una cuerda y se mueve en una circunferencia de 1 m de radio. a) ¿Cuál ha de ser la velocidad mínima de la bola en el punto más alto de la trayectoria que permita completar la trayectoria circular? b) Si la velocidad en el punto más alto de la trayectoria fuese el doble de la calculada anteriormente, ¿cuál sería la tensión de la cuerda en dicho punto? c) Ídem cuando la partícula pasa por la posición más baja. 7.18.- Un cazabombardero que está volando en picado a la velocidad de 720 km/h sale del picado cambiando su trayectoria para describir una circunferencia vertical. a) ¿Cuál ha de ser el radio mínimo de ésta si la aceleración en el punto más bajo no debe exceder el valor de 6 g. b) En esas condiciones, ¿cuál será el peso aparente del piloto si su peso real es de 80 kg? 7.19.- Una partícula de masa m permanece en reposo en la cima de una hemiesfera de radio R que está apoyada por su base sobre una superficie horizontal. Cuando desplazamos ligeramente la partícula de su posición de equilibrio, ésta comienza a deslizar sobre la superficie de la hemiesfera. a) ¿En qué posición abandona la partícula la superficie de la hemiesfera? b) ¿Cuál es la velocidad de la

7.21.- Una pelota de baseball pesa 150 g y tiene una velocidad de 20 m/s un instante antes de ser golpeada con el bate. Después de ser bateada, su velocidad pasa a ser de 35 m/s en sentido contrario. a) Calcúlese el incremento de su cantidad de movimiento y la impulsión del golpe. b) Si la pelota está 2 ms en contacto con el bate, ¿qué valor tiene la fuerza media durante el golpe? 7.22.- Una bala de 2 g de masa sale de la boca de un fusil con una velocidad de 300 m/s. La fuerza que actúa sobre la bala mientras recorre el cañón del fusil está dada por la expresión F = 400 - 400 000 t/3, estando F expresada en newtons y t en segundos. a) Representar gráficamente F(t). b) Calcular el tiempo que emplea la bala en recorrer la longitud del cañón del fusil c) ¿Cuál es la longitud del cañón? 7.23.- Un automóvil pesa 1 000 kg y se mueve con una velocidad de 36 km/h cuando choca frontalmente contra un muro muy resistente. ¿Cuál es el cambio en la cantidad de movimiento del automóvil y la fuerza promedio que actúa sobre el mismo si en 0.2 s: a) queda en reposo; b) si rebota con una velocidad de 9 km/h. c) En ambos casos, discutir la conservación de la cantidad de movimiento durante el choque. 7.24.- Una corriente de agua va a dar contra un álabe perfectamente liso de una turbina, de modo que la Prob. 7.24 corriente se desvía, como se muestra en la figura, pero no se frena. El caudal de la corriente es y la sección constante del chorro es A. Encontrar una expresión que nos permita calcular la fuerza que ejerce

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Lec. 7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación ...

la corriente sobre el álabe. 7.25.- Una ametralladora dispara a un ritmo de 4 proyectiles por segundo. Cada proyectil tiene una masa de 10 g y lleva una velocidad de 400 m/s en el instante en que incide sobre un blanco fijo en el que se detiene. a) ¿Cuál es la fuerza media ejercida sobre el blanco durante un intervalo de tiempo grande en comparación con el que separa la llegada de los proyectiles? b) ¿Cuál es la fuerza media de retroceso que actúa sobre la ametralladora? 7.26.- Sobre el platillo de una balanza de resorte se coloca una caja y se ajusta la balanza de modo que marque cero con la caja vacía. Dejamos caer un chorro de perdigones sobre el fondo de la caja, a razón de 20 perdigones por segundo. Cada perdigón pesa 200 mg y la altura desde la que se dejan caer es 5 m. ¿Cuál será la lectura de la balanza al cabo de 10 s de que los perdigones comenzasen a llenar la caja? 7.27.- Una balanza de resorte está ajustada para leer el cero. Dejamos caer desde una altura de 5 m sobre el platillo de la balanza un chorro de perdigones, a razón de 20 perdigones por segundo, que chocan contra el platillo, rebotan hacia arriba con la misma velocidad y salen definitivamente del platillo. Si cada perdigón pesa 200 mg, ¿cuál será la lectura de la balanza? 7.28.- Reloj de arena.- Sobre el plato de una balanza monoplato, muy sensible, colocamos un reloj de arena. Describir y explicar la lectura de la balanza mienProb. 7.28 tras la arena pasa del depósito superior al inferior, en chorro constante, y cuando finalmente ya ha pasado al depósito inferior. 7.29.- Una partícula se mueve con una velocidad v0 = 40 m/s en el instante en que penetra en un medio resistivo que le presenta una fuerza resistente dada por F = -5v, con F medida en newtons y v en m/s. a) Calcular el valor medio temporal de dicha fuerza durante el tiempo necesario para que la velocidad de la partícula se reduzca a 1/e de su valor inicial. b) Ídem el valor medio espacial en ese recorrido.

7.30.- Dos partículas, A y B, limitadas a moverse sobre una recta, interaccionan entre sí. La cantidad de movimiento de la partícula A viene dada en función del tiempo por pA = p0 - kt, donde p0 y k son constantes. a) Encontrar la expresión de la cantidad de movimiento de B suponiendo que ésta se encontrase inicialmente en reposo. b) Ídem si la cantidad de movimiento inicial de B era -p0. c) Expresar la fuerza de interacción entre las partículas en función del tiempo. 7.31.- Un vagón con su carga pesa 15 Tm y circula por una vía recta, sin rozamientos apreciables, con una velocidad de 18 km/h. El vagón choca contra otro vagón vacío, de 8 Tm, que se encuentra en reposo sobre la misma vía y queda enganchado a él. a) Calcular la velocidad final del sistema. b) Suponiendo que el choque haya durado 0.1s, calcular la fuerza promedio durante el choque. 7.32.- Un núcleo radioactivo, inicialmente en reposo, se desintegra emitiendo un electrón y un neutrino en direcciones perpendiculares entre sí, cuyas cantidades de movimiento son 10.3×10-21 kg m/s y 6.42×10-21 kg m/s, respectivamente. a) ¿En qué dirección retrocede el núcleo residual? b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento del núcleo residual? 7.33.- La masa del electrón es 9.11×10-31 kg. Comparar las cantidades de movimiento del electrón dadas por las expresiones clásicas y relativista para velocidades de: a) 0.001c, b) 0.01c, c) 0.1c, d) 0.5c y e) 0.95c. Dato: velocidad de la luz en el vacío, c = 2.998×108 m/s. 7.34.- Los dos bloques de la figura están unidos por una cuerda homogénea que pesa 2 kg. Las masas de los bloques son m1 = 10 kg y m2 = 5 kg. Calcular la tensión en los extremos y en el punto medio de la cuerda.

Prob. 7.34

7.35.- En cada uno de los sistemas representados en la figura, calcular las aceleraciones que adquieren cada uno de los cuerpos que intervienen y las tensiones en las cuerdas. En todos los casos, supóngase que las superficies son lisas (sin rozamiento), que las cuerdas son flexibles, inextensibles y de masas despreciables y que las poleas tienen

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Problemas

masas despreciables y fricción nula. En todos los casos, resolver primero el problema algebraicamente y luego obtener la solución numérica para m1 = 5 kg, m2 = 3 kg, F = 40 N, α = 30° y β = 60°. 7.36.- Las masas de los cuerpos A y B, en la figura son 2 kg y 1 kg respectivamente. Inicialmente ambas masas se encuentran en reposo sobre el suelo. La cuerda que las une pasa por la garganta de una polea ligera y sin fricción. Determinar la aceleración de cada Prob. 7.36 masa y la tensión de la cuerda cuando se aplica una fuerza hacia arriba de: a) 1 kg, b) 2 kg, c) 3 kg y d) 5 kg. 7.37.- Un albañil, que pesa 70 kg, está de pie sobre una plataforma de aluminio de 10 kg de peso. Una cuerda sujeta a la plataforma pasa por una polea fija a la parte alta de la casa, de modo que el albañil puede elevarse a sí mismo tirando del extremo libre de la cuerda (vide figura). a) ¿Qué fuerza debe ejercer el albañil sobre la cuerda para mantenerse en reposo o moverse con velocidad constante. b) Ídem para acelerarse hacia arriba a razón de 0.5 m/s2. c) Ídem para descender con una aceleración de Prob. 7.37 1 m/s2. Prob. 7.35

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