Ramanujan O El éxtasis De La Intuición

Ramanujan o el éxtasis de la intuición Vernor Arguedas T Escuela de Matemática Universidad de Costa Rica

La expresión anterior es de las más conocidas de Srinivasa Ramanujan . El afirmó que ese número es un entero. Sin computadoras, sin otro recurso más que su extraordinaria capacidad de calcular. Desafortunadamente no acertó, pero eso no le quita mérito alguno a este ciudadano de la India nacido en Erode, Tamil un 22 de diciembre de 1887 y cuya muerte se da el 26 de abril de 1920 en Kumbakonam, también en el estado Tamil. Con las computadoras de los años 70, se afirmó que Ramanujan tenía razón. Con un programa como Mupad 3.1 se verifica sin ningún problema que:

reset() DIGITS:=50 hold(exp(PI*sqrt(163)))=float(exp(PI*sqrt(163)))

Con menos decimales se obtiene por ejemplo:

DIGITS:=20 hold(exp(PI*sqrt(163)))=float(exp(PI*sqrt(163)))

Y eso es un entero. Es simplemente asombroso que alguien llegara a eso niveles de precisión y nos legara de manera indirecta la siguiente conjetura: Existe un entero positivo

tal que es entero

la cual fue probada en sentido negativo por Alexander Gelfand, quien demostró que los números de esa forma son trascendentales y por lo tanto irracionales

Ramanujan ha tenido biógrafos excelentes como Rao, James Newman o Berndt B, quien ha editado con Springer Verlag los 3 cuadernos en 5 libros Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part I. New York: Springer-Verlag, 1985. Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part II. New York: Springer-Verlag, 1988. Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part III. New York: Springer-Verlag, 1997. Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, 1985. Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part V. New York: Springer-Verlag, 1997. Además este mismo autor ha coescrito: Ramanujan's Lost Notebook Part I Andrews, George E., Berndt, Bruce SpringerVerlag, NY, 2005 James Newman ha escrito con gran sentimiento. Veamos lo que escribió hace unos años: Hardy viendo la foto del pasaporte de Ramanujan comentó, ''Parece bastante enfermo, pero sobre todo se aprecia el genio que era'' Tenía "una figura tosca y baja...con un rasgo sobresaliente, ojos brillantes''( un amigo)

En su carta de presentación al matemático inglés Hardy escribe Ramanujan este texto memorable:

"Apreciado señor: Me permito presentarme a usted como un oficinista del departamento de cuentas del Port Trust Office de Madrás con un salario de 20 libras anuales solamente. Tengo cerca de 23 años de edad. No he recibido educación universitaria, pero he seguido los cursos de la escuela ordinaria. Una vez dejada la escuela he empleado el tiempo libre de que disponía para trabajar en matemáticas. No he pasado por el proceso regular convencional que se sigue en un curso universitario, pero estoy siguiendo una trayectoria propia. He hecho un estudio detallado de las series divergentes en general y los resultados a que he llegado son calificados como "sorprendentes" por los matemáticos locales... Yo querría pedirle que repasara los trabajos aquí incluidos. Si usted se convence de que hay alguna cosa de

valor me gustaría publicar mis teoremas, ya que soy pobre. No he presentado los cálculos reales ni las expresiones que he adoptado, pero he indicado el proceso que sigo. Debido a mi poca experiencia tendría en gran estima cualquier consejo que usted me hiciera. Pido que me excuse por las molestias que ocasiono. Quedo, apreciado señor, a su entera disposición . S. Ramanujan

Hijo de un contable, que trabajaba para un mercader de paños en Kumbakonam, y de la hija de un modesto oficial brahmán del juzgado de Erodo, mujer de "gran sentido común", nació en el seno de una familia de condición humilde. Después de algún tiempo de matrimonio sin tener hijos, su abuelo materno "pidió a la famosa diosa Namagiri, de la vecina ciudad de Namakkal, que bendijese a su hija con descendencia". Poco después, el 22 de diciembre de 1887, nacía Ramanujan, su primer hijo. Ramanujan mismo indicaba que la diosa Namakkal le inspiraba los diversos resultados en sueños. El recibió una beca para estudiar en la Universidad de Madras, pero como sólo le interesaban las matemáticas y nada más le fue suspendido el estipendio. James Newman no indica: "Comenzó a ir a la escuela a los cinco años. Sin haber cumplido los siete años, y gracias a una beca, le llevaron al colegio de Kumbakonam. Según parece, casi de inmediato reconocieron sus extraordinarias facultades. Se divertía entreteniendo a sus amigos con teoremas y fórmulas, recitando la lista completa de las raíces sánscritas y repitiendo los valores de pi y de la raíz cuadrada de dos con cualquier número de cifras decimales". Su primer contacto con la matemática formal le llegó de la mano de Synopsis of Pure Mathematics, de Carr, cuando tenía quince años y estaba en la sexta clase de la escuela. El libro, perteneciente a la biblioteca del College del Gobierno local, se lo consiguió prestado un amigo. Ante él se despertó el genio de Ramanujan, quien se puso inmediatamente a demostrar sus fórmulas. Cada solución era un auténtico trabajo de investigación original, ya que carecía de cualquier tipo de ayuda. "Primero ideó métodos para construir cuadrados mágicos. Después se dedicó a la geometría, donde trató la cuadratura del círculo y llegó incluso a establecer un valor de la longitud del círculo ecuatorial de la tierra, que difería del verdadero sólo por unos pocos pies. Dirigió su atención al álgebra porque encontraba limitado el campo de la

geometría. Ramanujan solía decir que la diosa de Namakkal le inspiraba las fórmulas en sueños. Es notable el hecho de que, al levantarse de la cama, escribía resultados y los comprobaba, aunque no siempre era capaz de dar una demostración rigurosa. Este proceso se repitió durante toda su vida". En 1911, se publica su primer trabajo en el Journal of the Indian Mathematical Society, el mismo año publica su primer artículo largo sobre algunas propiedades de los números de Bernoulli. El año siguiente colabora en la misma revista con algunos problemas y dos notas. En 1913 escribe a Hardy la carta, reproducida al comienzo, a la que acompaña alrededor de 120 teoremas. Hardy reconoció el valor de los teoremas que recibió y se esforzó para que este pudiera llegar a Cambridge, nos relata Hardy: Al fin, de una forma inesperada, llegó el permiso, según relató Hardy: "Una mañana, su madre declaró que la noche anterior había visto a su hijo, en una gran sala, rodeado de un grupo de europeos y que la diosa Namagiri le había ordenado que no se interpusiera en el camino de su hijo y que colaborara al objeto de su vida" Por fin llegó a Cambridge con una beca de 250 libras de Madrás, 50 de ellas destinadas al sustento de su familia en la India, y una asignación del Trinity College de 60 libras.! "Había un gran rompecabezas. ¿Qué método debía seguirse para enseñarle matemáticas modernas?. Las limitaciones de su conocimiento eran tan asombrosas como su profundidad. Era un hombre que podía trabajar con ecuaciones modulares y teoremas de multiplicación compleja, con medios desconocidos... Pero nunca había oído hablar de una función doblemente periódica o del teorema de Cauchy ni tenía la más remota idea de lo que era una función de variable compleja. Describía nebulosamente su concepto acerca de lo que constituía una demostración matemática. Había obtenido todos sus resultados, nuevos o viejos, verdaderos o falsos, por un proceso mixto de demostración, intuición e inducción, del cual era completamente incapaz de dar cualquier razón coherente. Era imposible pedir a este hombre que se sometiera a una instrucción matemática, que intentara aprender de nuevo matemáticas desde el principio. Temía además que, si yo insistía indebidamente en materias que Ramanujan consideraba fastidiosas, podía destrozar su confianza o romper el encanto de su inspiración. Por otra parte, había cosas que era necesario que aprendiera. Algunos de sus resultados eran equivocados, en particular los que se referían a la distribución de números primos, a los que daba la mayor importancia... Así yo tenía que intentar enseñarle y en cierto modo lo logré, aunque, obviamente, yo aprendí de él mucho más de lo que él aprendió de mí..." Es estremecedor el relato, si se le daba una instrucción formal de la época en nuestra disciplina se corría el riesgo de perder sus creaciones. Un diamante puro. Hay uno que otro ejemplo en el arte popular de grandes talentos, tocadores de instrumentos, compositores, a quienes la academia beneficia poco .

Preguntado sobre si Ramanujan tenía algún secreto especial, si difería cualitativamente de los demás matemáticos en los métodos utilizados, si pensaba que había algo realmente anormal en su forma de pensar, Hardy, sin seguridad ni convicción, contesta que no lo cree, y añade: "Tenía, por supuesto, una memoria extraordinaria. Podía recordar las características de los diferentes números de una manera casi misteriosa. Creo que fue Mr. Littlewood quien señaló que "cada entero positivo era uno de sus amigos personales". Recuerdo una vez que fui a verle cuando yacía enfermo en Putney. Yo había viajado en el taxi número 1729 y observé que el número me parecía más bien insípido y esperaba que no le fuera de mal agüero. "No", contestó, "es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como suma de dos cubos de dos maneras diferentes"

Le pregunté, naturalmente, si conocía la respuesta al problema correspondiente para la cuarta potencia y él replicó, después de un momento de reflexión, que el ejemplo no era obvio y que el primero de tales números debía ser muy grande". Efectivamente, en la primavera de 1917 comenzó a manifestarse su tuberculosis. En verano se trasladó a un sanatorio de Cambridge, y ya nunca llegó a disfrutar de un largo periodo fuera de la cama. Pasó por sanatorios en Wells, Marlock y Londrés, sin mejora significativa hasta el otoño de 1918. Estimulado, probablemente por su elección para la Royal Society of London, reanudó el trabajo activo, produciendo en esa época algunos de sus mejores teoremas. Un acicate más le llegaría con su elección para una Trinity Fellowship. Ambas sociedades tienen el mérito de haber reconocido la valía de Ramanujan antes de que fuera demasiado tarde. Sobre sus aficiones, aparte de las matemáticas, Hardy nos relata: "Al igual que sus matemáticas, mostraba los más extraños contrastes. Yo diría que le interesaba muy poco la literatura como tal, y tampoco el arte, pero podía distinguir la buena literatura de la mala. Por otra parte era un filósofo sutil, pero de una modalidad que pareció muy nebulosa a los seguidores de la moderna escuela de Cambridge, y un ardiente político, pacifista y ultrarradical. Se ajustaba a las prescripciones religiosas de su casta con una severidad muy poco corriente en los hindús residentes en Inglaterra. Pero su religión era materia de rito, no de convicción intelectual. Recuerdo bien su confidencia (que me sorprendió mucho) de que todas las religiones le parecían más o menos igualmente verdaderas. Tanto en literatura, como en filosofía y en matemáticas,

tenía verdadera pasión por lo inesperado, extraño y estrambótico. Poseía casi una pequeña biblioteca de obras sobre la cuadratura del círculo y otras curiosidades... Era vegetariano en el sentido más estricto (esto constituyó más tarde, cuando estuvo enfermo, una gran dificultad) y durante el tiempo que estuvo en Cambridge cocinó todos sus alimentos él mismo y nunca lo hizo sin antes ponerse en pijama". A principios de 1919 volvió a la India, donde murió al año siguiente, "con un estatus científico y una reputación como ningún hindú había disfrutado antes". Considerado uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos, con Euler, Gauss..., nos dejó unos 4000 teoremas, a pesar de su corta vida. Bernd afirma que todos los resultados son correctos, salvo pequeños errores. Durante sus cinco años de estancia en Cambridge, que desgraciadamente coincidieron con los de la Primera Guerra Mundial, publicó 21 artículos, 5 de ellos en colaboración con G. H. Hardy. "No era un geómetra, le tenía sin cuidado la física matemática y menos aún la posible 'utilidad' de su trabajo matemático en otras disciplinas", escribió Newman.

Una serie particularmente importante ya que ha sido usada para obtener dos mil millones de cifras del número

La última y única carta que escribió a Hardy, desde la India, después de su regreso, cuatro meses antes de su muerte, no hablaba sobre su enfermedad, sólo aportaba información sobre su último trabajo: "He descubierto recientemente funciones muy interesantes que he denominado falsas funciones theta. Las falsas funciones theta... entran en las matemáticas tan bellamente como las funciones theta ordinarias. Te mando con esta carta algunos ejemplos.." Richard Askey hace una observación que da la medida de la pasión y la capacidad de nuestro hombre: "Trata de imaginar la calidad de la mente de Ramanujan, que le condujo a trabajar incesantemente mientras moría, y suficientemente grande para crecer más profundamente mientras su cuerpo se debilitaba. Me asombra su talento, su entendimiento me sobrepasa. Admiraríamos a un matemático cuya producción fuera la mitad de lo que Ramanujan descubrió en el último año de su vida mientras moría."

Ramanujan moría en 1920, el desarrollo de su obra no ha concluido, el último cuaderno de notas, el cuaderno "perdido", encontrado en 1976, contenía las 600 fórmulas escritas durante su último año de vida. -ver referencia arribaG. H. Hardy, editó en 1923, el capítulo XII del segundo cuaderno de Ramanujan sobre series hipergeométricas que contenía 47 teoremas principales, muchos seguidos por corolarios y casos particulares. Este trabajo le llevó tantas semanas que sintió que si se hubiera propuesto editar el cuaderno completo, "me hubiera llevado toda mi vida" En cuanto al lugar que ocupa en el mundo de las matemáticas, citemos a Bruce C. Berndt: "Paul Erdos nos ha pasado las estimaciones personales de Hardy sobre los matemáticos. Suponiendo que valoráramos a los matemáticos en base puramente a su talento en una escala de 0 a 100, Hardy se dio a sí mismo una puntuación de 25, Littlewood 30, Hilbert 80 y Ramanujan 100". Finalicemos con las reflexiones de G. H. Hardy, a quien, en gran parte, debemos que la producción de una mente tan prodigiosa no quedara perdida en cualquier estantería, o fuera a material para calentar algún humilde hogar. "Lo más asombroso era su intuición en fórmulas algebraicas, transformaciones de series infinitas y demás. En este aspecto, ciertamente, no he encontrado nadie parecido y sólo puedo compararlo con Euler o Jacobi. Trabajaba por intuición a partir de ejemplos numéricos mucho más que la mayoría de los matemáticos modernos. Todas sus propiedades de congruencia de particiones, por ejemplo, fueron descubiertas de esta manera. Pero añadió a su memoria, a su paciencia y a su facilidad de cálculo, un poder de generalización, un sentido de la forma y una capacidad de modificación rápida de sus hipótesis realmente sorprendentes y que le sitúan, en su campo, en el lugar más destacado. Generalmente se dice que ahora es mucho más difícil que un matemático sea original de lo que lo era en los días épicos en que se establecían los fundamentos del análisis moderno. Sin duda, es verdad en cierto modo. Puede haber opiniones diferentes acerca de la importancia del trabajo de Ramanujan, de la medida con la que debería juzgársele y de la influencia que probablemente tendrá en las futuras matemáticas. No tiene la simplicidad y la inevitabilidad de las más grandes obras. Podría ser más importante si fuera menos extraña. Pero tiene un don que no puede negársele: una profunda e insuperable originalidad. Probablemente, Ramanujan habría sido mejor matemático si lo hubieran descubierto y educado un poco en su juventud. Habría descubierto más cosas nuevas y, sin duda, de mayor importancia. por otra parte, habría sido menos parecido a Ramanujan y más semejante a un profesor europeo y así la pérdida hubiera sido tal vez mayor que la ganancia." El Prof. Rao, eminente matemático de la India nos indica: Los tres libros originales de Ramanujan están en la biblioteca de la Universidad de Madras. Algunos trabajos originales, así como correspondencia de o sobre Ramanujan se encuentran en los Archivos Nacionales en Nueva Delhi y en los archivo tamiles de

Nadu, un número importantes de sus cartas y notas dirigidas a Hardy, Watson, Wilson están ubicadas en la Biblioteca Wren del Trinity Collage en Cambridge. EL Instituto Ramanujan para estudios avanzados en matemáticas está en la Universidad de Madras, en donde se encuentra un busto de Ramanujan esculpido por Mailamani. En 1992 abrió el Museo Ramanujan en Avvai Kalai Kazhagam en Royapuram. El primero de enero de 1997 apareció la revista The Ramanujan Journal, dedicada a las áreas de las matemáticas influenciadas por Ramanujan. La dirección de esta revista es http://www.math.ufl.edu/~frank/ramanujan En 1984 la Sociedad Matemática Hindú le puso como nombre a su revista Journal of the Ramanujan Mathematical Society. Matemáticos y físicos notables del siglo XX como Atle Selberg o Freeman Dyson han indicado que Ramanujan les inspiró cuando estaban en sus veinte años. Incluso hay una obra de teatro bastante conocida: Partition del escritor norteamericano Ira Hauptmann en la cual el autor indica: Ramanujan le dice a Hardy que 153 es un número interesante. Es igual a la suma de los cubos de sus dígitos: Es igual a la suma de los cubos de sus dígitos:

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Es fácil verificar que los enteros 1, 153, 370, 371, y 407 son los únicos que satisfacen que son iguales a la suma de los cubos de sus dígitos Ramanujan nos enseña muchas cosas : el genio humano, la inspiración pueden provenir de las más extrañas fuentes. La pobreza, la división en clases o razas no juegan , cuando se trata de talentos extraordinarios. El orgullo legítimo hindú por Ramanujan ha impulsado el desarrollo matemático en la India a altísimos niveles, Curioso, no dió clases, no tuvo alumnos directos, pero nos sigue inspirando, guiando y enseñando.