Estadística, Definiciones

Definición 2.1

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento (estadístico, económico, etc.) se llama espacio muestral  y   se   suele   representar   por   el   símbolo  S.  Los   elementos   del   espacio   muestral   son   también   llamados   resultados  elementales,   o  puntos   muestrales.  Algunos  textos   utilizan   los   símbolos  Φ   o  ε   para denotar  un  espacio  muestral. 

Definición 2.2

Un evento es un subconjunto de un espacio muestral.

Definición 

El evento A está contenido en el evento B, o B contiene a A, si cada punto muestral de A es también un punto muestral  de B. Siempre que esto es cierto se escribirá A⊂B ,o B⊃ A.

Definición

Dos eventos A y B son iguales, A=B, si mismos puntos muestrales.

Definición

El conjunto que no contiene elementos es llamado el conjunto vacio y denotado por para ∅ , es llamado imposible.

Definición 2.3

El complemento de un evento A con respecto a S es el subconjunto de todos los elementos de S que no está en A. Es  decir, el conjunto que contiene todos los puntos muestrales que no están el evento A será llamado el complemento de A  y denotado AC,  se puede leer como no A, una notación alternativa para el complemento es A' o A ,

Definición 2.4

La intersección de dos eventos A y B, denotada mediante los símbolos AB o A∩B , es el evento que contiene a todos  los elementos que son comunes a A y a B. La definición de intersección puede ser extendida para el caso de eventos  infinitos. De esta forma:

A⊂B y B⊂ A.

Es decir, dos eventos son iguales si contienen exactamente los 

∅ . El evento correspondiente 

n

A1 ∩ A 2 ∩⋯∩ A n también denotado como ∩ A i i=1

Definición 2.5

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si  A∩B = Ø; es decir, si A y B no tienen elementos en  común.

Definición 2.6

La unión de dos eventos A y B, que se denota mediante A∪B , es el evento que contiene todos los elementos que  pertenecen a A o a B o a ambos. La definición de unión puede ser extendida para el caso de eventos infinitos. De esta  forma: n

A1 ∪ A 2 ∪⋯∪ A n también denotado como ∪ A i i=1

Definición

La diferencia A\B contiene todos los puntos muestrales que pertenecen a A pero no a B. Es claro que, S\a es lo mismo  que  AC, algunas formulas pueden ser simplificadas introduciendo la operación diferencia de dos eventos: A\B =  A∩BC.

1 DE 17 

Teorema

Las operaciones definidas sobre eventos obedecen las siguientes leyes, Idempotencia Doble complemento Absorción en particular

A∪ A= A ,

A∩ A= A.

c c

A  =A , A∪ B=B , si A∩B= A si A⊂B. A∪∅= A , A∪ S=S , A∩∅=∅ , A∩S= A.

esto significa que ∅⊂A⊂S.

Conmutativa

A∪ B=B∪ A ,

A∩B= B∩ A.

Asociativa

A∪ B∪C = A∪ B∪C ,

Distributiva

A∩ B∪C = A∩ B∪ A∩C  ,

Leyes de Morgan

c

c 1

A∩ B∩C= A∩B∩C. c n

 A1 ∪⋯∪ An  = A ∩⋯∩ A ;

A∪ B∩C= A∪B ∩ A∪C .  A1∩⋯∩ An c = A c1∪⋯A cn .

Definición

El producto cartesiano. Si A y B son conjuntos, entonces el producto cartesiano A x B esta definido como el conjunto de  todos los pares ordenados (a,b) donde a∈ A y b∈B.

Teorema 2.1

(regla   de   la   multiplicación   o   principio   fundamental   del   conteo).   Si

A1

y

A 2 son   conjuntos   finitos,   que 

consisten   respectivamente   de k 1 y k 2 elementos,   entonces   el   producto   cartesiano

A1 x A 2 está   formado   de

k 1⋅k 2 elementos. Esto es posible si una operación se puede llevar a cabo en k 1 formas, y si para cada una de éstas  se puede realizar una segunda operación en k 2 formas. Teorema 2.2

Regla de la multiplicación generalizada. Se puede definir el producto cartesiano para más de dos conjuntos. De esa  manera, si A1 ,... , A n son conjuntos, entonces el producto Cartesiano A1 x A 2 x⋯x A n es el conjunto de todas las  n­tuplas a 1 , a2 ,... , a n  con a i ∈ Ai , i=1,2 ,... , n. Entonces   si   elementos pertenecientes a

Ai i=1,2,3 , ... ,n , entonces 

A1 ,... , A n son   conjuntos   finitos,   con k i

A1 x A 2 x⋯x A n contiene k i ⋯k n

Corolario

El número de pares ordenados (x,y) con tamaño n es n(n­1).

Definición 2.7

Una permutación es un arreglo u ordenación de elementos de un conjunto.

Teorema 2.3

El número de permutaciones de n objetos distintos es n! formas, n!=n n−1  n−2⋯3⋅2⋅1 .

Teorema 2.4

El número de permutaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es

x≠ y que pueden ser formados de n elementos distintos en un conjunto de 

n

Teorema 2.5

elementos.

P r=

n! .  n−r !

El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculo es n−1!.

2 DE 17 

Teorema 2.6

El número de permutaciones distintas de  n  cosas de las que n1 son de una clase, n 2 de una segunda clase, ...,  n! . n k  de una k­ésima clase es  n1! n 2 ! n3 !⋯n k !

Teorema 2.7

El número de formas de partir un conjunto de  n  objetos en  r  celdas con n1 elementos en a primera celda, n 2 elementos en la segunda, y así sucesivamente, es 





n! n = . n1 ,n 2 ,... , nr n 1 ! n 2!⋯nr !

donde n 1 n2 ⋯ nr =n. Teorema 2.8

El número de combinaciones (formas de seleccionar objetos sin importar el orden) de n objetos distintos tomados de r  a la vez es

Definición 2.8



n! n = . r  n−r ! r!

La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos1 de todos los puntos muestrales en A. Se observa que, 0P  A1,

Teorema 2.9

P ∅=0,

P  S=1.

Si   un   experimento   puede   tener   como   resultado   cualquiera   de  N  diferentes   resultados   igualmente   probables,   y   si  exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es P A=

Teorema 2.10

y

n N

Si A y B son cualesquiera dos eventos , entonces P A∪ B= P AP  B−P  A∩B

Corolario 1

Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces                                                                              P A∪ B= P AP  B

Corolario 2

Si 

A1 , A 2 ,... , An

 son mutuamente excluyentes, entonces P A1 ∪ A2 ∪⋯∪ A n =P  A1  P A2 ⋯ P An 

Corolario 3

1

Si 

A1 , A 2 ,... , An

es una partición de un espacio muestral S, entonces

El peso (o probabilidad) es un número real en el intervalo [0,1], que evalúa la ocurrencia probabilística de un evento.

3 DE 17 

P A1 ∪ A2 ∪⋯∪ A n = P A1 P A2 ⋯ P A n  =P  S =1 Teorema 2.11

Para tres eventos A, B y C,

Teorema 2.12

Si A y A' son eventos complementarios, entonces

Definición 2.9

La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota con

P A∪ B∪C=P  A P B PC −P  A∩B− P A∩C − P  B∩C  P  A∩B∩C .

P B∣A=

P A P A' =1. P B∣A , se define como

P  A∩ B

si P  A0

P A

  

Definición 2.10 Dos eventos A y B son independientes si y sólo si P B∣A=P  B

y

P A∣B=P  A

De otra forma, A y B son dependientes. Teorema 2.13

Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces  P A∩ B= P A P B∣ A

Teorema 2.14

Dos eventos A y B son independientes si y sólo si

Teorema 2.15

P A∩ B=P  A PB Si, en un experimento, pueden ocurrir los eventos A1 , A 2 ,... , A k , entonces P A1 ∩ A2 ∩ A 3∩⋯∩ Ak =P A 1  P  A 2∣ A 1 P  A 3∣ A 1 ∩ A2 ⋯P A k∣ A 1 ∩ A2 ∩ A3 ∩⋯∩ A k −1 

Si los eventos

A1 , A 2 ,... , Ak son independientes, entonces P A1 ∩ A2 ∩ A 3∩⋯∩ Ak =P  A 1  P  A 2 P  A 3 ⋯P  A k 

Teorema 2.16

Si   los   eventos

B1 , B2 ,... , B k constituyen   una   partición   del   espacio   muestral  S  tal   que

P B i ≠ 0 para 

i=1,2 ,... , k , entonces para cualquier evento A de S, k

k

P A= ∑ P B i ∩ A= ∑ P  Bi  P  A∣Bi  i=1

Teorema 2.17

i=1

(Regla de Bayes) Si los eventos B1 , B2 ,... , B k constituyen una partición del espacio muestral S donde para i = 1,2,3,...,k, entonces para cualquier evento A en S tal que P A≠ 0 , P B r∣ A=

P  B r∩ A k

=

P  B r  P  A∣B r  k

∑ P  Bi ∩ A ∑ P  B i P  A∣B i  i= 1

Definición 3.1

 para r = 1,2, ...,k.

i=1

Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.

4 DE 17 

P B i≠0

Definición 3.2

Si un espacio muestral contiene un número finito de posibilidades o una serie interminable con tantos elementos como  números enteros existen, se llama espacio muestral discreto.

Definición 3.3

Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades igual al número de puntos en un segmento de  línea, se llama espacio muestral continuo.

Definición 

Una variable aleatoria se llama  variable aleatoria discreta  si se puede contar su conjunto de resultados posibles.  Cuando   una   variable   aleatoria   puede   tomar   valores   en   una   escala   continua,   se   le   denomina  variable   aleatoria  continua.

Definición 3.4

El  conjunto   de  pares  ordenados  x , f x es una  función   de probabilidad,   función  masa  de probabilidad  o  distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si , para cada resultado posible x,

Definición 3.5

1)  

f  x≥0.

2)  

∑ f  x =1.

3)  

P X = x= f  x .

La distribución acumulada

x

F  x de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad F  x= P X ≤ x= ∑ f t 

f  x es

para −∞ x∞

t≤ x

Definición 3.6

La función f  x es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida en el  conjunto de números reales R, si 1)

f  x≥0,

2)

∫ f  x dx=1.

para toda x ∈ ℝ

∞

−∞ b

3)

P aX b=∫ f  x  dx. a

Definición 3.7

La distribución acumulada

F  x de una variable aleatoria continua X con función de densidad

f  x

es

x

F  x= P X ≤ x= ∫ f t  dt

para −∞x∞ .

−∞

Definición 3.8

La función f  x , y es una  distribución de probabilidad conjunta  o  función de masa de probabilidad  de las  variables aleatorias discretas X y Y si 1)

f  x , y≥0

2)

∑ ∑ f  x , y=1.

3)

P X = x ,Y = y= f  x , y .

x

para todo  x , y.

y

5 DE 17 

P [  X ,Y ∈ A ] =∑ A ∑ f  x , y .

Para cualquier región A en el plano xy, Definición 3.9

La función

f x , y  es una función de densidad conjunta de las variables aleatorias continuas X y Y si 1)

f  x , y≥0

2)

∫∫

∞

para toda  x , y .

∞

f  x , y dxdy=1.

−∞ −∞

3)

P [  X ,Y ∈ A ] =∫

A

∫ f  x , y  dxdy

 

para cualquier región A en el plano xy. Definición 3.10 Las distribuciones marginales de X sola y Y sola son g  x= ∑ f  x , y

h y= ∑ f  x , y

y

y

x

para el  caso discreto, y ∞

∞

g  x= ∫ f  x , y dy

h  y= ∫ f  x , y dx

y

−∞

−∞

para el caso continuo. Definición 3.11 Sean X y Y dos variables aleatorias, discretas o continuas. La distribución condicional de la variable aleatoria Y, dado  que X=x, es  f  y∣x=

f  x , y g  x

,

g x 0.

De manera similar, la distribución condicional de la variable aleatoria X, dado que Y = y, es f  x∣y=

f  x , y h  x

,

h y0.

Definición 3.12 Sean  X  y  Y  dos   variables   aleatorias,   discretas   o   continuas,   con   distribución   de   probabilidad   conjunta  f(x,y)  y  distribuciones marginales g(x) y h(y), respectivamente. Se dice que las variables aleatorias X y Y son estadísticamente  independientes si y sólo si f  x , y=g x h y para toda (x,y) dentro de sus rangos. Definición 4.1

Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es = E  X =∑ x f  x x

si X es discreta, y ∞

= E  X =∫ x f  x dx −∞

6 DE 17 

si X es continua. Teorema 4.1

Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de la variable aleatoria  g(x) es   g X = E [ g X  ]= ∑ g x f  x  si X es discreta, y ∞

 g X = E [ g X  ]= ∫ g x f  x dx −∞

si X es continua.

Definición 4.2

Sean  X  y  Y  variables aleatorias con distribución  de probabilidad conjunta  f(x,y). La media o valor esperado de la  variable aleatoria g(X,Y) es  gX ,Y  =E [ g X ,Y ] = ∑ ∑ g  x , y f  x , y x

y

si X y Y son discretas, y ∞

∞

 gX ,Y  =E [ g X ,Y ] = ∫

∫ g x , y f  x , y dxdy

−∞ −∞

si X y Y son continuas. Definición 4.3

Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y media μ . La varianza  de X es 2 =E [  X−2 ] =∑  x−2 f  x  x

si X es discreta, y ∞

2 =E [  X −2 ]= ∫  x−2 f  x dx −∞

Si X es continua. La raíz cuadrada positiva de la varianza, σ, se llama desviación estándar de X. Teorema 4.2

La varianza de una variable aleatoria X es 2 =E [ X 2 ] −2.

Teorema 4.3

Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). La varianza de la variable aleatoria g(X), es 2

2g X =E [  g X − g X 2 ] =∑ [ g  x−g  x  ] f  x x

si X es discreta, y 2g x = E

∞

{ [ g X − ] } =∫ [ g  x− ] 2

g X

g x

−∞

7 DE 1 7 

2

f  x dx

si X es continua. Definición 4.4

Sean X y Y variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(x,y). La covarianza de X y Y es

[

]

 XY =E X− X  Y −Y  = ∑ ∑ x− X  y−Y  f  x , y x

y

si X y Y son discretas, y 

[

]

∞

 XY =E X− X Y −Y  = ∫

∞

∫ x− X  y− Y  f x , ydxdy

−∞ −∞

Si X y Y son continuas.

8 DE 17 

Teorema 4.4

La covarianza de dos variables aleatorias X y Y con media  X y Y , respectivamente, está dada por  XY = E [ XY ] − X Y

Definición 4.5

Sean  X  y  Y  variables   aleatorias   con   varianza  XY y   desviaciones   estándar  X y Y , respectivamente.   El  coeficiente de correlación X y Y es  XY =

 XY  X Y

Teorema 4.5

Si a y b son constantes, entonces

Corolario 1

Al hacer a = 0 , vemos que  E(b)= b.

Corolario 2

Al hacer b = 0, vemos que E(aX)= aE(X).

Teorema 4.6

El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de una variable aleatoria X es la suma o diferencia de  los valores esperados de las funciones. Es decir,

E aX b=aE  X  b.

E [ g X ±h X ] =E [ g  X ] ±E [ h  X ] Teorema 4.7

El valor esperado  de la suma o diferencia de dos o más funciones de las variables aleatorias  X  y  Y  es la suma o  diferencia de los valores esperados de las funciones. Es decir, E [ g X , Y ±h  X ,Y  ]= E [ g X ,Y  ]± E [ h X ,Y ]

Corolario 3

Al hacer

g X ,Y = g  X  y h  X ,Y =h Y  , vemos que E [ g  X ±h Y ] = E [ g  X ] ±E [ hY ]

Corolario 4

Al hacer

g X ,Y = X y h  X ,Y =Y , vemos que E  X ±Y =E  X ±E Y 

Teorema 4.8

Sean X y Y dos variables aleatorias independientes. Entonces  E  XY =E  X  E Y 

Teorema 4.9

2 2 2 2 2 Si a y b son constantes, entonces  aX b =a  X =a  .

Corolario 1

2 2 2 Al hacer a = 1 vemos que  Xb = X = .

Corolario 2

2 2 2 2 2 Al hacer b = 0, se observa que  aX= a  X =a  .

Teorema 4.10

Si X y Y son variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta

9 DE 17 

f  x , y , entonces

2aX bY =a2  2X b2 2Y 2 ab XY

10 DE 17 

Corolario 1

Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces  2aX bY =a2  2X b2 2Y

Corolario 2

Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces  2aX −bY =a2  2X b2 2Y

Corolario 3

Si

X 1 , X 2 ,... , X n

son variables aleatorias independientes, entonces

2a Teorema 4.11

1

X 1 a2 X 2⋯a n X n

=a 21 2X a22 2X ⋯a 2n 2X 1

2

(Teorema   de   Chebyshev)   La   probabilidad   de   que   cualquier   variable   aleatoria  X  tome   un   valor   dentro   de  K  desviaciones estándar de la media es al menos 1 –

1 k2

. Es decir,

P – k  X k ≥1− Definición 5.1

1 k

f  x ;k  son

k

k

= i=1 k

∑  x i−2

 2 = i =1

y



x= 0,1 ,2 , ... , n

La media y la varianza de la distribución binomial b(x;n,p) son  =np

Definición 5.3

k

Distribución binomial  Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un  fracaso con probabilidad  q=1− p . Entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el  número de éxitos en n pruebas independientes, es  b x ; n , p= n p x qn− x x

Teorema 5.2

x 1 , x 2 ,... , x k , con   idénticas 

x= x1 , x 2 ,... , x k

La media y la varianza de la distribución uniforme discreta

∑ xi

Definición 5.2

1 k2

Distribución   uniforme   discreta    Si   la   variable   aleatoria  X  toma   los   valores probabilidades, entonces la distribución uniforme discreta ésta dada por f  x ;k =

Teorema 5.1

n

2

y

 =npq

Distribución multinomial  Si una prueba dada puede conducir a los k resultados

E 1 , E 2 ,... , E k con probabilidades

p 1 , p2 ,... , pk , entonces   la   distribución   de   probabilidad   de   las   variables   aleatorias representan el número de ocurrencias para E 1 , E 2 ,... , E k en n pruebas independientes es



f  x1 , x 2 ,... , x k ; p1 , p2 ,... , pk ,n= con 

11 DE 17 



n p x p x ⋯ p xk x 1 , x 2 , ..., x k 1 2 1

2

k

X 1 , X 2 ,... , X k ,

que 

k

k

∑ xi =n

∑ pi=1

y

i=1

Definición 5.3

i=1

Distribución hipergeométrica   La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica X, el número  de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N artículos de los que k se denominan éxito y N­k  fracaso, es k N−k  x  n−x  h x ; N ,n , k=  Nn 

Teorema 5.3

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica h(x;N,n,k) son =

Definición 5.4

x=0,1,2... , n

nk N

2 =

y

 

N−n k k ⋅n⋅ 1– N−1 N N

Distribución   hipergeométrica   multivariada    Si  N  artículos   se   pueden   dividir   en  k  celdas A1 , A 2 ,... , Ak con  a1 ,a 2 ,... ,a k elementos,   respectivamente,   entonces   la   distribución   de   probabilidad   de   las   variables   aleatorias  X 1 , X 2 ,... , X k , que  representan  el número de elementos que se seleccionan  de A1 , A 2 ,... , Ak en una muestra  aleatoria de tamaño n, es

     a1 a2

f  x 1 , x 2 , ... , x k ; a1 ,a 2 ,... ,a k , N , n=

x1 x2

⋯

ak xk

 N n

con  k

∑ xi =n

k

∑ ai =N

y

i=1

Definición 5.5

i=1

Distribución   binomial   negativa    Si   pruebas   independientes   repetidas   pueden   tener  como   resultado   un   éxito   con  probabilidad  p  y   un   fracaso   con   probabilidad q=1− p , entonces   la  distribución   de  probabilidad   de   la  variable  aleatoria X, el número de la prueba en la que ocurre el k­ésimo éxito, es

 

b ∗ x ; k , p= x−1 pk qx −k k −1 Definición

Distribución geométrica  Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un éxito con probabilidad  p y un fracaso con probabilidad  q=1− p , entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el  número de la prueba en el que ocurre el primer éxito, es g x ; p= pqx −1

Teorema 5.4

x=k ,k 1,k 2,...

x=1,2,3,. ..

La media y la varianza de una variable aleatoria que sigue la distribución geométrica son =

1 p

12 DE 17 

 2=

1− p p2

13 DE 17 

Definición 5.6

Distribución  de Poisson   La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson  X, que representa el  número de resultados que ocurren en un intervalo dado o región específica que se denota con t, es p  x ; t =

e− t  t x

x= 0,1 ,2 , ...

x!

donde  es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región. Teorema 5.5

La media y la varianza de la distribución de Poisson

Teorema 5.6

Sea

p x ; t  tiene el valor t

 X  una   variable   aleatoria   binomial   con   distribución   de   probabilidad n ∞ , p 0 y =np permanece constante,

b x ; n , p . Cuando

bx ; n , p p x ;   Definición

Distribución Uniforme  La función de densidad de la variable aleatoria uniforme continua X en el intervalo [A,B] es

{

1 f  x ; A , B= B− A 0 Teorema 6.1

en cualquier otro caso

}

La media y la varianza de la distribución uniforme son =

Definición

A≤ x≤B

AB 2

 2=

y

 B− A2 12

Distribución normal  La función de densidad de la variable aleatoria normal X, con media  y varianza 2 es −  1 2 n x ; ,= e  2  1

[

x− 

]

2

−∞x∞

Definición 6.1

La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y varianza 1 se llama Distribución normal estándar

Teorema 6.2

Si X es una variable aleatoria binomial con media =np y varianza 2=npq , entonces la forma limitante de la  distribución de Z= conforme n ∞ ,

Definición 6.2

X− np

 npq

es la distribución normal estándar n z ; 0,1 .

La función gamma se define como ∞

 =∫ x−1 e−x dx

para 0

0

se enuncian algunas propiedades:  =−1  −1   n= n−1!  12 =  

 

14 DE 17 

1

15 DE 17 

Definición 6.3

Distribución Gamma   La variable aleatoria continua  X  tiene una distribución gamma, con parámetros  α  y  β, si su  función de densidad está dada por

{

1 x −1 e− x/  f  x=    0,

{

cuando

cualquier otro caso

2

y

 =

y

 2 =2

Distribución ji cuadrada  La variable aleatoria continua X tiene una distribución ji cuadrada, con v grados de libertad,  si su función de densidad está dada por

{

v

en cualquier otro caso

}

y



2v

Distribución logarítmica normal   La variable aleatoria continua  X  tiene una distribución logarítmica normal si la  variable aleatoria Y = ln(X) tiene una distribución normal con media μ y desviación estándar σ. La función de densidad  de X que resulta es f  x=

Corolario

x0

La media y la varianza de la distribución ji cuadrada son =v

Definición 6.6

2

La media y la varianza de la distribución exponencial son

−1 1 2 e−x /2 f  x= 2v / 2  v /2 x 0 donde v es un enteropositivo .

Corolario

}

La media y la varianza de la distribución gamma son

= Definición 6.5

x0

0.

= 

Teorema 6.4

}

Distribución exponencial La variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial, con parámetro  β, si su  función de densidad está dada por 1 −x /  e f  x=  0

Teorema 6.3

en cualquier otrocaso

0 y 0 .

cuando

Definición 6.4

x0

{

2 2 1 e− ln x− /2  2  x 0



x0

}

2

2

x≥0

La media y varianza de la distribución logarítmica normal son 2

E  X =e



 2

y

16 DE 17 

Var X =e2  ⋅e −1

Definición

Distribución de Weibull  La variable aleatoria continua X tienen una distribución de Weibull, con parámetros α y β si su  función de densidad está dada por

{



−1 − x x0 f  x=   x e 0 cualquier otrocaso donde 0 y 0

}

Teorema 6.4 La media y la varianza de la distribución Weibull son −1 /

=

 

 1

1 

2

−2/ 

 =

{   [  ] }  1

2 1 −  1  

2

POKER  Una baraja de poker consiste en 52 cartas arregladas en 4 palos de trece cartas cada uno. Hay trece valores nominales  (2,3,4,5,6,7,8,9,10,sota,reina,rey,as) en cada palo. Los cuatro palos se llaman tréboles, espadas,corazones y diamantes. Los dos últimos  son rojos y los primeros son negros. A las cartas que tienen el mismo valor nominal se les llama de la misma clase. Por definición poker  significa seleccionar 5 cartas de la baraja.

17 DE 17