Equações Do 2º Grau

Historia Pensamento Matemático Índice INTRODUÇÃO............................................................................................................................. 2 RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DAS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS SEGUNDO DESCARTES. ............................................................................................................................... 3 EQUAÇÕES QUADRÁTICAS NA ANTIGA BABILÓNIA ...................................................... 4 BABILÓNIA EQUAÇÃO DO 2º GRAU...................................................................................... 6 A EQUAÇÃO QUADRÁTICA NA ANTIGA GRÉCIA ............................................................. 8 MÉTODO DE VIÉTE PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU.......................... 10

Henrique Gomes / Wanderleia Furtado

Praia 19 de junho 2008

Historia Pensamento Matemático

INTRODUÇÃO Este Trabalho insere-se no âmbito da disciplina de História do Pensamento Matemático, do 4º ano do curso de Licenciatura em ensino da Matemática, leccionada pela professora Astrigilda Silveira e constitui um dos elementos de avaliação da referida cadeira. A escolha do tema deu-se de modo aleatório em função dentro das propostas da professora. Assim, o nosso tema é Equações nas Civilizações Antigas: Babilónia, Egipto e Grécia. A disciplina de História do Pensamento Matemático contribui largamente para alargar o nosso conhecimento a nivel historio, nos esclarece os diversos aspectos e ou contextos de descobertas dos conceitos matemáticos que poderá ajudarnos a compreender – los melhor e consequentemente a transmiti-los da melhor forma possível a nível didáctico – pedagógico de modo a preparar-nos para a carreira docente. Deste modo o meu trabalho engloba os seguintes itens:


Resolução Geométrica Das Equações Quadráticas Segundo Descartes.
Equações Quadráticas Na Antiga Babilónia
Babilónia Equação Do 2º Grau
A Equação Quadrática Na Antiga Grécia
MÉTODO DE VIÉTE PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU

O trabalho foi feito com base em pesquisas bibliográficas e orientações fornecidas pela professora. Para a realização do mesmo foram encontradas algumas dificuldades, bem como algumas dúvidas pontuais que foram superadas com a orientação do professor,

Henrique Gomes / Wanderleia Furtado

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Historia Pensamento Matemático Resolução geométrica das equações quadráticas segundo Descartes. Consideramos as equações completas de 2º grau cujo coeficiente do termo quadrático é unitário, isto é, da forma: x 2 + bx = c x 2 = bx + c x 2 + c = bx

em qualquer destes casos, são dados dois segmentos de recta de b e c ( coeficientes) e procuram-se o segmento de recta x ( incógnita) que satisfazem a condição expressa pela igualdade em causa. Sejam então dado os segmento unidade e os coeficientes b e c. Para resolver qualquer uma das equações acima mencionados, constrói-se a raiz quadrada,

c , do termo dependente traça-se uma

circunferência de diâmetro b e, sobre uma recta tangente a este circunferência e a partir do ponto de tangencia marca-se um segmento recta de comprimento igual a

c . Designar-se-ão por C, T e S

respectivamente o centro da circunferência, o ponto de tangencia é a entre extremidade do segmento
 de recta tangente. Sejam O e P os pontos de intersecção da circunferência com a recta CS (como na figura 1) e Q e R os pontos da intersecção, caso existam da circunferência com a recta que passa por S e é perpendicular a TS pela proposição elementos III, 36 de Euclides, subsistem as igualdades. SP.SO = ST 2 e SQ.SR = ST 2

R

O

C C

P T

Q S

T

S

Figura 1- Resolução geométrica das equações quadráticas segundo Descartes.

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Daqui se conclui que o segmento de recta SP é solução da equação x 2 + bx = c , com efeito a primeira das igualdades precedentes pode ser escrito como SP ( SP + b ) = c . Uma vez que essa mesma igualdade também pode ser escrita na forma SO ( SO − b ) = c . Dela se conclui igualmente que o segmento de recta SO é solução da equação x 2 = bx + c . A segunda das igualdades acima podem ser escritas quer como

SQ ( b − SQ ) = c quer como SR ( b − SR ) = c

Por conseguinte, tanto o segmento de recta SQ como o segmento SR são soluções da equação x 2 + c = bx . Observe-se que, neste caso, um numero de pontos em que a circunferência intercepta a

recta perpendicular a tangente indica o numero de soluções da equação.

EQUAÇÕES QUADRÁTICAS NA ANTIGA BABILÓNIA "Comprimento, largura. Multipliquei comprimento e largura, obtendo assim a área. Então juntei à área o excesso do comprimento sobre a largura: 3,3 [i.e., o resultado obtido foi 183]. Além disso, juntei comprimento e largura: 27. Pede-se o comprimento, a largura e a área." A resolução deste problema equivale a resolver o sistema. Onde x - comprimento e y - largura

Para uma transformação y´= y + 2 o sistema fica transformado em:

xy´= 210

 xy´= 210   x + y´= 210

xy + 2 x = 210 ⇔ x ( y´−2 ) + 2 x = 210

Henrique Gomes / Wanderleia Furtado

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Historia Pensamento Matemático Se nos lembrarmos que esta transformação foi feita. Há perto de 4000 anos (1800 e 1600 A.C.), não podemos deixar de concluir que, na antiga Babilónia, a Álgebra atingiu um nível. Surpreendentemente. Avançado. Na verdade, cerca de 2000 anos antes da nossa era, os Babilónios podiam resolver sistemas de equações da forma:

o que equivale à resolução da equação quadrática x 2 + q = px

A orientação dos Babilónios para resolver o sistema: Consistia no seguinte:

1. Tomar metade de p:

2. Quadrar o resultado:

3. Subtrair q do resultado obtido:

4. Tomar a raiz quadrada do resultado obtido:

5. Somar o resultado obtido a metade de p:

O resultado obtido é um dos números desejados e o outro é a diferença deste para p. p - x = ( x + y) - x = y

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Historia Pensamento Matemático BABILÓNIA EQUAÇÃO DO 2º GRAU O Problema número 1 da placa de larsa BM 13901. que traduzia a resolução da equação do tipo , x 2 + x = c , segundo a indicação dos escribas. Podemos fazer a seguinte interpretação algébrica. x2 + x = c 2

2

2

2

2

2

1 1 1 1  1 1 1 1 ⇔ x + x+  = c+  ⇔ x+  = c+  ⇔ x+ = c+  ⇔ x = c+  − 2 2 2 2  2 2 2 2 2

Deste ponto de vista, o método indicado. Corresponderia a o que encontramos em muitos dos nossos manuais escolares na resolução directa das equações do 2ºgrau, isto é, sem aplicação da forma resolvente, transformando o primeiro membro da equação num quadrado. O método corresponderia então a “ completar um quadrado “ do ponto de vista algébrico. Vejamos agora a interpretação do mesmo problema segundo Jens Hoyrup,(1990) (i) que a equação diz respeito á adição de duas áreas: a área de um quadrado de lado desconhecida x e a área de um rectângulo de lados x e 1. (ii) que as instruções de escribas correspondem a operações concretas na “ geometria corta e loca” , que se podem traduzir por: •

Cortar a meio de rectângulo que se adiciona ao quadrado (a)

•

Deslocar uma das partes para formar uma gnómon (b)

•

Completar o quadrado geométrico pela adjunção de outro quadrado (c)

•

Determinar o lado do quadrado maior e finalmente, o lado do quadrado desconhecido.

a

b

c

Figura 2- Problema nº1 de BM 13901

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Aqui de facto se completa os quadrados. Mas no ponto de vista geométrico. Problema nº1 de BM 13901. No caso da equação x 2 − x = c Jens Hoyrup, afirma que este deve ser interpretado geometricamente, como no caso anterior. A equação traduziria: agora a diferença de duas áreas; área de um quadrado de lado desconhecida x e a área de um rectângulo de lados x e 1. O procedimento consiste em tirar da área do quadrado de lado desconhecido a área do rectângulo de lados 1 e x; transformar o rectângulo que resta num gnómon. Como no problema anterior completar o quadrado maior pela adjunção de um quadrado menor; determinar o lado de quadrado maior e finalmente, o lado de quadrado desconhecido.

a

b

c

Figura 3- Problema nº2 de BM 13901

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Historia Pensamento Matemático A EQUAÇÃO QUADRÁTICA NA ANTIGA GRÉCIA Os antigos gregos conseguiram resolver equações quadráticas, por meio de construções geométricas. Suponhamos agora que pretendemos resolver a seguinte equação: x 2 + px = q Esta equação é, evidentemente, equivalente à equação:

Então, para resolver a equação, basta construir

em seguida

p2 + q , extrair-lhe a raiz quadrada e subtrair-lhe, 4

p . 2 B

A C

D T

O

M

N

R

S

P

Q

Comecemos por considerar duas rectas r e s, concorrentes em O e, sobre r, um ponto M tal que OM =

p , sendo p o comprimento do segmento AB relativamente ao segmento unidadeU = EF e 2

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Historia Pensamento Matemático Consideremos sobre s dois pontos P e Q. tais que OP = U e PO =

p . Unamos P e M e conduzamos 2

por Q uma paralela a PM; seja N o ponto de intersecção dessa paralela com r.

Tem-se

OM × PQ p 2 OP PQ e, portanto, . Consideremos agora o ponto R, de r, tal que: = = OM MN OP 2

Trata-se de extrairmos a raiz quadrada de

p2 +q. 4

Para isso, marquemos sobre r o ponto S tal que RS tenha comprimento u e R fique entre M e S. Consideremos a perpendicular a r conduzida por R. Por um teorema conhecido da geometria Elementar (a altura de um triângulo rectângulo relativa à hipotenusa é o meio proporcional dos segmentos que o seu pé determina uma hipotenusa). Conclui-se que RT é precisamente a raiz quadrada de

p2 + q , visto que: 4

Para obter x, basta determinar RT −

p . 2

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MÉTODO DE VIÉTE PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU O método fornece as soluções da equação sem que se aplique uma fórmula, ou então, se aplicando à equação ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 , fornecerá de Bhaskara. Esse método oferece uma outra alternativa para a resolução muito instrutiva. O método: Vamos descrever o método de Viéte para resolução de equação do 2º grau. Seja ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 . Fazendo-se x = u + v , onde u e v são incógnitas auxiliares, e substituindo na equação temos: 2

a ( u + v ) + b ( u + v ) + c = 0 ⇒ a ( u 2 + 2uv + v 2 ) + b ( u + v ) + c = 0 . Viéte transformou essa equação numa equação incompleta do 2º grau, anulando o coeficiente de v, b isto é, escolhendo u = − . Obteve assim a equação: 2a 2

 b   b  av 2 + a  −  + b−  + c = 0 e chegou, após simples manipulação, a  2a   2a 

Se b 2 − 4ac ≥ 0 então v = ±

Logo x = u + v = −

v2 = ±

b 2 − 4 ac . 2a 2

b 2 − 4ac . 2a

b b 2 − 4ac −b ± b 2 − 4ac , que é a formula de Bhaskara. ± = 2a 2a 2a

Apliquemos o método na resolução da seguinte equação x 2 − 3 x + 2 = 0 ; Fazendo x = u + v e substituindo na equação vem:

(u + v )

2

− 3 ( u + v ) + 2 = 0 ⇔ v 2 − 3 ( 2u − 3) v + u 2 − 3u + 2 = 0 .

Escolhendo u =

3 9 9 1 donde: v 2 + − + 2 = 0 ou v 2 − = 0 . 2 4 2 4

Resultando v = ±

1 3 1 e x = u + v = + . Finalmente, temos as soluções: 2 e 1. 2 2 2

Henrique Gomes / Wanderleia Furtado

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Historia Pensamento Matemático CONCLUSÃO Depois de realizar este trabalho podemos afirmar que ao contrário do pensamos a abordagem geométrica vem antes da abordagem algébrica, pois como podemos reparar nas civilizações antigas equacionavam e resolviam habilmente equações recorrendo na maior parte das vezes a representações geométricas. Ainda diríamos que a resolução geométrica é muito eficiente tendo em conta a época, mesmo sem considerar as soluções negativas uma vez que trabalhavam com comprimentos de segmentos.

Henrique Gomes / Wanderleia Furtado

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Historia Pensamento Matemático Referencia:

•

“ Algebra and naive.geometry.An investtigation at. Some Basic.Aspects.Of old Babylonium Malhematical. Thought”

•

Alforientalische, Forschungen, uma análise filósofica rigorasa integrada no contexto da Antiga Babilónia •

http://www.Planeta educação.com.br/professores/suporteaoprofessor/peda/teoria 22.

Henrique Gomes / Wanderleia Furtado

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