Semelhança De Triangulos

INDICE

INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................... 3 NOÇÕES BASICAS DE UTILIZAÇÃO THE GEOMETER’S SKETCHPAD. .................................... 4 I JANELA DO GEOMETER’S SKETCHPAD.................................................................................................... 4 II DESENHAR ............................................................................................................................................ 4 III ARRASTAR, SELECCIONAR E CRIAR NOVAS FERRAMENTAS .................................................................. 5 IV MENU MEASURE (MEDIR E CALCULAR) ............................................................................................... 5 V O MENU TRANSFORM ........................................................................................................................... 6 VII MENU CONSTRUCT............................................................................................................................ 6 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ....................................................................................................... 7 ACTIVIDADE .......................................................................................................................................... 10 RESOLUÇÃO: ......................................................................................................................................... 11 APRECIAÇÃO FINAL............................................................................................................................ 12 DESIGNAÇÕES ....................................................................................................................................... 12

Introdução

Este trabalho é concebido no âmbito da disciplina da Didáctica de Geometria leccionada pelo Mestre João Felisberto Semedo. Tem por objectivo desenvolver e exposição de um tema da Geometria, escolhida aleatorimente pelos aluno

no meu caso o tema é

“investigação com geometer´s sketchpad pontos médios dos lados de um triângulo”.

O trabalho é feito com base em pesquisas bibliográficas e orientações fornecidos pelo professor. Para a realização do mesmo foram encontrei algumas dificuldades entre as quais a disponibilidade sala de infomática a execução do mesmo, algumas dúvidas pontuais que foram superadas com a orientação do professor. O trabalho está organizado da seguinte forma: •

Noções Basicas de utilização do programa de geometria dinâmica The Geometer’s Sketchpad.

•

Suporte teorico para a actividade (semelhança de triangulos)

•

Aplicação na resolução da actividade.

Noções Basicas de utilização The Geometer’s Sketchpad. A primeira tarefa a desenvolver está relacionada com a ambientação dos alunos ao programa de geometria dinâmica The Geometer’s Sketchpad, pretendendo-se que descubram algumas das funcionalidades do referido software. Com destaque para a barra de ferramentas e os menus usados nesta actividade.

I Janela do Geometer’s Sketchpad Barra de Ferramentas

Barra de título

Barra de Menu

Janela de desenho

Ferramenta activa

II Desenhar Três das ferramentas da Barra de Ferramentas servem para desenhar pontos, circunferências e rectas. Para escolher uma ferramenta de

Desenhar pontos Desenhar circunferências

desenho clica sobre ela.

Desenhar rectas e segmentos Atribuir nomes a pontos, rectas e circunferências ou fazer caixas de texto

1. Segmentos de rectas, rectas e semi-rectas A ferramenta que permite desenhar segmentos de rectas também permite desenhar rectas e semi-rectas. Para isso é necessário clicar na respectiva ferramenta e esperar que surjam as três hipóteses de escolha.

Segmento de recta

Semi-recta

Recta

III Arrastar, seleccionar e criar novas ferramentas Com esta ferramenta podemos seleccionar um ou mais objectos desenhados. Também podemos arrastar objectos desenhados. 2. Utiliza a ferramenta anterior para seleccionar uma das figuras que já desenhaste. Podes também arrastar pontos das figuras desenhadas e verificar o que acontece.

IV Menu Measure (medir e calcular) Com o Sketchpad podes medir comprimentos, ângulos e efectuar cálculos. Para isso utiliza-se o menu Measure. Para usares estas opções deves: Comprimento: seleccionar dois pontos ou um ponto e uma recta Distância: seleccionar um segmento de recta Perímetro: seleccionar o interior de um polígono, um círculo ou de um arco Perímetro de uma circunferência: seleccionar uma circunferência Ângulo: seleccionar três vértices, em que o segundo é o vértice do ângulo Área: seleccionar o interior de um polígono, um círculo ou de um arco Ângulo e comprimento de um arco: seleccionar um arco ou um sector Raio: seleccionar um círculo, um arco ou sector Razão: seleccionar dois segmentos Calculadora: permite fazer operações com medidas

Estas opções estão relacionadas com os gráficos

V O menu Transform Este menu permite fazer transformações: translações, rotações, reflexões e dilações.

Marcar centro, eixo de simetria, ângulo, razão, vector e distância

Translação, rotação, dilação e reflexão

Iterações

VII Menu Construct Colocar um ponto numa figura Criar um ponto médio num segmento Criar um ponto de intersecção entre dois objectos Construir um segmento de Construir uma semi-recta

recta

Construir uma recta Construir rectas paralelas e perpendiculares Bissectriz de um ângulo: seleccionar um ângulo Construir uma circunferência: seleccionando dois pontos ou um ponto e Construir um arco de circunferência: seleccionando uma Interior: Construir o interior de uma figura

Lugar geométrico: Construir o lugar geométrico

A segunda tarefa a desenvolver estará relacionada com o suporte teórico necessários para a resolução da actividade.

Semelhança de Triângulos Definição: Dois Triângulos são semelhantes sse possuem ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais. E C

B

A

D

F

       AB BC AC   ABC ∼ DEF ⇔  A ≡ F ; B ≡ D; C ≡ E e = =  DF DE EF   Obs. lados homólogos são os lados opostos a ângulos congruentes.

Teorema Fundamental: Se uma Recta é paralela a um dos lados de um triângulo, então o triângulo que ela determina é semelhante ao inicial.

 C Hipótese: DE // AB D

Tese:  DCE ∼ ACB

E

A

B

Demonstração: para provarmos a semelhança entre  DCE e  ACB , precisamos provar que eles têm ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais: C

1º) Ângulos congruentes

 ≡ ≡B  (ângulos correspondente) DE // AB ⇒ D AeE

(

)

A

 -comum (1) C 2º) Pelo teorema de Tales temos:

CD CE = AC BC
 Por E construímos EF paralela


 AC

com F em AB .

Paralelogramo  ADEF ⇒ DE ≡ AF Teorema de Tales ⇒

CE AF = ` AC AB

     

⇒

CE DE = AC AB

E

D

F

B

Logo

CD CE DE = = AC BC AB

(2)

3º) Conclusão (1) e (2) ⇒  DCE ∼ ACB Recordar: Teorema de Tales Se duas rectas são transversais de um feixe de rectas paralelas, então a razão entre dois seguimentos quaisquer de uma delas é igual a razão entre respectivos seguimentos correspondentes da outra. A

D

E

B

F

C

AB e BC são dois segmentos de uma transversal DE e DF são os respectivos correspondentes da outra. Então

AB DE = . BC DF

Critérios de semelhança: I - Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então elas são semelhantes. Hipótese

Tese  ACB ∼ A´B´C´

 ACB;  A´C´B´ A ≡   ≡C ´ A´, C Demonstração: Supor AB > A´B´.

=B ´ e o Seja D um ponto de AB tal que AD ≡ A´B´ e o triangulo  ADE com D ponto E no lado AC . A

D

B

A´

E

C

B´

C´

(

)

ALA

A ≡  ≡B ´ ⇒ ADE ≡A´B´C´ A´, AD ≡ A´B´, D

≡B ´ 

 B    ⇒ B ≡ D ⇒ DE // BC ´ ≡ D  B 

T . Fund

⇒  ABC ∼ ADE

    ⇒  ACB ∼ A´B´C´  

II- Dois triângulos são semelhantes quando. Têm um ângulo igual, compreendido entre lados proporcionais. Demonstração é análoga ao caso I. III - Dois triângulos são semelhantes quando tem os lados proporcionais.

ACTIVIDADE INVESTIGAÇÃO COM GEOMETER´S SKETCHPAD PONTOS MÉDIOS DOS LADOS DE UM TRIÂNGULO. 1) Seja  ABC um triângulo qualquer. Os pontos médios de cada um dos lados do triângulo definem um novo  D EF É habitual nas aulas de geometria, demonstrar – se que o  DEF é semelhante ao  ABC . Faz essa demonstração. 2) De facto, pode demonstrar – se que os triângulos  DEF ,  ADF ,  B D E ,  C E F todos congruentes justifique informalmente esta afirmação.

3) Tendo em conta 2, deve ser possível obter o  ABC a partir do  D E F utilizando as transformações, rotação, translação e reflexão do  D E F .

,

a) Com “GEOMETER´S SKETCHPAD” constrói um triângulo qualquer. F

D

E

b) Utilize o menu “transform” e faz rotações, translações e reflexões do  D E F , de modo obter um novo triangulo semelhante e no qual D, E e F, são pontos médios dos lados do novo triângulo. c) Descreva a lista de transformação que utilizasse para obter o novo triângulo. d) Repita o exercício para descobrir um modo diferente de obter o triângulo. Que transformação utilizaste.

Resolução: (1) seja  ABC , os pontos médios de cada um dos lados do triângulo definem um novo triangulo  DEF . E habitual, nas aulas de geometria demonstrar que

 DCE é semelhante a  ACB , faz-se essa demonstração. Hipótese C

D, E e F são pontos médios dos lados

AB , AC , BC Respectivamente.

E

F

Tese

 ACB ∼  DCE

A

D

B

Demonstração: •

 C 

Logo

•

AC BC  C .II =  ⇒  ABC ∼ EFC CE FC 

AC BC AB = = AE FC EF

AB BC  C . II  B comum , =   ⇒  ABC ∼ BDE DB BE  

Logo •

comum,

AB BC AC = = DB BE DE

Analogamente  ABC ∼  ADF

(2) de facto, pode-se demonstrar que os triângulos  ADE ,  DEF ,  FCE ,  DFB são todos congruentes. •

Basta observar que os Quadriláteros  ADEF ,  BDEF , CDEF são paralelogramos, concluindo assim que os triângulos são congruentes.

3) i)Construa o triângulo  DEF e faça rotação de amplitude 180º, deste triângulo em torno dos pontos médios dos seus lados. ii) Construa o triangulo  DEF e faça rotação de amplitude 180º, em torno dos vértices e seguidamente faça translação de modo conveniente depois esconda os seguimentos que não precisas

Apreciação Final Antes de tudo, é de referir a importância desta disciplina para nós, como futuros professores de matemática, visto que esta disciplina nos mostra como ser realmente verdadeiros professores de matemática. Diria que pretedia levar os meus colega aperceber das inumeras possibilidades que o programa geometer´s sketchpad nos oferece para o ensino da geometria, gostei muito da minha aula sobre tudo porque os meus colegas mostraram-se empenhados, seguindo atentamente o decorrer da aula, mas acabei por não terminar toda actividade devido a constrangimentos causados pela mudança de sala.

Designações •

 ACB - “Triangulo de verteste A´C´B´ ”

•

AB - “ Seguimento de extremidades A e B”

•

AB - “ Comprimento do seguimento AB ”

• •

ABDE - “ Quadrilátero de verteres A, B, D e E”
 AB - “Recta que passa pelos pontos A e B”

•

∼ - “ Símbolo de semelhança”

•

≡ - “ Símbolo de congruência ”

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Dolce, Osvaldo, 1938/ Pompeo, José Nicolão- Fundamentos de Matemática Elementar, 9: Geometria Plana; Pacheco de Amorim, Diego – Compendio de Geometria