Nasb

Aplikasi dari polinomial Legendre dalam fisika Para polinomial Legendre pertama kali diperkenalkan pada 1782 oleh Adrien-Marie Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi Newtonian

dimana r dan r 'adalah panjang dari vektor dan masing-masing dan γ adalah sudut antara kedua vektor. Seri menyatu ketika r> r '. Ekspresi memberikan potensial gravitasi dihubungkan ke titik massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan. . Perluasan menggunakan polinomial Legendre mungkin berguna, misalnya, ketika mengintegrasikan ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi muatan. Polinomial Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan Laplace dari potensi, , Di daerah bebas biaya ruang, dengan menggunakan metode pemisahan variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada sudut azimuthal). Di mana adalah sumbu simetri dan θ adalah sudut antara posisi pengamat dan sumbu (sudut puncak), solusi potensial akan

dan

harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah [2].

Polinomial Legendre dalam perluasan multipole

Gambar 1 Polinomial Legendre juga bermanfaat dalam memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):

yang muncul secara alami di multipole ekspansi. Di sisi kiri dari persamaan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre. Sebagai contoh, potensi listrik Φ (r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang terletak pada sumbu z pada z = a (Gambar 1) bervariasi seperti

Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre

di mana kita telah mendefinisikan η = a / r <1 dan x = cos θ. Perluasan ini digunakan untuk mengembangkan normal multipole ekspansi. Sebaliknya, jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas dalam polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertukar. Perluasan ini adalah dasar dari interior multipole ekspansi.

Sifat-sifat tambahan polinomial Legendre Polinomial Legendre adalah simetris atau antisymmetric, yang [ 1 ] [1] Karena persamaan diferensial dan properti orthogonality independen dari scaling, maka polinomial Legendre 'definisi yang "standar" (kadang-kadang disebut "normalisasi", tetapi perhatikan bahwa norma yang sebenarnya tidak kesatuan) dengan skala sehingga

Derivatif di titik akhir diberikan oleh

Sebagaimana dibahas di atas, polinomial Legendre mematuhi menggunakan tiga istilah yang dikenal sebagai hubungan kambuhnya Bonnet's rekursi rumus

dan

Berguna untuk integrasi polinomial Legendre adalah

Dari Bonnet's rekursi formula didapatkan oleh induksi representasi eksplisit

bergeser polinomial Legendre Polinomial Legendre yang bergeser didefinisikan sebagai . . Di sini "pergeseran" fungsi (sebenarnya, ini adalah sebuah transformasi affine) dipilih sedemikian rupa sehingga peta bijectively interval [0, 1] untuk interval [-1, 1], yang menyiratkan bahwa polinomial

adalah ortogonal pada [0, 1]:

Ekspresi eksplisit untuk bergeser polinomial Legendre diberikan oleh

Analog dari Rodrigues 'rumus untuk bergeser polinomial Legendre adalah

Beberapa bergeser pertama polinomial Legendre adalah: n 0 1 2

11 2x−12x-1

3

20 x 3 − 30 x 2 + 12 x − 1 20 x 3-30 x 2 + 12 x - 1

6x2−6x+16x2-6x+1