''nasb''

Nama kelompok : 1. Devi rostiyanti

( 060444)

Lia Lisniawati

( 050073)

3. Linda Sulistiawati

( 060445)

2.

(Aplikasi persamaan legendre) METODA PENENTUAN POTENSIAL

A. Koordinat Bola Dalam hal syarat batasnya mempunyai simetri bola, pemecahan persamaan Laplace dengan menggunakan koordinat bola lebih memadai. Dalam koordinat ini persamaan Laplace mempunyai bentuk seperti yang diberikan oleh persamaan dibawah ini ∇2 V =

1 ∂ ( r 2 ∂V 2 ∂ r ∂r r

)+

1 ∂  ∂V Sin θ ∂ θ ∂θ r Sin θ  2

)+

1 r Sin 2

2

∂2 V =0 θ ∂θ2

(3.49) Cukup banyak persoalan yang memiliki simetri azimut, karena itu kita akan mengkhususkan diri pada kasus ini. Dalam hal ini potensialnya tidak bergantung kepada variabel , sehingga persamaan Laplacenya menjadi lebih sederhana : ∂ ∂r

(

r2

∂V ∂r

)+

1 ∂  ∂V Sin θ Sin θ ∂θ  ∂θ

)

= 0

pemisahan variabel dilakukan dengan solusi coba yang berbentuk : V(r,θ ) = R (r) θ (θ ) (3.50) Setelah di substitusi ke dalam persamaan (3.49) dan membagi dengan Rθ , kita dapatkan persamaan :

1 d 2 dR (r R dr dr

d 

1

(3.51) 1 d dR (r 2 ) =( +1) R dr dr

θ

dθ 

∫ + ϑSin θ dθ Sin θ dθ  = 0

d 1 d  Sin θ θ Sin θ dθ  dθ 

  = ( + 1)  

d dR (r 2 ) =( +1 ) R dr dr

Jadi solusi bagian radialnya dapat dituliskan

R ( r ) =Ar

2

+

B

(3.52) r +1 Suku kedua bersifat singular untuk r = 0 harus dipilih B = 0 ; sebaliknya untuk r → ~, suku pertama akan “membengkak” (kecuali untuk  =0 ), karena itu di wilayah ini harus dipilih A = 0. Sehingga persamaan yang harus dipenuhi oleh bagian polar adalah

d d ( Sin θ θ dθ dθ

) = − (+1) Sin θ θ

(3.53)

persamaan diferensial legendre Orde  . → Solusi persamaan diferensial ini, tidak dikenal bentuknya yaitu Polinomial Legendre.

θ (θ) = P



(Cos θ ) → Polinom Legendre 

P ( x ) =

1 d    2 !  dx 

(x

2

−1)



(3.54) (3.55)

dimana  bilangan bulat bukan negatif. Rumus Rodrigues. P0 x) =1 P1 (x) = 2 1 ( 3x 2 −1) 2 1 = ( 5x 2 −3x ) 2 1 ( 35 x 4 −30 x 2 +3 ) = 8 1 ( 63 x 5 −70 x 3 +15 x ) = 8

P2 (x)

=

P3 (x) P4 (x) P5 (x) Solusi :

B   V ( r , θ) = Ar  + +1  P( Cos θ) r   Sehingga solusi umum merupakan gabungan linier : ~ B   V (r , θ) =∑  Ar  + +1  P( Cos θ) (3.56) r   =0  Contoh : Untuk tiitk didalam bola, diambil Bl = 0 bagi semua l, mengingat bila tidak demikian, harga potensial dipusat bola (r → 0), akan sangat besar, jadi dipermukaan bola r = R V0(θ )

R

Potensial didalam bola ? Untuk kasus ini Bl = 0 agar V tidak meledak di r = 0

V ( r, θ) = ∑l =0 ~

( Ar ) P( Cos θ) 

(3.57)

Untuk di r = R potensial harus memenuhi : ~

(

)

V (r , θ) =V0 (θ) =∑ Ar  P( Cos θ)  =0

(3.58)

kalikan persamaan diatas dengan Pm (Cos θ) Sin θ, integrasikan terhadap θdan gunakan sifat ortogonbalitas dari polinom legendre, yaitu :  ≠m 

∫P

l

− 

2π

( x ) Pm ( x ) dx = ∫P (cos

θ ) Pm (cos

0

0 , jika  ≠m  = θ ) sin θ= m 2 jika  ( 2 m +1)

 =m

lakukan manipulasi matematis, yaitu dengan memperkalikan rumus V o ( (θ) = V(r, θ) oleh Pm (Cos θ) Sin θ kemudian mengintegrasikannya, maka diperoleh : π

2 = V0 (θ) Pm (Cos θ) Sin θdθ (2m +1) ∫ 0

Rm

Am. =

π

( 2m +1 ) =∫ V0 (θ) Pm (Cos θ) Sin θdθ 2R m 0

Am. Solusi diberikan oleh (*) dengan koefesien yang dapat dihitung dari →

Ρ Ρ :

θ ; k = kons tan ta → Substitusi ke Ρ 2 k k V0 (θ) = ( 1 −Cos θ) = [P0 (Cos θ) −P1 (Cos θ)] 2 2

Misal : Vo ( θ) = k Sin 2

Substitusi ke * : Ao =

k  k  ; A 1 = − 2 2R  

A  = 0 untuk

Jadi (3.59)

k ∴V( r ,θ) = 2

 =1,2,3,4,........

 0  r r P0 ( Cos θ) − P1 (Cos θ)  = R  

k 2

r   1 − Cos θ   R 