Tugas 1 Mk Nasb

TUGAS 1 MATA KULIAH NASB

3.

1. Imas Masturoh (060441) 2. Siti imas komalasari (060450) Giriyani SS (060453)

APLIKASI PERSAMAAN LEGENDRE 1. Persamaan Legendre Bentuk umum suatu persamaan difeensial adalah sebagai berikut : dengan n adalah bilangan real sehingga disebut Persamaan Legendre. Apabila kedua ruas dibagi dengan ( 1-x2 ) ; PD menjadi :

bahwa x = 0 merupakan titik ordiner dari PD; sehinga PD diatas bisa diselesaikan dengan penderetan disekitar titik ordiner, dengan mengambil :

substitusikan y, y’ dan y” ke PD :

kemudian kumpulkan x sesuai pangkat yang sama, sehingga diperoleh persamaan:

rumus rekursif untuk s = 0,1,2,3,......

Dari rumus rekursif bisa diturunkan :

Persamaan Umum Persamaan Differensial:

2. Polinomial Legendre Dalam aplikasi persamaan Legendre, parameter n-nya adalah bilangan bulat positif (n ≥ 0) . Jika n adalah bilangan bulat positif, untuk s = n sisi kanan persamaan (1-15) sama dengan nol, dan

polinomial derajat n untuk n genap maupun ganjil yang terjadi disebut polinomial Legendre, ditulis dengan Pn(x). Bentuk umum dari Pn(x) bisa diturunkan dengan cara sebagai berikut:

sehingga untuk s = 0; 1; 2; 3; ...........; n – 1, nilai as dapat dinyatakan dalam an (n adalah pangkat tertinggi dari x dalam polinomial). Koefisien an merupakan konstanta sembarang, dipilih sebagai berikut:

pemilihan nilai an ini dilakukan agar untuk sebarang polinomial Pn(x); harga Pn(1) = 1, sehingga :

sehingga Pn(x) yang merupakan penyelesaian dari persamaan Legendre bisa dinyatakan secara umum :

dengan : M =

untuk n genap dan M =

untuk n ganjil.

Beberapa polinomial Legendre orde n :

Rumus - rumus rekursif untuk polinomial Legendre:

Rumus polinomial Legendre Pn(x) bisa dituliskan dalam bentuk formula Rodrigues sebagai berikut:

Dua buah polinomial Legendre yang berbeda akan saling tegak lurus pada interval 1 < x < 1 ; sehingga:

3. Aplikasi Persamaan Legendre dalam Matematika Fisika Persamaan Legendre berperan sangat penting dalam berbagai banyak cabang matematik terapan. Contohnya, persamaan Legendre pada kajian persamaan potensial dalam koordinat bola.

dipetakan ke koordinat bola

Menjadi

Apabila fungsi θ berbentuk V = rpθ,maka didapatkan:

Dengan menggunakan penggantian peubah x = cosθ dan mengganti θ dengan y, kita peroleh persamaan Legendre.