Monomios Polinomios.docx

TALLER DE MATEMÁTICAS CICLO 3 TEMA: LOS MONOMIOS, POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES OBJETIVO: RECONOCER LOS ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MONOMIO Y POLINOMIO EN LA PLICACION DE OPERACIONES

1. Suma de monomios Sól o p od e m os su m a r m on omi o s s e m ej a n te s . La s u ma d e l o s m on omi o s e s ot r o m on o mi o qu e ti e n e l a mi s ma pa rt e l i ter al y c u y o c o efi ci en t e e s l a su ma d e l o s co e fi ci en t e s.

ax n + bx n = ( a + b) x n

Ejemplo 2x 2 y 3 z + 3 x 2 y 3 z = ( 2 + 3 )x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z Si l os m on omi o s n o s on s e me j an t e s , al su m a rl os , s e obti en e u n p ol i n omi o.

Ej em p lo :

2x 2 y 3 + 3 x 2 y 3 z

2. Producto de u n número por un monomio El p r odu ct o d e u n n ú me r o p o r u n m on o mi o e s o t ro m on o mi o s e m ej an t e cu y o c o efi ci en t e e s el p r o du ct o d el c o efi ci en t e d el m on omi o p o r el n ú m e r o .

Ej em p lo :

5 · ( 2x 2 y 3 z ) = 10 x 2 y 3 z

3. Multiplicación de monomios

La mu l ti pl i caci ón de mon omi os es otro mon omi o qu e ti en e por coefi ci en te el produ cto de l o s c o e fi ci en t e s y cu y a p a rt e l i te ral s e obti en e mu l ti pl i can do l as p ot en ci as q u e ten g an l a mi s ma ba s e, e s d eci r , su man do l o s e xp on en t e s .

ax n · bx m = ( a · b ) x n

+ m

Ej em p lo :

(5x 2 y 3 z ) · (2 y 2 z 2 ) = (2 · 5) x 2 y 3 + 2 z 1 + 2 = 10x 2 y 5 z 3

4. Divis ión de monomios Sól o s e pu ed en di vi di r m on o mi o s cu an d o:

1 Ti e n en l a mi sm a p art e l i te ral 2 El g rad o d el di vi de n do e s ma y or o i gu a l qu e el d el di vi s o r

La di vi si ón d e m on o mi os e s ot r o m on om i o qu e ti en e p o r c o e fi ci en t e el c o ci en t e de l o s c o efi ci en t es y cu ya pa rt e l i te ral s e o bti en e di vi di en d o l a s p ot en ci as qu e t en g an l a mi sma ba s e , e s d e ci r , r e stan d o l o s ex p o n en t e s .

ax n : bx m = ( a : b ) x n

− m

Ej em p lo :

Si el g r ad o d el di vi so r e s m ay o r , o bt en e mo s u n a f r a cc ió n a lg e br a i c a .

Ej em p lo :

5. Potencia de u n monomio Pa ra r eal i z ar l a p ot e n ci a d e u n m on omi o s e el e va , c ada el e men t o d e e st e , al e xp on en t e qu e i n di qu e l a p ot en ci a.

( ax n ) m = a m · x n

· m

Ejemplos : (2x 3 ) 3 = 2 3 · ( x 3 ) 3 = 8x 9 (−3 x 2 ) 3 = ( −3) 3 · (x 2 ) 3 = − 27 x 6

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: P(x) = an xn + an − 1 xn − 1 + an − 2 xn − 2+ ... + a1x1 + a0 Siendo: an, an−1 ... a1, aonúmeros, llamados coeficientes n un número natural x la variable o indeterminada an es el coeficiente principal ao es el término independiente Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x. Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO

EJEMPLO

PRIMER GRADO

P(x) = 3x + 2

SEGUNDO GRADO

P(x) = 2x2 + 3x + 2

TERCER GRADO

P(x) = x3 − 2x2 + 3x + 2

Tipos de polinomios

1 Polinomio nulo Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos. P(x) = 0x2 + 0x + 0 2 Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado. P(x) = 2x2 + 3xy 3 Polinomio heterogéneo Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado. P(x) = 2x3 + 3x2 − 3 4 Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3 5 Polinomio incompleto Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. P(x) = 2x3 + 5x − 3 6 Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado. P(x) = 2x3 + 5x − 3 7 Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican: Los dos polinomios tienen el mismo grado. Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x − 3 + 2x3 8 Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 3x3 + 7x − 2 Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3 1 Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x 3− 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2+ 4x) 2 Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 3 Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar. P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3

P(x) + Q(x) = = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5 Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

1. Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales. Ejemplo

3 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6 2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo: 3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = = 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas. Mira la demostración con el siguiente ejemplo: P(x) = 2x2 − 3

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

OPCIÓN 1

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x = 2 Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x 3 Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5 OPCIÓN 2

Pa ra e xpl i car l a di vi si ón d e p ol i n omi os n o s val d r em o s d e u n ej empl o p r ác ti co :

P(x ) = x 5 + 2 x 3 − x − 8

Q( x) = x 2 − 2 x + 1

P(x ) : Q (x ) A l a iz q u ie r d a s it u a mo s e l di v id e nd o . Si el pol i n omi o no e s com p l eto d ej am o s hu ec o s en l o s l u gar e s qu e c o r r e sp on da n .

A l a d e re ch a s it u a mo s e l di v is o r d e n tr o d e u n a c a j a. Di v id i mo s e l pr i m er mo n om io d el d i vi d en do e nt re e l p r im e r mo n om i o d e l di v i so r. x5 : x2 = x3

Multipli c am os cada término del polinomi o divisor por el resulta do anterio r y lo re s t am os de l po l i n om io d iv i de n do :

Vol v em o s a d i v id i r el p ri m er m on o mi o del di vi d en d o e n t r e el p ri m er m on o mi o del di vi so r . Y el r e su l ta do l o mu l ti pl i cam os po r el di vi s or y l o r e sta m os al di vi d en d o . 2x 4 : x 2 = 2 x 2

Pr o c ed e m os i gu al q u e an t e s . 5x 3 : x 2 = 5 x

Vol v em o s a h a c e r l as mi sm as op e ra ci on e s. 8x 2 : x 2 = 8

10x − 1 6 e s el r e st o , p o rqu e su g r ad o es me n or q ue e l d el d iv i so r y p o r tan t o n o s e pu ed e c on ti n u a r di vi di en do . x 3 + 2x 2 + 5x + 8 e s el coc i e nt e .