Monomios Y Polinomios

MONOMIOS Y POLINOMIOS - Un monomio es una expresión algebraica formada por un número real (coeficiente) multiplicado por 3 unas variables indeterminadas elevadas a exponentes naturales (parte literal). Ej: −2x 3 y , xy , 7x 4 , 8. 2 - Se dice que dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Ej: −2x 3 y y 7x 3 y - Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de la parte literal. Ej: grado ( −2x 3 y ) = 4

1. Completa la siguiente tabla: ¿Es monomio? 2 3 3x y −x 2 3x 2 y

Coeficiente

Parte literal

Grado

Monomio semejante

5xy 4 z 2

x 3y −2 - Para sumar (o restar) monomios, tienen que ser monomios semejantes, se suman (o se restan) los coeficientes y se pone la misma parte literal. Ej: 2x 2 y − 7x 2 y = −5x 2 y - Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y la parte literal aplicando la fórmula a m ⋅ a n = a m + n . Ej: (2x 2 y) ⋅ (−3x 3 y 2 z) = −6x 5 y3 z -Para dividir monomios se dividen los coeficientes y la parte literal aplicando la fórmula a m : a n = a m − n . Ej: (2x 2 y3 ) : (− xy) = −2xy 2 (No siempre se obtiene un monomio).

2. Halla A(x)+B(x), A(x)-B(x), A(x) ⋅ B(x), A(x):B(x), A(x)+C(x), A(x)-C(x), A(x) ⋅ C(x), A(x):C(x), C(x)+B(x), C(x)-B(x), C(x) ⋅ B(x), C(x):B(x), donde A(x) = 3x 4 , B(x) = −2x 4 , C(x) = 2x 4 y . 3 xy - 7x 4 2 - Se llama binomio al polinomio que compuesto sólo por dos monomios (no semejantes). Ej: −2x 3 y -3x - Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen (una vez están agrupados al máximo). Ej: grado ( −2x 3 y + 3xy - 7x 3 ) = 4 - Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios. Ej: −2x 3 y +

- Se llama coeficiente director al coeficiente del término de mayor grado. Ej: 7x 4 − x 2 + 1
7 - Se llama término independiente al coeficiente del término que no tiene parte literal. Ej: 7x 4 + 1
1 3. Halla el

grado

de los

siguientes

polinomios:

3x 2 + 6x − 1 ,

x 2 y 2 − xy + x 2 − 2x 2 y 2 + x 2 y 2 ,

3x 6 + 6x − x 7 , 3x 2 y3 + 6x 4 − y3 − x 2 y , − x 2 y 2 + 6x 4 y − y3 − x 2 y , 3x 4 + 6x − x 7 + 2x 6 + x 2 + x 7

- Para sumar (o restar) polinomios, se suman (o se restan) los términos que sean monomios semejantes, dejando los demás igual. Ej: (3x 2 y − xy + 2xy 2 + x 2 ) − (3xy − x 2 y − xy 2 ) = 4x 2 y − 4xy + 3xy 2 + x 2 - Para multiplicar un número por un polinomio se multiplican todos los coeficientes por ese número, dejando las partes literales iguales. Ej: −3(3x 2 y − xy + 2xy 2 ) = −9x 2 y + 3xy − 6xy 2 - Para multiplicar polinomios se multiplican todos los monomios de uno de los polinomios por todos los del otro, agrupando los términos semejantes. Ej: (2x 2 + x) ⋅ (−3x 3 − 2x + 1) = −6x 5 − 4x 3 − 3x 4 + x 4. Calcula A(x)+B(x)+C(x), A(x)+B(x), [B(x)+C(x)]-A(x), 2A(x)-B(x)+3C(x), A(x)-B(x) ⋅ C(x)+3B(x), C(x)-B(x)-A(x), 2B(x)+A(x) ⋅ C(x), 3A(x)+2B(x)-C(x), A(x) ⋅ B(x) ⋅ C(x), [A(x)] 2 , donde 2 3 4 3 A(x) = 3x + 6x − 1 , B(x) = − x + 5x − 7 , C(x) = 2x + 2x − x + 3 .

5. Sabiendo que A(x) = 3x 2 y + 2xy − x , B(x) = − x 2 y + 5xy − xy 2 , C(x) = x 2 y − 2x + 3xy 2 , realiza las siguientes operaciones: 2A(x)-B(x)+3C(x), C(x)+A(x) ⋅ B(x), 2A(x)-A(x) ⋅ C(x), [C(x)-A(x)] ⋅ B(x). El valor numérico de un polinomio es el que resulta de sustituir las indeterminadas por número.

6. Calcula el valor numérico de A(x) = 3x 2 + 6x − 1 , B(x) = − x 3 + 5x − 7 cuando x = 0, x = -1 y x = 2.

PRODUCTOS NOTABLES

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 ( a + b ) ⋅ (a − b) = a 2 − b 2

7. Desarrolla las siguientes expresiones: a) (x + 4) 2 b) (2x + 3) 2 d) (4x − 5) 2 e) (3 − x) 2 g) (2x − 3xy 2 ) ⋅ (2x + 3xy 2 ) h) (2x 3 − y 2 ) ⋅ (2x 3 − y 2 ) j) (3xy − 2)2 m) (3 − 2x) ⋅ (3x − 2)

2

k) (−2x 3 − y 2 )2

l) (3x 4 − 2x 3 ) 2

n) (x 2 − 1) 2

ñ) (x 2 + 1) ⋅ (x 2 − 1)

q) ( 2x − 3) ⋅ (2x + 3)

x  s)  2xy 2 +  3 

u) ( 5x 3 y 2 − 3xy )

x) ( 5x 3 y 2 − 3xy )

i) (2x 3 + y 2 ) ⋅ (2x 3 − y)

p) (x − 3y) 2

x  x  o)  − y  ⋅  + y  2  2 

 x2  r)  − 3y   2 

c) (3x − 2) 2 f) (x − 4) ⋅ (x − 4)

v) ( 2x + y 4 )

2

w) ( 3x 2 − xy3 )

2

y) ( x 3 y 2 + 2x 2 y )

2

 x2 y   x2 y  − 3xy  ⋅  + 3xy  t)   2   2 

2

▭ ▭▭ ▭

1 + +4 d) ( x + 2) 2 = 2 g) x 2 + 16x + 64 = (x − )2 9. Simplifica: a) (x + 2) 2 − ( x + 3) ⋅ (x − 3)

z) ( 5x 3 y 2 − 3xy ) ⋅ ( 5x 3 y 2 + 3xy )

2

8. Completa las siguientes igualdades: a) (x − 3) 2 = x 2 − +9 b) (3x − 4) 2 = 9x 2 −

+ 16

▭ ▭ ▭

e) (2x + 1) ⋅ (2x − 4) =

c) (2x + 1)2 =

−1

h) 25x 2 − 10x + 1 = (5x −

)2

b) (2x + 1) 2 − ( 2x + 3) ⋅ (x − 2)

e) (x 2 − 1) ⋅ (x 2 + 1) − x 4

f) (x + 5) ⋅ (−5 + x) + (x − 5) 2

p) 8x 2 − 18 t) 27x 2 − 3

b) x 2 + 1 − 2x f) 16x 2 − 1 1 j) x 4 + x 2 + 4 n) 12xy − 4x 2 − 9y 2 q) 3x 3 − 6x 2 + 3x u) 2x 2 − 18xy 2

+ 4x + 1

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d) 5x ⋅ (x 2 − 2x + 3) − (x + 3) 2

10. Factoriza: a) x 2 + 10x + 25 e) 9x 2 − 25 1 i) x 4 − 4 3 m) 2x − 12x 2 + 18x

▭

x x f) ( + 1) ⋅ ( − 1) = −1 2 2 i) (3 − x) ⋅ (3 + x) = 9 −

c) (3x − 5) 2 + (3x + 5) 2

Para factorizar un polinomio: 1.- Extraer factor común. 2.- Expresar en forma de producto notable.

2

Ej: x 3 − x = x ⋅ (x 2 − 1) = x ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1) Ej: 2x 2 − 8x + 8 = 2 ⋅ (x 2 − 4x + 4) = 2 ⋅ (x − 2) 2

c) 4x 2 − 12x + 9 g) 9x 2 − 12xy + 4y 2

d) 4 + 4x + x 2 h) x 4 − 2x 3 + x 2

x6 − x2 4 ñ) x 2 − x 4

l) 9 − 4x 2

r) x 5 − x v) x 2 y 2 + y 2 + 2xy 2

s) 8x 2 + 40x + 50 w) 8x 2 + 32x + 32

k)

o) x 3 − xy 2