Modelos Optimizacion Portafolios

Modelos de optimización de portafolios: un estudio comparativo basado en simulaciones computacionales Jaime Fern´andez R. [email protected] I Jornadas de Modelizaci´on en Econom´ıa y Finanzas Escuela Polit´ecnica Nacional Quito, Ecuador Julio 2008

J.E.F.R. – p.

CONTENIDO Introducción a la Teoría de Portafolios Modelo de Markowitz Modelos lineales Modelo con restricciones de dominación estocástica Estudio comparativo: resultados fundamentales Conclusiones

J.E.F.R. – p.

Teoría de Portafolios Portafolios de inversión: Asignar un monto de capital a un conjunto de activos. Activos financieros: Renta fija: pólizas, cédulas, bonos. Renta variable: acciones. El problema de optimizar un portafolio: Problema bicriterio. Dos objetivos contrapuestos: Maximizar la ganancia esperada. Minimizar el riesgo.

J.E.F.R. – p.

Técnicas de Análisis Bursátil Análisis Fundamental Hipótesis: El mercado puede no ser eficiente a corto plazo, pero lo es a largo plazo. Objetivo: estudiar toda la información disponible en el mercado. Macroeconómica: condiciones generales del mercado. Microeconómica: estados financieros, balances, resultados de ventas, flujos de efectivo, etc. No existe una única metodología de análisis fundamental, sino varias en función del sector que se analice. J.E.F.R. – p.

Técnicas de Análisis Bursátil Análisis Técnico Hipótesis: La información que se tiene en el presente, casi seguramente se conservará en el futuro. Objetivo: Pronosticar variaciones futuras de un valor bursátil basándose en la evolución histórica de sus cotizaciones. Conjunto de modelos o métodos utilizados para construir un portafolio óptimo en base al precio, tiempo y volumen negociable de los activos.

J.E.F.R. – p.

Técnicas de Análisis Bursátil Críticas al Análisis Técnico El precio de un activo puede no reflejar toda la información existente en el mercado. Lo que sucedió en el pasado puede no volver a suceder en el futuro. No es útil en mercados que no son competitivos, o que tienen información reservada a un pequeño grupo de inversionistas privilegiados.

J.E.F.R. – p.

El problema Markowitz, 1952. Primera gran revolución en la teoría de portafolios. Modelo cuadrático. Diversificación. Simplifica el Análisis Fundamental al estudio de tres estadísticos básicos: Media Varianza Covarianzas de las tasas de rendimiento de los activos.

J.E.F.R. – p.

Enfoque media-varianza Permite deducir combinaciones de activos que simultáneamente cumplen con dos condiciones: tienen la varianza mínima dentro de todas las combinaciones posibles que tienen un rendimiento esperado dado, y tienen el rendimiento esperado máximo dentro de todas las combinaciones posibles que tienen una varianza dada.

J.E.F.R. – p.

Frontera eficiente Aquellas combinaciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan portafolios eficientes. El conjunto de portafolios eficientes se conoce como frontera eficiente. Si un portafolio se encuentra en la frontera eficiente, se dice que domina a los que no lo están.

J.E.F.R. – p.

Frontera eficiente

J.E.F.R. – p. 1

Retorno Medida de la ganancia obtenida sobre una inversión en un período de tiempo dado. Consideremos una acción S en los períodos 0, ..., T. Sean S(0) y S(T ) los precios de la acción en los instantes 0 y T , respectivamente.

J.E.F.R. – p. 1

Retorno La cantidad

S(T ) − S(0) pT = S(0)

(1)

se denomina retorno simple o aritmético en el período 0, ..., T. La cantidad S(T ) rT = ln (2) S(0) se denomina log retorno o retorno geométrico en el período 0, ..., T.

J.E.F.R. – p. 1

Riesgo Sistemático, de mercado o no diversificable. Factores externos, coyuntura económica general. No depende de las características individuales del activo. No sistemático, específico o diversificable. Depende exclusivamente de las características específicas del activo; solvencia, liquidez, naturaleza de sus actividades, etc.

J.E.F.R. – p. 1

Riesgo diversificable Existen varios métodos para estimar el riesgo diversificable: Varianza, Funciones de desviación absoluta, Valor en Riesgo (VaR), Rango de variación, etc.

J.E.F.R. – p. 1

Riesgo no diversificable El modelo más conocido para estimar el riesgo no diversificable es el llamado “modelo de mercado” de Sharpe. Criterio de clasificación de activos en base al riesgo: coeficiente Beta de Sharpe, o coeficiente de volatilidad. Este coeficiente indica cuánto varía el rendimiento de un activo en función de las variaciones producidas en el rendimiento del mercado en el que este se negocia, de manera que: β < 1 refleja activos poco volátiles, β > 1, muy volátiles y β = 1, activos neutros.

J.E.F.R. – p. 1

Valor en Riesgo (VaR) Es un estadístico que cuantifica, con determinado nivel de significancia, el monto de pérdida que un portafolio enfrentará en un período predefinido de tiempo. Es común en el ámbito financiero calcular el VaR con un nivel de significancia del 95%, suponiendo que los retornos siguen distribución normal. En el contexto de la optimización de portafolios, se calcula el VaR como una medida del riesgo diversificable.

J.E.F.R. – p. 1

Valor en Riesgo (VaR)

J.E.F.R. – p. 1

Modelo de Markowitz Sean R1 , R2 , ..., Rn las variables aleatorias que representan los retornos de las acciones 1, 2, ..., n. Se asume que E[|Rj |] = rj < ∞ para j = 1, ...n. El retorno total está dado por: R(x) = R1 x1 + R2 x2 + ... + Rn xn .

(3)

Claramente, el conjunto de todas las posibles asignaciones para las acciones, al que llamaremos conjunto factible es: ( ) n X X = x ∈ Rn : xj = 1, xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n j=1

J.E.F.R. – p. 1

Modelo de Markowitz Notemos por µ ∈ Rn al vector de los retornos esperados rj de las acciones, Σ ∈ Rn×n la matriz de varianzas-covarianzas de dichos retornos. Sea R0 el retorno mínimo aceptado, el modelo cuadrático de Markowitz es:  t min x Σx     s.a.      µt x ≥ R0 n (M M ) X   xj = 1     j=0    x ≥ 0, x ∈ Rn

J.E.F.R. – p. 1

Modelos lineales Konno y Yamazaki, 1991. Segunda gran revolución en Teoría de Portafolios. Medidas alternas de riesgo. Una de ellas con la capacidad de “linealizar” el modelo de Markowitz. Otras medidas de riesgo: Semi-varianza inferior, Desviación absoluta media, Desviación absoluta máxima, etc.

J.E.F.R. – p. 2

Modelo de Konno Función de desviación absoluta media: # " n n X X Ri x i − E Ri x i l1 (x) = E i=1

(4)

i=1

El riesgo del portafolio está medido por la desviación absoluta de la tasa de retorno de las acciones en lugar de su varianza. El problema de optimización de portafolios con esta medida de riesgo l1 puede ser formulado como un problema de programación lineal.

J.E.F.R. – p. 2

Modelo de Konno Notemos por: S = {x = (x1 , ..., xn ) :

n X

rj xj ≥ ρM0 ,

j=1

0 ≤ xj ≤ µj , j = 1, 2, ..., n} El modelo consiste en minimizar l1 (x) sobre S: # "  n n X X    Rj x j − E Rj x j min w(x) = E j=1 j=1 (M K)  s.a.    x∈S

J.E.F.R. – p. 2

Modelo de Konno El modelo linealizado:  T X   1  min w(x) = yt  T    t=1   n  X  s.a. y ≥ (rjt − rj )xj , t = 1, ...T t (M KL) j=1   n  X    (rjt − rj )xj , t = 1, ...T yt ≥ −     j=1   x∈S

J.E.F.R. – p. 2

Modelo de Konno Donde rj es el retorno esperado del j-ésimo activo y rjt es la tasa de retorno del j-ésimo activo durante el período t. El número de restricciones es proporcional al número de períodos de análisis.

J.E.F.R. – p. 2

Modelo de Cai Función de desviación absoluta máxima: l∞ (x) = max E|Ri xi − E(Ri )xi | 1≤i≤n

(5)

Esta función mide el máximo de los riesgos individuales de cada activo.

J.E.F.R. – p. 2

Modelo de Cai El modelo consiste en minimizar l∞ (x) sobre S:  max E|Ri xi − E(Ri )xi |  min l∞ (x) = 1≤i≤n (M C) s.a.   x∈S

J.E.F.R. – p. 2

Modelo de Cai Modelo linealizado de Cai:  min y    s.a. (M CL) qj xj ≤ y, j = 1, ..., n    x∈S

J.E.F.R. – p. 2

Modelo de Cai Donde qj = E|Rj − rj |, j = 1, ..., n, el cual es la desviación absoluta esperada de Rj de su media. Si la distribución Rj es dada, qj está determinada. Los datos históricos también pueden ser utilizados para estimar rj y qj . El número de restricciones de este modelo está determinado por el número de activos.

J.E.F.R. – p. 2

Modelo de Teo T La función de riesgo alternativa H∞ (x): T X 1 T max E|Rit xi − rit xi | H∞ (x) = T t=1 1≤i≤n

(6)

Donde Rit es una variable aleatoria que representa el retorno del activo i en el instante t, y rit su esperanza, t = 1, 2, ..., T , i = 1, 2, ..., n.

J.E.F.R. – p. 2

Modelo de Teo T H∞ (x) es una extensión de l∞ (x), asumiendo que se tienen datos históricos disponibles de T períodos de tiempo. En cada período se calcula la desviación absoluta individual con respecto al valor esperado en ese período. El riesgo total del portafolio es el promedio de los máximos de las desviaciones absolutas individuales de las acciones en todos lo períodos.

J.E.F.R. – p. 3

Modelo de Teo T El modelo consiste en minimizar H∞ (x) sobre S:

(M T )

    min

 s.a.    x ∈ S.

T H∞ (x) =

1 T

T X t=1

max E|Rit xi − rit xi |

1≤i≤n

J.E.F.R. – p. 3

Modelo de Teo Su transformación lineal es:  T X   1  yt min  T   t=1 (M T L) s.a.    ajt xj ≤ yt , t = 1, ..., T, j = 1, ..., n    x∈S

J.E.F.R. – p. 3

Modelo de Teo Donde ajt = E|Rjt − E(Rjt )|, j = 1, ..., n, t = 1, ..., T . El número de restricciones está determinado por el número de activos y el número de períodos. Si n o T son demasiado grandes, el tiempo de respuesta, en términos computacionales, también se hace grande.

J.E.F.R. – p. 3

Modelo modificado de Konno Optimiza una combinación lineal parametrizada del retorno esperado del portafolio y la función de desviación absoluta media l1 (x), propuesta por Konno. No requiere de una cota inferior para el rendimiento. El nivel de aversión al riesgo está cuantificado por el parámetro.

J.E.F.R. – p. 3

Modelo modificado de Konno El modelo:   min −E[R(x)] + λl1 (x)    s.a. (M KM ) Pn xj = M 0  j=1   0 ≤ x ≤ µ, j = 1, ..., n j

J.E.F.R. – p. 3

Modelo modificado de Konno Basado en la transformación lineal de Konno, el modelo lineal es:  T  X Pn   1  min − r x + λ y j j t  j=1 T    t=1  n  X     (rjt − rj )xj , t = 1, ...T s.a. yt ≥ j=1 (M KM L) n  X    (rjt − rj )xj , t = 1, ...T yt ≥ −     j=1  P  n   xj = M 0 j=1    0 ≤ x ≤ µ, j = 1, ..., n j

J.E.F.R. – p. 3

Modelo modificado de Konno Donde M0 es el capital total disponible y µ es el capital máximo a destinarse a una acción individual. El parámetro λ se escogió por medio de exploración exhaustiva con el criterio de maximizar el rendimiento promedio del portafolio. Se simularon valores entre 0.05 y 1, incrementando en 0.05 su valor en cada paso.

J.E.F.R. – p. 3

Dominación estocástica Comparar variables utilizando funciones de rendimiento construidas a partir de sus funciones de distribución de probabilidad. Para una variable aleatoria V , la función de rendimiento F2 está dada por áreas bajo la curva de la función de distribución F , Z η F2 (V ; η) = F (V ; ξ)dξ, η ∈ R. (7) −∞

F2 define la relación de dominación estocástica de segundo orden (SSD).

J.E.F.R. – p. 3

Dominación estocástica Se dice que una variable aleatoria V domina estocásticamente en segundo orden a otra variable aleatoria S, y se nota V SSD S, si: F2 (V ; η) ≤ F2 (S; η),

∀η ∈ R.

La relación de dominación estricta correspondiente SSD se define en la forma usual: V SSD S si y solo si V SSD S y S 6SSD V .

J.E.F.R. – p. 3

Dominación estocástica En este contexto, se consideran variables aleatorias que representan retornos de la forma: R(x) = R1 x1 + R2 x2 + ... + Rn xn . Se dice que un portafolio x domina estocásticamente en segundo orden a un portafolio y (R(x) SSD R(y)), si: F2 (R(x); η) ≤ F2 (R(y); η),

∀η ∈ R.

(8)

y (8) se cumple con desigualdad estricta para algún η.

J.E.F.R. – p. 4

Dominación estocástica Un portafolio x se llama SSD-eficiente en un conjunto de portafolios X si no existe y ∈ X tal que R(y) SSD R(x). Sea Pn n X = {x ∈ R : i=1 xi = 1, xi ≥ 0, i = 1, ..., n}. Sea Y una variable aleatoria con esperanza finita que representa el retorno de un portafolio referencial z¯, i.e. Y = R(¯ z ).

J.E.F.R. – p. 4

El problema restringido Se plantea el problema como la búsqueda de un nuevo portafolio x que sea preferible sobre Y en el sentido de la dominación estocástica de segundo orden:  max E[R(x)]    s.a. (M E) R(x) SSD Y    x∈X

J.E.F.R. – p. 4

Modelo discretizado Se asume que Y tienen una distribución discreta con escenarios posibles yi , i = 1, 2, ..., m y que los retornos tienen distribuciones discretas con escenarios posibles rjt , t = 1, ..., T, j = 1, ..., n, cada uno con una probabilidad asociada pt . Introduciendo variables sit que representan el déficit de R(x) por debajo de yi en el escenario t, i = 1, .., m, t = 1, ..., T, se tiene el siguiente modelo discretizado:

J.E.F.R. – p. 4

Modelo discretizado

(M ED)

 max E[R(X)]     s.a.    n  X    xj rjt + sit ≥ yi , i = 1, ..., m, t = 1, ..., T    j=1 T X

    p s ≤ F (Y ; y ), i = 1, ..., m t it 2 i     t=1    sit ≥ 0, i = 1, ..., m, t = 1, ..., T    x∈X

J.E.F.R. – p. 4

Estudio comparativo 1. 2. 3. 4.

Selección de modelos Implementación Selección de instancias Pruebas computacionales

J.E.F.R. – p. 4

Selección de modelos Se escogieron aquellos considerados de mayor importancia, bien sea por su contenido teórico, su valor histórico o porque son los más utilizados hoy en día: Markowitz Konno Cai Teo Konno modificado Restricciones de dominación estocástica

J.E.F.R. – p. 4

Implementación Se decidió emplear el entorno de programación Matlab: solvers incorporados. Pruebas: Estabilidad de los algoritmos Depurar errores Verificar consistencia en resultados

J.E.F.R. – p. 4

Selección de Instancias NYSE (DJIA): Bolsa de valores de Nueva York. 30 más grandes empresas del sector industrial, e.g. Boeing, HP, Chevron, GM, etc. NASDAQ-TEC: Bolsa electrónica más grande de Estados Unidos. 14 de las más grandes empresas del sector tecnológico, e.g. IBM, Intel, Google, Apple, etc. NASDAQ-FIN: 12 de las más grandes empresas del sector financiero, e.g. Altera Corp., Arch Capital Group, Bankfirst, etc. Se seleccionaron 6 instancias, dos por cada uno de estos conjuntos de activos divididas entre Enero 2005 y Diciembre 2007.

J.E.F.R. – p. 4

Dow Jones Sep-Dic 2006

J.E.F.R. – p. 4

NASDAQ-TEC Sep-Dic 2006

J.E.F.R. – p. 5

NASDAQ-FIN Sep-Dic 2006

J.E.F.R. – p. 5

Dow Jones Sep-Dic 2007

J.E.F.R. – p. 5

NASDAQ-TEC Sep-Dic 2007

J.E.F.R. – p. 5

NASDAQ-FIN Sep-Dic 2007

J.E.F.R. – p. 5

Pruebas computacionales Formar portafolios iniciales al final del mes de septiembre del segundo año. Estrategia en-línea para reestructurar el portafolio diariamente durante el último trimestre, tomando en cuenta los costos transaccionales. Se evalúa la calidad calculando 5 estadísticos: PROM: Valor neto promedio D.E.: Desviación estándar MAX: Valor neto máximo MIN: Valor neto mínimo RANG: Rango

J.E.F.R. – p. 5

Estrategia en-línea Cada día se corren los 6 modelos con la nueva información. Se halla el nuevo portafolio óptimo x∗ . Si V NP ∗ − γ

n X i=1

[x∗i − xi ]+ Pi − δ

n X

[xi − x∗i ]+ Pi > V N P

i=1

entonces x −→ x∗ , caso contrario, el portafolio x se mantiene.

J.E.F.R. – p. 5

Estrategia en-línea Donde x es el portafolio previo a la reestructuración. V N P es el valor del portafolio x. V N P ∗ es el valor del portafolio x∗ . Pi es el precio del activo i al momento de la reestructuración. γ es la tasa que una casa de valores comisiona en compra de acciones. δ es la tasa que casa una de valores comisiona en venta de acciones. [a]+ = max{0, a}.

J.E.F.R. – p. 5

Tabla de resultados

J.E.F.R. – p. 5

VNP Dow Jones Oct-Dic 2006

J.E.F.R. – p. 5

VNP NASDAQ-TEC Oct-Dic 2006

J.E.F.R. – p. 6

VNP NASDAQ-FIN Oct-Dic 2006

J.E.F.R. – p. 6

VNP Dow Jones Oct-Dic 2007

J.E.F.R. – p. 6

VNP NASDAQ-TEC Oct-Dic 2007

J.E.F.R. – p. 6

VNP NASDAQ-FIN Oct-Dic 2007

J.E.F.R. – p. 6

Conclusiones Las medidas de riesgo específico utilizadas cuantifican implícitamente el riesgo de mercado. La consideración o no de los costos transaccionales cambia radicalmente los criterios de calidad de los modelos, obtenidos en base a los estadísticos ya mencionados. El modelo de Markowitz ha perdido terreno en cuanto a su aplicabilidad. El modelo de Teo es el único en el cuál el tiempo de respuesta es un factor a tomar en cuenta. Un corrida en-línea (aproximadamente 63 iteraciones) toma 693 minutos.

J.E.F.R. – p. 6

Conclusiones Si bien el modelo estocástico es muy rico teóricamente, y obtiene rendimientos altos, es el modelo que más dispersión arroja en sus resultados. El modelo de Konno modificado es el único que obtiene, en al menos una instancia de prueba, los mejores resultados respecto a todos los indicadores analizados. En general se comporta mejor que los demás modelos bajo tendencias a la baja en las cotizaciones.

J.E.F.R. – p. 6

Preguntas

?

J.E.F.R. – p. 6