Modelos

MODELOS DE PROBABILIDAD El modelo de probabilidad es una expresión matemática que resulta de un cumulo de supuestos. El modelo describe el comportamiento de una variable aleatoria si el experimento se repite bajo ciertas condiciones iniciales, y por lo tanto ayuda a predecir resultados de futuras repeticiones. Modelo Bipuntual o de Bernoulli Se aplica a una variable que solo puede asumir dos valores: 0 y 1 Consideremos un experimento que puede presentar solo dos resultados , que podríamos llamar éxito y fracaso , y una variable a la cual le asignaremos valores 0 y 1 según resulte éxito o fracaso respectivamente. Es decir Ω = {E , F } Entonces definimos la variable X como presencia o ausencia de cierta característica Es decir: ausencia de la característica ω = E ⇒ X (ω) = X ( E ) = 1⇒ausencia de la característica Sea p la probabilidad conocida de que se presente la característica (es decir , la proporción poblacional). P = P (E )

⇔

P ( X = 1) = p

q =1 − P = P( F )

⇔

P ( X = 0) = q = 1 − p

La distribución de probabilidad bipuntual se expresa de la siguiente manera.

 p x.q1− x p a r xa = 0,1, . .n. . . p( x) =  ∀ o t rx o El único parámetro de esta distribución  0 P = P (E ) , simbólicamente escribimos

es

X ≈ Bi ( p ) , y leemos X se distribuye Bernoulli con parametro “p”. La función de distribución acumulada F ( x) = P ( X ≤ x) se expresa de la siguiente forma:

0 x  F ( x) =  ∑ p k q1− k  k= 0  1 E( X ) = p V ( X ) = p.q

s ix < 0 s ix = 0, 1 s ix > 1

Las características de posición y dispersión son su esperanza y variancia:

Modelo Binomial : Consideremos repetidas pruebas Bernoulli independientes, donde solo interesa la cantidad de veces que ocurre éxito. El experimento debe cumplir con: 1.- Debe haber un número fijo de pruebas repetidas e independientes (n). 2.- Cada prueba debe ser dicotómica, es decir debe resultar en éxito o fracaso. 3.- La probabilidad de éxito debe ser conocida y constante para todas las prueba, P(E)=p. Simbolizamos a la variable con X y se define como: X: cantidad de éxitos ocurridos en las n repeticiones del experimento. Simbolizando R x al recorrido de la variable tenemos que: R x = {0,1,2....... n }

n Luego, existen  k 

  secuencias diferentes con k éxitos, todas ellas con la misma 

probabilidad de ocurrir. Por lo tanto, la probabilidad de obtener k éxitos (en cualquier orden) es igual a la probabilidad de una secuencia en particular multiplicada por este número combinatorio .Así:

 n  k n− k P( X = k) =   p q k 

La función de cuantía se expresa y grafica:

  n x n− x    . p .q s xi = 0,1, . .n . . . p( x) =   x   0 ∀ o t xr o  p(x) Función de cuantía

0

1

2

3............ n x

Y la función de distribución acumulada se expresa y grafica:

s xi < 0 0 x   n k n− k F (x) =  ∑   p .q s xi = 0,1, . n. . , k = 0  k  1 s xi > n 

F(x)=1

F(x) Función de distribución acumulada de una variable discreta F(x)=0

0

1

2

3............ n x

Los parámetros de esta distribución son n y p, y simbólicamente escribimos X ~ B(n, p) y leemos X se distribuye binomial con parámetros n y p. La esperanza y la variancia son: E(X)=n.p V(X)=n.p.q Modelo poisson

Hay ciertos acontecimientos que suceden continuamente en forma aleatoria con una cierta tasa de ocurrencia,sobre un campo continuo (que puede ser el tiempo, una superficie o un volumen).Un proceso de poisson satisfase las siguientes tres hipótesis: 1-.Tasa constante de ocurrencia 2-. La cantidad de acontecimientos ocurridos durante un intervalo es independiente al número de acontecimientos ocurridos en otro intervalo (excluyente al primero) 3) La probabilidad de dos acontecimientos simultáneos es nula. Simbolisaremos con λ al número promedio de acontecimientos ocurridos en una determinada magnitud del campo continuo sobre el cual se dan los acontecimientos. La variable de poisson ser de fine como X: número de acontecimientos ocurridos en un determinado intervalo ,(de tiempo de superficie, de volumen, etc ), y puede asumir cualquier numero no negativo es decir : X= 0,1,2,3,4, ……………………, ∞ En base a las tres hipótesis consideradas se demuestra (mediante el análisis matemático diferencial ) que la probabilidad de que ocurran k acontecimientos en un intervalo esta dado por la siguiente expresion :

P( x = k ) =

e −λ .λ k k!

Donde λ representa la cantidad media de ocurrencias de ese fenómeno en dicho intervalo.El valor de λ depende de la magnitud del intervalo, siendo proporcional al mismo ya que la tasa de ocurrencia es constante. Por lo tanto , la variable poisson tiene la siguiente función de cuantía :

 e− λ λ x  p( x) =  x! o 

s ix = 0 ,1, 2. . . . . . ∞. . . . ∀ o t r xo

Y la siguiente función de distribución acumulada:

s ix < 0 0  F ( x) =  x e − λ λ k s ix = 0,1, 2. . . . . ...,∞. . .  ∑ k!  k= 0

La esperanza y la

variancia de la variable poisson son:

E (x ) = λ V (x ) = λ

Aplicación El modelo poisson puede ser utilizado como caso limite de una variable binomial, para n muy grande y p muy pequeño. Para la practica, basta n≥100 y p ≤ 0.01 .En estos casos la variable X ; N° de éxitos se distribuye aproximadamente poisson con parametro λ = n. p 3.- Modelo Normal. Una variable aleatoria continua x tiene una distribución normal si su función de densidad tiene la siguiente expresión:

1 f ( x) = 2π

 x− µ  2 − 1/ 2  σ 

e

σ

para - ∞ < x < ∞

Siendo µ una constante cualquiera, µ

∈

R y

σ

una constante positiva.

Es una curva simétrica en forma de campana, asintótica al eje de las absisas que alcanza su valor máximo en x= µ , siendo: f ( µ) =

1 2π σ

Y tiene dos puntos de inflexión en x= µ - σ y en x= µ + σ , y prácticamente f(x) es nula para x< µ - 4 σ y para x> µ -4 σ .

Función de densidad de una distribución normal con µ = 5 σ = 1,2 f(x) en funcion de x f(x)

0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 x

La función densidad cumple con: 1.- f(x) ≥ 0 para todo x (no negatividad) Como σ > 0 , entonces b-

∫ f ( x). dx

2πσ >0, luego f(x)>0, ∀x

=1

∈

R

(condición de cierre)

Rx

Los parámetros son µ y variable X.

σ

, que representan la media y el desvío Standard de la

La notación utilizada es X ≈ N ( µ , σ ) La esperanza y la varianza son: E(X)= µ

V(X)= σ 2

Función de distribución (o de probabilidad acumulada) x

∫

F ( x) =

−∞

 x− µ  − 1/ 2   σ 

1 2π

2

eσ

d s para la cual no existe una función matemática

F(x) función de distribución F(x)

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 x

No contar con una expresión matemática de F(x) hace impracticable el cálculo inmediato de las probabilidades. Por esta razón, se han tabulado los resultados de la función de distribución de una variable normal con media nula (E(x)=0) y variancia igual a la unidad (V(x)=1).Esta variable recibe el nombre de variable normal standart, y cualquier variable normal

puede ser transformada en una normal standart mediante operaciones matemáticas. Esto se llama estandarización. Variable normal standart Sea X ≈ N ( µ , σ ) por lo tanto E(x) = µ y V(x)= σ 2 La variable normal standart se simboliza con Z y se define: Z =

X − µ y tiene E (Z=0) y V (Z)= 1

σ

Su función de densidad es:

1 f ( z) = 2π

− 1/ 2*Z 2

e

para

−∞ < z< ∞

Y su función de distribución se simboliza por Φ (z)=P (Z
X − np np (1 − p )

Es, de manera aproximada, una variable Normal Standart. La expresión anterior es una fórmula para estandarizar la variable aleatoria X. La distribución Normal es una aproximación adecuada a la distribución Binomial si np>5 y n (1-p)>5 Además como la distribución Binomial es una aproximación satisfactoria a la Hipergeométrica cuando n (tamaño de la muestra) es pequeño en comparación con N (tamaño de la población),la distribución Normal es una aproximación adecuada a las probabilidades hipergeométricas cuando: n/N < 0,1 , np >5 y n(1-p)>5 .

La distribución de Poisson es el límite de una distribución Binomial cuando el número de ensayos tiende a infinito, en consecuencia la distribución Normal puede emplearse par aproximar las probabilidades de una variable aleatoria de Poisson. Si X es una variable de poisson con E(X)= λ y V(X)= λ entonces Z ≈

X −λ

λ

Es de manera aproximada una variable Normal standart. La aproximación es buena para λ >5.

Modelo exponencial Se aplica a una variable aleatoria continua que puede asumir cualquier valor positivo, pero la densidad de probabilidad va disminuyendo conforme la variable asume valores mayores. Su función de densidad y representación grafica es: f(x )

1  e f ( x) =  β 0 

0.1

1 − x β

0.08

s ix ≥ 0

0.06 0.04

ß=12.5

0.02

s ix < 0

0

10

20

30

40

x

Veamos que verifica con las condiciones de no negatividad y de cierre, requisitos para sea considerada función de densidad. 1 1 − x 1) f ( x) = e β ≥ 0 ∀x ∈ R, pues β> 0 β

∞

∞

1 ∞

1

1 −β x −β x 2) f ( x) d x= ∫− ∞ ∫0 β e d x= − e = − (0 − 1) = 1 0 La función de probabilidad acumulada F ( x) = P ( X ≤ x) , para los valores positivos de x, esta dada por:

x − 1x β

1 F ( x) = ∫ e = − e β 0

1 x − x β

1 − x β

= − (e − 1) = 1 − e

1 − x β

0

Luego la función distribución y su gráfico correspondiente son:

 0  F ( x) =   − 1x 1− e β 

F( x

) 1

s ix < 0

0.8 0.6

ß=12.5

0.4 0.2 0

s ix ≥ 0

10

20

30

40

Su único parámetro es β y su notación es X ≈ exp( β) La esperanza y la variancia son:

E ( x) =

∞

∫ x. f ( x)dx = β

−∞

V ( x) = E ( X 2 ) − [ E ( X )] = β 2 2

60

X