Methodes Prospectives De Calcul De Scrs.pdf

Mémoire présenté devant l’Institut Des Actuaires UPMC

§ UFR de Mathématique Discipline : Statistiques

Méthodes Prospesctives de Calcul de SCRs et Applications Prévoyance

Par : Kla Kouadio

Sous la direction de Edith DEMGNE, Chargée d’études actuarielles ALM et la supervision de Frédéric DAEFFLER, Responsable de pôle ALM Membres du jury: Date de soutenance : 22 Juin 2018

Remerciements

Tout d’abord, je tiens à remercier Edith Demgne et Frédéric Daeffler qui ont su m’accompagner avec régularité et professionnalisme tout au long de mon stage et de mon alternance. Je les remercie plus particulièrement pour la chance qu’ils m’ont donné d’intégrer une équipe dynamique et compétente. Je remercie également, monsieur Arnaud Cohen, mon tuteur académique pour ses conseils avisés. Enfin, je remercie le personnel administratif et pédagogique de l’ISUP pour les trois années de qualité que j’ai passées.

3

4

Note de synthèse

Solvabilité II, le régime prudentiel des organismes assureurs de l’Union Européenne exige des assureurs qu’ils détiennent des capitaux suffisants pour respecter leurs engagements. Cette exigence de capital correspond à un montant que doit détenir un assureur pour absorber des pertes dues à un enchainement d’évènements imprévisibles et néfastes pour son activité. Ce montant se nomme le SCR (Solvency Capital Requirement : Capital de Solvabilité Requis). En sus de cette exigence de capital, la directive charge les assureurs du calcul de leurs provisions techniques. Dans le cas où les risques sont non couvrables par des instruments financiers, les provisions techniques se composent de deux éléments : la meilleure estimation et la marge de risque. La meilleure estimation est une mesure des réserves nécessaires au respect des engagements pris par une compagnie d’assurance. La marge de risque s’interprète comme le montant à ajouter à la meilleure estimation, pour qu’une entreprise agréée pour pratiquer les opérations d’assurance, accepte de reprendre et honorer les engagements d’un autre assureur jusqu’à leur extinction. La commission européenne recommande une approche par coût du capital pour calculer la marge de risque. Cette approche nécessite de savoir calculer des SCRs pour les années futures d’engagements. Par ailleurs, Solvabilité II encourage les compagnies d’assurances à appliquer un dispositif : l’ORSA (Own Risk and Solvency Assessment : Evaluation Interne des Risques et de la Solvabilité). Cette instruction a, entre autres, pour but d’inciter les assureurs à mesurer au mieux leur besoin global de solvabilité sur un horizon temporel. De même que pour le calcul de la marge de risque, l’ORSA nécessite souvent le calcul des SCRs à des dates futures. Le calcul des SCRs futurs est toutefois un processus coûteux en temps et en ressources. Ainsi, la majorité des assureurs a recours à des approximations. En revanche, comment juger de la qualité de ces approximations ? Ce mémoire tente d’y répondre en s’inscrivant dans le calcul de la marge de risque du module souscription vie et de l’ORSA. En outre, il est à prendre en compte que les SCRs ont été calculés avec l’approche de la formule standard. Pour des raisons de synthèse, seules les conclusions du risque de mortalité sont présentées dans cette note. Les conclusions pour les autres risques sont toutefois semblables. 5

6 L’étude de cette problématique dans le cadre du calcul de la marge de risque s’est déroulée en cinq étapes tout en s’appliquant au portefeuille d’assurance emprunteur individuelle de SOGECAP : 1. Sélection d’un panel de produits à étudier. 2. Calcul des effets de la formule standard sur les flux de trésorerie. 3. Comparaison des SCRs exacts, des proxies EIOPA (European Insurance and Occupational Pensions Authority : Autorité Européenne des Assurances et des Pensions Professionnelles) par module de risques et des proxies SOGECAP. L’EIOPA conseille plusieurs méthodes d’approximation de la marge de risque classées selon une hiérarchie dont les deux premières sont : (a) L’approximation de tout ou partie des modules de risques ou des sous-modules élémentaires. (b) L’approximation du SCR global pour chaque année future i.e en supposant que le ratio entre le best estimate et le SCR global est constant. 4. Calcul de la marge de risque du module souscription vie. 5. Etude de sensibilités. Dans le contexte de l’ORSA, l’étude a dans un premier temps porté sur l’analyse d’une méthode proportionnelle de calcul des Best Estimates futurs, servant au calcul des SCRs futurs du module souscription vie d’un portefeuille de prévoyance (produits d’assurance emprunteur, et mixtes d’une temporaire décès et d’un capital différé). La réponse à la problématique s’est déroulée en deux étapes : 1. Justification des hypothèses sous-jacentes de la méthode de calcul des Best Estimates futurs 2. Etude de sensibilités Dans un second temps de l’ORSA, ce mémoire a traité de la question d’établissement de scénarios de reverse stress test sur les risques du module souscription vie. Les reverse stress test permettent de déterminer des conditions qui menaçent la viabilité de l’entreprise d’assurance. A partir des conclusions des travaux précédents qui permettent d’avoir des indicateurs de la viabilité de l’entreprise dans un horizon temporel, des méthodes pour chercher ces scénarios de reverse stress test ont été dressées. 1. Calcul de la marge de risque de souscription vie 1.1. Sélection d’un panel de produits à étudier Un panel de produits, représentant au mieux les caractéristiques du portefeuille emprunteur, a été choisi. Il fallait retrouver l’ensemble des garanties (décès, arrêt de travail)

7 et mécanismes (réassurance en quote-part et ou excédent de plein, PB) présents dans le portefeuille global. Ainsi, on obtient un portefeuille restreint, qui réplique le portefeuille global et qui permet une étude qui aurait été trop complexe sur le portefeuille complet. 1.2. Calcul des effets des chocs de la formule standard sur les flux de trésorerie Les proxies SOGECAP ont été construits en imaginant l’effet des chocs de la formule standard sur les flux de trésorerie. Le SCR mortalité est estimé par le proxy suivant : brut de réassurance SCRmortalité (t) ≈ −0.15 ·

30 X

SinistresDécès i

i=t

Le choc de mortalité consiste en une augmentation de 15% des qx . On peut alors intuiter que les sinistres décès augmenteront aussi de 15%. De même, on imagine que les autres flux de trésorerie seront peu impactés par le choc. En revanche, en tentant de montrer avec rigueur l’effet du choc à l’aide de la modélisation du portefeuille, il apparaît que les qx doivent être proches de 0 pour retomber sur le proxy. Cette hypothèse s’applique au portefeuille étudié où les assurés très âgés sont rares. En réitérant cette approche à tous les chocs du module souscription vie, des hypothèses implicites d’utilisation des proxies, qui n’étaient pas visibles a priori, ont pu être dégagées. 1.3. Comparaison des SCRs exacts, des proxies EIOPA et des proxies SOGECAP Afin de juger de la qualité des approximations de SOGECAP, les outils internes de valorisation des Best Estimates ont été adaptés pour pouvoir calculer les SCRs exacts. On a ainsi pu disposer d’un outil de comparaison. Toutefois, il a semblé nécessaire d’intégrer un niveau de référence de justesse du proxi. En effet, comment dire que l’écart avec les SCRs exacts est assez faible ? Une clé de réponse est de comparer les proxies SOGECAP et les proxies de l’EIOPA par module de risques (a) avec les SCRs exacts. Pour le SCR mortalité sur une famille de produits nommée ACI, on obtient :

Figure 1 – SCRs mortalité sans actualisation ACI

8 Les proxies SOGECAP épousent quasiment les SCRs exacts, tandis que, les proxies EIOPA en sont plus éloignés. Le proxi SOGECAP est donc plus précis que la référence. 1.4. Calcul de la marge de risque du module souscription vie La marge de risque du module souscription vie a ensuite été calculée sous différentes approches. La méthode EIOPA de niveau (b) a aussi été adoptée car a posteriori, la méthode de niveau (a) ne semblait pas assez adaptée à la modélisation du portefeuille. Ecarts relatifs RM RM RM RM

avec SCRs exacts proxi Sogecap proxi EIOPA modules de risque proxi EIOPA méthode prorata BE

50 53 64 50

753 684 285 927

072 439 668 098

0% 5,8% 26.7% 0,34%

Figure 2 – Comparaison des marges de risques obtenues La marge de risque (exacte) est légèrement majorée par le proxi SOGECAP. Le proxy SOGECAP est donc prudent et assez précis. La méthode prorata BE est plus précise, mais requiert le respect d’hypothèses fortes plus difficiles à appliquer. Ainsi, le proxy SOGECAP est dans l’ensemble plus adapté à la réalité du portefeuille. 1.5. Etude de sensibilités Il a ensuite fallu tester les limites des proxies SOGECAP. La démonstration des effets des chocs sur les flux de trésorerie a permis d’émettre des hypothèses de construction des proxies. Par exemple, le proxi SOGECAP du SCR mortalité est d’autant plus précis que les qx sont faibles. Pour voir les limites des proxies, les âges en portefeuille ont été augmentés et les SCRs exacts recalculés.

Figure 3 – Ecarts relatifs entre les SCRs mortalité et le proxi SOGECAP mortalité

9 On observe que plus les âges sont élevés, plus les écarts relatifs du proxi avec les SCRs exacts sont grands. Le proxi perd donc en précision. Toutefois, il faut augmenter les âges en portefeuille de plus de 15 ans pour avoir une approximation plus discutable, ce qui correspond à un cas peu probable. Le proxi mortalité est donc robuste à une augmentation des qx. Pour conclure, ces différentes étapes ont permis de dresser une méthode de justification de la qualité d’un proxi utilisé pour le calcul de la marge de risque. A l’issue de cette étude, il est apparu que les proxies SOGECAP pouvaient être vus comme de bons proxies, car : — précis — majorants — à hypothèses de construction faibles et fiables — plus adaptés au portefeuille que les proxies de l’EIOPA qui ont servis de référence 2. ORSA Quel que soit le scénario envisagé, les Best Estimates sont projetés à l’aide des chroniques des primes acquises estimées dans un budget dépendant du scénario. Cette méthode est aussi utilisée pour projeter les Best Estimate après chocs du module souscription vie. L’étude ne portant que sur le passif, les SCRs se déduisent de la différence entre les BE choqués et le BE central . Le BE à à une date t=k différente de 0 est obtenu par : acquisest=k . BEt=k = BEt=0 · PPrimes rimes acquises0 Tout se passe comme si, à une date t=k différente de 0, on obtenait un stock de primes augmenté ou diminué (par rapport à celui en date t=0) avec un profil d’assurés, similaire à celui en date t=0. Il a donc fallu voir si cette supposition était fondée. 2.1. Justification des hypothèses sous-jacentes de la méthode de calcul des Best Estimates Une étude statistique des assurés en portefeuille a permis de justifier cette hypothèse. Le principe a été de laisser suffisamment de temps depuis le lancement du produit, de sorte à définir de manière plus légitime, le profil des assurés en portefeuille. Cela permet aussi de s’assurer que les hypothèses techniques n’ont pas évolué depuis. Le profil des nouveaux adhérents sur un certain pas de temps a été étudié de sorte à vérifier qu’il était bien proche de celui du stock. Le risque étant concentré dans la répartition des âges et dans les capitaux sous risques, les fonctions de répartition empiriques des âges ainsi que les capitaux sous risque, moyens par classe d’âge = classe de risque ont été construits. Pour une famille de produits nommée ACI, le résultat est le suivant :

10

Figure 4 – Fonction de répartition des âges des assurés ACI Les fonctions de répartion empiriques des âges des nouveaux assurés sont relativement proches de celle du portefeuille en t=-2. Ainsi, en l’absence de changement de la politique de choix des assurés, cette observation devrait se reproduire. Les conclusions sont les mêmes pour les capitaux restants dus moyens par classe d’âge. Au regard de cette hypothèse de non-changement du profil des assurés au cours du temps, la modélisation du portefeuille a permis de montrer que si les primes acquises bougeaient d’un facteur rt alors le BE évoluerait du même facteur. 2.2. Etude de sensibilités Il s’agit ici, de voir la sensibilité des Best Estimates et des SCRs à la modification du profil de risque des assurés. La série de sensibilités a consisté à déplacer des individus du new business en portefeuille, d’une classe d’âges vers une classe d’âges plus élevés, afin d’augmenter le risque en portefeuille. P-I

1→ 2 2→ 3 1→ 3

Ecarts relatifs BE

0%

2%

6%

14%

Ecarts relatifs SCR mortalité

0%

4%

12%

25%

Figure 5 – Résutats des sensibilités — n⇒p désigne le transfert de la classe d’âges n vers la classe d’âges p — Le sigle P-I désigne le profil initial des assurés Les résultats ont montré une sensibilité relativement élevée des BE et du SCR mortalité aux changements du risque en portefeuille. Ainsi, une méthode proportionnelle nécessite une justification solide du non-changement du profil des assurés dans le futur, auquel cas, le proxi n’est pas plausible. Ce type de méthode semble donc peu adapté à des produits jeunes.

2.3. Etablissement de scénarios de reverse stress test Il a principalement s’agit de se demander comment obtenir un scénario de chocs sur le module souscription vie qui permette d’aboutir à t=1 à un ratio de solvabilité II de 100%. La multitude de scénarios possibles rend l’exercice plus complexe. Un manière de simplifier le problème est donc de réduire a priori les scénarios à établir tout en s’assurant qu’ils soient plausibles. Une première piste a été d’envisager des scénarios simultanés qui sont possibles car les risques sont globalement corrélés, puis de s’intéresser majoritairement au risque de mortalité et au risque de hausse des frais généraux. La problématique principale a été de se demander s’il était possible de fixer un poids à allouer à ces deux risques et de trouver des niveaux de chocs permettant d’aboutir à un ratio de 100%. Cela a été possible en évaluant individuellement le poids des deux risques. Une régression linéaire pour chaque risque a permis de dire que si le niveau de choc du risque variait de 1%, le ratio SII subirait une baisse du coefficient de pente estimé. Il a ensuite fallu voir si la prédiction n’était pas biaisée étant donné que l’étude avait été faite en prenant les risques individuellement. En calculant, les ratios obtenus pour des chocs simultanés à l’aide du moteur construit, il a été possible de voir que l’erreur d’estimation était acceptable et que driver les scénarios par des contributions fixées pour chaque risque était envisageable. Ainsi, si l’on veut que le risque de hausse des frais généraux ait un poids n fois plus élevé que le risque de mortalité dans le scénario, la courbe suivante donne le niveau de choc de mortalité à appliquer. On obtient ainsi une zone de scénarios de reverse stress test.

Figure 6 – Chocs à appliquer aux qx pour obtenir un ratio SII de 100% en fixant le poids du choc sur les frais généraux

12

Executive summary

Under Solvency II, the current supervisory regime of the European Union for insurers, risk measurement is a foundation for the good protection of policyholders. Solvency II asks insurers to hold a sufficient capital in order to meet their commitments. This capital requirement corresponds to an amount that must be held by an insurer to absorb losses due to an unpredictable chain of events. This amount is called the SCR, Solvency Capital Requirement. In addition to this capital requirement, the directive inquires insurers to assess their technical provisions. With respect to non-hedgeable risks by financial instruments, the technical provisions are made of two elements : the best estimate and the risk margin.

The Best Estimate is a measure of the reserves required to meet the commitments made by an insurance company. The risk margin represents the amount above the Best Estimate that an insurance company would require to take on the obligations of a given insurance company. Under the cost of capital method recommended by the European Commission, the risk margin compensates the insurance company for tying up the capital necessary to take over the commitments till their extinction. Using this method requires the calculation of SCRs for future years of commitment .

Moreover, Solvency II urges insurance companies to carry out another scheme : the ORSA (own risk and solvency assessment). The main purpose of this assessment is to lead insurers to a better measurement of their solvency needs over time. As for the calculation of the risk margin, ORSA often requires the calculation of future SCRs.

However, the calculation of future SCRs is time and process consuming. Thus, most of the insurers use approximations. Consequently, one can question the quality of these approximations.

This paper attempts to answer this question while remaining in the contexts of the life underwriting risk margin and the ORSA. Moreover, it is important to note that the SCRs are valued under the standard formula approach. In order to summarize the study, only the conclusions of the mortality risk are presented in this note. However, the conclusions for the other risks are similar. 13

14 Studying this question under the calculation of the risk margin took place in five steps and within the SOGECAP individual loan insurance portfolio : 1. Selection of a set of products to study. 2. Calculation of the standard formula’s shocks effects on the cash flows. 3. Comparison between the exact SCRs, the EIOPA (European Insurance and Occupational Pensions Authority) proxies per risk module and the SOGECAP proxies. The EIOPA recommends several methods for approximating the risk margin. The first two methods to be used are sorted according to the following hierarchy : (a) Approximating the individual risks or sub-risks. (b) Approximating the whole Solvency Capital Requirement for each future year by assuming a constant ratio between the global SCR and the Best Estimate. The level (a) method was chosen to pursue this step. 4. Calculation of the life underwriting risk margin. 5. Sensitivity study. As a first step of the ORSA, the issue was to analyze a proportional method for the calculation of future Best Estimates. This method was used to calculate future SCRs of the life underwriting module, of a protection insurance portfolio under an ORSA. Studying this method was part of two steps : 1. Justification of the underlying assumptions of the method for calculating future Best Estimates 2. Sensitivity study As a second step of ORSA, this paper deals with the assessment of reverse stress test scenarios on the life underwriting risk module. Reverse stress test scenarios help identifying key vulnerabilities to risks of the insurer. However this process seems complex because of the high number of possible scenarios. Based on the past work conclusions that allowed to have indicators of the viability of the company within time, some methods for assessing reverse stress test scenarios will be explored. 1. Calculation of the life underwriting risk margin 1.1. Selection of a set of products to study A set of products representing the characteristics of the loan insurance portfolio was selected. All the guarantees (death, disability) and mechanisms (reinsurance quota share and/or surplus, profit-sharing) had to be found in this portfolio. This results in a smaller portfolio that replicates the entire portfolio and allows a study that would have been too complex on the entire portfolio.

15

Calculation of the standard formula’s shocks effects on the cash flows

The SOGECAP proxies were built by foreseeing the standard formula’s shocks effects on the cash flows. The mortality SCR simplification is as follows. gross of reinsurance SCRmortality (t) ≈ −0.15 ·

30 X

ClaimsDeath i

i=t

Intuitively, one could say that the impact of the shock on the death claims would be an increase by 15%. Besides, one can assume that the other cash flows will be slightly impacted. By attempting to rigorously show the effects of the shock on the model, it appears that one must assume that the death rates are close to 0 in order to meet the proxy. This assumption is legitimate excepted for high ages that are not covered in loan insurance. Thus, this step has led to a hypothesis that is not obvious while foreseeing the impact of the shock on the cash flows. By applying this process to all the shocks of the underwriting module, some more implicit assumptions about the use of the proxies were found. 1.2. Comparison between the exact SCRs, the EIOPA proxies and the SOGECAP proxies

Subsequently, for the purpose of assessing the quality of the SOGECAP approximations, the internal valuation tools of the Best Estimates were adapted in order to calculate the exact SCRs. A comparison tool was thus available. However, it seemed necessary to integrate a reference level for assessing the accuracy of the proxy. In fact, how can one say that the gap with the exact SCRs is low enough ? A key to that question was to compare the SOGECAP proxies and the EIOPA proxies with the exact SCRs. The results for the mortality SCR on a set of products called ACI are as follows.

Figure 7 – Mortality SCRs without discounting

16 The SOGECAP proxies closely follow the exact SCRs, while the EIOPA proxies are not as close. The SOGECAP proxi is thus more precise than the reference. 1.3. Calculation of the life underwriting risk margin Relative gaps RM RM RM RM

by by by by

using using using using

the the the the

exact SCRs Sogecap proxies EIOPA risk module proxies EIOPA proxy : proportion of the BE

50 53 64 50

753 684 285 927

072 439 668 098

0% 5,8% 26.7% 0,34%

Figure 8 – Comparison of the risk margins obtained These results show that the (exact) risk margin is slightly lower than the SOGECAP risk margin proxy. The proxy is therefore prudent and precise enough. The proportion of the BE method is more precise but requires some strong assumptions that are more difficult to apply. Consequently, the SOGECAP proxies seem more convenient regarding the portfolio. Sensitivity study The issue was then to test the limits of the SOGECAP proxies. The demonstration of the standard formula’s shocks effects on the cash flows has led to some assumptions. For instance, this paper showed that the proxy for the mortality SCR is as accurate than the death rates are low. To establish the limits of this proxy, the ages in the portfolio have been increased and the exact SCRs were calculated again.

Figure 9 – Relative gaps between the mortality SCR and the SOGECAP proxy One can see the more the ages are high, the more the relative gaps with the exact SCR are high. The proxy was thus less precise. However, it was necessary to increase the ages

17 of the portfolios by more than 15 years to have a questionable approximation. Moreover, this increase corresponds to an unlikely case. The proxy is then robust to an increase of the death rates. To conclude, these different steps have allowed to find a way to assess the quality of a proxy under the calculation of the risk margin. After applying these steps, it appears that the SOGECAP proxies can be seen as a good proxies for the following reasons : — they are precise — they are higher than the exact SCR — they can be used under weak and reliable assumptions — they seem more suitable in regards of the portfolio than the EIOPA proxies that were used as a reference. 2. ORSA Whatever the scenario, the Best Estimates are projected by using the earned premiums that are estimated in a budget that depends on the scenario. This method is also used to project the BE after the shocks of the life underwriting module. Since the studies only covers the liabilities, the SCRs are deduced from the difference between the shocked BE and the BE. premiumst=k . The BE at a time t=k different from 0 is obtained with : BEt=k = BEt=0 · Earned Earned premiumst=0 Everything happens as if, at a time t=k different from 0, the stock of premiums was increased or decreased (relatively to the one at time t = 0) with a policyholders’ profile similar to the one at time t = 0. The issue was therefore to verify this assumption.

2.1. Justification of the hypothesis The hypothesis was justified with a statistical study of the portfolio’s policyholders. Indeed, knowing that the underwriting policy should not be different from the previous one, the aim of the study was to look for a possible consistency in the profile of the policyholders through time. The risk relies on the ages distribution and on the amounts at risk. The empirical distribution functions of the ages and the average amounts at risk per age-groups (risk-groups) were therefore looked at. For a set of products called ACI, the results were as follows :

18

Figure 10 – Empirical distribution function of the policyholders’ ages ACI This graph shows that the empirical distribution functions of the new policyholders’ ages are relatively close to those of the portfolio at t = -2. Thus, if the underwriting policy doesn’t change, this observation should be seen again. The conclusions were the same for the average amounts at risk per age-group. The second assumption was demonstrated with the portfolio model. Sensitivity study The aim here was to see the sensitivity of the Best Estimates and the SCRs to the modification of the policyholders’ risk profile. The sensitivities consisted in moving some individuals of the new business’s portfolio, from one age-group to an older age-group in order to increase the portfolio’s risk. I-P

1→ 2 2→ 3 1→ 3

Relative gaps BE

0%

2%

6%

14%

Relative gaps mortality SCR

0%

4%

12%

25%

Relative gaps catastrophe SCR

0%

0,0%

0,1%

0,2%

Figure 11 – Results of the sensitivity study — n⇒p stands for the transfer from the age-group n to age-group p — I-P stands for initial profile of the portfolio’s policyholders The results showed a relatively high sensitivity of the BE and of the mortality SCR to the portfolio’s risk modification. Thus, it appeared that a proportional method requires a detailed justification of the non-change of the policyholders within time. Therefore this type of method seems unsuitable for young products. 2.3. Implementation of reverse stress test scenarios

19 The main issue was to obtain a set of shocks of the life underwriting risk module that would lead to a solvency II ratio of 100% at the time t=1. The large number of possible scenarios makes the process complex. One way of simplifying the problem is to reduce the number of scenarios while ensuring that the obtained scenarios are reliable. A first solution was to consider simultaneous scenarios. Considering simultaneous scenarios is possible since the risks are globally correlated. Another solution was to find risks to focus on. Therefore, choosing to focus on the mortality and overhead costs risks was part of achieving this objective. On balance, the main issue was to question the possibility of setting weights to allocate to these two risks and to deduce the levels of shocks that would lead to a ratio of 100%. This objective was pursued by assessing for each risk taken individually the effect it had on the ratio degradation. In fact, a linear regression for each risk made it possible to say that if the level of shock applied varied by 1%, the SII ratio would decrease by the slope coefficient. The next step was to assess the quality of the prediction. Since the impacts were assessed individually, there could have been a bias for simultaneous shocks. By calculating the ratios with the help of tool developed within this study, it was possible to determine the estimation error and to conclude that driving the scenarios by set impacts of the risks was possible. Therefore if one wants the impact of the overhead costs risk to be n times higher than the mortality risks impact, here are the mortality shocks to apply :

Figure 12 – Shocks to apply to the death rates It was thus possible to establish a reverse stress test scenario zone in which the weight allocated to each risk could be set.

Table des matières

I

Solvabilité II et le secteur de la prévoyance

1

1 Le secteur de la prévoyance en France 1.1

3

Une description générale du secteur de la prévoyance . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

L’assurance des emprunteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1.1

Garanties et spécificités de l’assurance des emprunteurs . .

4

1.1.1.2

Les clauses de résiliation en assurance emprunteur

. . . .

5

1.1.1.3

Présentation du marché francais de l’assurance emprunteur

6

2 Présentation de la directive Solvabilité II 2.1

Principes de la directive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1

2.1.2

2.1.3 2.2

II

Pilier 1 : Les exigences quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1.1

Le Best Estimate : Meilleure estimation . . . . . . . . . . 10

2.1.1.2

La marge de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1.3

Les montants minimums de fonds propres . . . . . . . . . 11

2.1.1.4

Présentation des modules de risques . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1.5

Modalités de calcul du SCR dans le cadre de la formule standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1.6

Modalités de calcul du SCR dans le cadre d’un modèle interne complet ou partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Pilier II : Les exigences qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2.1

Contôle interne et externe des risques . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2.2

L’ORSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Pilier 3 : Communication et transparence . . . . . . . . . . . . . . . 19

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Modélisation prospective des SCRs de souscription vie

3 Projection du SCR du module de souscription vie 3.1

9

21 23

Modélisation du portefeuille d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1

Principes de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.2

Présentation des familles de produits étudiées . . . . . . . . . . . . 25

3.1.3

Modélisation de la garantie décès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.3.1

Calcul du coût de la garantie décès . . . . . . . . . . . . . 27 21

22

TABLE DES MATIÈRES 3.1.4

3.1.5

3.2

3.3

Modélisation de la garantie arrêt de travail . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.4.1

Calcul du coût de l’incapacité . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.4.2

Calcul du coût de l’invalidité . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Modélisation des flux de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.5.1

Modélisation des sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.5.2

Modélisation des primes commerciales . . . . . . . . . . . 33

3.1.5.3

Modélisation des frais généraux . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.5.4

Modélisation des commissions . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.5.5

Modélisation des frais de gestion . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.5.6

Modélisation des primes pures . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.5.7

Modélisation de la réassurance . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.5.8

Modélisation de la participation aux bénéfices (ACCF) . . 35

Calcul des SCRs du module souscription Vie . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1

Présentation du module de souscription vie . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.2

Calcul des SCRs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Problématique du calcul exact des SCRs futurs . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.1

Calcul théorique du SCR à une date t quelconque . . . . . . . . . . 38

3.3.2

Méthode de projection des flux pour le calcul exact des SCRs futurs 39 3.3.2.1

3.4

Présentation des approximations conseillées par l’EIOPA . . . . . . . . . . 41 3.4.1

3.5

3.6

Actualisation des flux à une date future : Taux Forward . 40

Approximation des sous-modules du module souscription vie . . . . 41 3.4.1.1

Le risque de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1.2

Le risque de catastrophe vie . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1.3

Le risque de frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1.4

Le risque de rachat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1.5

Le risque d’incapacité/invalidité . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.2

L’approche proportionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.3

L’approche par duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.4

L’approche par pourcentage du Best Estimate . . . . . . . . . . . . 44

Présentation des proxies utilisées dans le périmètre France de SOGECAP . 45 3.5.1

Approximation du SCR dépenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.2

Approximation du SCR mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.3

Approximation du SCR rachat massif . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.4

Approximation du SCR catastrophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.5

Approximation du SCR incapacité/invalidité . . . . . . . . . . . . . 46

Adéquation des approximations à la modélisation du portefeuille étudié . . 46 3.6.1

Proxi mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.6.1.1

Construction du proxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6.1.2

Effet du choc sur les flux de trésorerie . . . . . . . . . . . 46

TABLE DES MATIÈRES 3.6.2

Proxi frais généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.6.2.1

Effet du choc sur les flux de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.4

Proxi rachat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.6

3.6.4.1

Construction du proxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.4.2

Effet du choc sur les flux de trésorerie . . . . . . . . . . . 51

Proxi catastrophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.5.1

Construction du proxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6.5.2

Effet du choc sur les flux de trésorerie . . . . . . . . . . . 52

Proxi incapacité/invalidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.6.6.1

Construction du proxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6.6.2

Effet des chocs sur les flux de trésorerie . . . . . . . . . . 54

Evaluation a posteriori de la justesse du proxi . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.7.1

3.7.2

Comparaison des SCRs mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.7.1.1

Famille ACI

3.7.1.2

Famille ACC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7.1.3

Famille ACCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7.1.4

Famille ACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7.3

3.7.4

3.7.5

Famille ACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Comparaison des SCRs catastrophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.7.3.1

Famille ACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.7.3.2

Famille ACC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7.3.3

Famille ACCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7.3.4

Famille ACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Comparaison des SCRs rachat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7.4.1

Famille ACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.7.4.2

Famille ACC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Comparaison des SCRs incapacité/invalidité . . . . . . . . . . . . . 67 3.7.5.1

Famille ACC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.7.5.2

Famille ACCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.7.5.3

Famille ACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Calcul de la marge de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8.1

3.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Comparaison des SCRs frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.7.2.1

3.8

Construction du proxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.3

3.6.5

3.7

23

Analyse de la méthode proportionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8.1.1

Vérification des hypothèses de la méthode . . . . . . . . . 71

3.8.1.2

Application de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Etude de sensibilité des proxies SOGECAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.9.1

Risque de frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.9.2

Risque de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

24

TABLE DES MATIÈRES 3.9.3 Risque de catastrophe . . . . 3.9.4 Risque de rachat . . . . . . . 3.9.5 Risque d’incapacité/invalidité 3.10 Conclusion du chapitre . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 ORSA 4.1 Produits du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Spécificités de la modélisation des familles de produits du périmètre hors emprunteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Adéquation à la formule standard et appétit pour le risque . . . . 4.2 Modélisation prospective du bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Méthode de projection du bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.1 Etablissement des scénarios . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.2 Construction d’un budget . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.3 Présentation des budgets et scénarios sur le passif envisagés lors du scénario central . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.4 Problématique de la projection des SCRs du module souscription vie à l’aide du budget . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.5 Présentation de la méthode utilisée au sein de la filiale . 4.2.1.6 Analyse de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.7 Etude de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.8 Comparaison avec les ORSA précédents . . . . . . . . . 4.2.2 Décomposition des fonds propres SII . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.1 Calcul du ratio solvabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Mise en place d’un outil de reverse stress test . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Définition et cadre règlementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Risques encourus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2.1 Etude des variations du ratio de solvabilité II . . . . . . 4.3.2.2 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

74 74 75 76

79 . 79 . . . . . .

80 82 83 83 83 84

. 84 . . . . . . . . . . . .

84 85 85 94 95 96 96 98 98 98 99 104

Conclusion

107

Bibliographie

115

Introduction

Au 1er janvier 2016, la directive Solvabilité II, régime prudentiel de l’Union Européenne du secteur des assurances, des mutuelles et des institutions de prévoyance, est entrée en application. Cette directive a pour vocation d’harmoniser et de soutenir le marché de l’assurance Européen, mais surtout de garantir une protection aussi fiable que possible des assurés et ayants droit. Un vecteur majeur de ce second objectif est une exigence de solvabilité, la solvabilité étant la capacité d’une entreprise à faire face à ses engagements. Ainsi, une entreprise solvable génère suffisamment d’activité, et maitrise ses flux de trésorerie ainsi que les risques qu’elle encourt, afin de pouvoir rembourser ses dettes envers ses créanciers et ses assurés. Plus concrètement, la solvabilité va se traduire par un niveau suffisant de fonds propres, c’est à dire les capitaux détenu par l’entreprise. Ainsi, dans la directive Solvabilité II, la Commission Européenne exige de la part des assureurs le respect de deux niveaux de fonds propres : le Capital de solvabilité requis (SCR) et le Capital requis minimum (MCR) qui sont les éléments-clés du premier des trois piliers autour desquels s’articule la directive Solvabilité II. Le SCR : Capital de solvabilité requis représente un capital que doit détenir un assureur pour absorber des pertes dues à un enchainement d’évènements imprévisibles et néfastes pour l’activité de cet assureur à un horizon un an. Le MCR : Capital requis minimum. Il correspond à un montant de fonds propres, en-deçà duquel l’entreprise fait courir un risque trop élevé à ses assurés et ayants droit. En cas de non-respect de cette exigence de capital, l’autorité de contrôle intervient automatiquement et peut exiger un transfert du portefeuille ou un retrait d’agrément. Afin de vérifier le respect de ces deux exigences de fonds propres, l’assureur est amené à voir son bilan économique de la manière suivante :

i

Introduction

Figure 13 – Bilan économique Solvabilité II 1 Sous solvabilité II, les fonds propres correspondent à la différence entre l’ensemble des actifs et les provisions techniques : Dans le cas où les risques sont non couvrables par des instruments financiers, les provisions techniques du bilan économique se composent du Best Estimate : la meilleure estimation et de la Risk Margin : la marge de risque. Le but de la meilleure estimation est de mesurer le risque d’occurrence de sinistres et de fournir le montant juste, "en meilleure estimation" de réserves nécessaires pour le couvrir. La marge de risque s’interprète comme le montant à ajouter à la meilleure estimation, pour qu’une entreprise agréée pour pratiquer les opérations d’assurance, accepte de reprendre et d’honorer les engagements d’un autre assureur. Plusieurs approches existent pour calculer la marge de risque, mais la comission européenne recommande une approche par coût du capital pour déterminer la marge de risque. La marge de risque va alors représenter le coût de l’immobilisation du SCR jusqu’à l’extinction des engagements de l’assureur. La part de fonds en couverure du SCR étant immobilisée, elle ne peut être investie que sur instruments financiers non-risqués qui génèrent peu de rendement. Dans l’hypothèse de transfert de risque, il va falloir dédommager le repreneur pour ce manque à gagner. Ainsi, la marge de risque peut-être évaluée avec la formule suivante : X SCR(t) RM = CoC · t+1 t≥0 (1 + r(t + 1)) Cette méthode met en exergue la nécessité de pouvoir calculer des SCRs futurs. D’autre part, afin d’identifier les organismes les plus risqués et de les forcer à immobiliser davantage de capital pour éviter la faillite et le non-respect des engagements, le régulateur 1. InsuranceSpeaker, Solvabilité 2 : enjeux et contraintes pour les assureurs

ii

Introduction

a instauré un second pilier. On retrouve au sein de ce second pilier, un exercice qu’on appelle l’ORSA. L’ORSA est un processus interne d’évaluation des risques et de la solvabilité par un organisme assureur (ou un groupe d’assurance). Il doit illustrer la capacité d’un organisme assureur ou d’un groupe d’assurance à identifier, mesurer et gérer les éléments de nature à modifier sa solvabilité ou sa situation financière. Dans ce processus, une demande du régulateur est le respect permanent des obligations du pilier I. Cela exige que l’organisme projette ses SCRs et MCRs au minimum sur l’horizon de son business plan. Ainsi, la directive Solvabilité II exige de savoir projeter des SCRs dans un horizon temporel pour le calcul de la marge de risque et pour l’ORSA. Ce mémoire s’attachera ainsi au calcul des SCRs futurs et à son application à ces deux processus. Toutefois, calculer des SCRs est un processus coûteux en temps et en ressources. Par conséquent, la majeure partie des organismes assureurs a recours à des méthodes d’approximations des SCRs futurs. Naturellement, on peut se demander dans quelle mesure les approximations utilisées sont fidèles et satisfaisantes ? Ainsi, pour le calcul de la marge de risque, l’objectif de ce mémoire sera de juger de la qualité des approximations utilisées au sein du secteur emprunteur de SOGECAP. En ce qui concerne l’ORSA, ce mémoire étudiera la manière dont sont projetés les SCRs futurs au sein d’une filiale de SOGECAP afin d’établir un bilan satisfaisant. Il s’attachera à établir des méthodes qui permettent de juger de la qualité de l’approximation utilisée dans un premier temps. Dans un second temps, il sera question de se demander comment établir un scénario de reverse stress test dans le cadre de l’ORSA. En effet, les reverse stress test permettent de déterminer des conditions qui menaçent la viabilité de l’entreprise d’assurance. La difficulté de cet exercice réside dans la multiplicité de conditions qui pourraient dégrader la viabilité de l’assureur. A partir des travaux précédent qui permettent d’avoir des indicateurs de la viabilité de l’entreprise dans un horizon temporel, des méthodes pour chercher ces scénarios de reverse stress test seront exposées. Les méthodes appliquées ne peuvent être désolidarisées du cadre auquel elles s’appliquent. Ainsi, la première partie de ce mémoire s’attachera à décrire l’environnement dans lequel se déroule cette étude, soit, le secteur assurantiel de la prévoyance et la directive Solvabilité II. Dans un second temps, cette étude évaluera la qualité de l’approximation utilisée à SOGECAP pour le calcul de la marge de risque. Pour cela, une démonstration de l’adéquation, entre les approximations utilisées et la modélisation du portefeuille emprunteur , iii

Introduction

sera réalisée. S’en suivra une comparaison des approximations avec les SCRs futurs exacts. En effet, les SCRs exacts seront calculés à l’aide d’un outil développé lors de ce mémoire. Il s’agira aussi de comparer les estimations de SOGECAP avec des estimations de référence, c’est-à-dire celles conseillées par L’EIOPA : l’autorité européenne des assurances et des pensions professionnelles. Des études de sensibilités seront ensuite appliquées aux approximations SOGECAP afin de voir dans quelles limites elles fonctionnent correctement. Enfin, le quatrième et dernier chapitre portera dans un premier temps sur l’analyse d’une méthode proportionnelle de calcul des Best Estimates futurs, servant au calcul des SCRs futurs du module souscription vie, du portefeuille d’une filiale lors d’un ORSA. Au cours de l’évaluation de la risk margin, les SCRs futurs calculés se font dans des hypothèses de portefeuille en liquidation, or les SCRs calculés lors de l’ORSA prennent en compte les affaires nouvelles. Cette étude tentera de juger de la qualité de l’approximation utilisée au sein de la filiale. Pour cela, une analyse de la méthode adoptée sera faite afin de dégager des hypothèses implicites de fonctionnement du proxi. Il s’agira par la suite de voir comment justifier le bien-fondé de ces hypothèses. Enfin, des études de sensibilité seront effectuées dans le but d’émettre les limites dans lesquelles la méthode fonctionne. Dans un second temps, il s’agira de voir comment restreindre le nombre de scénarios de reverse stress test. La viabilité de l’assureur sera représentée par son ratio de solvabilité à horizon 1 an. A l’aune des risques encourus par l’assureur sur le module souscription vie, le but sera de voir comment affecter un poids à chaque risque pour déboucher sur un ratio de 100%. Cette problématique sera résolue en analysant les variations du ratio de solvabilité à des chocs sur les risques encoururs.

iv

Première partie

Solvabilité II et le secteur de la prévoyance

1

Chapitre 1

Le secteur de la prévoyance en France

1.1

Une description générale du secteur de la prévoyance

Actuellement, en France, il existe une multiplicité de contrats financiers dont les principes reposent sur la durée de vie humaine. Le régime de la sécurité sociale peut être vu comme la première strate de ces systèmes viagers. En effet la sécurité sociale va prendre en charge un premier niveau de couverture des risques, de maladie, de décès, de maternité, d’invalidité, d’incapacité de travail et de vieillesse. En revanche, les niveaux de prise en charge du régime de la securité sociale sont souvent insuffisants et cela d’autant plus que le risque est important. Ainsi, la prévoyance se veut comme une protection complémentaire de la sécurité sociale et va généralement couvrir les risques de décès, d’incapacité, d’invalidité, de maternité, et d’hospitalisation. La prévoyance peut être classée en deux branches : — la prévoyance individuelle : dans ce cas, un souscripteur prend directement un engagement auprès d’un organisme d’assurance. — la prévoyance collective : dans ce cas, une personne morale, plus généralement une entreprise souscrit auprès d’un organisme assureur des garanties de prévoyance au profit d’une collectivité d’assurés.

1.1.1

L’assurance des emprunteurs

Au sein des contrats de prévoyance, on retrouve l’assurance des emprunteurs. "L’assurance d’un prêt (ou assurance emprunteur) est une assurance temporaire, limitée à la durée d’un emprunt, qui garantit le remboursement de celui-ci en cas de décès. Elle est le plus souvent complétée par des garanties d’assurance de personnes couvrant les risques d’incapacité, d’invalidité et éventuellement de perte d’emploi" 1 . Le prêteur est souvent une personne morale de type banque, organisme de crédit et dispose d’une solidité financière découlant de la mutualisation de plusieurs contrats. 1. Fédération Française des assurances

3

Partie I, Chapitre 1 – Le secteur de la prévoyance en France

L’emprunteur est, quant à lui, une personne physique ou morale qui va emprunter afin d’obtenir des moyens de financement pour des opérations telles que : — — — —

l’acquisition d’un bien immobilier l’acquisition d’un véhicule le financement d’une entreprise ou d’un projet la consommation

L’assurance emprunteur est donc un lieu de rencontre entre trois parties : l’organisme de crédit qui peut aussi être assureur, l’assureur et l’emprunteur (assuré). Conséquemment, Il existe deux types de contrats en assurance emprunteur : — les contrats groupes : le contrat groupe est proposé par l’organisme de crédit qui se veut donc assureur, d’où un contact simplifié entre le souscripteur et son conseiller bancaire. Les tarifs sont alors groupés et peu segmentés. L’intérêt pour le bancassureur est alors la mutualisation de différents profils de risque. — les contrats individuels : les tarifs sont alors fortement segmentés, voir individualisés. ils sont souvent segmentés par : âge, catégorie socioprofessionnelle, tabagisme. En outre, ils sont fonction du capital emprunté. Il s’agira désormais de présenter les garanties et mécanismes de l’assurance des emprunteurs. 1.1.1.1

Garanties et spécificités de l’assurance des emprunteurs

La garantie décès L’assureur rembourse la fraction du capital restant dû assurée en cas de décès de l’assuré. La garantie décès est presque toujours accompagnée de la garantie de perte totale et irréversible d’autonomie. Celle-ci est assimilable à l’invalidité 3ème catégorie de la Sécurité Sociale 100%, couvre les cas où l’emprunteur ne peut pas occuper une activité rémunérée, et les cas où il ne peut pas exécuter les actes basiques de la vie quotidienne sans l’assistance d’une tierce personne. (Se nourrir, se laver, etc.) A cette garantie décès qui est la plus courante s’ajoutent souvent les garanties qui suivent. La garantie arrêt de travail En cas d’arrêt maladie, l’assureur se substitue à l’emprunteur et paie tout ou partie des échéances de celui-ci jusqu’à son rétablissement. Si l’impossibilité physique ou psychique d’exercer son activité professionnelle est temporaire, il s’agit d’une incapacité de travail, si elle est définitive, il s’agit d’une invalidité de travail. 4

1.1. Une description générale du secteur de la prévoyance

La garantie perte d’emploi Contrairement aux deux garanties précédentes, elle est souvent facultative, et elle couvre l’emprunteur contre le chômage involontaire. Elle concerne principalement les salariés en CDI justifiant d’une ancienneté plus ou moins longue. La réassurance La réassurance est une pratique de transfert des risques et d’optimisation financière usitée en assurance emprunteur. Les contrats les plus fréquents sont de type réassurance proportionnelle i-e quote-part et ou excédent de plein. En cas de quote-part, l’assureur cède au réassureur un pourcentage constant des risques qu’il souscrit. Le réassureur prend à sa charge le même pourcentage de tous les sinistres qui surviennent et reçoit, en contrepartie le même pourcentage des primes perçues par l’assureur. Toutefois, ce type de réassurance conduit l’assureur à céder beaucoup de primes et à transférer des risques qu’il aurait pu conserver malgré une gestion simplifiée ; d’où un manque à gagner. En cas de cession en excédent de plein, l‘assureur conserve sur chaque risque un montant identique, appelé plein de conservation et il cède au réassureur, sur chaque risque, la partie qui dépasse ce plein. Elle permet à l’assureur, de conserver des petits risques, de se protéger des risques élevés et de conserver un résultat acceptable. En revanche, la gestion est plus lourde car effectuée risque par risque. Toutefois, elle est particulièrement adaptée au cas de l’assurance des emprunts immobiliers, car l’assureur cède les plus gros capitaux tout en conservant une grande partie de son volume d’affaire. La sous-section suivante traitera des clauses de résiliation des contrats, qui sont de plus en simplifiées par la réglementation, et qui doivent par conséquent être anticipées au mieux par les organismes assureurs.

1.1.1.2

Les clauses de résiliation en assurance emprunteur

On compte globalement deux types de clause de résiliation en assurance emprunteur. — les rachats anticipés de prêts — les changements d’assurance de prêts dûs au principes de déliaison 5

Partie I, Chapitre 1 – Le secteur de la prévoyance en France

Les rachats anticipés en assurance des emprunteurs ils découlent d’une part, du remboursement anticipé du prêt suite à la vente du bien assuré, d’une hausse de liquidité soudaine (héritage, regroupement de prêts) et d’autre part de la conjoncture. En cas de baisse des taux du marché, l’obtention d’un prêt moins coûteux sera possible. Le principe de déliaison en assurance des emprunteurs En juillet 2010, le principe de déliaison, entre le prêt immobilier et l’assurance emprunteur, a été mis en place. Il donne le droit à l’emprunteur de changer son assurance à compter d’une durée de vie minimum de son contrat. Cette loi autorise l’emprunteur à souscrire une assurance de prêt immobilier auprès d’un autre organisme de crédit à condition que les garanties soient similaires. Il s’agit de faire jouer la concurrence afin d’obtenir des taux plus intéressants et d’augmenter les droits des emprunteurs en matière de choix d’assurance. La loi Hamon Elle vient en sus de la loi Lagarde de 2010 et elle permet à l’emprunteur de délier ou résilier son contrat dans les 12 premiers mois à compter de la date de signature du contrat. prêt. Elle est entrée en vigueur le 26 juillet 2014 et elle vient renforcer la concurrence des taux d’emprunts. Cette loi est unilatérale, et a augmenté les taux de déliaison, et conduit naturellement les bons risques à passer vers une assurance individualisée pour baisser leurs coûts.

1.1.1.3

Présentation du marché francais de l’assurance emprunteur

Le montant des cotisations, au titre des contrats d’assurance emprunteur, était de 8,8 milliards d’euros en 2016 2 , ce qui représente une hausse de 3% par rapport à l’année 2015. Il s’agit d’un marché en hausse en matière de cotisation depuis plusieurs années. Répartition des cotisations par type de garanties Dans le diagramme de la figure 1.1, il apparaît que les assurances de prêts immobiliers représentent la large majorité des assurances d’emprunts, (73% des encours) suivies par les assurances de prêts à la consommation. Les assurances de prêts pour les entreprises restent minoritaires. 2. FFSA

6

1.1. Une description générale du secteur de la prévoyance

Figure 1.1 – Répartition des cotisations par type de prêts

Répartition des cotisations par type de garanties Les cotisations d’assurance emprunteur, selon le type de garanties, se répartissent de la façon suivante lors de l’année 2016 3 : — 70 % pour les garanties décès (6,2 milliards d’euros) — 27 % pour les garanties incapacité-invalidité (2,4 milliards d’euros) — 3 % pour les garanties perte d’emploi (0,2 milliard d’euros). Le secteur de la prévoyance et plus précisément de l’assurance emprunteur ayant été décrits, il faut désormais décrire le cadre règlementaire dans lequel ce mémoire s’inscrit.

3. FFSA

7

Chapitre 2

Présentation de la directive Solvabilité II

La directive Solvabilité II est le régime prudentiel des organismes assureurs au sein de l’Union Européenne. Son but est de définir des exigences de solvabilité harmonisées au sein de L’Union Européenne et de permettre aux assureurs d’avoir des fonds propres en adéquation avec les niveaux de risque qu’ils encourent. Elle permet au marché des assurances européen d’être pérenne et respectueux de ses engagements. L’ensemble des règles, formant cette directive, s’articule autour de trois piliers.

9

Partie I, Chapitre 2 – Présentation de la directive Solvabilité II

2.1 2.1.1

Principes de la directive Pilier 1 : Les exigences quantitatives

L’objectif du pilier I est la définition des modalités et normes de calcul des composantes du bilan économique. L’actif est comptabilisé en "juste valeur". Cette vision "juste valeur" se matérialise par un actif vu en valeur de marché. Ainsi, les plus et moins-values latentes font partie de la valorisation de l’actif contrairement au cadre de la prudence comptable. De ce fait, les chutes et hausse de résultat sont prises en compte. C’est pourquoi, le terme "juste valeur" est employé. Le passif est la réunion du Best Estimate, des fonds propres et de la Risk Margin. Comme l’actif, les provisions techniques (BE + RM ) sont valorisées en "juste valeur" pour les risques couvrables sur les marchés ou en vision "meilleur estimation" pour les autres risques. Le but est d’estimer au mieux les réserves en couverture des sinistres. La vision "meilleure estimation" repose sur des hypothèses réalistes d’identification et de quantification des flux de trésorerie.

2.1.1.1

Le Best Estimate : Meilleure estimation

D’après l’article A07-0077/2012 de la directive européenne : "Le Best Estimate est la moyenne pondérée par leur probabilité des flux de trésorerie futurs compte-tenu de la valeur temporelle de l’argent estimée sur la base de la courbe des taux sans risques. Le calcul de la meilleure estimation est fondé sur des informations actualisées et crédibles ainsi que sur des hypothèses réalistes.[...]La projection en matière de flux de trésorerie utilisée dans le calcul de la meilleure estimation tient compte de toutes les entrées et sorties de trésorerie nécessaires pour faire face aux engagements d’assurance et de réassurance pendant toute la durée de ceux-ci." De manière plus formelle, dans un cadre déterministe, la meilleure estimation à la date t peut s’écrire : X CFi BEt = i i≥t (1 + r(i)) Avec : — CFi : la somme des flux de trésorerie à la date i — r(i) représente le taux d’intérêt sans risque de base pour l’échéance i L’article 28 du règlement délégué(UE) 2015/35 stipule que les flux de trésorerie utilisés pour le calcul de la meilleure estimation, comprennent : — "les versements de prestations aux preneurs et aux bénéficiaires". (+) — les paiements de primes. (-) 10

2.1. Principes de la directive

— les flux de trésorerie supplémentaires résultant de ces primes, ex : les frais de gestions des primes, les frais d’acquisitions des primes. (+) ou (-) — Les dépenses engagées afin d’honorer les engagements d’assurance et de réassurance. Ex : les frais généraux, les primes de réassurance, les frais de gestion de sinistres et les autres chargements techniques. (+) — les impôts qui sont, ou dont on prévoit qu’ils seront, appliqués aux preneurs, ou les impôts qui sont nécessaires au règlement des engagements d’assurance ou de réassurance. 2.1.1.2

La marge de risque

D’après l’article 77, paragraphe 3 de la directive Européenne 2009/138/CE : "La marge de risque est calculée de manière à garantir que la valeur des provisions techniques est équivalente au montant que les entreprises d’assurance et de réassurance demanderaient pour reprendre et honorer les engagements d’assurance et de réassurance." En effet, l’assureur, qui reprend les engagements, doit immobiliser des fonds en couverture de ces engagements. Le principe de la marge de risque est alors d’évaluer le coût d’immobilisation du montant, de fonds propres nécessaires éligibles, pour le SCR pendant toute la durée de vie des engagements. Conformément à ces principes, on retrouve dans l’article 37 du règlement délégué (UE) 2015/35 de la commission du 10 octobre 2014, la définition suivante : X SCR(t) RM = CoC · t+1 t≥0 (1 + r(t + 1)) — CoC : représente le coût du capital. En effet, l’argent immobilisé ne pourra être utilisé pour obtenir un rendement. En fixant le CoC au rendement moyen, tout se passe comme si la compagnie reprenant les engagements, avait effectué un rendement sur les fonds immobilisés. D’après l’article 39 du réglement délégué 2015/35 de la comission, le taux du coût du capital visé à l’article 77, paragraphe 5, de la directive 2009/138/CE est présumé être égal à 6 %. — SCR(t) représente le capital de solvabilité requis. 2.1.1.3

Les montants minimums de fonds propres

Définition des fonds propres Les fonds propres correspondent à la somme des fonds propres de base et des fonds propres auxiliaires. Les fonds propres de base désignent la somme des deux éléments suivants : — l’excédent des actifs par rapport aux passifs 11

Partie I, Chapitre 2 – Présentation de la directive Solvabilité II

— les passifs subordonnés désignent des dettes dont le remboursement ne sera effectué qu’après remboursement des autres créanciers Les fonds propres auxiliaires sont les éléments, autres que les fonds propres de base, dont l’assureur peut tirer parti pour compenser des pertes. Solvabilité II impose des montants minimums de fonds propres : le SCR et le MCR.

Définition des SCR et MCR Le SCR : capital de solvabilité requis est d’après l’article 101 de la directive 2009/138/CE, la « Value at Risk » des fonds propres de base d’un organisme d’assurance ou de réassurance à un niveau de confiance de 99,5% sur une période d’un an. La Value At Risk (VaR) avec un niveau de confiance α peut se définir comme une limite de perte qui ne sera pas dépassée avec une probabilité α. Le SCR peut alors être vu comme un montant minimum à détenir, pour pouvoir en cas d’évènements extrêmes, maintenir ses engagements.

Le MCR : capital minimum requis, d’après l’article 129 de la directive 2009/138/CE "correspond à un montant de fonds propres de base éligibles en deçà duquel les preneurs et les bénéficiaires seraient exposés à un niveau de risque inacceptable si l’entreprise d’assurance ou de réassurance était autorisée à poursuivre son activité." Il doit être constamment respecté sous peine d’une action immédiate du régulateur qui peut exiger un retrait de l’agrément de l’entreprise mise en cause, ou alors le transfert du portefeuille de cette entreprise. Pour calculer le capital requis de solvabilité, deux méthodes sont possibles. Un modèle interne mis en place par l’entreprise, afin de modéliser et mesurer au mieux les risques, qu’elle encourt, ou une méthode de calcul proposée par le régulateur : la formule standard. Avec la formule standard, la projection, des fonds propres à horizon un an, est contournée et le SCR est calculé sur la base de chocs instantanés et non sur un an. Afin d’évaluer le SCR, le régulateur propose une cartographie des risques majeurs auxquels un organisme peut faire face.

12

2.1. Principes de la directive

Figure 2.1 – Modules de risques 2.1.1.4

Présentation des modules de risques

L’article 101 de la directive 2009/138/CE stipule que le capital de solvabilité requis doit au moins couvrir les risques suivants : — le risque de souscription en non-vie — le risque de souscription en vie — le risque de souscription en santé Ces trois risques sont des risques liés au simple fait de distribuer des contrats d’assurance. En effet, un assureur ne peut connaître avec certitude l’état présent et futur d’un assuré, ou d’un objet assuré. Cette méconnaissance peut conduire à la mise en place d’hypothèses qui ne captent pas assez la réalité. On peut alors déboucher sur de la tarification et du provisionnement, inadaptés. La tarification est la mise en place d’un prix pour un produit d’assurance. Les provisions désignent, quant à elles, des montants que l’entreprise d’assurance va conserver afin de faire face en tout temps à ses engagements. Le provisionnement est le processus de calcul des provisions. Ainsi, tarifer ou provisionner de manière inadéquate peut conduire au non-respect des engagements pris par l’assureur. Les autres risques devant être absolument couverts sont : — le risque de marché : il va mesurer la sensibilité des actifs et des passifs aux changements de volatilité des instruments financiers en couverture des passifs. Il mesure 13

Partie I, Chapitre 2 – Présentation de la directive Solvabilité II

également toute inadéquation actif/passif qui peut découler de ces changements de volatilité. — le risque de contrepartie/défaut : Il découle du risque de défaut inattendu, ou de la dépréciation de la cote de crédit des contreparties de l’organisme assureur durant les douze mois à venir. Ce risque est étroitement lié aux mécanismes de transfert/minimisation de risques qu’une compagnie d’assurance peut utiliser. (Réassurance, titrisation). Le dernier risque proposé par le régulateur est le risque intangible, en revanche, sa couverture n’est pas imposée par la directive. — Le risque intangible désigne le risque de baisse de la valeur des actifs incorporels. Un actif incorporel est un bien immatériel, en l’occurrence, un bien qu’on ne peut pas toucher. Il ne s’agit pas non plus d’un bien monétaire. Ce type de biens doit avoir une durée de vie suffisante et sert généralement à la production de l’entreprise. Par exemple : un logiciel, un dépôt de brevet. Tous ces risques vont servir au calcul du SCR, que ce soit dans le cadre de la formule standard, ou dans le cadre d’un modèle interne. Toutefois, les modalités de calcul diffèrent d’une méthode à l’autre. 2.1.1.5

Modalités de calcul du SCR dans le cadre de la formule standard

Les modules de risques présentés précédemment sont, chacun, déclinés en risques intramodulaires. Cf. l’arborescence figurant en 2.1.1.4 page 13. Ces risques intra-modulaires portent la dénomination de risques élémentaires. (Nuance de bleu la plus claire dans l’arborescence). Pour chaque risque élémentaire, un choc va être appliqué et va engendrer une consommation du capital. De ce fait, la consommation de capital issue d’un risque élémentaire va constituer un capital au titre de ce risque. C’est ainsi qu’un risque élémentaire est formalisé sous la forme d’un montant. Les niveaux de chocs appliqués sont fixés et présents dans le règlement délégué (UE) 2015/35. Par la suite, au titre d’un module m, un SCR sera calculé par l’agrégation des consommations individuelles de chaque risque via des coefficients de corrélation linéaire. Les coefficients de corrélations représentent les effets de diversifications entre les différents risques. Ces coefficients sont explicitement donnés par le régulateur et figurent en annexe de la directive 2009/138/CE sous la forme de matrices de corrélation. Soit : — Rm : l’ensemble des risques du module m — Ci : le capital au titre du risque i m — ρR i,j : le coefficient de corrélation permettant d’agréger les capitaux des risques, i et j, du module m — SCRm : le capital économique du module m 14

2.1. Principes de la directive

— M : l’ensemble des modules — ρM i,j : le coefficient de corrélation permettant d’agréger les capitaux des modules i et j D’où pour l’aggrégation intra-modulaire : SCRm =

v u u t

X

ρM i,j · Ci · Cj

2 (i,j)∈Rm

De même, afin de capter les effets de diversifications inter-modulaires, les SCRs par modules sont agrégés pour obtenir un capital au titre de l’ensemble des modules, le SCR de base. v u u

SCRde base = t

X

ρM i,j · SCRi · SCRj

(i,j)∈M 2

En outre, deux quantités vont être ajoutées au SCR de base. — Le SCRopérationnel qui quantifie le risque opérationnel. Ce risque découle de pertes potentielles dues à, des processus internes incongrus ou défaillants, des erreurs de membres du personnel, des événements extérieurs. — Un terme d’ajustement qui représente la compensation potentielle de pertes non anticipées par une diminution des provisions techniques ou des impôts différés. Cet ajustement est inhérent au caractère long terme de l’assurance. En effet, un assureur peut démontrer qu’il réalisera du bénéfice à l’avenir ou qu’il pourra réduire ses prestations futures pour couvrir des pertes non anticipées lors de leur survenance. L’ajustement va alors venir compenser ces pertes. D’où : SCR = Ajustement + SCRde base + SCROpérationnel Les paramètres, des matrices de corrélation, utilisés pour le calcul du SCR ont été calibrés dans le but d’approcher le plus possible, une V aR à 99.5% pour l’exigence de capital requis.

2.1.1.6

Modalités de calcul du SCR dans le cadre d’un modèle interne complet ou partiel

Il existe deux types de modèle interne : — Une approche modulaire proche de la formule standard qui va déboucher un modèle interne partiel. — Une approche intégrée qui va déboucher sur un modèle interne complet. La différence entre les deux méthodes se fait sur le traitement des effets de diversifications entre les différents risques. 15

Partie I, Chapitre 2 – Présentation de la directive Solvabilité II

Modèle modulaire Lors de cette approche, une charge en capital est déterminée pour chaque risque sur la base de chocs comme pour la formule standard. Les risques élémentaires puis modulaires sont ensuite agrégés à l’aide de matrices de corrélation. La différence avec la formule standard vient des risques élémentaires utilisés qui vont mieux représenter le profil de risque de la compagnie d’assurance. Les matrices de corrélations utilisées sont donc différentes. Modèle interne complet Dans ce cas, les impacts des risques sont évalués dans leur globalité et non risque par risque. Il faut alors : — modéliser les effets de diversifications des risques — élaborer des générateurs de scénarios économiques Une modélisation du résultat en sera déduite et il faudra calibrer une mesure de risque équivalente à une V aR de niveau de confiance 99.5% pour calculer le capital de solvabilité requis. Ce type de modèle a l’avantage d’être plus précis dans l’évaluation, du besoin global en solvabilité, des risques encourus, mais ce type de modèle demande un investissement certain, qu’il soit humain ou financier. Cela conduit nombre d’assureurs à adopter la formule standard ou un modèle interne partiel. Le pilier I va donc donner une image de la solvabilité de l’entreprise à horizon un an, mais cette image n’est valable et n’a de sens que si les différentes fonctions de l’entreprise de l’assurance fonctionnent correctement et en adéquation. D’où un second pilier dans la directive, qui permet d’évaluer la qualité de cette image.

2.1.2

Pilier II : Les exigences qualitatives

Un autre objectif majeur de Solvabilité II est de, repérer les organismes les plus risqués et les forcer à immobiliser davantage de capital pour éviter la ruine et le non-respect de leurs engagements. Cet objectif s’articule autour de la mise en place d’un "système efficace de coopération, de reporting interne et de communication des informations" 1 au sein des différents organes de l’entreprise. 2.1.2.1

Contôle interne et externe des risques

Contrôle interne 1. Article 258 du règlement délégué 2015/35 de la commission du 10 octobre 2014

16

2.1. Principes de la directive

Les entreprises agréées doivent se doter de systèmes d’information afin d’émettre des livrables clairs, cohérents et fiables de la situation de l’entreprise, sur son activité, et la nature des risques qu’elle encourt. Il faut par conséquent que chaque partie de l’entreprise soit compétente et qualifiée pour exercer ses fonctions. Afin d’assurer un contrôle interne performant au sein d’un organisme assureur, la directive impose la présence de fonctions clés dans l’entreprise. — — — —

la fonction actuarielle (calcul des provisions techniques) la fonction de gestion des risques la fonction d’audit interne (vérification de l’efficacité du contrôle interne) la fonction de vérification de la conformité (respect des orientations législatives, réglementaires, et administratives, engagées)

Au-delà des systèmes de vérification des processus en interne, la directive exige une vérification externe de l’activité des organismes assureurs. Contrôle externe Le superviseur européen, par le biais d’autorités à portée nationale, veille à ce que toute entreprise, agréée à pratiquer des opérations d’assurance, applique de manière ferme et adéquate les principes de la directive Solvabilité II. Si le capital de solvabilité requis d’une entreprise est jugé insuffisant par une autorité de contrôle, celle-ci va exiger une marge additionnelle. Une insuffisance, de capital de solvabilité requis peut soit provenir : — d’une inadéquation du profil de l’entreprise à la formule standard ou au modèle interne choisi. Le calcul utilisé devra ensuite être corrigé par l’entreprise. — d’une défaillance dans le système de gestion de risques ou de gouvernance de l’entreprise. Une action corrective de la part de l’entreprise fera suite à l’intervention de l’autorité de contrôle. Un levier majeur du pilier II est l’ORSA, c’est un processus "interne d’évaluation des risques et de la solvabilité par l’organisme (ou le groupe). Il doit illustrer la capacité de l’organisme ou du groupe à identifier, mesurer et gérer les éléments de nature à modifier sa solvabilité ou sa situation financière. Aussi, sa déclinaison opérationnelle en fait-elle un outil stratégique de premier plan". 2 2.1.2.2

L’ORSA

Solvabilité II exige des assureurs qu’ils puissent "évaluer", "mesurer" et "suivre" leur exposition aux risques. L’article 45 de la directive impose que dans le cadre de son pro2. ACPR

17

Partie I, Chapitre 2 – Présentation de la directive Solvabilité II

cessus de gestion des risques, chaque entreprise doit procéder à une évaluation interne de ses risques et de sa solvabilité, à travers les trois éléments suivants : — le besoin global de solvabilité, compte tenu du profil de risque et des limites de tolérance au risque et de la stratégie commerciale de l’entreprise. — le respect permanent des exigences de capital ainsi que les exigences concernant les provisions techniques. — l’analyse de l’adéquation au profil de risque avec le cadre induit par le pilier I de solvabilité II. Adéquation du profil de risque Dans cet exercice qu’est l’ORSA, la solvabilité de l’organisme va être calculée sur un horizon temporel donné. Il est donc essentiel de vérifier que si elle est utilisée, la formule standard offre une vision exhaustive des risques encourus par l’assureur. Si ce n’est pas le cas, la compagnie peut, changer les niveaux de choc de la formule standard ou ajouter les risques connus, mais non pris en compte dans la formule standard, lors du calcul de son besoin global de solvabilité. Besoin global de solvabilité Le besoin de solvabilité qui va être calculé diffère du calcul du SCR du premier pilier. En effet, les portefeuilles ne sont pas en run-off car ils prennent en compte, des hypothèses d’affaires nouvelles répondant à une vision stratégique et commerciale de l’organisme. Les risques pris en compte peuvent dépasser ceux définis par la réglementation et leur niveau dépend aussi de l’appétence pour le risque de l’assureur. Un horizon de calcul fortement corrélé à l’horizon temporel du plan stratégique est aussi pris en compte. En somme, l’ORSA va permettre de définir un montant minimum de capital à détenir pour vérifier, le respect des exigences règlementaires, ainsi que le respect des objectifs et de la politique de développement de la compagnie. Pour calculer ce besoin, il faut au préalable définir l’appétence au risque. Appétence au risque Le but de l’appétence au risque est de définir le niveau de risque que l’organisme est prêt à prendre. Cela implique d’établir une limite globale en accord avec la stratégie de l’entreprise. L’assurance fait intervenir différentes parties prenantes internes et externes ayant des objectifs différents. Parmi ces différentes parties, on peut compter : 18

2.1. Principes de la directive

— les unités d’affaires dont les objectifs vont être la prise d’opportunités sur les chiffres d’affaire. Cela se traduit par un niveau de croissance suffisant. — la gestion des risques qui va contrôler la volatilité du résultat et établir le profil de risque de l’organisme. Cela se traduit par un niveau de risque aussi faible que possible. — les actionnaires et investisseurs, qui vont exiger des dividendes, donc demander du résultat ou alors exiger de l’entreprise qu’elle se developpe sur son marché. Cela se traduit par un niveau de rendement et un niveau de croissance, suffisants. — les assurés, régulateurs qui vont exiger le respect des engagements de l’assureur. Cela se traduit par un niveau de solvabilité suffisante. Ainsi, l’appétence pour le risque de l’entreprise est étroitement liée aux priorités de l’entreprise quant à la réalisation des objectifs de telle ou telle partie. Calcul du besoin global de solvabilité Le besoin global de Solvabilité représente le capital requis issu de la comparaison et l’adéquation de l’appétence au risque de la compagnie et de la prise de risque induite par le plan stratégique. Sur la durée du plan stratégique de l’entreprise, la compagnie va projeter son bilan Actif, Passif en fonction des risques qu’elle encourt et de la stratégie qu’elle entend mener (allocation d’actifs, affaires nouvelles). Cette projection se fait en général sous différents scénarios selon les conditions de marchés et les natures des risques de souscription qui pèsent sur l’organisme. Les scénarios peuvent être basés sur des données historiques. En outre, il s’agit de dire que le "futur sera similaire au passé" et que des situations précédentes telles que des crises peuvent se reproduire. (Situation de marchés stressés). En général, au passif les stress tests sont le plus souvent du type dégradation de la sinistralité et scénarios sur le risque catastrophe. Il existe en outre des scénarios de dégradation des affaires nouvelles, par exemple chute du nombre de souscriptions au cours du temps. Une fois cette étape réalisée, l’assureur dispose de plusieurs ratios de couvertures solvabilité II, de marges futures, de résultats qui vont lui permettre de s’assurer que l’appétence au risque est vérifiée ou non et d’agir en conséquence : réajustement de la stratégie ou de l’allocation entre les différentes parties prenantes.

2.1.3

Pilier 3 : Communication et transparence

La directive Solvabilité II impose une discipline stricte de transparence sur les marchés. Cela vient en réponse aux différents scandales type Enron 3 . Il s’agit aussi d’harmoniser 3. Enron fut une des plus grandes entreprises américaines par sa capitalisation boursière, elle fit faillite en raison de pertes, sur des spéculations boursières sur l’électricité, alors maquillées par des procédés

19

Partie I, Chapitre 2 – Présentation de la directive Solvabilité II

la communication des assureurs à l’échelle européenne. Cette communication est à désignation du régulateur, du marché assureur européen et des assurés. Conséquemment, des fichiers aux formats standardisés sur l’état de santé, la solvabilité et la comptabilité de l’entreprise vont devoir être remplis par celle-ci. Parmi ces fichiers, on compte : — Les QRT : Quantitative Reporting Templates id est : rapport sur les états quantitatifs, documents dont les principaux enjeux sont l’état des actifs et des provisions techniques à remettre à l’autorité de contrôle. Des rapports narratifs : — Les RSR : Regular Supervisory Report, rapports réguliers au contrôleur (RSR) — Les SFCR : Solvency and Financial Conditions Report, rapport réguliers sur la solvabilité et la situation financière. Les SFCR sont publics. Dans le rapport de préparation à Solvabilité II de 2015, L’ACPR énonce que "Les rapports SFCR et RSR décrivent l’activité de l’organisme, son système de gouvernance, son profil de risque et complètent la remise des états quantitatifs annuels, en donnant notamment des informations sur les méthodes de valorisation utilisées ainsi que des précisions sur la gestion du capital" 4 .

2.2

Conclusion

L’objectif de cette partie était de présenter le cadre dans lequel va se dérouler ce mémoire. Les méthodes, qui vont être appliquées dans la suite de cette étude, ne peuvent être désolidarisées, du cadre réglementaire qu’est Solvabilité II, et du secteur de la prévoyance. La suite de l’étude portera sur la Risk Margin et l’ORSA dont les jalons ont été posés dans cette première partie. Il s’agira dans le chapitre suivant d’étudier, la pertinence de la méthode de projection des SCRs, utilisée à SOGECAP pour le calcul de la marge de risque.

comptables 4. ACPR

20

Deuxième partie

Modélisation prospective des SCRs de souscription vie

21

Chapitre 3

Projection du SCR de souscription vie pour le calcul de la marge de risque

Il faut au préalable de notre étude, exposer la modélisation du portefeuille d’étude.

3.1

Modélisation du portefeuille d’étude

Les produits de l’étude, sont modélisés à l’aide d’un outil développé sur excel/VBA, sont des produits d’assurance pour les emprunteurs et sont regroupés par famille au sein d’un même fichier de projection. Le choix des produits a été réalisé de telle sorte à couvrir l’ensemble des garanties, et mécanismes d’assurance, présents au sein du portefeuille emprunteur de SOGECAP. L’idée étant de s’assurer que la manière, dont fonctionnent les méthodes d’approximation sur ce portefeuille réduit, est similaire à la manière dont fonctionneraient ces méthodes sur le portefeuille complet.

3.1.1

Principes de modélisation

La modélisation adoptée est dite "tête par tête", c’est-à-dire que les projections sont faites assuré par assuré et sont ensuite agrégées pour obtenir les résultats de la famille de produits. Un lancement de projection se déroule de la manière suivante : — extraction et retraitements des données. — réconciliation des capitaux sous risque avec l’état des capitaux sous risque de la comptabilité afin de témoigner de l’exhaustivité du périmètre. — construction et mise à jour des hypothèses. — mise à jour des tarifs. — lançement des projections. Lors de ce mémoire, les moteurs de calcul utilisés étaient déjà mis à jour et donc prêts à être lancés. Les travaux préliminaires, de réconciliation et de retraitement des données, ont donc été réalisés et validés au préalable en interne. 23

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

Chaque moteur a pour but de construire, un compte de résultats projeté sur 30 ans, de calculer les besoins en marge et un Best estimate.

Figure 3.1 – Exemple de compte de résultat

24

3.1. Modélisation du portefeuille d’étude

Figure 3.2 – Best Estimate Les caractéristiques des familles de produits étudiées feront l’objet de la sous-section suivante.

3.1.2

Présentation des familles de produits étudiées

Quatre familles de produits ont été choisies pour l’analyse d’approximations des SCRs futurs pour le calcul de la marge de risque. — — — —

La La La La

famille famille famille famille

ACI : assurance de crédit immobilier ACP : assurance de crédit pour les particuliers ACC : assurance de crédit à la consommation ACCF : assurance de crédit à la consommation

Les risques garantis — Le décès (DC) — La perte totale et irréversible d’activité (PTIA). Cette garantie ne fait pas l’objet d’une modélisation spécifique, elle est contenue dans les taux de mortalité. — L’arrêt de travail (AT) Les types de différés Les différés sont de trois types : — sans différé 25

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

— différé total : pas de paiement de remboursement du capital ni d’intérêts pendant le différé — différé partiel : pas de paiement de remboursement du capital mais paiement d’intérêts pendant le différé. Les types de tarifs — — — —

Tarif fonction de l’âge d’adhésion Tarif différent pour le personnel de la Société Générale (Personnel SG) Tarif différent pour les contrats sénior (Sénior) Dès qu’il y’a différé, le tarif dépend du type de différé (Différé)

Mécanismes — Réassurance en quote part (QP) et ou en excédent de plein (XP) — Participation aux bénéfices Les éléments suivants concernent toutes les familles étudiées — — — —

les tarifs sont pourcentage du capital initial emprunté Projection sur 30 ans, pas annuel Echéances des prêts supposées annuelles Les tables utilisées sont les tables TH-TF 00-002 avec un éventuel abattement pour mieux rendre compte de la mortalité des individus en portefeuille. — Les rachats se matérialisent par un taux de rachat fixe — Les frais généraux sont fixes et en pourcentage de la prime commerciale — Les taux d’entrée en arrêt de travail (Tx AT) sont soit fixes soit fonction de l’âge Les spécificités des familles de produits vont être synthétisées dans la table suivante : Risques garantis

Tarif

DC

QP

Rachat fixe : 4.8%

PTIA

Personnel SG Age d’adhésion Différé

XP

Frais généraux : 1.6%

DC PTIA AT si âge ≤ 65

Personnel SG Age d’adhésion Différé

QP

Rachat fixe : 6.7% Frais généraux : 3.5% Tx AT (âge)

DC PTIA AT

Personnel SG

ACI

ACP

ACC

Mécanismes Hypothèses techniques

XP

Rachat fixe : 18.2% Frais généraux : 6.8% Tx AT : 4%

Sénior (65 ans)

DC ACCF

PTIA

Sénior (60 ans)

AT

PB

Rachat fixe : 4% Abattement : 45.1% Frais généraux : 1% Tx AT : 5.1%

Figure 3.3 – Spécificités des familles de produits 26

3.1. Modélisation du portefeuille d’étude

Le détail de la modélisation va désormais être exposé

Notations — — — — — — — — — — —

i : Année de projection, l’année 0 représente la date de valorisation x : âge à l’année 0 z : âge d’entrée en invalidité trai : taux de remboursement anticipé, l’année i qy : probabilité pour un individu d’âge y, de décèder avant l’âge y+1 ATy : taux d’entrée en arrêt de travail à l’âge y Pyval : probabilité qu’une tête valide d’âge y reste valide au moins 1 an CI : capital initial assuré CRDi : capital restant dû à l’année de projection i Durée : durée de contrat restante à la date de valorisation τ : taux d’intérêt de l’emprunt

3.1.3

Modélisation de la garantie décès

La garantie décès stipule qu’en cas de décès de l’assuré, l’assureur s’engage à payer une fraction du capital restant dû du prêt. 3.1.3.1

Calcul du coût de la garantie décès

Probabilité de survie toute cause de la tête l’année i Px+i = Px+i−1 · (1 − trax+i ) · (1 − qx+i ) Probabilité de décès de la tête dans l’année i P DC (x + i) = Px+i−1 · qx+i · (1 − 21 · trax+i ) Le 21 devant le taux de remboursement anticipé est lié au fait que les décès sont supposés en milieu d’année. Calcul des capitaux restants dûs CRDi = CRD0 · quotitéassurée ·

1−(1−τ )−Duréerestante 1−(1−τ )−Durée

Coût du décès

27

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

= P DC (x + i) · CRDi SinistresDC i Il s’agira dans la suite de présenter la modélisation de la garantie AT, elle concerne toute les familles de produits présentant une garantie AT, soit les familles ACP, ACCP et ACCF.

3.1.4

Modélisation de la garantie arrêt de travail

Les risques garantis sont les suivants : — l’incapacité temporaire de travail — l’invalidité permanente La garantie offerte est un paiement des échéances du prêt pendant la durée de l’arrêt maladie. Pendant une période d’arrêt, l’assuré ne paie pas de primes d’assurance. Une franchise de 90 jours est appliquée. La durée maximum de la période d’incapacité est de 36 mois. Au-delà, l’assuré passe en invalidité, l’assureur va alors payer une fraction des échéances de l’assuré jusqu’à remboursement du prêt. Ce taux de fractionnement dépend du taux d’invalidité selon les règles suivantes : 0 < tauxinval < 33% 33% ≤ tauxinval < 66% tauxinval ≥ 66% ACP ACC ACCF

0 0 0

0 50% 50%

100% 100% 100%

Figure 3.4 – Taux de prise en charge de l’invalidité Au-delà de 65 ans, la garantie incapacité n’est plus prise en charge et au-delà de 60 ans pour la garantie invalidité. Tous les assurés sont considérés comme valides à la date de valorisation. Les probabilités de maintien en incapacité, de passage en invalidité, et de maintien en invalidité sont issues des tables du BCAC (Bureau commun d’assurance collective). Les coefficients issus des tables du BCAC sont les suivants : — linc (x + k, j) : le nombre d’incapables, entrés à l’année k, toujours incapables au bout de j mois. — linc→inval (x + k, j) : le nombre d’incapables, entrés l’année k, passant invalides au bout de j mois. — linc (x + k, i) : le nombre d’invalides, entrés l’année k, toujours invalides au bout de i années. Les taux d’entrée en incapacité sont calculés à l’aide de techniques statistiques basées sur la sinistralité historique. La présente étude ne s’étendra pas sur ces méthodes. 28

3.1. Modélisation du portefeuille d’étude

3.1.4.1

Calcul du coût de l’incapacité

Calcul des échéances échéance annuelle = CI.quotitéassurée · mensualité = échéance12annuelle

τ 1−(1−τ )−Durée initiale prêt

Probabilité qu’une tête incapable entrée en incapacité l’année k soit toujours incapable le j ième mois tx incx+k (j) =

 inc  l (x+k,j) 

linc (x+k,0)

si j ≤ 36 mois

0

sinon.

Les contrats présentent une franchise de trois mois, la première année d’incapacité, cet effet est capté par l’annulation des taux de maintien en incapacité des trois premiers mois. Probabilité de survie d’une tête valide l’année k valide val + = Px+k Px+k

Pmin(k,3) p=1

p tx retourx+k

Avec : valide : la probabilité que la tête soit valide sans être passée par de l’incapacité — Px+k depuis le début de la simulation jusqu’à l’année k

valide valide Px+k = Px+k−1 · (1 − trax+k ) · (1 − qx+k ) · (1 − ATx+k )

p — tx retourx+k : la probabilité que la tête étant entrée en incapacité la pième année redevienne valide l’année k

p tx retourx+k

=

 valide   P × ATx+p × (1 − qx+p ) × (1 − trax+p )×   " x+p−1       tx incx+p ((i − p − 1) · 12) × retx+p (k − p)+     #    P3    j=1 retx+p (j)  valide   P × ATx+p × (1 − qx+p ) × (1 − trax+p)×    x+p−1      tx incx+p ((i − p − 1) · 12) × retx+p (k − p)             0

si p = k − 1

si k − 3 < p ≤k−1 sinon. (3.1)

29

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

Avec : retx+p (k − p) : la probabilité qu’une tête entrée en incapacité la pième année redevienne valide au cours de la k ième année (k-p années plus tard) retx+p (k − p) =

 P (k−p)∗12  j=(k−p−1)∗12+3 retx+p (j mois) P (k−p)∗12  j=(k−p−1)∗12

retx+p (j mois)

si p = k − 1 sinon.

Avec : retx+p (j mois) : la probabilité qu’une tête entrée en incapacité la pième année redevienne valide le j ième mois de la k ième année sachant qu’elle était incapable en début de l’année k inc  inc d (x+p,j) si p = k − 1 l (x+p,12·(k−p−1)+3) retx+p (j mois) = inc (x+k,j) d  si k − 3 < p ≤ k − 1 linc (x+k,12·(i−k−1)+3) Avec : dinc (x + p, j) : le nombre d’incapables (de la table de maintien en incapacié du BCAC) entrés en incapacité la pième passant à l’état valide le j ième mois dinc (x + p, j) = linc (x + p, j − 1) − linc (x + p, j) − linc→inval (x + p, j − 1) − linc (x + p, j − 1) · qx+k 12

Remarque : les têtes qui ne sont pas incapables, qui ne sont pas passées à l’état invalide et qui ne sont pas décédées le j ième mois sont comptabilisées. Les cas p = k −1 et p 6= k −1 sont séparés en raison des trois mois de franchise la première année. Probabilité qu’une tête valide en début d’année k devienne incapable dans l’année incap val Px+k = Px+k−1 · ATx+k · (1 − 12 trax+k − 12 qx+k + 13 trax+k · qx+k )

Coût annuel de l’incapacité pour l’année de projection i Coûtincap = i

Pmin(i,3) k

Inci (x + k)

Où : Inci (x + k) désigne le coût annuel de l’incapacité pour une tête entrée en incapacité à l’âge x+k au titre de l’année i. Inci (x + k) =

Pi·12

j=(i−1)·12

Incji (x + k) 30

3.1. Modélisation du portefeuille d’étude

Avec : Incji (x + k) : coût mensuel de l’incapacité pour une tête entrée en incapacité à l’âge x+k au titre du j ième mois de l’année i. incap Incji (x + k) = Px+k · tx incx+k (j) · mensualité

3.1.4.2

Calcul du coût de l’invalidité

Probabilité qu’une tête passe invalide à la fin de l’année de projection n inval Px+n =

Pn

k=1

incap incap→inval Px+k · Px+k (n)

Avec : incap→inval (n) : la probabilité qu’une tête entrée en incapacité l’année k passe invalide Px+k l’année de projection n. incap→inval Px+k (n) =

P(n−k+1)·12 j=(n−k·12

incap→inval Px+k (j mois)

Où : incap→inval Px+k (j mois) représente la probabilité qu’une tête entrée en incapacité l’année k passe invalide le j ième mois.  inc→inv (x+k,j)  l

incap→inval Px+k (j mois) = 

linc (x+k,0)

0

si j ≤ 36 mois sinon.

Avec : linc→inv (x + k, j) : le nombre d’incapables entrés la k ième année, passant invalides au bout de j mois (Table BCAC). Probabilité qu’une tête invalide entrée en invalidité l’année n soit toujours invalide au bout de k années tx invx+n (k) =

linv (x+n,k) linv (x+n,0)

Avec : linv (x + n, k) : le nombre d’invalides entrés la nième année toujours invalides au bout de k années (Table BCAC). Coût annuel de l’invalidité pour l’année de projection i 31

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

Coûtinval = i

Pi

n=1

Invi (x + n)

Avec : Invi (x + n) : coût annuel de l’invalidité pour une tête entrée en incapacité à l’âge x+n au titre de l’année i. inval Invi (x + n) = Px+n · tx invx+n (i − n) · txassuré · échéance annuelle Avec : txassuré : le pourcentage de prise en charge des échéances de prêt par l’assureur en cas d’invalidité.

Les garanties décès et arrêt de travail, ayant été décrites, la modélisation des flux de trésorerie, peut désormais être exposée.

3.1.5

Modélisation des flux de trésorerie

Soit : — — — — — — — — —

x : l’âge d’une tête, à la date i=0 de début de projection T arif : le coefficient appliqué au Capital initial pour obtenir la prime commeriale P art DC : la proportion du tarif, allouée à la garantie décès P art DC : la proportion du tarif, allouée à la garantie arrêt de travail P ériodicitérbst : la périodicité de paiements des échéances txcommission : le pourcentage de commission txgestion : Le pourcentage de frais de gestion txf raisg : Le pourcentage de frais généraux taux réassurance DC : le taux de cession en excédent de plein des primes pour la garantie décès. — taux réassurance ATyXP : le taux de cession en excédent de plein des primes pour la garantie arrêt de travail. y représente un âge. 3.1.5.1

Modélisation des sinistres

Modélisation des sinistres décès DC SinistresDC = Px+i · CRDi i

Modélisation des sinistres arrêt de travail SinistresAT = Coûtincap + Coûtinval i i i 32

3.1. Modélisation du portefeuille d’étude

Sinistresi = SinistresDC + SinistresAT i i

3.1.5.2

Modélisation des primes commerciales

Modélisation des primes commerciales décès Cas des familles ACI et ACP : DC P rimescom = CI · T arif · P art DC · Px+i−1 i

Cas des familles ACC et ACCF : DC P rimescom i

 

CI ·



CI ·

= Px+i−1 ·

T arif ·P art DC·(i−Durée restante)·12 P ériodicitérbst T arif ·P art DC·12 P ériodicitérbst

si Durée restante < 12 mois sinon.

Modélisation des primes commerciales arrêt de travail Cas de la famille ACP : ·P art AT AT P rimescom = CI ·T arif · Px+i−1 i 1+taxeAT La prime pour l’arrêt de travail est évaluée hors taxes.

Cas des familles ACC et ACCF :  

CI ·



CI ·

AT P rimescom = Px+i−1 · i

T arif ·P art AT ·(i−Durée restante)·12 P ériodicitérbst T arif ·P art AT ·12 P ériodicitérbst

si Durée restante < 12 mois sinon.

DC AT P rimescom = P rimescom + P rimescom i i i

Pour simplifier les calculs allant suivre, il sera supposé que les primes au titre de l’année i sont du type CI · tarif · Px+i−1 .

3.1.5.3

Modélisation des frais généraux

F raisgénéraux = txf raisg · P rimescom · inf lationi i i

3.1.5.4

Modélisation des commissions

Commissionsi = txcommission · P rimescom i 33

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

3.1.5.5

Modélisation des frais de gestion

F raisgestion = txgestion · P rimescom i i 3.1.5.6

Modélisation des primes pures

P rimespure = P rimescom − f raisgestion − Commissionsi i i i 3.1.5.7

Modélisation de la réassurance

Famille ACP Certains produits de la famille ACP disposent d’un programme de réassurance de cession en excédent de plein et de quote-part pour les capitaux restants dûs en deçà de l’excédent de plein. Les deux garanties, soit, les garanties décès et arrêt de travail sont réassurées. XP P art réassureur sinistresi = P art réassureur sinistresQP i +P art réassureur sinistresi

Avec : — P art réassureur sinistresQP : la part des sinistres transférée au réassureur pour i la cession en quote part : la part des sinistres, transférée au réassureur pour — P art réassureur sinistresXP i la cession en excédent de plein

x+i P art réassureur sinistresQP = min(CRDi , Seuil) · Quote part · PDC + i

min(CI, seuil) · Quote part · SinistresAT i CI

x+i P art réassureur sinistresXP = max(CRDi − Seuil, 0) · Quote part · PDC + i





max min(CI, Seuil limite AT ) − Seuil, 0 CI

Il y a un seuil pour la garantie décès et la garantie AT est réassurée entre le seuil de la garantie décès et un seuil limite noté seuil limite AT. Pour une famille de produits, seuls certains produits sont réassurés. P art réassureur primesi = P art réassureur primesQP + P art réassureur primesXP i i 34

3.1. Modélisation du portefeuille d’étude

Avec : — P art réassureur primesQP : la part des prime, transférée au réassureur pour la i cession en quote-part — P art réassureur primesXP : la part des primes, transférée au réassureur pour la i cession en excédent de plein

P art réassureur primesQP =P rimespure i i

DC

P rimespure i

AT

min(CRDi , Seuil) · Quote part+ CRDi min(CI, seuil) · · Quote part CI ·



XP =taux réassurance ATâge P art réassureur primesXP i adhésion+1 · max min(CI, Seuil limite AT )−



valide XP Seuil, 0 · Px+i + taux réassurance DCâge adhésion+1 ·

max(CRDi − Seuil, 0) · Px+i Au titre d’une participation aux frais de gestion et d’acquisition, cédés, une commission est versée par le réassureur. Elle ne concerne que la réassurance en excédent de plein et est modélisée de la manière suivante : · (1 + Commissions réassurance = 75% · P art réassureur primesXP 1

Durée écoulée(jours) ) 365.25

Famille ACI Le programme de réassurance de la famille ACI consiste en un excédent de plein, d’une quote-part en deçà du seuil. 



DC P art réassureur sinistresi = Px+i · CRDi − min(CRDi , Seuil) · (1 − Quote part)

i ,Seuil) P art réassureur primesi = P rimespure ·Quote part· min(CRD +taux réassuranceXP i x+i · CRDi max(CRDi − seuil, 0) · Px+i

3.1.5.8

Modélisation de la participation aux bénéfices (ACCF)

 

pure 90% · (P rimespure − SinistresDC − Sinistresi > 0 i i ) si P rimesi PB =  0 sinon.

La modélisation du portefeuille, ayant été faite, le calcul des SCRs du module souscription 35

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

vie constituera l’objet de la section suivante.

3.2

Calcul des SCRs du module souscription Vie

Il a été vu dans la présentation de la directive Solvabilité II que deux types de méthodes sont utilisées pour le calcul du capital requis de solvabilité : la formule standard et l’utilisation d’un modèle interne. Dans le cadre de l’étude, c’est la formule standard qui a été retenue. Il a, pars ailleurs été évoqué que l’utilisation de cette méthode est soumise à une vérification de son adéquation au profil de l’assureur. La formule standard étant utilisée à SOGECAP, son adéquation a été au préalable démontré et ce mémoire ne traitera pas cette problématique.

3.2.1

Présentation du module de souscription vie

L’étude se focalise uniquement sur le passif lié à des contrats d’assurance des emprunteurs. Cela se matérialise par une étude sur le comportement des assurés. Conséquemment, le module de risque traité est le module de souscription vie. Le module de souscription telle qu’on peut le voir dans l’arborescence de la sous-section 2.1.1.4 page 13 renferme les modules élémentaires qui vont suivre. — Le risque de mortalité : il découle d’incertitudes liées au niveau, l’évolution tendancielle ou la volatilité des taux de mortalité. Dans le cadre de la formule standard et du portefeuille d’étude, ce risque se traduit par un choc d’augmentation de la mortalité de 15% par rapport aux tables utilisées pour le calcul de la meilleure estimation. Ce choc est appliqué chaque année de projection et rend compte que davantage de souscripteurs décèdent avant l’échéance du contrat. — Le risque de longévité : ce risque va globalement consister en une augmentation de la durée de vie des souscripteurs. Le portefeuille étudié n’est pas concerné par ce risque. En effet, les prestations délivrées sont un remboursement du capital restant dû en cas de décès de l’assuré et le paiement de ses échéances en cas d’arrêt de travail. Une baisse de la mortalité serait alors favorable à l’assureur, car elle réduirait la fréquence de survenance des prestations en cas de décès. — Le risque d’invalidité/morbidité : ce risque va consister en ce que plus de souscripteurs passent en incapacité\ invalidité et qu’ils mettent plus de temps à se rétablir. Dans le cadre de la formule standard et du portefeuille d’étude, ce risque se traduit par trois chocs : — un choc d’augmentation de 35% des taux d’entrée en incapacité , utilisés dans le calcul de la meilleure estimation, la première année de projection. 36

3.2. Calcul des SCRs du module souscription Vie

—

—

—

—

3.2.2

— un choc d’augmentation de 25% des taux d’entrée en incapacité, utilisés dans le calcul de la meilleure estimation. Ce choc est appliqué à toute année de projection postérieure à la première année. — un choc de baisse de 20 % des taux de retour en validité, utilisés dans le calcul de la meilleure estimation et est appliqué à toutes les années de projection. Le risque de cessation : il résulte d’une évolution négative des engagements d’assurance due à une évolution du niveau et ou de la volatilité des taux de cessation. Dans le cadre de la formule standard et du portefeuille d’étude, ce risque se traduit par le choc entrainant la plus grande exigence de capital parmi les trois chocs suivants : — un choc de hausse de 50 % des taux de remboursement anticipé, utilisés dans le calcul de la meilleure estimation qui appliqué à toutes les années de projection. — un choc de baisse de 50 % des taux de remboursement anticipé, utilisés dans le calcul de la meilleure estimation qui est appliqué à toutes les années de projection. — un choc de rachat massif de 40% des contrats, appliqué la première année de projection. Le risque de frais : il découle globalement d’une augmentation des frais engagés pour le bon déroulement des opérations d’assurance. (Frais de personnel, frais de maintenance informatique, frais d’intermédiation, commissions, et cetera). Dans le cadre de la formule standard et du portefeuille étudié, il se traduit par un choc d’augmentation de 10 % du montant des frais généraux et d’un choc d’ augmentation d’un point du taux d’inflation des dépenses, utilisé dans le calcul de la meilleure estimation. Ces chocs sont appliqués à toutes les années de projection. Le risque de révision : il résulte d’une évolution négative des engagements d’assurance due à un mouvement des taux de révision applicables aux rentes. Ce risque ne concerne pas le portefeuille étudié car il ne contient pas de produits de rentes. Le risque de catastrophe : il vient en complément du risque de mortalité. Ce risque va capter les évènements pouvant conduire à une mortalité extrême ou irrégulière. Dans le cadre de la formule standard et du portefeuille étudié, il se traduit par choc d’augmentation de la mortalité de 0,15 point par rapport aux tables utilisées pour le calcul de la meilleure estimation. Ce choc est appliqué à la première année de projection.

Calcul des SCRs

Pour rappel, en déterministe, la meilleure estimation se calcule de la manière suivante : BE =

CFt t t≥0 (1 + r(t))

X

37

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

Avec : — CFt : somme des flux de trésorerie à la date t — r(t) représente le taux d’intérêt sans risque de base pour l’échéance t Au vu des flux de trésorerie, modélisés en portefeuille : BEbrut

de réassurance

BEnet

=

Sinistresi − P rimescom + F raisgénéraux + Commissionsi − P Bi i i i (1 + r(i)) i=1

30 X

de réassurance

= BEbrut

de réassurance −

30 X

P art réassureur sinistresi − P art réassureur primesi (1 + r(i))i i=1

Dans le cas de la famille ACC, il faut rajouter à la meilleure estimation nette de réassuréassurance rance la quantité Commissions . 1+r(1) les SCRs modulaires sont calculés de la manière suivante : SCR = N AV0central − N AV0choquée Avec : N AV0 = A0 − BE0 L’étude ne concernant que le passif, les chocs n’affectent pas la valeur de marché de l’actif, d’où : SCR = BEchoqué − BEcentral Le calcul du capital de solvabilité requis ayant été vu, la suite de l’étude va porter sur le calcul des SCRs futurs.

3.3 3.3.1

Problématique du calcul exact des SCRs futurs Calcul théorique du SCR à une date t quelconque

Afin d’évaluer la qualité des proxies SOGECAP, le calcul exact des SCRs futurs apparaît comme un outil de comparaison solide. Toutefois, la littérature notamment réglementaire ne donne pas de définition exacte du SCR à une date t différente de 0. D’où des questionnements sur les hypothèses de projection du portefeuille, notamment sur l’état des assurés entre la date de calcul et la date d’évaluation du SCR. Faut-il prendre en compte que les individus du portefeuille peuvent décéder, ou passer en arrêt de travail entre la date 0 et la date t du calcul du SCR ? Faut-il au conraire, supposer un vieillissement des assurés et des capitaux sous risques pendant cette période ? Un papier intitulé "The Fundamental definition of the solvency Capital Requirement in 38

3.3. Problématique du calcul exact des SCRs futurs

Solvency II" de Marcus Christiansen et Andreas Niemeyer traite de cette problématique de définition du SCR à une date quelconque. Sur la base de la définition donné par l’article 101 de la directive 2009/138/CE, Le SCR en date 0 peut être formalisé de la manière suivante. Soit Nt la valeur de l’actif net diminuée du passif à la date t et v rl (0, t), le taux d’intérêt sans risque de la période [0, t] SCR = V aR0.995 (N0 − v rl (0, 1) · N1 ) En ce qui conerne les SCRs à une date future, Christiansen et Andreas Niemeyer commençent par définir une Value At Risk dynamique. Pour cela, ils utilisent le théorème suivant. 0 0 Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité, (Ω , F s ) un espace mesurable, X[0,s] une va0 0 riable aléatoire telle que Xs : (Ω, F) → (Ω , F s ) et Y une variable aléatoire telle que 0 0 Y : (Ω, R) → (Ω , B(R)). Alors la fonction h :Ω → R définie par n

hY,α (x) := inf y ∈ R : P(Y ≤ y|X[0,s] = x) ≥ α

o

0

est F s − B(R) mesurable. Etant donné ce théorème, la définition de la Value At Risk suivante a un sens. Sous les hypothèses du théorème précédent et si Fs = σ(X[0,s] ) alors pour tout α ∈ [0, 1] on peut définir : V aRα (Y |Fs ) = hY,α (X[0,s] ) La définition suivante du SCR à une date t quelconque est donc adoptée : SCRt = V aR0.995 (Nt − v rl (t, t + 1) · Nt+1 |Ft ) Cette définition considère donc que les SCRs futurs sont des variables aléatoires. Ainsi, comme seul le passif est considéré dans cette étude, ne pas supposer que l’état des assurés est changeant (décès, AT) rendrait le SCR déterministe. Or avoir, différentes trajectoires menant à différents SCRs, paraît cohérent étant donné les incertitudes liées au futur.

3.3.2

Méthode de projection des flux pour le calcul exact des SCRs futurs

Ainsi, pour le calcul exact des SCRs futurs avec la formule standard, la méthode paraissant le plus en accord avec la définition de Christiansen et Andreas Niemeyer est la suivante : Les flux vont être projetés de la date 0 jusqu’à la date t (date d’évaluation du SCR), les chocs de la formule standard seront ensuite appliqués à partir de la date t jusqu’à la date 39

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

de fin des engagements. Les flux conservés pour le calcul de meilleure estimation choquée seront donc les flux entre la date t et la date de fin des engagements. Se pose désormais la problématique d’actualisation de ces flux. En effet, pour un SCR dont la date d’évaluation t est postérieure à la date 0, la courbe des taux, utilisée doit prendre en compte le fait que la date de valorisation des flux est postérieure à la date 0 tout en prenant en compte que le taux est évalué à la date 0. Les taux Forward répondent à cette problématique.

3.3.2.1

Actualisation des flux à une date future : Taux Forward

La courbe des taux Forward est en fait une prévision aujourd’hui des taux à une date future. Son principe est le suivant : Supposons qu’on place une unité monétaire à la date d’aujourd’hui pendant y années au taux d’intérêt sans risque de base d’échéance y, r(y). Ce placement va rapporter (1 + r(y))y . Supposons que par ailleurs on place une unité monétaire dans les mêmes conditions pendant x années puis qu’on les replace pendant y-x années à la date x, en principe, vu de la date d’aujourd’hui tout se passe comme si cette unité monétaire avait été placée y années. La question est donc, quel est le taux auquel ont été replacés les (1 + r(x))x pour obtenir (1 + r(y))y y-x années plus tard. Il suffit de résoudre l’équation suivante : (1 + r(y))y = (1 + r(x))x · (1 + F (0, x, y − x))y−x qui a pour solution : F (0, x, y − x) =

(1 + r(y))y (1 + r(x))x

!

1 y−x

−1

Avec F (0, x, y − x) : Le taux forward déterminé à la date 0, démarrant en x et d’échéance y.

Pour calculer les SCRs futurs, il a fallu modifier les moteurs de projection, existants afin que les chocs de la formule standard puissent êtres appliqués à une date quelconque ou à partir d’une date quelconque.

Pour juger de la qualité des proxies SOGECAP, on dispose d’un outil de référence : les méthodes d’approximation pour le calcul de la risk margin, conseillées par l’EIOPA . En effet, la grande majorité des assureurs se base sur ces méthodes pour calculer la marge de risque. Ainsi, vérifier que le proxi SOGECAP fait aussi bien que ce type de méthode est gage de sa qualité. La partie suivante aura donc pour objectif la description des méthodes d’approximation des SCRs futurs pour le calcul de la risk margin, proposées par l’EIOPA. 40

3.4. Présentation des approximations conseillées par l’EIOPA

3.4

Présentation des approximations conseillées par l’EIOPA

Le calcul des SCRs futurs pour le calcul de la risk margin est coûteux en temps et en ressources. A titre d’exemple, le temps de calcul des SCRs futurs dans le cadre de ce mémoire est proche de 4 jours. Par ailleurs, seule une petite proportion des produits distribués par SOGECAP a fait l’objet d’un calcul. Le calcul des SCRs futurs sur l’ensemble des produits serait donc siginificativement élevé. La majorité des assureurs a conséquemment recourt à des approximations. De son côté, l’EIOPA conseille plusieurs méthodes classifiées selon une hiérarchie. 1. Le calcul exact des SCRs 2. L’approximation de tout ou partie des modules de risques ou des sous-modules élémentaires. 3. L’approximation du SCR global pour chaque année future i-e en utilisant une approche proportionnelle. 4. L’estimation des SCRs futurs en "une fois" i-e en utilisant une approximation basée sur une approche de duration. 5. Approximer la risk Margin par un pourcentage de la meilleure estimation. Cette hiérarchie de simplifications est classée par niveau de difficulté de mise en place, décroissant. Pour utiliser tel ou tel niveau d’approximation, il faut démontrer que certains critères sont respectés. La démarche à adopter est de partir du niveau le plus élevé et d’évaluer la faisabilité de la méthode et de descendre au niveau suivant si la méthode n’est pas applicable. Les méthodes et leurs hypothèses vont désormais être présentées dans de plus amples détails, toujours pour le module souscription vie.

3.4.1

Approximation des sous-modules du module souscription vie

Il convient au prélable de définir la notion de duration modifiée. La duration modifiée fait elle même appel à une notion : la duration de Macauley. La duration de Macauley mesure la durée de vie moyenne de flux monétaires pondérés par la valeur actuelle de ces flux. Son expression mathématique est donc : t·CF (t) t≥1 (1+r(t))t P CF (t) t≥1 (1+r(t))t

P

D=

Plus la duration de Macauley est élevée, plus la valeur actuelle des flux sera volatile et réagira plus fortement à une variation des taux d’intérêt. Bien que précise pour estimer 41

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

la variation de la valeur actuelle des flux lors de variation des taux jusqu’à une certaine ampleur, cette précision décroît lorsque les variations sont plus fortes. C’est pourquoi le régulateur préconise l’utilisation de la duration modifiée qui est définie comme suie : Durationmodif iée =

D 1+R

Avec : R : le taux de rendement actuariel des flux P P t·CF (t) t·CF (t) le taux de rendement actuariel est tel que : t≥1 (1+r(t)) t = t≥1 (1+R)t La duration modifiée exprime la variation de la valeur actuelle des flux pour une variation donnée de 1% du taux de rendement actuariel. 3.4.1.1

Le risque de mortalité

SCRmortalité = 0.15 · CaR · q · Avec :

Pn

k=1



 1−q k−0.5 1+ik

— q : taux de mortalité moyen attendu pondéré par les flux de capitaux — ik : taux 0 - coupon de maturité k — n : duration modifiée des paiements exprimée en années, des paiements à verser en cas de décès inclus dans la meilleure estimation 3.4.1.2

Le risque de catastrophe vie

SCRcatastrophe = 0.0015 · CaR Avec : CaR : les capitaux sous risque du portefeuille entier décès 3.4.1.3

Le risque de frais

SCRF rais = 0.1 ∗ EI ∗ n + EI · Avec :



n 10

+

(1+i+0.01)n −1 0.01+i

−

(1+i)n −1 i



— EI : les dépenses connues réevaluées à l’issue des garanties — n : la duration modifiée des flux de trésorerie utilisés pour le calcul de la meilleure estimation — i : le taux d’inflation moyen pondéré par les flux utilisés pour le calcul de la meilleure estimation 3.4.1.4

Le risque de rachat

hausse baisse SCRrachat = max(SCRrachat , SCRrachat ) Avec :

42

3.4. Présentation des approximations conseillées par l’EIOPA hausse = 50% · lhausse · nhausse · Shausse — SCRrachat baisse — SCRrachat = 50% · lbaisse · Sbaisse Avec : — lhausse ; lbaisse : le taux de rachat moyen en cas de hausse ou de baisse — nhausse ; nbaisse : la durée moyenne des contrats rachetés, pondérée par le nombre de contrats résiliés — Shausse ; Sbaisse : le total des contrats rachetés en cas de hausse/baisse de rachat

3.4.1.5

Le risque d’incapacité/invalidité

SCRincapacité/invalidité = 0.35·Car1 ·d1 +0.25·1.1 Avec : — — — — — —

3.4.2

n−3 2

·d2 +0.2·1.1

n−1 2

·n·t·BEincapacité/invalidité

CaR1 : les capitaux sous risques de l’année en cours CaR1 : les capitaux sous risques de l’année précédentes n : duration modifiée des flux utilisés lors du calcul de la meilleure estimation d1 : le taux d’incidence de la première année d2 : le taux d’incidence les années suivantes t : le taux de rachat

L’approche proportionnelle

SCR(t) =

SCR(0) BE(0)

· BE(t)

L’utilisation de cette méthode nécessite le respect de plusieurs hypothèses de constance du profil de l’assureur au cours du temps. On retrouve ces hypothèses dans l’article 86(d) du Final CEIOPS Advice for Level 2 Implementing Measures on Solvency II : Technical Provisions. — La composition des modules élémentaires des modules de souscription reste identique au cours du temps. — La qualité de crédit des réassureurs et des véhicules de transfert de risques restent identiques au cours du temps.(Risque de contrepartie.) — Le risque de marché inévitable lié à la meilleure estimation est constant au cours du temps.(Risque de marché.) — Les quotes part des réassureurs et des véhicules de transfert de risque n’évolue pas au cours du temps. — La capacité d’absorption des pertes, par les provisions techniques, reste constante (ajustement). 43

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

3.4.3

L’approche par duration

Dans cette approche, les SCRs sont estimés en une fois en approximant. SCR(t) t≥0 (1+r(t+1))t+1

P

par Durationmodif iée (0) · SCR(0)

— La duration modifiée utilisée dans ce calcul est la duration modifiée des meilleures estimations nettes de réassurance. — Le SCR(0) ne prend pas en compte le risque de marché. L’utilisation de cette méthode requiert aussi le respect de plusieurs hypothèses sur le profil de l’assureur au cours du temps. — La composition des modules élémentaires des modules de souscription reste identique au cours du temps. — La qualité de crédit des réassureurs et des véhicules de transfert de risque reste identique au cours du temps.(Risque de contrepartie) — Le risque de marché inévitable lié à la meilleure estimation est constant au cours du temps.(risque de marché) — Les durations modifiées des engagements, nets de réassurance et bruts de réassurance, restent constantes au cours du temps. — La capacité d’absorption des pertes par les provisions techniques reste constante (ajustement).

3.4.4

L’approche par pourcentage du Best Estimate

Cette dernière méthode n’est à appliquer que si toutes les méthodes précédentes ne peuvent être mises en place. Dans ce cas, la marge de risque par secteur d’activité est calculée comme un pourcentage de la meilleure estimation de ce secteur d’activité. CoCMlob = alob · BEN et,lob (0) Avec : — alob : un pourcentage donné par secteur d’activité — BEN et,lob (0) : la meilleure estimation du secteur d’activité nette de réassurance à la date t=0 Cette méthode s’applique généralement à des engagements de type non vie pour lesquels le pourcentage choisi dépend de la taille du secteur d’activité. Pour les engagements de type vie, cette méthode ne devrait être appliquée que lorsqu’un calcul plus détaillé de la marge de risque a été fait auparavant. Dans ce cas, cette méthode peut être utilisée lorsqu’il est démontré que les caractéristiques et les proportions des risques par ligne d’activité n’ont pas changé et qu’ainsi, la proportion de la marge de risque dans la meilleure estimation est restée identique. En outre, cette approche n’a de sens que si le Best Estimate à la date 0 a une valeur 44

3.5. Présentation des proxies utilisées dans le périmètre France de SOGECAP

positive. Les méthodes préconisées par l’EIOPA ayant été décrites, la prochaine sous-partie de ce mémoire sera une présentation des proxies utilisées à SOGECAP.

3.5

Présentation des proxies utilisées dans le périmètre France de SOGECAP

A SOGECAP, l’approche adoptée est une approximation des SCRs des modules élémentaires. La méthode utilisée est donc proche des proxies de niveau (1) conseillées par l’EIOPA. Les moteurs ont l’avantage de conserver les chroniques annuelles des flux de trésorerie par poste sur 30 ans (durée de vie des engagements) . Les proxies sont par conséquent basés sur ces chroniques de Cash flows utilisées pour le calcul de la meilleure estimation.

3.5.1

Approximation du SCR dépenses

SCRf rais (t) ≈ − Avec :

P30

i=t

F raisgénéraux · (1.1 · ef f et inf lationi − 1) i

— ef f et inf lationi =

3.5.2

inf lationchoquée i inf lationi

Approximation du SCR mortalité

brut de réassurance SCRmortalité (t) ≈ −0.15 ·

net de réassurance SCRmortalité (t) ≈ −0.15 ·

3.5.3

P30

i=t

P30

i=t

SinistresDC i

SinistresDC i

nets de réassurance

Approximation du SCR rachat massif

Que ce soit brut ou net de réassurance, on a : SCRrachat(t) ≈ 0.4 ·

3.5.4

P30

i=t

CFi

Approximation du SCR catastrophe

brut de réassurance SCRcatastrophe (t) ≈ 0.0015 · CRDtprob · (1 − 21 · trat ) net de réassurance SCRcatastrophe (t) ≈ 0.0015 · CRDtprob

net de réassurance

· (1 − 12 · trat )

Avec : — CRDtprob : les capitaux restants dûs probabilisés au titre de l’année t 45

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

— CRDtprob net de réassurance : les capitaux restants dûs probabilisés au titre de l’année t nets de réassurance pour la garantie décès

3.5.5

Approximation du SCR incapacité/invalidité

brut de réassurance SCRincapacité/invalidité (t) ≈ −(1.2 ∗ 1.35 − 1) ·

P30

SinistresAT i

net de réassurance SCRincapacité/invalidité (t) ≈ −(1.2 ∗ 1.35 − 1) ·

P30

SinistresAT i

i=t

i=t

nets de réassurance

Ayant présenté les proxies, il faut désormais montrer leur adéquation avec la modélisation du portefeuille.

3.6

Adéquation des approximations à la modélisation du portefeuille étudié

Les proxies SOGECAP ont été construits en imaginant l’effet des chocs de la formule standard sur les flux de trésorerie. On peut toutefois se demander si l’effet d’un choc conduit rigoureusement aux formules des proxies et si non, quelles approximations permettent d’y aboutir. Tel est l’objectif de la présente section.

3.6.1

Proxi mortalité

3.6.1.1

Construction du proxi

Le choc de mortalité consiste en une augmentation de 15% des qx . Intuitivement, on pourrait alors se dire la répercussion sur les sinistres DC serait une augmentation de 15% de ceux-ci. De même, on imagine que les autres postes ne seront que peu impactés par le choc. Qu’en est-il réellement ? 3.6.1.2

Effet du choc sur les flux de trésorerie

Sinistres décès DC SinistresDC = CRDi · Px+i i

Si i = t alors : DC SinistresDC = CRDt · Px+t t

= CRDt · (1 −

46

1 · trat ) · qx+t · Px+t−1 2

3.6. Adéquation des approximations à la modélisation du portefeuille étudié

Ainsi : SinistresDC t

choqués

− SinistresDC = CRDt · (1 − t

1 · trat ) · 1.15 · qx+t · Px+t−1 − 2

1 · trat ) · qx+t · Px+t−1 2 1 = 0.15 · CRDt · (1 − · trat ) · qx+t · Px+t−1 2 DC = 0.15 · Sinistrest

CRDt · (1 −

Ainsi, si i > t alors : Par récurrence, Px+i =

Qi−1

j=1 (1

− traj ) · (1 − qx+j )

= CRDi · (1 − 21 · trai ) · qx+i · SinistresDC i

Qi−1

j=1 (1

− traj ) · (1 − qx+j )

Et : DC

Sinistresi

choqués

= CRDi · (1 −

t−1 i−1 Y Y 1 · trai ) · 1.15 · qx+i · (1 − traj ) · (1 − qx+j )× 2 j=1 j=1

i−1 Y

(1 − 1.15 · qx+j )

j=t

Or : i−1 Y

i−1 Y

j=t

j=t

(1 − 1.15 · qx+j ) = =

(1 − qx+j − 0.15 · qx+j )

i−1 Y

1−

j=t

0.15 · qx+j  · (1 − qx+j ) 1 − qx+j

D’où : SinistresDC i

choqués

= 1.15 · CRDi · (1 − i−1 Y j=t

0.15 · qx+j  1 − qx+j

= 1.15 ·

SinistresDC i

1−

i−1 Y 1 · trai ) · qx+i · (1 − traj ) · (1 − qj )× 2 j=1

·

i−1 Y

1−

j=t



0.15 · qx+j  1 − qx+j 

i−1 x+j Il s’agit donc de supposer que la quantité j=t 1 − 0.15·q est proche de 1. Cette 1−qx+j hypothèse n’est pas aberrante dans le sens où les qx sont relativement proches de 0 à part pour les âges élevés. Or les âges, pondérés par les capitaux sous risque par famille de produits, n’exèdent pas 55 ans à la date 0. Par ailleurs, cette quantité est d’autant plus

Q

47

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

éloignée de 1 que t est petit. De ce fait, supposons que t = 0, (cas où la quantité sera la plus éloignée de 1). Un individu âgé de 55 ans à la date t = 0 en aura 85 en fin de projection. Pour cet individu, à 85 ans,   Q 0.15·qx+j la quantité 29 est d’environ 0.93, on reste relativement proche de 1. j=1 1 − 1−qx+j Par conséquent, les sinistres choqués peuvent bien être vus comme les sinistres en central augmentés de 15%.

Il faut désormais vérifier que les autres flux de trésorerie sont peu touchés par le choc de mortalité. En dehors de la PB, des sinistres de la garantie arrêt de travail et des flux de réassurance, tous les flux de trésorerie sont les primes commerciales à un coefficient fixe près. Dans un premier temps, il faut donc évaluer l’impact du choc de mortalité sur les primes commerciales. Primes commerciales P rimescom = CI · T arif · Px+i−1 i Si i=t on en déduit que : choquées P rimescom = P rimescom i i Si i > t, on en déduit comme pour le calcul des sinistres choqués que : P rimescom i D’où : P rimescom i

choquées

choquées

= P rimescom · i

Qi−1  j=t

1−

0.15·qx+j 1−qx+j



≈ P rimescom i

Ainsi, le choc de mortalité a un faible impact sur les primes commerciales et conséquemment sur tous les autres flux de trésorerie hormis la PB et les sinistres AT. Il n’est pas aisé de trouver une formule fermée pour montrer que les sinistres AT bougent peu avec le choc. On montrera qu’ils sont peu touchés par le choc mortalité en analysant leur sensibilité à des chocs de mortalité. Sinistres AT Parmi les produits étudiés, lorsque la mortalité est augmentée de 15%, sur l’ensemble des années de projection, le plus grand écart relatif observé entre les sinistres AT choqués 48

3.6. Adéquation des approximations à la modélisation du portefeuille étudié

et les sinistres AT en central est de 0.111%, on peut donc supposer que les sinistres AT ne bougent pas avec un choc de mortalité. Flux de réassurance Comme pour les sinistres, on peut montrer que : P art réassureur sinistreschoquée = 1.15 · P art réassureur sinistresi i D’où : SinistresDC i

nets de réassurance choqués

SinistresDC i

nets de réassurance

− =0.15 · SinistresDC i

nets de réassurance

De la même manière que pour les primes commerciales, on peut montrer que la part du réassureur dans les primes peut être supposée constante. PB La PB est modélisée de telle sorte qu’en cas de résultat positif, 90% du résultat est distribué. De plus, vu que seuls les sinistres bougent significativement, il faudrait rajouter un coefficient supplémentaire de 10% au proxi pour obtenir : SCRmortalité (t) ≈ −0.015 ·

P30

i=t

SinistresDC i

Toutefois, par précaution, le coefficient de 10% n’est pas ajouté. En effet, si le résultat n’est pas positif ne serait-ce qu’une année, le SCR serait fortement sous-estimé. Pour les mêmes raisons, la PB distribuée par le réassureur n’est pas prise en compte. En somme, on obtient bien le proxi annoncé sous certaines hypothèses. En effet, cette étude nous a permis de voir que l’approximation fonctionne d’autant mieux que les qx sont proches de 0 ; ce qui plutôt vrai à part pour des âges supérieurs à 70 ans. Toutefois, le portefeuille est très peu concerné par cette catégorie d’âges. En revanche, si les âges en portefeuille augmentent significativement, le proxi pourrait être mis l’épreuve.

49

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

3.6.2

Proxi frais généraux

3.6.2.1

Construction du proxi

Le choc sur les frais généraux consiste à les augmenter de 10% et d’augmenter l’inflation annuelle de 1%. Ce choc est plutôt facile à mettre en place et pourrait être fait à posteriori du lancement des calculs si l’on dispose des chroniques de frais généraux. Il s’agira donc de montrer que le proxi utilisé donne exactement le SCR.

3.6.3

Effet du choc sur les flux de trésorerie

Soit i ≥ t · inf lationi F raisgénéraux = tauxf rais généraux · P rimescom i i généraux choqués F raisi = 1.1 · tauxf rais généraux · P rimescom · inf lationchoquée i i D’où : F raisgénéraux i

choqués

− F raisgénéraux = tauxf rais i = tauxf rais

généraux

· (1.1 · inf lationchoquée − inf lationi ) i

com · (1.1 · généraux · P rimesi

inf lationchoquée i − 1) inf lationi

= F raisigénéraux · (1.1 · ef f et inf lationi − 1) Les chocs du risque frais n’affectent que les frais généraux, d’où : SCRf rais (t)proxi =

P30

i=t

F raisgénéraux · (1.1 · ef f et inf lationi − 1) i

Ainsi, l’approximation est exactement égale au SCR.

3.6.4

Proxi rachat

Que ce soit brut ou net de réassurance, on a : SCRrachat(t) ≈ 0.4 ·

3.6.4.1

P30

i=t

CFi

Construction du proxi

Le choc de la formule standard consiste en un choc de rachat massif de 40% du portefeuille dans le cas où le rachat a un effet négatif sur la compagnie. On peut ainsi penser que, tout se passe comme si l’on ne conservait que 60% des flux de trésorerie du portefeuille. Qu’en t-il dans de plus amples détails ? Au niveau groupe, étant donné que le rachat massif l’emporte dans le temps en raison de l’activité d’épargne, le proxi se base sur le 50

3.6. Adéquation des approximations à la modélisation du portefeuille étudié

choc de rachat massif. Toutefois, dans les années futures, peut-on considérer que ce soit le cas pour le portefeuille emprunteur ? 3.6.4.2

Effet du choc sur les flux de trésorerie

Le choc revient à remplacer Px+t−1 par 60% · Px+t−1 si la marge du contrat sur l’ensemble des années de projection est positive. Autrement dit, si retirer le contrat est un manque à gagner pour l’assureur (effet négatif). choqué Ainsi par récurrence ∀ i ∈ {t; 30} Px+i = 60% · Px+i D’où : CFichoqué = 0.6 · CFi Ainsi, si l’on suppose que tous les contrats sont à marges positives, le proxi donne exactement le SCR rachat massif. Observons les marges annuelles du portefeuille emprunteur.

Figure 3.5 – Marges du portefeuille emprunteur On observe que sur l’ensemble des contrats, les marges sont chaque année, positives. Ce graphique ne suffit pas pour conclure sur le fait que contrat par contrat, les marges sont globalement positives, mais il permet au moins de dire que cela est probable. 51

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

De même, il ne permet pas de dire que le rachat massif l’emporte sur le rachat à la baisse, mais il permet de dire que ce scénario est probable. En effet, si les marges contrat par contrat étaient toutes négatives, le rachat massif permettrait de faire disparaitre des contrats qui causent des pertes à l’assureur. On peut donc au moins dire qu’il a une chance de gagner. Pour cela, une étude a posteriori permettra de conclure. Par ailleurs, étant donné qu’à la date 0, il gagne et que les caractéristiques des contrats ne bougent pas dans le temps, on peut penser qu’il a des chances de gagner dans le temps. Ainsi, on pourra retenir que le proxi est d’autant plus proche du SCR rachat massif exact que les marges des contrats sont positives. De même, ce proxi est d’autant plus proche de la réalité que le rachat massif l’emporte toujours.

3.6.5

Proxi catastrophe

3.6.5.1

Construction du proxi

Le choc de la formule standard consiste à ajouter 0,15 point de mortalité, la première année. Ainsi, on peut imaginer que tout se passe comme si les sinistres DC évoluaient de 0,15 point des capitaux restants dûs de l’année du choc. Comme les sinistres sont supposés en milieu d’année, cela ne concerne que les contrats non rachetés. Enfin, on peut penser que seuls les sinistres de la garantie décès vont significativement bouger. 3.6.5.2

Effet du choc sur les flux de trésorerie

= CRDt · Px+t−1 · (1 − 12 · trax+t ) · qx+t SinistresDC t Ainsi : SinistresDC t

choqués

− SinistresDC = CRDt · Px+t−1 · (1 − t

1 · trax+t ) · (qx+t + 0.0015)− 2

1 · trax+t ) · qx+t 2 1 = 0.0015 · CRDt · Px+t−1 · (1 − · trax+t ) 2 1 = 0.0015 · CRDtprob · (1 − · trax+t ) 2

CRDt · Px+t−1 · (1 −

On montre de la même manière la formule avec les sinistres nets de réassurance.

52

3.6. Adéquation des approximations à la modélisation du portefeuille étudié

Il faut désormais évaluer l’effet du choc sur la probabilité de survie. Supposons i ≥ t : choquée Px+i = (1 − trax+t ) · (1 − qx+t − 0.0015) ·

i−1 Y

(1 − qx+j ) · (1 − trax+j )

j6=t

Px+i (1 − qx+t ) 0.0015 ) = Px+i · (1 − 1 − qx+t = Px+i − 0.0015 ·

choquée Il s’agit donc de montrer que Px+i ≈ Px+i . 0.0015 Autrement dit que (1 − 1−qx+t ) est proche de 1. On reprend l’exemple de l’âge actuariel (âge moyen pondéré par les capitaux sous risque) en date t = 30 qui est de 85 ans. Dans ce cas (le pire), cette quantité est de 99 .9%. Conséquemment, la probabilité de survie va faiblement bouger. Comme toute les flux de trésorerie hormis la PB et les sinistres AT ont en facteur une probabilité de survie et qu’elle est la seule à bouger avec le choc, on peut dire qu’ils se sont faiblement déplacés lors du choc.

Sinistres AT Sur l’ensemble des produits étudiés et sur l’ensemble des années de projection, lors d’un choc catastrophe de 0,15%, l’écart relatif maximum observé, entre les sinistres AT choqués et les sinistres AT en central, est de 0.1454%. On peut donc supposer que les sinistres AT ne varient pas lors d’un choc catastrophe. PB Le cas de la PB est similaire au cas du choc de mortalité, il faudrait rajouter un coefficient de 10% qui ne sera pas rajouté pour ne pas sous-estimer le SCR. On peut donc retenir que le proxi est d’autant plus précis que les qx du portefeuille sont proches de 0, ce qui est plutôt le cas dans le cadre de notre portefeuille. Toutefois, qu’en est-il si l’on sort de ce cadre, cela sera vu a posteriori.

3.6.6

Proxi incapacité/invalidité

3.6.6.1

Construction du proxi

Le choc consiste à augmenter les taux d’entrée en incapacité de 35% la première année de projection et de 25% pour les années suivantes. 53

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

D’autre part, le choc va consister en une baisse des taux de retour en validité de 20%. Ainsi, d’une part, on peut imaginer que la sinistralité des arrêts de travail va gonfler de 35%, la première année, de 25% la deuxième et globalement de 20% car les taux de retour en validité sont diminués de 20%. Le proxi en revanche efface l’effet première année, années suivantes en considérant une augmentation de 35% quelle que soit l’année. Il semble aussi, que seuls les sinistres AT vont être impactés significativement par le choc. Les chocs ont-ils réellement cet effet sur les flux de trésorerie ?

3.6.6.2

Effet des chocs sur les flux de trésorerie

En regardant la section modélisation du portefeuille 3.1 à partir de la page 23, il est aisé de vérifier que les autres flux de trésorerie ne sont pas impactés par le choc. Il s’agira dans la suite d’évaluer l’impact des chocs sur les sinistres AT. SinistresAT = Coûtincap + Coûtinval i i i Coûtincap i

choqué

=

Pmin(i,3) Pi∗12

j=(i−1)∗12

k=1

incap Px+k

choqué

· tx incchoqué x+k (j) · mensualité

Un des chocs consiste à augmenter les taux de maintien en incapacité de 20% pour rendre compte de la réduction de 20% des taux de retour en validité. Les taux de maintien en incapacité ne sont choqués que s’ils sont inférieurs à 50%. Toutefois, ils sont très majoritairement inférieurs à 50% ; d’où la première approximation suivante : Si i − 3 ≥ t : tx incchoqué x+k (j) = 1.2 · tx incx+k (j) Pour des raisons de simplicité, il est supposé que les taux d’entrée en incapacité sont augmentés de 35% quelle que soit l’année de projection. Cela aura donc pour effet de surestimer le SCR. incap Px+k

choqué

val choqué = Px+k−1 · 1.35 · ATx+k · (1 − 12 trak − 21 qx+k + 13 trak · qx+k )

Si de plus i − 3 ≥ t val choqué valide Px+k = Px+k

choqué

+

Pmin(k,3) p=1

p choqué tx retourx+k

54

3.6. Adéquation des approximations à la modélisation du portefeuille étudié

valide Px+k

choqué

=

k−1 Y

(1 − trak ) · (1 − qx+k ) · (1 − 1.35 · ATx+k )

j=t valide = Px+k ·

k−1 Y

(1 −

j=t

0.35 · ATx+t ) 1 − ATx+t

Etant donné que les taux d’entrée en incapacité sont de l’ordre de 1%, en sus de la mulvalide choqué valide tiplication par 0,35, il est légitime de supposer que Px+k ≈ Px+k Les taux de retour en validité id est, les quantités retx+p (k − p) sont diminuées de 20% donc multipliés par 0,8.

p choqué tx retourx+k

≈

 valide   × 1.35 · ATx+p × (1 − qx+p ) × (1 − trap )× P   " x+p−1       1.2 · tx incx+p ((i − p − 1) · 12) × 0.8 · retx+p (k − p)     #    P3     +0.8 · j=1 retx+p (j) valide   × 1.35 · ATx+p × (1 − qx+p ) × (1 − trap )×  P    x+p−1      1.2 · tx incx+p ((i − p − 1) · 12) × 0.8 · retx+p (k − p)             0

si p = k − 1

si k − 3 < p ≤k−1 sinon. (3.2)

D’où : p choqué p choqué tx retourx+k ≈ 1.2 · 1.35 · 0.8 · tx retourx+k

Ainsi : val choqué valide Px+k ≈ Px+k + 1.2 · 1.35 · 0.8 ·

Pmin(k,3) p=1

p tx retourx+k

On pourrait penser que la probabilité de survie au sens valide ne devrait pas trop être touchée par les chocs, toutefois la probabilité de retour en validité est impactée. Ainsi, cette hypothèse est assez forte. On a donc : incap Px+k

choquée

incap ≈ 1.35 · Px+k

55

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

Finalement :

min(i,3)

Coûtincap i

choqué

≈

X

i∗12 X

k=1

j=(i−1)∗12

incap 1.35 · Px+k · 1.2 · tx incx+k (j) · mensualité

= 1.35 · 1.2 · Coûtincap i La suite concernera l’effet des chocs sur le coût de l’invalidité. Coûtinval i

choqué

=

Pi

n=t+6

inval Px+n

choqué

choqué · tx invx+n (i − n) · txassuré · échéance annuelle

Les taux de maintien en invalidité sont augmentés de 20%. choqué tx invx+n = 1.2 · tx invx+n

inval Px+n

choquée

=

Pn

k=1

incap Px+k

choquée

incap→inval (n) · Px+k

La probabilité de passage de l’incapacité à l’invalidité n’est pas choquée. Ainsi, on obtient : inval Px+n

choquée

inval ≈ 1.35 · Px+n

Finalement : Coûtinval i

choqué

≈

i X

inval 1.35 · Px+n

choqué

choqué · 1.2 · tx invx+n (i − n) · txassuré · échéance annuelle

n=1

= 1.20 · 1.35 · Coûtinval i

choqué

On peut donc conclure : SinistresAT i

choqués

≈ 1.2 · 1.35 · SinistresAT i

Le cas des sinistres réassurés se déduit aisément des calculs précédents. Ces cas ont été traités sous l’hypothèse que i − 6 ≥ t. Les autres cas à prendre en compte complexifieraient les calculs sans aboutir à une quelconque formule fermée. En revanche, simplifier de la sorte revient à surestimer le SCR. On peut donc retenir que les simplifications réalisées pour tomber sur le proxi ont tendance à majorer le SCR et que le proxi est d’autant plus précis que les taux d’entrée en incapacité sont faibles. Il s’agira donc plus tard de voir si le 56

3.7. Evaluation a posteriori de la justesse du proxi

proxi fonctionne correctement quand les taux sont plus élevés. Dans la partie suivante, les comparaisons avec les SCRs exacts seront traitées et il s’agira de voir si le proxi SOGECAP est proche du SCR exact et s’il fait mieux que les proxies de l’EIOPA.

3.7

Evaluation a posteriori de la justesse du proxi

Etant donné que les moteurs de calculs donnent suffisamment d’information, la méthode EIOPA choisie est l’approximation des modules élémentaires, soit celle de niveau (1). Par ailleurs, il semble que pour certains SCRs, les méthodes de l’EIOPA semblent en accord avec la modélisation du portefeuille. Les méthodes sont étudiées sans actualisation. En effet, l’actualisation pourrait réduire les écarts et induire en erreur sur la qualité de l’approximation.

3.7.1

Comparaison des SCRs mortalité

3.7.1.1

Famille ACI

Figure 3.6 – SCRs mortalité ACI Comparaison brute de réassurance La courbe des SCRs mortalité bruts de réassurance est quasiment confondue avec celle des proxies Sogecap. Il est aussi primordial de regarder si le proxi est majorant ou minorant. En revanche, il est difficile de savoir en amont des calculs si le proxi va majorer ou minorer le SCR. En effet, le proxi surestime les sinistres choqués, suppose que les commissions et frais généraux ne bougent pas (effet de majoration du SCR), mais en contrepartie, il 57

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

suppose que les primes ne bougent pas (effet de minoration du SCR). Il est complexe de prévoir l’effet qui va l’emporter. Dans ce cas, il s’agit d’une minoration toutefois, elle suffisamment faible pour que le proxi soit acceptable. La courbe des proxies EIOPA brute de réassurance minore fortement les SCRs pendant les premières années avant de fortement majorer les SCRs tout le reste de la projection. Toutefois, les SCRs étant significativement plus élevés en début de projection, la majoration qui suit ne suffit pas à bien approximer la globabilité des SCRs. Comparaison nette de réassurance La réassurance augmente les écarts entre le proxi Sogecap et la courbe des SCRs exacts. Cela est plutôt inattendu et relève peut-être d’une incohérence en modélisation. 3.7.1.2

Famille ACC

Figure 3.7 – SCRs mortalité ACC Les approximations Sogecap sont sensiblement proches des SCRs exacts tout en les majorant sur la grande majorité de la projection. D’où une approximation satisfaisante. Les Proxies EIOPA minorent significativement les SCRS en début de projection avant de fortement les majorer sur le reste de la projection. Point par point, les écarts sont élevés mais sur la globalité des SCRs, l’écart n’est plus que de 4%. Cet effet d’approximation globale sera vu plus tard lors du calcul de la marge de risque. 58

3.7. Evaluation a posteriori de la justesse du proxi

3.7.1.3

Famille ACCF

Figure 3.8 – SCRs mortalité ACCF Les Proxies SOGECAP majorent grandement les SCRs exacts. On pouvait s’y attendre, dans la mesure où le produit ACCF inclut dans sa modélisation de la participation aux bénéfices à hauteur de 90%. Toutefois, en utilisant le proxi qui prend en compte la PB, les écarts deviennent faibles. Les Proxies EIOPA majorent eux aussi fortement les SCRs exacts sans doute en raison de la non-prise en compte de la PB. En revanche, prendre en compte la PB dans le proxi EIOPA, rendrait l’approximation minorante et peu précise.

59

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

3.7.1.4

Famille ACP

Figure 3.9 – SCRs mortalité ACP Les SCRs mortalité sont quasi-confondus avec les proxi SOGECAP, modulo une lègere sous-estimation des approximations. Celle-ci est toutefois acceptable étant donné que les écarts sont faibles. Globalement, les proxies EIOPA minorent nettement les SCRs le long de l’horizon de projection.

60

3.7. Evaluation a posteriori de la justesse du proxi

3.7.2

Comparaison des SCRs frais

3.7.2.1

Famille ACI

Figure 3.10 – SCRs dépense ACI Tel qu’annoncé, Les proxies SOGECAP sont bien confondus avec la courbe des SCRs dépenses. Les proxies EIOPA majorent en début de projection les SCRs exacts avant de les sousestimer. Point par point, l’approximation est peu précise mais à l’échelle de la risk margin, soit la "somme des SCRs", l’écart n’est plus que de 3%. De même que pour la famille ACI, les conclusions sont les mêmes pour les autres familles de produits, on peut retrouver les graphiques des autres produits en annexe.

61

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

3.7.3

Comparaison des SCRs catastrophe

3.7.3.1

Famille ACI

Figure 3.11 – SCRs catastrophe ACI Les SCRs catastrophe décroissent plus vite que les capitaux sous risque. Ainsi, les proxies Sogecap et EIOPA ne sont satisfaisants que la première année de projection. Toutefois, en principe, les écarts ne devraient pas être aussi élevés. L’observation des moteurs n’a pas permis de conclure. En revanche, une majoration des SCRs exacts est obtenue.

62

3.7. Evaluation a posteriori de la justesse du proxi

3.7.3.2

Famille ACC

Figure 3.12 – SCRs catastrophe ACC Les approximations SOGECAP collent bien avec les SCRs exacts. Les Proxi EIOPA majorent les SCRs catastrophe tout en ayant des écarts satisfaisants. 3.7.3.3

Famille ACCF

Figure 3.13 – SCRs catastrophe ACCF Sans prise en compte de la PB, Les proxies EIOPA et Sogecap majorent significativement les SCRs. En prenant en compte la PB, les approximations collent bien aux SCRs 63

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

exacts. Tel qu’évoqué plutôt, par mesure de sécurité, la PB n’est pas prise en compte dans les proxies. 3.7.3.4

Famille ACP

Figure 3.14 – SCRs catastrophe ACP Les SCRs exacts sont bien approximés par les proxies Sogecap et EIOPA. Les proxies EIOPA ont par contre l’avantage de majorer les SCRs.

64

3.7. Evaluation a posteriori de la justesse du proxi

3.7.4

Comparaison des SCRs rachat

3.7.4.1

Famille ACI

Figure 3.15 – SCRs rachat ACI Les SCRs rachat sont quasi-confondus avec les approximations Sogecap en dépit d’une légère minoration toutefois acceptable compte tenu du niveau des écarts. Les Proxies EIOPA sont eux aussi très proches des SCRs exacts. En revanche, les Proxies EIOPA concernent les changements permanents des taux de rachats, or les SCRs rachats, qui l’emportent, sont les rachats massifs. L’approximation fonctionne bien car le facteur 50% · lhausse · nhausse est dans le cas de la famille ACI, très proche de 40%, d’où un proxi à peu près équivalent à 40% · BE. Ainsi, on obtient une approximation satisfaisante de l’exigence de capital pour le choc de rachat massif, mais non voulue.

65

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

3.7.4.2

Famille ACC

Figure 3.16 – SCRs rachat ACC Les Proxies Sogecap sont quasiment confondus avec les SCRs exacts. Contrairement au cas de la famille ACI, les proxies EIOPA divergent significativement des SCRs exacts. Les cas des autres familles sont semblables, i-e les proxies SOGECAP épousent presque les SCRs exacts et les Proxies SOGECAP majorent plus ou moins fortement les SCRs exacts. On retrouve ces cas en annexe.

66

3.7. Evaluation a posteriori de la justesse du proxi

3.7.5

Comparaison des SCRs incapacité/invalidité

3.7.5.1

Famille ACC

Figure 3.17 – SCRs incapacité/invalidité ACC Conformément à ce qui a été annoncé lors de la justification des proxies, les SCRs incapacité/invalidité sont majorés avec un écart relativement important par les proxies SOGECAP. Les proxies EIOPA, quant à eux, majorent encore plus fortement les SCRs avec cette fois, un écart bien trop important.

67

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

3.7.5.2

Famille ACCF

Figure 3.18 – SCRs incapacité/invalidité Encore une fois, les proxies EIOPA majorent trop fortement les SCRs même avec prise en compte de la PB. En revanche, les SCRs SOGECAP sont eux très proches des SCRs exacts quand la PB est prise en compte. Bien entendu, lorsque celle-ci n’est pas prise en compte, les écarts sont plus conséquents.

68

3.7. Evaluation a posteriori de la justesse du proxi

3.7.5.3

Famille ACP

Figure 3.19 – SCRs incapacité/invalidité ACP Dans ce cas, les proxies EIOPA minorent fortement les SCRs exacts tandis que les Proxies SOGECAP majorent avec des écarts relativement conséquents les SCRs SOGECAP. On pouvait toutefois s’y attendre en raison des hypothèses de construction des approximations. A l’issue de cette étude, il apparaît que les proxies Sogecap approchent mieux, point par point, les SCRs du module souscription vie que les approximations de niveau (1) de l’EIOPA. On pouvait s’y attendre, dans la mesure où les proxies SOGECAP visent les flux de trésorerie contrat par contrat alors que ceux de l’EIOPA approximent les SCRs sur la globalité du portefeuille. Par ailleurs, la qualité des proxies SOGECAP est plutôt satisfaisante dans l’ensemble. Il faut toutefois aller au bout car même si point par point, les proxies EIOPA n’approximent pas bien les SCRs, sur la somme des SCRs futurs, comme on a pu le voir sur certains graphiques, ils pourraient être satisfaisants. D’où le calcul suivant, de la marge de risque

69

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

3.8

Calcul de la marge de risque

Ainsi, point par point les proxies SOGECAP sont plus performants, mais dans l’ensemble, il se pourrait que les proxies conseillées par l’EIOPA approximent mieux la totalité des SCRs, soit grossièrement la marge de risque.

Ecarts relatifs RM exacte RM proxi Sogecap RM proxi EIOPA modules de risque

50 753 072 53 684 439 64 285 668

0% -5,8% -26.7%

Figure 3.20 – Calcul de la marge de risque

Encore une fois, le proxi SOGECAP semble avoir une précision acceptable et fait mieux que le proxi EIOPA qui surestime grandement les SCRs exacts. Même si le proxi SOGECAP paraît à satisfaisant à l’issue de cette étude, cette étude a posteriori montre que l’approximation par module de risque conseillée par l’EIOPA n’est peut-être pas celle qu’il aurait fallu choisir pour avoir un proxi comparatif. On pourrait alors s’orienter vers la prochaine simplification conseillée, c’est-à-dire l’approximation du SCR en tant que prorata des Best estimates.

3.8.1

Analyse de la méthode proportionnelle

Le risque de cette approche est lié à des changements de signes qui rendraient plusieurs SCRs négatifs donc nuls, sans pour autant que les SCRs réels le soient. Toutefois, pour l’ensemble des produits étudiés (représentatifs du portefeuille global), les Best Estimates sont constamment négatifs et ne changent pas de signe. En revanche, étant donné que le portefeuille est bien margé sur toutes les années, des changements de signes n’ont pas lieu dans l’ensemble. Cette méthode suppose que : SCR(t) =

SCR(0) · BE(t) BE(0)

Autrement dit que : SCR(t) = constante BE(t) Disposant de la chronique des SCRs exacts, on dresse le graphique des 70

SCR(t) . BE(t)

3.8. Calcul de la marge de risque

Figure 3.21 – Chronique des

SCR(t) BE(t)

On observe que les sur les 20 premières années de projection, les SCR(t) sont bien BE(t) constants. Les SCRs en fin de projection sont bien plus faibles que sur les premières années. Il est donc légitime de considérer que les ratios sont constants. Cette méthode est donc envisageable. 3.8.1.1

Vérification des hypothèses de la méthode

Pour rappel, certaines hypothèses sont nécessaires à l’utilisation de cette méthode. peuvent être supposés constants. L’hypothèse Leur respect permet d’établir que les SCR(t) BE(t) 2 ne concerne pas le portefeuille. — La première hypothèse est bien vérifiée car les garanties ne changent pas au cours du prêt. Il est donc légitime de supposer que la composition des sous-modules de risque reste identique au cours du temps. — L’hypothèse 2 est elle aussi vérifiée dans la mesure où la qualité de crédit du réassureur n’intervient pas dans les calculs. — Les quote-parts des réassureurs restent bien identiques tout le long de la projection. — la dernière hypothèse concerne la constance de la capacité d’absorption des pertes par les provisions techniques au cours du temps. Cette hypothèse est toutefois considérée comme admise par la commission Européenne. Les hypothèses sont donc vérifiées.

71

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

3.8.1.2

Application de la méthode

On obtient alors :

Ecarts relatifs RM RM RM RM

exacte proxi Sogecap proxi EIOPA modules de risque proxi EIOPA méthode prorata BE

50 53 64 50

753 684 285 927

072 439 668 098

0% -5,8% -26.7% -0,34%

Figure 3.22 – Calcul de la marge de risque Ainsi l’écart obtenu par cette méthode est moindre. Cette méthode semble donc plus appropriée au portefeuille que la méthode d’approximation des sous-modules de risque. Elle apparaît donc comme un comparatif plus solide au vu de l’adéquation du portefeuille d’étude aux hypothèses de cette méthode et de son écart très faible avec la risk margin exacte. En revanche, la méthode des prorata concerne l’ensemble des risques et est donc soumise à un plus grand aléa qu’une méthode d’approximation risque par risque tel que la méthode SOGECAP. Par ailleurs, les hypothèses qui sous-tendent cette méthode sont relativement fortes. Lors de l’adéquation des proxies SOGECAP avec la modélisation du portefeuille, il a été démontré que les approximations fonctionnent sous certaines hypothèses. il s’agira dans la partie suivante de tester la précision des proxies en dehors de ces hypothèses.

3.9 3.9.1

Etude de sensibilité des proxies SOGECAP Risque de frais

Les SCRs dépenses correspondant exactement aux proxies, aucune sensibilité de la qualité de l’approximation des SCRs frais ne sera réalisée.

3.9.2

Risque de mortalité

L’approximation du SCR mortalité fonctionne d’autant mieux que les qx sont faibles, autrement dit que la population en portefeuille est jeune. Ainsi, l’âge des individus en portefeuille sera augmenté afin d’établir des limites de fonctionnement du proxi mortalité. L’étude sera réalisée sur la famille de produits ACI. Les âges en portefeuille seront augmentés de 5 ans, 10 ans, 15 ans et de 20 ans.

72

3.9. Etude de sensibilité des proxies SOGECAP

Figure 3.23 – Sensibilité du proxi mortalité On peut ainsi confirmer que plus les qx sont grands, moins l’approximation est de bonne qualité. En revanche, il faut augmenter les âges en portefeuille de plus de 15 ans pour avoir une approximation discutable, ce qui correspond à un cas peu probable.

Figure 3.24 – Qx On part, dans ce graphique, de l’âge moyen du portefeuille ACI qui est de 49 ans. Il apparaît qu’augmenter les âges de 15 ans correspond à multiplier à augmenter les qx de plus de 100 %. Autrement dit, il faudrait que la mortalité augmente considérablement 73

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

pour que la qualité de l’approximation commence à être moins satisfaisante. Ainsi, le proxi mortalité est plutôt robuste.

3.9.3

Risque de catastrophe

Comme pour le risque de mortalité, l’approximation est d’autant plus précise, que les âges des individus en portefeuille sont faibles. Sur la famille de produits ACC, des chocs d’augmentation des âges seront effectués ( 5 ans, 10 ans).

Figure 3.25 – Sensibilité du proxi catastrophe Les écarts relatifs commencent à être élevés lorsque l’on augmente l’âge de 10 ans. La qualité du proxi catastrophe semble plus sensible que celle du proxi mortalité à une augmentation des qx. Une augmentation des âges de 10 ans est peu probable, mais reste envisageable.

3.9.4

Risque de rachat

— Le proxi rachat devrait d’autant moins fonctionner que les marges par contrat sont négatives. Pour jouer sur cette hypothèse, il s’agira de rendre les contrats moins rentables en manipulant les paramètres des lois biométriques. On travaillera de nouveau sur le produit ACI, en augmentant les âges de 5 ans et les taux d’entrée en AT de 15% puis de 10 ans et de 25%. 74

3.9. Etude de sensibilité des proxies SOGECAP

Figure 3.26 – Sensibilité du proxi rachat Ce graphique montre que la qualité de l’approximation décroît bien au fur et à mesure que les contrats sont moins rentables. En effet, en augmentant les âges et la sinistralité des arrêts de travail, on augmente la sinistralité globale. Ainsi, les marges des contrats sont réduites.

3.9.5

Risque d’incapacité/invalidité

Le proxi d’incapacité/invalidité est d’autant plus proche des SCRs exacts que les taux d’entrée en invalidité sont proches de 0. Par conséquent, les taux d’entrée en incapacité/invalidité seront augmentés afin de voir si les proxies restent satisfaisants. Les calculs seront effectués sur la famille ACP en prenant en compte la PB dans le proxi. On choisit cette famille car elle est celle pour laquelle les écarts relatifs sont les plus faibles (avec PB). Les taux d’entrée en incapacité seront augmentés de 15% puis de 25%.

75

Partie II, Chapitre 3 – Projection du SCR du module de souscription vie

Figure 3.27 – Sensibilité du proxi incapacité/invalidité Il apparaît bien qu’augmenter, les taux d’entrée en incapacité, augmente les écarts relatifs au moins sur les premières années, c’est-à-dire là où les SCRs sont les plus élevés. Par ailleurs, une augmentation de 25% des taux d’entrée en incapacité diminue grandement la précision de l’approximation. L’augmentation de 25% fait passer le taux d’entrée en incapacité de 5.1% à 6.4%, soit un passage à un taux qui reste probable. La qualité de l’approximation est donc à surveiller, d’autant plus qu’elle est initialement, relativement fidèle pour les autres familles de produits. En somme, les proxies sont dans l’ensemble, robustes. En effet, même en s’éloignant des hypothèses de construction des approximations, les proxies restent plutôt fidèles.

3.10

Conclusion du chapitre

L’objectif de ce chapitre était de déterminer si les proxies SOGECAP pouvait être considérés comme des "bons proxies" et plus généralement de répondre au problème : comment juger de la qualité d’un proxi utilisé pour le calcul de la marge de risque ? En essayant de démontrer avec un peu plus de rigueur la construction du proxi, en comparant le proxi aux SCRs exacts pour un jeu de produits représentatif du portefeuille complet, en comparant le proxi aux proxies EIOPA (référence) utilisés par la majorité des assureurs, et en analysant la sensibilité du proxi à ses hypothèses de construction, on peut avoir une piste de réponse. La conclusion dans le cadre de ce mémoire est que le proxi SOGE76

3.10. Conclusion du chapitre

CAP, pour le calcul de la risk margin, est satisfaisant. En effet, il est proche des SCRs exacts point par point, il approxime bien la risk margin, tout en la majorant (principe de prudence) et fait mieux dans l’ensemble que les proxies EIOPA.

77

Chapitre 4

ORSA

Lors du chapitre suivant, il s’agira de s’interroger sur la construction d’un scénario de reverse stress test. Intrinsèquement, ce mémoire traitera de la pertinence de méthodes de projection de SCR dans le cadre d’un ORSA. Pour rappel, l’ORSA doit répondre à trois objectifs : — L’adéquation du profil de risque de l’assureur aux hypothèses qui sous-tendent le calcul du SCR. Dans ce cas, l’adéquation à la formule standard. — Le calcul du besoin global de solvabilité — Le respect de la marge de Solvabilité sur l’horizon du Business Plan de l’assureur Avant d’entrer dans le vif du processus ORSA, il faut définir certaines notions et indicateurs utiles à l’étude. Préambule — Le PNB opérationnel : Il correspond aux marges réalisées sur les primes et sur les encours. En effet, lors des encaissements des primes et des encours, des chargements sont destinés à couvrir des commissions et autres frais. Dans la réalité, ces commissions et autres frais peuvent être supérieurs à ceux estimés ; d’où un surplus. — Le PNB technique et financier : Il va correspondre aux produits financiers ajoutés aux revenus sur fonds propres et au résultat technique. — Le résultat social = PNB technique et financier - frais généraux - impôts + PNB opérationnel — La marge de solvabilité minimale (BMS) : Elle correspond à l’équivalent du SCR sous solvabilité I 1 — Le ROE : il représente la rentabilité sous solvabilité I BM S ROE = Résultat social

4.1

Produits du portefeuille

Les familles de produits en portefeuille couvrent des assurances en prévoyance. 1. Régime prudentiel ayant précédé Solvabilité II.

79

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

— — — — —

ACI : assurance de crédit immobiliers ACC : assurance de crédit à la consommation CCL : assurance de crédit à la consommation CDN : assurance mixte (temporaire décès, capital différé) NOR : assurance mixte (temporaire décès, capital différé)

Un contrat temporaire décès garantie à l’assuré le versement d’un capital contractuel en cas de décès de celui-ci avant maturité du contrat. Dans le cadre d’un contrat de capital différé, un assuré reçoit un capital n années plus tard s’il est encore en vie à cette époque. Les éléments suivants concernent toutes les familles étudiées — — — —

les tarifs sont pourcentage du capital garanti Projection sur 30 ans, pas annuel Echéances des prêts périodiques Les tables utilisées sont les tables TH-TF 00-002 avec un abattement de 36% pour mieux rendre compte de la mortalité des individus en portefeuille — Les taux de rachats dépendent de l’ancienneté du contrat — Les frais généraux sont fixes et en pourcentage de la prime commerciale — Réassurance en quote part (QP) et ou en excédent de plein (XP) Spécificité des familles de produits du périmètre emprunteur — L’unique garantie couverte est une garantie décès — La modélisation des produits du périmère emprunteur est identique à celle décrite dans le chapitre précédent en 3.1 à partir de la page 23 La modélisation des familles de produits du périmètre non-emprunteur diffère de celle du périmètre emprunteur. Les spécificités de cette modélisation vont désormais être exposées.

4.1.1

Spécificités de la modélisation des familles de produits du périmètre hors emprunteur

Les familles de produits concernées sont les familles CDN et NOR, soit des familles de produits d’assurance mixte. Les flux de trésorerie dont la modélisation diffère de celle exposée en 3.1 (à partir de la page 23) sont les prestations en cas de vie et les sinistres décès. Afin de modéliser ces flux, il faut au préalable décrire les calculs des provisions mathématiques. 80

4.1. Produits du portefeuille

Les provisions mathématiques sont définies d’après l’article R 331-3 du Code des assurances la différence entre les valeurs actuelles probables (VAP) des engagements respectivement pris : — par l’assureur — par l’assuré Elles représentent la dette probable de l’assureur envers un assuré. Leur calcul est nécessaire car les contrats souscrits pour les familles de produits NOR et CDN sont rachetables et leur valeur de rachat dépend des provisions mathématiques. Nombres de commutations En gardant les mêmes notations qu’en 3.1, on a : 1 ν = taux technique Dy = ly · ν y 1 Cy = dy · ν y+ 2 P My = ωk=y Ck P Ny = ωk=y Dk

Avec : — y : un âge — ω : l’age maximum de la table de mortalité utilisée — "le taux technique est le rendement financier minimum sur lequel s’engage un assureur pour un contrat d’assurance et qui est anticipé dans le calcul des cotisations ou des provisions mathématiques par actualisation des flux financiers futurs" 2 A partir des nombres de commutations, les engagements assuré et engagements assureur peuvent être calculés de manière simplifiée. Calcul des provisions mathématiques Si i ≤ maturité du contrat : V AP (assureurDC )x+i = CDC ·

Mx+i − Mx+Durée restante Dx+i

V AP (assureurV ie )x+i = Cvie · · V AP (assuré)i = P rimescom i

Dx+Durée restante Dx+i

Nx+i − Nx+Durée restante · 1{P rimes annuelles} Dx+i

2. Définition issue du site SPAC actuaires

81

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

Avec : — — — —

CDC : le capital assuré en cas de décès CV ie : le capital assuré en cas de vie de l’assuré à la maturité du contrat Durée restante : la durée restante avant la maturité du contrat les primes sont soit uniques, soit annuelles ; ainsi si elles ne sont pas annuelles, l’engagement de l’assuré est nul car il a payé une prime unique à la souscription

On a donc que la provision mathématique (PM) à la date i est telle que : P Mx+i = V AP (assureurDC )x+i + V AP (assureurV ie )x+i − V AP (assuré)x+i On peut ainsi calculer la valeur de rachat d’un contrat qui rentre dans le calcul du Best Estimate (hors actualisation) : rachatx+i =

1 P Mx+i−1 + P Mx+i · tsri · Px+i−1 · (1 − · qx+i ) 2 2

Avec : — tsri : le taux de sortie en rachat à la date i La prestation en cas de vie (V P (maturité)) à la maturité du contrat rentre dans le calcul du Best Estimate sous la forme suivante : V P (maturité)x = CV ie ·

Px+Durée restante−1 + Px+Durée restante 2

Cette forme suppose que le versement se fait en milieu d’année. Les sinistres décès sont obtenues par la relation : SinistresDC = CDC · P DC (x + i) i Il s’agira désormais de traiter de l’adéquation à la formule standard au portefeuille étudié et de définir l’appétit pour le risque.

4.1.2

Adéquation à la formule standard et appétit pour le risque

La cartographie des risques auxquels est exposée la compagnie a été établie. Il s’avère que l’ensemble de ces risques est modélisé par la formule standard, il n’y a pas de risque à ajouter et les risques en trop sont considérés comme inexistants. Les matrices de corrélation sont elles aussi conservées. La conclusion établie est alors que la formule standard permet d’évaluer correctement les consommations de capital occasionnées par les risques auxquels s’expose l’assureur. L’estimation des risques en portefeuille mène au calcul du BSCR via trois modules de risques : 82

4.2. Modélisation prospective du bilan

— le risque de marché — le risque en souscription vie — le risque de contrepartie. L’appétit pour le risque se matérialise par le calcul de plusieurs indicateurs : — Le résultat social — Le ROE c’est-à-dire le rendement des fonds propres — Le besoin global de solvabilité et les ratios de solvabilité Le top management établit que l’appétence au risque reste dans les limites souhaitée si : — Le ROE est supérieur ou égal à 10% — Le ratio couverture du SCR est supérieur ou égal à 100% En dessous de ces seuils, des actions correctives doivent être mises en place. Si le ratio de solvabilité est inférieur au seuil règlementaire de 100%, des mesures de rétention de dividendes peuvent être prises par le top management. Pour calculer nombre de ces indicateurs sur l’horizon du business plan, il faut être en mesure de projeter les Best Estimates et SCRs futurs, d’où l’intérêt de la première étude de ce chapitre.

4.2

Modélisation prospective du bilan

4.2.1

Méthode de projection du bilan

4.2.1.1

Etablissement des scénarios

Scénario central "Le scénario central correspond aux hypothèses et résultats du scénario de base du business plan (notamment les hypothèses stratégiques fixées par [Top Management] et les hypothèses de marché, avant toute simulation de chocs)" 3 . Ce scénario est donc encastré dans les prévisions de l’entreprise quant à son futur développement. Scénario de stress Un scénario central est en général insuffisant car il ne prend pas en compte la nonréalisation des hypothèses de Business Plan de l’organisme assureur. Il faut ainsi définir des scénarios adverses qui pourraient empêcher l’entreprise d’atteindre ses objectifs et évaluer la solvabilité de l’entreprise dans ces conditions. L’ajout de ces scénarios stressés va permettre d’obtenir une image plus fidèle de la solvabilité de l’entreprise. 3. Groupe de travail ORSA de l’Institut des actuaires

83

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

4.2.1.2

Construction d’un budget

En fonction de l’évolution des marchés financiers, de la croissance attendue, de l’inflation et cetera au niveau économique ; mais aussi de la sinistralité, du nombre de rachats attendus, pour le passif, un budget pluriannuel (horizon du business plan) va être établi. Autrement dit pour chaque scénario envisagé, un budget sera dressé. Il contiendra des prévisions sur les chiffres d’affaires, provisions mathématiques, la marge de solvabilité minimum et l’ensemble des éléments nécessaires au calcul du résultat social. C’est sur la base de ce budget, que la solvabilité de l’entreprise va être projetée car elle mesure au mieux la situation de l’entreprise attendue et que l’ORSA doit prendre en compte ces prévisions. On sort du cadre d’un simple portefeuille en run-off (cas du chapitre précédent).

4.2.1.3

Présentation des budgets et scénarios sur le passif envisagés lors du scénario central

Scénario central Dans les tables ci-dessous, on peut observer l’évolution des PM et des primes acquises au cours du temps dans le cadre du scénario central. Les évolutions sont propres à chaque produit mais, nous présentons ici les variations pour l’ensemble des produits du portefeuille. Les hypothèses techniques sont supposées constantes au cours du temps. t=0 P rimes acquisest P rimes acquises0 P Mt P M0

t=1

t=2

t=3

t=4

100% 113% 126% 139% 152% 100% 131% 133% 136% 152%

Figure 4.1 – Evolution de l’activité 4.2.1.4

Problématique de la projection des SCRs du module souscription vie à l’aide du budget

Le calcul des Best Estimates et SCRs à des dates futures ne peut être désolidarisé des prévisions contenues dans le budget. En effet, les portefeuilles ne sont pas considérés en run-off, ainsi, calculer les Best estimates futurs tel qu’évoqué dans la sous-section 3.2.2 "calcul des SCRs" en page 37, ne prendrait pas en compte les prévisions sur les affaires nouvelles ; d’où un biais. Il s’agit donc de chercher dans le budget, les informations qui vont permettre d’émettre des hypothèses réalistes d’évolution des Best estimates. Autrement dit comment calculer les Best Estimates et SCRs futurs à l’aide du budget ?

84

4.2. Modélisation prospective du bilan

4.2.1.5

Présentation de la méthode utilisée au sein de la filiale

Quel que soit, le scénario envisagé, les Best Estimates sont projetés à l’aide des chroniques des primes acquises. t=0

t=1

t=2

t=3

t=4

P rimes acquisest P rimes acquises0

1

r1

r2

r3

r4

BEt

BE0

BE0 · r1

BE0 · r2

BE0 · r3

BE0 · r4

Autrement dit, si les primes acquises évoluent du facteur rt alors, le BE évolue lui aussi de ce même facteur rt . Cette méthode est aussi utilisée pour projeter les BE après chocs du module souscription vie, les SCRs se déduisent de la différence entre les BE choqués et les BE.

La VM des actifs en couverture des passifs évolue proportionnellement aux variations des provisions mathématiques. Cette hypothèse est légitime dans le sens où ces actifs viennent couvrir les PM du portefeuille. Ainsi, en approximant la valeur nette comptable des actifs par les PM, on peut supposer que les actifs évoluent exactement comme les PM. Cette méthode de calcul permet de calculer le SCR de marché à des dates futures. Ce mémoire ne traite toutefois pas du risque de marché.

Dans le cadre du portefeuille étudié, le risque de contrepartie dérive presqu’exclusivement du défaut des réassureurs. Les traités de réassurance en portefeuille étant proportionnels, on peut supposer que Le SCR de contrepartie évolue lui aussi selon la chronique des provisions mathématiques. Ce mémoire ne traite toutefois pas du risque de contrepartie. La méthode de calcul des Best Estimates futurs est une méthode proportionnelle. Une question qui se pose naturellement est : comment juger de la pertinence d’une telle méthode ? Il s’agira dans la suite de tenter de répondre à cette question. 4.2.1.6

Analyse de la méthode

En analysant cette méthode, on pourrait la voir de la manière suivante. Tout se passe comme si à une date t differente de 0, on obtenait un stock de primes augmenté ou diminué (par rapport à celui en date t=0) avec un profil d’assurés similaire à celui en date t=0. Cette manière de voir les choses fait apparaitre deux hypothèses implicites. D’une part que le profil de l’assureur et des assurés ne change pas entre t=0 et t=k et d’autre part que si les primes acquises en t=0 sont multipliés par un facteur α alors, le BE0 devient BE0 · α. 85

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

La première permet d’expliquer la proportionnalité entre le BEt et le BE0 , la deuxième sert à expliquer que le facteur de proportionnalité est bien rt . Les hypothèses déduites sont-elles fondées ? Première hypothèse Peut-on légitimement supposer que le profil des assurés et le profil de l’assureur ne changent pas au cours du temps et ce au sein d’un scénario ? Répondre à cette question est inhérent aux prévisions des scénarios. 1. Tout d’abord, pour chaque scénario et pour chaque produit, les garanties, hypothèses techniques et mécanismes d’assurance ne changent pas au cours du temps. 2. Les tables de mortalité du portefeuille n’évoluent pas au cours du temps au sein d’un scénario. 3. La politique de souscription par produit ne change pas par rapport aux années précédentes. Par ailleurs, il s’agira d’analyser le profil des assurés par famille de produits sur les années précédentes afin d’en dégager une éventuelle constance. En effet, si l’on observe une constance, couplé au point 3, on peut davantage supposer que le profil des assurés ne changera pas dans les années à venir. Le profil de risque des assurés dépend quasiment uniquement des âges des assurés et des capitaux sous risque. Pour cela, les fonctions de répartition empirique des âges en portefeuille seront dressées sur 3 ans. Il en va de même pour les capitaux restants dus moyens par classe d’âges. Les classes d’âges ont été choisies en fonction des âges minimum et maximum en portefeuille et après observation de la courbe des qx utilisée pour les calculs.

86

4.2. Modélisation prospective du bilan

Figure 4.2 – Qx table TH 00-02 abattue de 36% Ainsi, la courbe peut-être coupée en 3 classes où l’on observe différents profils de risque en matière de mortalité. Un profil à risque faible ([20 ans - 35 ans[), un profil à risque moyen([35 ans - 50 ans[) et un profil à risque plus élevé ( >= 50 ans). La courbe en question concerne uniquement la mortalité des hommes, mais le découpage effectué s’applique à la courbe TF 00-002. Pour choisir les pas de temps étudiés, le principe a été de laisser suffisamment de temps depuis le lancement du produit, de sorte à définir de manière plus légitime, le profil des assurés en portefeuille. Cela permet aussi de s’assurer que les hypothèses techniques n’ont pas évolué depuis. Cette date correspond à t=-2. Dans un second temps, il s’agit d’observer le profil des nouveaux adhérents, chaque année jusqu’à t=0 et voir si ce profil est plus ou moins proche du profil en t=-2. L’étude est présentée sur trois familles de produits. Les résultats pour les autres familles de produits figurent en annexe et conduisent à des conclusions sensiblement proches de celles des familles présentées. Les annexes débutent en page 111.

87

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

Famille ACI

Figure 4.3 – F.d.r empirique des âges des assurés ACI Certes, le panel d’années n’est pas aussi élevé que souhaité mais il permet déja d’aboutir à quelques conclusions. Les courbes sont relativement proches, hormis pour les assurés plus jeunes entre t=-2 et t=-1. L’écart est beaucoup plus faible entre t=-1 et t=0. On peut donc supposer que le profil des assurés est resté relativement stable dans le passé. Davantage de souscriptions sont attendues dans les années à venir sans pour autant adopter une politique de souscription de choix des âges différents. Ainsi, il apparaît que le profil des assurés en portefeuille dans les années à venir ne changera pas significativement.

88

4.2. Modélisation prospective du bilan

Figure 4.4 – Capitaux restants dus moyens par classe d’âges ACI En ce qui concerne la répartition des capitaux restants dus par classe de risque, on observe aussi une certaine stabilité depuis que le produit est bien installé. On peut donc supposer sachant que le choix des assurés en portefeuille ne va pas changer, que la répartition des capitaux assurés par classe de risque ne devrait pas trop évoluer dans l’horizon du business plan.

89

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

Famille ACC

Figure 4.5 – F.d.r empirique des âges des assurés ACC Tout comme pour la famille de produits ACI, la fonction de répartition empirique a été dressée. Dans ce cas, les fonctions de répartition empiriques des âges des nouveaux adhérents sont encore plus proches de la fonction de répartition de référence. On observe toutefois qu’entre t=-1 et t=-2, les assurés ayant souscrit sont plus âgés.

90

4.2. Modélisation prospective du bilan

Figure 4.6 – Capitaux restants dus moyens par classe d’âges ACC En ce qui concerne la répartition des capitaux restants dus, pour les 2 classes d’âges les plus éleveés, le profil des assurés est à peu près stable. En revanche, pour les 20-35 ans, on observe une hausse importante des capitaux sous risque au cours du temps et en particulier entre t=-1 et t=0. Cela vient contrebalancer la légère augmentation des âges en rééquilibrant le poids de la classe la plus jeune. On reste donc sur un profil des assurés relativement stable et sachant que la façon de choisir les assurés ne devrait pas évoluer, on peut supposer une stabilité du profil de risque sur le long du business plan. Toutefois, avec l’histogramme du produit ACC, on observe une hausse des capitaux assurés, ce qui aurait donc tendance à augmenter les risques. Toutefois, cette augmentation touche majoritairement la première classe d’âges qui est la moins porteuse de risque en termes de mortalité.

91

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

Famille CDN

Figure 4.7 – F.d.r empirique des âges des assurés CDN La f.d.r emprique des assurés ayant souscrit entre t=-1 et t=-0 épouse presque celle des assurés en portefeuile en t=-2. On relève toutefois des écarts plus importants pour la f.d.r empirique des assurés ayant souscrit entre t=-2 et t=-1. En effet les assurés ayant souscrit des contrats pendant cette période sont globalement plus jeunes. On observe toutefois un retour à la normale lors de la période suivante qui semble suggérer que les souscriptions entre t=-2 et t=-1 sont marginales. Ainsi, il n’est pas aberrant de supposer que le profil des futurs assurés devrait être proche de celui des assurés en portefeuille en t=0.

Figure 4.8 – Capitaux garantis par classe d’âges des assurés CDN On observe des variations peu significatives des capitaux garantis au cours du temps. 92

4.2. Modélisation prospective du bilan

On peut dès lors supposer sachant que le choix des assurés en portefeuille ne va pas changer, que la répartition des capitaux assurés par classe de risque ne devrait pas trop évoluer par le futur. Il est à noter que les capitaux garantis en cas de vie sont égaux aux capitaux garantis en cas de décès. De ce fait, seul un graphique est présenté. Seconde hypothèse : Il s’agit ici de voir l’adéquation de l’hypothèse avec la modélisation du portefeuille. La première hypothèse stipule que le profil des assurés à une date postérieure à t=0 est le même que celui des assurés à la date t=0. A l’aune de cette hypothèse, on peut supposer que le stock des assurés à une date future est le stock en date t=0 avec des primes augmentées ou diminuées. Il s’agit désormais de voir, si le BE évoluera du même facteur de proportionnalité que les primes. Si on a que : ∀i tel que t ≤ i ≤ t + 30 P rimescom → P rimescom α i i On obtient que, les frais de gestion, les frais généraux et les commissions sont multipliés par α car ces quantités sont proportionnelles aux primes. D’autre part, par la relation : P rimescom = Capitalassuré · tarif 0 Sachant que le tarif reste fixe, faire évoluer le stock de primes revient à faire évoluer le stock de capitaux assurés. Par la première hypothèse, les capitaux garantis en cas de décès et cas de vie évoluent du même facteur (cas de l’assurance mixte). D’où pour le périmètre emprunteur : CRDi → CRDi · α Ainsi, on a que : Sinistresi → Sinistresi · α Pour le périmètre hors emprunteur : Par proportionnalité aux capitaux assurés on a que : V P (maturité)x → V P (maturité)x · α SinistresDC → SinistresDC ·α i i

93

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

et que : V AP (assureur)x+i → V AP (assureur)x+i · α et par proportionnalité aux primes on a que : V AP (assuré)x+i → V AP (assuré)x+i · α Donc les PM évolent du facteur α et de ce fait : rachatx+i → rachatx+i · α En somme, par proportionnalité de la réassurance aux primes et aux prestations on a : BE0 → BE0 · α Une question que l’on pourrait désormais se poser, pour apporter davantage de prévision sur la justesse du proxi utilisé est : existe - t-il des outils de comparaisons plus précis que le proxi ? La difficulté de cette question repose dans l’absence d’idée exacte sur le profil des futurs adhérents. On ne peut donc avoir, comme dans le chapitre précédent, un calcul exact des SCRs futurs. En contrepartie, sachant que le risque que le proxi soit erroné est surtout tributaire du profil des assurés à des dates futures, on peut jouer sur la sensibilité des Best Estimates au profil des assurés.

4.2.1.7

Etude de sensibilité

Il s’agit ici, de voir la sensibilité des Best Estimates et SCRs à la modification du profil de risque des assurés. Ces sensibilités permettent ainsi de voir dans quelle mesure le proxi utilisé reste précis. En effet, celui-ci est basé sur l’hypothèse selon laquelle le profil des assurés ne changera pas au cours du temps. En revanche, si cette hypothèse n’est pas vérifiée, le proxi s’écarte de la réalité et donne une image moins fidèle de la solvabilité de l’assureur. Ainsi, à court terme, le besoin global de solvabilité peut ne peut pas être respecté. La série de sensibilités consiste à déplacer des individus du new business en portefeuille d’une classe d’âges vers une classe d’âges plus vieille, ce qui augmente le risque en portefeuille. — Transfert d’une partie des assurés d’âge compris entre 20 et 35 ans (classe 1) vers la classe d’âges des 35-50 ans (classe 2) en augmentant leurs âges de 7 ans, puis de 15 ans. — Transfert d’une partie des assurés de la classe 35-50 ans vers la classe des plus de 94

4.2. Modélisation prospective du bilan

50 ans (classe 3) en augmentant leurs âges de 7 ans, puis de 15 ans. — Transfert d’une partie des assurés d’âge compris entre 20 et 35 ans vers la classe d’âge des plus de 50 ans en augmentant l’âge des plus de 22 ans de 28 ans. Les écarts sont observés sur les BE, SCR de mortalité et SCR catastrophe. Le risque de hausse des frais généraux ne devrait pas évoluer lors de cette série de sensibilités. Pour le risque de rachat, seules les familles de produits CDN et NOR en raison des taux de mortalité dans les PM sont sensibles à une variation du profil des assurés. Pour ces familles de produits, le risque de rachat qui l’emporte est le risque de baisse des taux de rachat. Toutefois, ces montants sont noyés dans le SCR de rachat massif des produits du périmètre emprunteur qui devrait peu évoluer car les produits sont assez rentables. P-I

1→ 2 + 7 ans

1→ 2 + 15 ans

2→ 3 1→ 3

Ecarts BE

0%

2%

5%

6%

14%

Ecarts SCR mortalité

0%

-4%

-14%

-12%

-25%

Ecarts SCR catastrophe

0%

0,0%

0,1%

0,1%

0,2%

Figure 4.9 – Sensibilité du proxi à la modification du profil de risque des assurés

— n⇒p désigne le transfert de la classe d’âge n vers la classe d’âge p — Le sigle P-I désigne le profil initial des assurés Le SCR catastrophe est très robuste aux sensibilités. En revanche, les Best Estimates et SCRs mortalité sont plus affectés, notamment pour les transferts des classes 2 et classe 1 vers la classe 3. Ainsi, un changement des nouveaux adhérents peut mettre un biais sur la qualité de l’approximation. Cela insiste donc sur la nécessité de connaitre au mieux les futures politiques de souscription. Cette méthode du type proportionnel est donc d’autant plus juste que l’on sait que le profil des nouveaux adhérents ne s’éloignera pas trop du profil des adhérents actuels. Elle paraît donc peu adaptée aux produits qui sont jeunes ou si l’on prévoit de grands changements dans la politique de souscription.

4.2.1.8

Comparaison avec les ORSA précédents

Une manière supplémentaire de tester la justesse du proxi serait de comparer les SCRs obtenus par approximation, avec les SCRs obtenus lors des ORSA suivants. Il s’agirait donc de comparer les estimations des ORSA précédents avec les valeurs réalisées en date t=0. On pourrait ainsi vérifier la légitimité des hypothèses. Toutefois, ce dispositif n’est pas possible dans le cadre de cette étude, dans la mesure où les ORSA ne sont effectués dans la filiale que depuis peu. Cela induit un manque de données qui ne permet pas de conclure. 95

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

Nous retenons de ces différentes analyses que la méthode de projection choisie est applicable au portefeuille emprunteur étudié et nous présentons désormais les résultats obtenus avec cette méthode.

4.2.2

Décomposition des fonds propres SII

Les fonds propres SII sont évalués selon les hypothèses suivantes et à partir des éléments suivants : — 95% du résultat est affecté aux dividendes — les 5% restants sont incorporés dans les capitaux propres (CP) (+) — la In force value est calculée comme la différence entre les provisions mathématiques et le Best Estimate (+) — la marge de risques (-) — les impôts correspondent à 18% de la In force value nette de marge de risques (-) — les capitaux propres sont classés en fonds propres de Tier 1 tout comme la In Force value et la marge de risques (+) Les fonds propres (FP) SII sont alors obtenus par : F Pt=n = 5% · résultatn + CPn−1 + InF orcen − RMn − Impôtsn 4.2.2.1

Calcul du ratio solvabilité

Calcul du SCR Le SCR de base est calculé par aggrégation du SCR de marché, du SCR souscription vie et du SCR de contrepartie. SCRde base =

v u u t

X

ρM i,j · SCRi · SCRj

(i,j)∈M 2

Avec : — M = {souscription vie; marché; contrepartie} — ρi,j : les coefficients de la matrice de corrélations inter-risques Le SCR opérationnel est ensuite ajouté au BSCR pour obtenir le SCR. Il est à noter que la méthodologie de calcul du SCR opérationnel n’est pas abordé dans ce mémoire Calcul de la marge de risque Les SCRs futurs du module souscription vie sont évalués en utilisant les approximations SOGECAP étudiées dans la partie I pour les produits emprunteur et par la méthode 96

4.2. Modélisation prospective du bilan

proportionnelle des Best Estimates pour les familles de produits NOR et CDN. En effet, pour les produits d’assurance emprunteur, la modélisation des flux de trésorerie est identique à celle des produits étudiés dans la première partie de ce mémoire en 3.1 page 23. Il est donc légitîme de conserver les proxies étudiés. Pour les familles de produits NOR et CDN, la méthode prorata BE est appliquée. La justification de l’utilisation de cette méthode est identique à celle vue en 3.8.1.1 en page 71. Le ratio de solvabilité se déduit donc des éléments vus précédemment : ratiode solvabilitét=n =

F Pn SCRn

Sous les hypothèses du scénario central, la chronique de ratios de solvabilité obtenue est la suivante :

Figure 4.10 – Chronique des ratios SII Ainsi, le cheminement permettant de dresser la solvabilité de la filiale sur un horizon temporel a été décrit et étudié. Conséquemment, la suite de ce mémoire qui concerne l’établissement d’un outil de reverse stress test peut être abordée. Il s’agit principalement de se demander comment obtenir un scénario de chocs sur le module souscription vie qui permettent d’aboutir à t=1 à un ratio de solvabilité II de 100%.

97

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

4.3

Mise en place d’un outil de reverse stress test

4.3.1

Définition et cadre règlementaire

La réalisation de reverse stress tests fait partie des exigences pouvant constituer une ligne directrice de l’ORSA tel que mentionnée dans le document de consultation de l’EIOPA 4 . La directive Solvabilité II définit dans cet article, les reverse stress tests commme des stress tests qui permettent à une entreprise d’identifier et d’évaluer les scénarios et les circonstances extrêmes mais plausibles qui menaceraient sa viabilité. L’identification a priori de ces scénarios permet de déployer des solutions de gestion des risques et d’être à même de se protéger contre ces scénarios à l’horizon du Business Plan. Dans le cadre de ce mémoire nous assimilons la viabilité à la solvabilité de l’entreprise d’assurance. Ainsi, le ratio de solvabilité II en tant qu’indicateur de solvabilité peut servir d’outil de pilotage d’un reverse stress test. Conséquemment, trouver comment déboucher sur un ratio SII de 100% à horizon 1 an permet d’étudier des conditions limites de solvabilité de l’entreprise d’assurance.

4.3.2

Risques encourus

Ainsi, la définition de la directive Solvabilité II insiste sur le caractère plausible des scénarios de tests. En effet, Il existe une multitude de scénarios pouvant mener à un ratio de solvabilité de 100%. Il faut donc s’attacher à trouver un driver d’établissement des scénarios envisagés parmi la multitude de scénarios possibles. Cela nécessite au préalable d’évaluer les risques encourus. Il est à noter que ce mémoire traite du module de risque de souscription vie. De ce fait, les scénarios étudiés concernent uniquement les sous-risques du module de souscription vie. Au vu du portefeuille étudié, les risques du module souscription vie ayant un impact négatif pour l’assureur sont : — — — —

le le le le

risque risque risque risque

de mortalité d’augmentation des frais généraux de catastrophe vie de rachat

Par conséquent, les scénarios à établir porteront sur une augmentation de l’exposition aux risques précédemment cités. Une fois les risques identifiés, on peut se demander comment construire les scénarios de reverse stress test. Pour limiter le nombre de scénarios, une application simultanée de 4. Article 230 TSIM19 - (Art. 124 of Directive 2009/138/EC) - Validation tools

98

4.3. Mise en place d’un outil de reverse stress test

chocs est possible. En effet, au vu de corrélations généralement non nulles entre les risques précédents (d’après la formule standard, matrices en annexe à partir de la page 111), des chocs simultanés sont plausibles. Dans l’hypothèse où les scénarios sont simultanés, une manière de déterminer a priori un scénario peut-être de choisir le poids que l’on veut donner à chaque risque dans la déformation du ratio SII. Autrement dit, qu’un risque donné ait un impact plus grand qu’un autre risque. Cela permet de donner un sens au scénario envisagé.

En premier lieu, sur la base de la formule standard, une première hypothèse de rachat massif (40%) est fixée. Il est à noter que le SCR rachat massif correspond dans le cadre du portefeuille étudié au SCR de rachat. En outre, il est matériel (37% du SCR de souscription vie hors effet de diversification) et il semble que l’augmenter davantage serait une hypothèse assez forte. Par ailleurs, en raison des recoupements des risques de mortalité et des risques de catastrophe vie, seul le risque de mortalité est étudié.

Ainsi, si l’on veut allouer un poids donné à un risque lors du stress test, quel niveau de choc doit-on choisir ? Il s’agira dans la suite de ce mémoire de déterminer l’effet d’une variation d’un niveau de risque sur le ratio de solvabilité. Si l’on parvient à estimer de combien bougera le ratio si le niveau de risque se déplace d’un pourçentage x, alors on pourra déterminer le niveau de choc à appliquer pour un poids donné. Cette étude a été éffectuée sur le risque de mortalité et sur le risque de frais, les niveaux des autres risques ayant été fixés précédemment.

4.3.2.1

Etude des variations du ratio de solvabilité II

Un outil VBA a ainsi été mis en place afin de mesurer l’effet de chocs sur le ratio de solvabilité. Ce moteur permet d’effectuer différents chocs simultanés, de recalculer les SCRs et marges de risques correspondants et d’obtenir un nouveau ratio de solvabilité II. Sur les risques de mortalité et de dépenses, l’outil a permis pour des incrémentations successives de dresser une courbe de ratios SII. Afin d’uniquement mesurer les effets des chocs du module souscription vie, les hypothèses du budget n’ont pas été modifiées. Chocs sur frais généraux Pour les chocs sur frais généraux, la courbe suivante a été obtenue :

99

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

Figure 4.11 – Effets des chocs sur frais généraux sur le ratio SII à t+1 On peut observer une tendance linéaire. De ce fait, une régression linéaire à été appliquée aux données. Le coefficient R2 obtenu est plutôt proche de 1 et témoigne d’un caractère linéaire entre les chocs et les ratios SII à t+1. Ainsi, on peut supposer à partir du coefficient de pente qu’une augmentation de 1% des frais généraux conduira à une baisse d’environ 1,2% du ratio. Conséquemment, si l’on veut obtenir un ratio SII de 100%, il faudrait effectuer un choc de hausse des frais généraux d’environ 67,5%. En appliquant ce niveau de choc, on obtient un ratio de 0,99.

100

4.3. Mise en place d’un outil de reverse stress test

Pour le risque de mortalité, les résulats suivants sont obtenus : Chocs sur la mortalité

Figure 4.12 – Effets des chocs sur frais généraux sur le ratio SII à t+1 On peut observer sur la courbe deux sauts. Le premier saut vient d’une hausse significative du SCR CAT et de l’hypothèse de rachat massif à 40%. En effet, le rachat n’est possible que si il a un effet négatif pour l’assureur (cela se matérialise en modèle par un BE positif). Ainsi, en plus du choc de mortalité en central, le choc pour le calcul du SCR CAT désactive l’hypothèse de rachat massif pour une partie de contrats. Le choc de catastrophe s’applique donc à une assiette de contrats plus élevée et le BE croît fortement ; ce qui entraine une explosion du SCR CAT. D’où une chute du ratio SII. Le deuxième saut vient du même phénomène, mais cette fois-ci avec une explosion du SCR de mortalité. Ce phénomène de désactivation de l’hypothèse de rachat fait que la courbe est linéaire par morceaux. Ainsi, l’effet d’une variation de 1% du choc de mortalité aura un effet différent pour le ratio SII pour deux portions de courbe différentes. Ce phénomène devrait aussi se produire lors des chocs sur frais généraux. Toutefois, cet effet ne se produit pas car le choc est effectué en sortie de modèle et ne joue donc pas sur l’hypothèse de rachat. Pour obtenir un ratio de 100%, il faudrait effectuer un choc de 77,35% de hausse de la 101

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

mortalité d’après la régression. Un choc de 77,5% permet d’obtenir un ratio de 1,00. Ainsi l’estimation est assez précise. A l’issue de cette étude, il est possible d’estimer individuellement les effets des chocs de mortalité et de frais généraux sur les ratios de solvabilité sous l’hypothèse de rachat fixé à 40%. On voit que le poids du risque de frais est plus élevé que celui du risque de mortalité (le coefficient de pente du risque de frais est plus grand en valeur absolue). Si l’on veut en outre, que ces deux chocs aient un même poids dans le scénario de reverse stress, il faut prendre en compte cela. On peut désormais s’intéresser à une application simultanée de ces deux types de chocs. En effet, on peut imaginer une diversification des deux risques et donc un biais si l’on utilise les coefficients de pentes estimés précédemment. Chocs simultanés Il s’agit désormais de mesurer la qualité d’approximation des deux régressions linéaires effectuées précédemment. En effet, si l’on somme les déformations individuelles sur le ratio SII provoquées par le risque de mortalité et le risque de hausse des frais, on obtient une estimation d’un choc simultané sur la mortalité et les frais généraux. Pour une série de 10 points, on peut observer les écarts entre l’estimation des régressions et le ratio obtenu avec des chocs simultannés.

Figure 4.13 – Ecarts d’estimation On obtient donc des écarts d’estimation relativement acceptables. Etant donné que l’estimation est presque toujours à la baisse pour une somme des deux effets, il n’y pas de bénéfice de diversification mais une erreur d’estimation qui vient d’effets non linéaires.

102

4.3. Mise en place d’un outil de reverse stress test

Ainsi, on peut modulo l’erreur d’estimation allouer un poids déterminé à un quelconque choc et obtenir à partir des pentes estimées prédemment, obtenir les niveaux de chocs simultanés à prendre pour obtenir un ratio de 100%. On obtient ainsi un driver pour l’obtention des scénarios de reverse stress test parmi la multitude de sénarios possibles. Plus formellement, si l’on pose que le poids du choc de hausse des frais généraux est n fois plus plus élevé que celui du risque de mortalité dans la scénario. Tout revient à résoudre le système suivant :   

pentemort · chocmort + penteF G · chocF G = 1 − ratiot=1 n · pentemort · chocmort = penteF G · chocF G

On obtient donc après résolution :  

chocmort =



chocF G =

1−ratiot=1 pentemort ·(n+1) n·pentemort ·chocmort penteF G

Avec : — pentemort : le coefficient de pente obtenu par régression pour le risque de mortalité — penteF G : le coefficient de pente obtenu par régression pour le risque de hausse des frais généraux — chocF G : le choc sur les frais généraux à appliquer pour obtenir un ratio de 1 — chocmort : le choc sur les qx à appliquer pour obtenir un ratio de 1 — ratiot=1 : le ratio SII à horizon 1 an du scénario central On obtient donc la courbe suivante :

Figure 4.14 – Chocs à appliquer aux qx pour obtenir un ratio SII de 100% en fixant le poids du choc sur les frais généraux 103

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

Il est à noter que l’on compte trois coefficients de pente pour le risque de mortalité. Ainsi, il faudra prendre en compte que le coefficient utilisé dépend du niveau de choc de mortalité appliqué. 4.3.2.2

Conclusion du chapitre

L’objectif de ce chapitre dans un premier temps était d’analyser une méthode proportionnelle de calcul des SCRs futurs du module souscription vie, d’un portefeuille prévoyance lors d’un ORSA. Cette analyse reposait sur le questionnement suivant : comment juger de la pertinence de la méthode utilisée ? Pour cela, il s’agissait de justifier deux hypothèses. Une première qui était la proportionnalité entre les BE à date 0 et les BE à une date t. Une seconde sur le facteur de proportionnalité. Il s’agissait tout d’abord de voir comment justifier l’application de la première hypothèse au portefeuille étudié. Pour cela, une clé de réponse a été de voir en quoi, le profil de risque des assurés futurs ainsi que, le profil de l’assureur pouvaient être supposés constants. Cela permet ainsi de justifier l’hypothèse de proportionnalité. Dans un second temps, il s’agissait de justifier le choix du facteur de proportionnalité en s’appuyant sur la modélisation du portefeuille. Par la suite, à l’aide de sensibilités des Best Estimates et SCRs à la non-réalisation de la première hypothèse, on a pu voir comment le proxi peut s’écarter des risques réellement encourus. Des écarts plus ou moins élevés ont été obtenus. Cela met l’emphase sur la nécessité de bien connaitre le profil des assurés futurs pour utiliser une méthode de proportionnalité entre les BE futurs et le BE à date 0. Dans un second temps, ce mémoire a eu pour objectif de voir comment établir un scénario de reverse stress test menant à un ratio de 100% à horizon 1 an. En effet, la multitude de scénarios possibles rend l’exercice plus complexe. Un manière de simplifier le problème est donc de réduire a priori les scénarios à établir tout en s’assurant qu’ils soient plausibles. Une première piste a été d’envisager des scénarios simultanés qui sont possibles car les risques sont corrélés. Par la suite, le niveaux des choc sur le risque de rachat a été fixé et le risque de catastrophe n’a pas été pris en compte dans l’étude. Une troisième piste a été de se demander s’il était possible de fixer un poids à allouer aux risques restants (risque de hausse des frais généraux, risque de mortalié) et de trouver des niveaux de chocs permettant d’aboutir à un ratio de 100%. Cela a été possible en évaluant individuellement le poids des deux risques. Une régression linéaire pour chaque risque a permis de dire que si le niveau de choc du risque variait de 1%, le ratio SII subirait une baisse du coefficient de pente estimé. Ainsi, on a pu voir que les deux risques avaient des poids différents car les coefficients de pentes était différents. 104

4.3. Mise en place d’un outil de reverse stress test

Par conséquent, en fixant par exemple que les deux risques aient le même poids dans le scénario, on peut déterminer les niveaux de chocs à fixer a priori. Il a ensuite fallu voir si la prédiction n’était pas biaisée étant donné que l’étude avait été faite en prennant les risques individuellement. En calculant, les ratios obtenus pour des chocs simultanés à l’aide du moteur construit, il a été possible de voir que l’erreur d’estimation était acceptable et que driver les scénarios par des contributions fixées pour chaque risque était envisageable.

105

Partie II, Chapitre 4 – ORSA

106

Chapitre 4

Conclusion

Ce mémoire est dans sa globalité, une tentative de réponse à la question de pertinence et de justesse d’approximations de calcul de SCRs prospectifs du module souscription vie d’un portefeuille de prévoyance. Dans un premier temps, pour le calcul de la marge de risque et dans un second temps pour un ORSA. Il traite par la suite, dans le contexte de l’ORSA, de l’établissement de scénarios de reverse stress test. Pour le calcul de la marge de risque, ce questionnement s’est cristallisé dans le cheminement suivant. Tout d’abord, il a fallu sélectionner un panel restreint de produits , représentant au mieux le portefeuille global. En effet, cela permettait de faire l’étude sur un portefeuille moins volumineux et donc de gagner du temps lors du processus coûteux en temps et en ressources qu’est le calcul de la marge de risque. Une fois ce panel choisi, ce mémoire s’est attaché à démontrer l’effet des chocs sur la modélisation du portefeuille. Ce processus a permis de retomber sur les proxies utilisés à l’aide d’hypothèses implicites dont le bien-fondé à lui aussi été justifié. Par la suite, l’intérêt du portefeuille réduit a été de pouvoir calculer les SCRs futurs en modifiant les moteurs de calcul des Best Estimates. L’étape suivante a été d’employer les approximations les plus utilisées par les assureurs, les proxies conseillées par l’EIOPA. Ainsi, avec l’aide des SCRs exacts, on a pu comparer les proxies SOGECAP avec "des proxies de référence" point par point et sur le calcul de la marge de risque. Cela a permis de témoigner de la justesse des proxies SOGECAP en raison de leur proximité avec les SCRs mais aussi parce qu’ils semblaient plus performants que les proxies EIOPA. Enfin, des études de sensibilités aux hypothèses de construction des proxies SOGECAP ont été etablies afin de juger de la robustesse des proxies. On en a déduit une "bonne robustesse". En somme, ce processus nous a permis d’établir une tentative de cheminement pour évaluer la qualité d’une approximation des SCRs futurs pour le calcul de la marge de risque. L’étape d’effet des chocs sur la modélisation était possible dans le cadre de cette étude. Toutefois, avec une modélisation différente, elle aurait pu être plus difficile voire impossible à réaliser. De même, le calcul des SCRs exacts, même sur un panel restreint de 107

produits a pu être mis en place, mais dans nombre de situations, il aurait pu être trop complexe. Ce cheminement est donc possible dans ce cadre, mais il est improbable que l’on puisse en faire une généralité. Le dernier chapitre consistait dans un premier temps en l’évaluation d’un proxi proportionnel des Best Estimates et des SCRs futurs pour l’ORSA. Contrairement au cas du calcul de la marge de risque, le calcul exact des SCRs n’était pas possible en raison de l’hypothèse de prise en compte d’affaires nouvelles. Le cheminement a donc été plus axé sur la justification des hypothèses du proxi. En effet, le proxi met en évidence deux hypothèses : — La proportionnalité entre le BE en date 0 et les BE à des dates futures. Une manière de justifier cette hypothèse a été de voir dans quelle mesure, on pouvait assimiler le profil de l’assureur et le profil des assurés de la date 0 à leurs profils à une date t future. Dans le cas de l’étude, le risque reposait presque essentiellement sur la distribution des âges des assurés et des capitaux assurés. Par conséquent, une clé de réponse a été d’observer les fonctions de répartition des âges des nouveaux adhérents sur plusieurs pas de temps et de les comparer à celle du portefeuille à une date où l’on pouvait considérer que le produit était assez ancien pour en déduire un profil type des assurés. On a ainsi pu déduire que si la politique de souscription ne changeait pas dans le futur, les nouveaux adhérents devraient ressembler à ceux observés dans le passé. Dans le même objectif, l’exercice a été répété avec la répartition des capitaux assurés par classe de risque. On a pu déduire une stabilité du profil des assurés dans le passé et en déduire une stabilité dans le futur. — La seconde hypothèse concernait le facteur de proportionnalité. A l’aide de la modélisation du portefeuille, il a été possible d’assimiler ce facteur de proportionnalité rimes acquisest . au ratio PP rimes acquises0 La dernière étape a été, de réaliser des études de sensibilités des best estimates et SCRs à la répartition des âges des nouveaux adhérents en portefeuille. Autrement dit, de jouer sur le profil de risque des assurés. On a pu voir que les SCRs et BE y étaient assez sensibles. Cela a mis en exergue la nécessité de bien justifier l’hypothèse de stabilité du profil des assurés lors de l’utilisation d’une méthode proportionnelle. Sur des produits récemment installés, ou lorsque l’on prévoie de changer des hypothèses techniques ou la politique de souscription dans le futur, une telle méthode n’est pas appropriée. La seconde partie du dernier chapitre a consisté à voir comment établir un scénario de reverse stress test menant à un ratio de 100% à horizon 1 an. Il s’agissait principalement de réduire le champ de scénarios possibles à un champ de scénarios plus restreints et plausibles. Le fait que les risques soient globalement corrélés a permis de réduire les scénarios à des 108

scénarios simultanés. Par ailleurs, le niveau du risque de rachat (dans le cadre du portefeuille, le risque de rachat massif) a été fixé à 40% en référence au choc de la formule standard. Il apparaissait qu’augmenter son niveau aurait été une hypothèse assez forte. La problématique de la suite du mémoire a été de savoir s’il était possible de partir d’un poids fixé pour chaque risque dans la déformation du ratio SII et d’estimer les niveaux de chocs à appliquer pour aboutir à un ratio de 100%. Il a été possible de résoudre cette problématique en effectuant une régression linéaire pour chaque risque. Les résultats des régressions ont permis de dire que si le niveau de choc du risque variait de 1%, le ratio SII subirait une baisse du coefficient de pente estimé. A l’issue de ces régressions, il apparaissait que les deux risques avaient des poids différents car les coefficients de pentes estimés étaient différents. Par conséquent, en voulant que le risque de hausse des frais généraux ait un poids n fois plus élévé que le risque de mortalité, il est possible d’estimer les niveaux de chocs à fixer a priori. Il y a toutefois une erreur d’estimation mais celle-ci reste acceptable. Cette méthode d’établissement de reverse stress test a été possible car les déformations du ratio SII étaient estimables par une formule fermée. Il est probable qu’une modélisation de portefeuille différente conduise à une relation plus complexe voire inexploitable entre les chocs appliqués et les ratios SII. Par ailleurs, le portefeuille étudié était peu volumineux, mais les calculs effectués par l’outil mis en place étaient coûteux en temps. Il aurait donc fallu investiguer sur des méthodes pour obtenir un nombre de points suffisants pour l’estimation. En outre, il est à prendre en compte qu’allouer un poids déterminé aux risques n’est qu’une manière possible d’établir un scénario de reverse stress test. En effet, la question d’établissement d’un scénario de reverse stress test est une question générale qui peut être résolue de différentes manière selon ce que l’on estime comme étant un scénario.

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Annexes

Matrice de corrélation pour le calcul du SCR de base

Matrice de corrélation pour le calcul du SCR souscription vie

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Bibliographie

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Sources secondaires ACPR, url : https://acpr.banque-france.fr/. Bocciarelli, Maxence, Impacts de la déliaison sur l’équilibre des contrats emprunteurs, 2014. CEIOPS, Advice for Level 2 Implementing Measures on Solvency II : System of Governance, 2009. FFSA, url : https://www.ffa-assurance.fr/. Guibert, Quentin et al., Solvabilité Prospective En Assurance, Méthodes quantitatives pour l’ORSA, Economica, 2014. InsuranceSpeaker, Solvabilité 2 : enjeux et contraintes pour les assureurs, 2014, url : https : / / www . insurancespeaker - wavestone . com / 2014 / 03 / solvabilite - 2 enjeux-et-contraintes/. Lasfargues, Martial, Michael Donio et Alexandre Guchet, L’ORSA : Quelques Exemples de Pratiques actuarielles, Institut des actuaires, 2014.

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