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Cours d’Introduction à l’Actuariat Mouna Ait Omar - Rosenbaum

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Partie 1 – Qu’est ce que le Risque en Assurance

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque Qu’est ce que le risque ? « Une incertitude qui peut avoir un effet positif ou negatif» Le risque est la notion abstraite « d’aléa » sur les conditions financières, matérielles, corporelles ou de vie des individus (collectivités, entreprises, …) Une des définitions possibles du risque est l’éventualité d’un événement futur : incertain (exp accident de voiture) ou d’un terme indéterminé (exp: décès: évènement certain, l’incertitude est la date) ne dépendant pas exclusivement de la volonté des parties

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque Différents types de risque

L’assureur doit faire face aux risques

Il peut décider de “prendre” des risques Le risque est sa matière premiere

Il peut conserver ces risques, les transformer et/ou les céder

Mais prise de décision risquée

Ou pas

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque Quels sont les risques pour un Assureur? Risques d’assurance Différents risques en fonction de l’activité (Auto, Santé, Mortalité, Aviation, RC Médicale…) Survenance de sinistres (Cat,…) Comportement des clients face aux contrats (résiliations, rachats…) Comportement des clients face à leurs risques (anti-sélection…)

Risques Financiers Risque d’actifs différents du passif Risque de changement de conditions des marchés financiers (actions, obligations, taux d’intérêts…)

Risques Opérationnels Fraude Système informatique (gestion, …)

Risque de Réputation

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – Risques d’assurance non vie Le risque de provisions (réserves)

Les provisions sont une estimation, par des méthodes de projection actuarielles des coûts finaux des sinistres à une date donnée. Elles peuvent différer du montant final réel pour plusieurs raisons, dont : - Développement du sinistre au cours du temps - Dépenses engagées dans la résolution du sinistre - Changements dus au délai entre l’occurrence et la résolution du sinistre : modification des coûts, inflation, fluctuation des taux de change…

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – Risques d’assurance non vie Les cycles de marché

Le marché de l’assurance non vie alterne entre des périodes de compétition intense des prix, lors desquelles elle peut perdre des revenus si elle ne diminue pas ses tarifs et des périodes où le marché est plus favorable Les raisons de cette volatilité ne sont pas, pour la plupart, contrôlées par les assureurs. Il s’agit par exemple de la concurrence, des conditions macroéconomiques, ou de la fréquence et la sévérité des catastrophes Le risque catastrophe

Sinistres qui représentent des indemnités très élevées mais sont très peu fréquents Difficulté de modélisation et de prévision

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – Risques d’assurance vie Le risque de mortalité

Une sous estimation des taux de décès peut provoquer un manque de provisions pour couvrir les contrats d’assurance en cas de décès souscrits Risque catastrophe : risque de pandémie mondiale qui augmenterait la mortalité drastiquement pour les assurés Le risque de longévité

Une durée de vie moyenne plus élevée que prévu impacte les engagements des contrats d’assurance en cas de vie. Pour un montant d’annuités défini à la signature du contrat, avoir à les délivrer plus longtemps que prévu peut poser un problème de solvabilité Aujourd’hui l’objectif serait d’évaluer au plus juste le niveau futur de l'amélioration de mortalité pour chaque pays

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – Risques d’assurance vie Les risques comportementaux

Le rachat massif des contrats est un risque craint par l’assureur qui doit alors détenir les liquidités suffisantes pour répondre à cette demande Cependant, dans les cas où le produit n’a pas les performances attendues, la diminution des rachats entraîne une perte de profit pour l’assureur Parmi les facteurs explicatifs des rachats on trouve le réseau de distribution, les pénalités de rachats, les garanties offertes, les avantages fiscaux, le contexte économique, et le marché financier qui impacte la performance des fonds

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – Risques financiers (taux d’intérêt) L’exposition à une baisse des taux

Problème de refinancement : la compagnie d’assurance ne trouve plus sur le marché le moyen de couvrir ses engagements pris pour rémunérer ses assurés à un Taux Minimum Garanti plus élevé L’exposition à une hausse des taux

Dépréciation du portefeuille : la valeur des obligations se déprécient Rachats de contrats : les assurés sont incités à racheter leurs contrats pour bénéficier de rémunérations plus attractives ailleurs Les crises économiques => Mesure préventive

Détenir un portefeuille avec des obligations de différentes maturités S’assurer que la duration du portefeuille reste proche de la duration du passif 10

Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – Risques financiers (Actions) L’exposition à un effondrement des marchés actions

Attractivité de certains contrats d’assurance vie : le business sur la branche vie et notamment les contrats en unités de compte sont affectés par une baisse de l’indice boursier Dépréciation des provisions : une part non négligeable des provisions des différentes branches (vie, non-vie, prévoyance) est allouée en actions Les crises

La crise boursière de 2008 a été la plus importante depuis celle de 1929 dans la plupart des pays développés. D’après les données historiques et certains modèles de prédiction, le scénario de 2008 correspondrait à un choc bicentenaire => Mesure préventive

Diversification sur plusieurs marchés Limiter l’allocation en actions 11

Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – Risques financiers (crédits) Le risque de contrepartie

Risque de défaut : l’assureur est contractuellement lié à un certain nombre de contreparties dont la solvabilité est plus ou moins certaine (ex : titrisation auprès de Lehman Brothers, fonds de Madoff ...) Le risque de rating

Immobilisation de capital: le régulateur impose aux compagnies les moins bien notées d’un montant de provisions plus important pour garantir leur solvabilité Un déclassement altère la position concurrentielle, l’image auprès du client et des contreparties, augmente le coût de la réassurance, limite la capacité à obtenir du financement, peut engendrer des problèmes de liquidité

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – Risques financiers (crédits) Les contextes de crise

La crise de 2008 a révélé la fragilité financière de nombreuses compagnies ainsi que de certains Etats. Ceci s’est traduit par un important écartement des spreads de crédit => Mesures préventives

Réduire son exposition sur des contreparties moins bien notées Diversifier les lignes de business des obligations corporate (automobile, énergie, …)

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – Risques opérationnels Risque de pertes dues à :

Une erreur dans les processus Une erreur humaine Une erreur informatique Qui peuvent être de causes internes ou externes Ils comprennent les risques légaux, mais pas les risques dus aux décisions stratégiques Mise en place d’une méthode d’identification, de chiffrage et de suivi du risque opérationnel commune à l’ensemble du groupe Ils peuvent avoir pour conséquence une augmentation du risque de réputation.

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – Risques émergents Risque nouveau Pollution et fœtus : une étude publiée dans Journal of Epidemiology and Community Health (Juin 2009) montre qu’une forte exposition à la pollution de l’air pendant la grossesse serait à l’origine de malformations des fœtus Risque environnemental Le changement climatique : Les effets du changement climatique sur l’évolution de l’environnement et des catastrophes naturelles est un sujet de préoccupation pour les (ré)assureurs. Par exemple, une étude menée par l’université d’Harvard (ingénierie et sciences appliquées) met en avant l’association entre le changement climatique et les feux de forêts

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Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – gérer les risques Equilibre entre rentabilité et risque

Profitabilité

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Risque

Cours d’Introduction à l’Actuariat Introduction au risque – gérer les risques Importance de la compréhension des risques et d’une bonne approche face aux risques Exemple: 2 jeux: Game A 50%

Results: Game B

50%

50%

Game A 50%

... Quel jeu allez vous séléctionner ?

... Allez vous changer de jeux ?

Importance de la mutualisation des risques 17

Game B

Cours d’Introduction à l’Actuariat Partie 1 – Introduction à l’Assurance

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Introduction à L’Assurance Sommaire

19

1

Histoire de l’Assurance

2

Quelques Principes Fondamentaux

3

Marché de l’Assurance

4

Approche Statistique de l’Assurance

5

Assurance et Contraintes Réglementaires

Introduction à L’Assurance Sommaire

20

1

Histoire de l’Assurance

2

Quelques Principes Fondamentaux

3

Marché de l’Assurance

4

Approche Statistique de l’Assurance

5

Assurance et Contraintes Réglementaires

Histoire de l’Assurance Commerce maritime et Incendie de Londres Premiers contrats d’assurance Traces en Mésopotamie, Rome Antique et Egypte : répartitions des pertes dues aux vols & pillages entre les commerçants Contrat « à la grosse aventure » chez les Grecs et les Romains : opération de crédit avec risque de perte totale de la somme pour le prêteur Assurance maritime dans les ports de Barcelone, Gênes et Venise au XIVème : 1er contrat d’assurance à Gênes en 1347, 1ère compagnie d’assurance maritime en 1424.

Le développement de l’assurance

21

Assurance – Vie : premières tontines créés par le financier Lorenzo Tonti en 1652 Grand incendie de Londres le 2 Septembre 1666 : Création de compagnies d’assurance contre l’incendie en réponse 1681 : Ordonnance de Colbert réglementant l’assurance maritime En France en 1787, la Compagnie royale d’assurance vie est créée, utilisant des taux fixés par le Conseil du roi de France. Séparation assurance incendie et assurance vie rendues obligatoires

Histoire de l’Assurance Assurance Moderne L’assurance après la révolution Ralentissement à cause de la révolution 1816 : Ordonnance royale régulant l’assurance contre l’incendie Reprise à partir de 1816, avec création de UAP (ex AXA), Royale ( GAN), Phénix (AGF, Allianz) 1930 : loi sur le contrat d’assurance et décret en 1938 avec la généralisation du contrôle de l’Etat à toutes les sociétés d’assurance Création de la Caisse Centrale de Réassurance en 1946 et nationalisations partielles 1958 : loi rendant obligatoire l’assurance automobile 1970 : liberté de tarification automobile sous réserve de l’insertion d’une clause bonus-malus Code des Assurances créé officiellement en 1976 Loi Spinetta assurance construction, loi sur les catastrophes naturelles, loi Badinter sur les victimes d’accidents automobiles. En 1990, privatisation des sociétés nationalisées et libéralisation définitive du secteur 22

Introduction à L’Assurance Sommaire

23

1

Histoire de l’Assurance

2

Quelques Principes Fondamentaux

3

Marché de l’Assurance

4

Approche Statistique de l’Assurance

5

Assurance et Contraintes Réglementaires

1.2 - Quelques Principes Fondamentaux Principe Fondamental : la mutualisation Contrat d’assurance : convention par laquelle une ou plusieurs personnes s’obligent, envers une ou plusieurs autres, à donner, à faire ou à ne pas faire quelque chose (contrat, art. 1101 code civil)

Prime

Assuré Indemnité

Assureur

Contrat entre l’assureur et l’assuré pour lequel: L’assuré paie une prime L’assureur s’engage à verser une indemnité en cas de sinistre, ie si le risque se réalise Matérialisation du contrat par un document : police d’assurance Le sinistre est défini comme un événement: - Aléatoire - Futur - En dehors de la volonté des parties

Exemples de sinistres couverts: incendie d’une propriété, décès de l’assuré, tremblement de terre, mais aussi assurances plus exotiques (Lloyds’) comme perte de la voix, d’un membre…

Un produit d’assurance est un produit à cycle de production inversé Le coût du produit est, par définition du contrat, inconnu au moment de la signature du contrat:

Prime Prestation

t

Principe de mutualisation des risques Assureur mutualise les risques auxquels les assurés ne peuvent faire face individuellement 24

1.2 - Quelques Principes Fondamentaux Contrat d’Assurance Assuré, Souscripteur et Bénéficiaire

L’Assureur

Assuré -> court le risque Souscripteur -> signe le contrat Bénéficiaire -> perçoit l’indemnité

Sociétés Commerciales : associés = actionnaires Sociétés Mutuelles : associés = assurés

Un même individu peut être à la fois l’assuré, le bénéficiaire et le souscripteur.

Intermédiaires: Agent Général Courtier Banque

Contrat Individuel vs. Contrat Collectif Contrat Individuel: souscripteur = personne physique, l’assuré = une ou plusieurs personnes Contrat Collectif: = personne morale, nombreux assurés.

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1.2 - Quelques Principes Fondamentaux Contrat d’Assurance Quand un bien est il assurable? Pour qu’il soit assurable, le risque doit répondre à 4 critères: Aléatoire La réalisation du risque doit être aléatoire Non volontaire Le risque doit être indépendant de la volonté de l’assuré Homogène Dispersé le risque doit être dispersé dans le temps et l’espace

Rôle de l’assurance : Les individus ou les groupes d’individus ne sont pas égaux face aux risques et peuvent se comporter tellement différemment (aversion aux risques) que les états ont imposé certaines couvertures de risques (RC automobile, Risques liés à la construction de biens immobiliers) afin d’éviter des dérèglements graves de la société

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1.2 - Quelques Principes Fondamentaux Classification des Garanties Catégories d’Opérations d’Assurance Il existe 3 grandes catégories d’ opérations d’assurance d’après le code des assurances 1. 2. 3.

Les opérations d’assurance vie et de capitalisation Les opérations d’assurance dommages corporels liés aux accidents et à la maladie Les opérations d’assurance des autres risques et celles d’assistance

Principe de séparation Opérations 1 et 3 ne peuvent être pratiquées par la même compagnie Sauf dans le cas de groupes où les activités et risques de solvabilité sont distincts

Plusieurs types d’Assurance possibles: 1. 2. 3. 4.

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Assurance Vie et Capitalisation : Assurance Vie en France Assurance de Personnes : Prévoyance, Assurance Mixte Assurance Non vie et assistance : Assurance IARD Assurance de dommages aux biens, responsabilité et assistance

1.2 - Quelques Principes Fondamentaux Les différentes formes de sociétés Il faut différencier les sociétés d’assurance en fonction des grands principes de détermination des coûts des risques et de la nature du transfert de risque (lié à la réglementation parfois) On distingue donc au niveau juridique: Les sociétés vies (principe forfaitaire) des sociétés IARD (principe indemnitaire) Les sociétés anonymes (prise en compte de la rémunération des actionnaires sur les risques qui sont transférés) des mutuelles (les risques sont répartis sur les sociétaires qui composent la mutualité)

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1.2 - Quelques Principes Fondamentaux Les Branches d’Assurance Branches d’Assurance : 1) Accidents (assurance "individuelle accidents") 2) Maladie 3) Corps de véhicules terrestres 4) Corps de véhicules ferroviaires 5) Corps de véhicules aériens 6) Corps de véhicules maritimes, lacustres et fluviaux 7) Marchandises transportées 8) Incendie et éléments naturels 9) Autres dommages aux biens (risques divers) 10) Responsabilité civile véhicules terrestres automoteurs 11) Responsabilité civile véhicules aériens 12) Responsabilité civile véhicules maritimes, lacustres et fluviaux 13) Responsabilité civile générale 14) Crédit 15) Caution 16) Pertes pécuniaires diverses 17) Protection juridique 18) Assistance 19) Le numéro n'est pas affecté à une branche 20) Vie, décès 21) Nuptialité, natalité 22) Assurances liées à des fonds d'investissement 23) Opération tontinière 24) Capitalisation 25) Gestion de fonds collectifs 26) Prévoyance Collective 29

1.2 - Quelques Principes Fondamentaux Autres mécanismes Autres Mécanismes Classiques: Coassurance Réassurance Rétro-cession

Coassurance

Assureur 1 X%

Prime

Intermédiaire

Assuré Indemnité

1 - X%

Assureur 2

Réassureur 2 Rétrocession

30

Réassureur 1 Réassurance

Introduction à L’Assurance Sommaire

31

1

Histoire de l’Assurance

2

Quelques Principes Fondamentaux

3

Marché de l’Assurance

4

Approche Statistique de l’Assurance

5

Assurance et Contraintes Réglementaires

1.3 - Marché de l’Assurance Quelques chiffres… Chiffre d’Affaires du marché de l’Assurance (Milliards Euros) Monde 42%

Chiffre d’Affaires du marché de la Réassurance Mondiale (Milliards Euros) Assurance de Personnes 28%%

France 22%

46

40 Réassurance de Personnes

1350

1830

Réassurance de Personnes

Réssurance de biens et responsabilité civile

Réssurance de biens et responsabilité civile

160 120

Monde 58% France 77% Chiffres approximatifs, sources : Insee, FFSA

32

Assurance de Bien et Responsabilité 72%

1.3 - Marché de l’Assurance Commentaires

Le chiffre d’affaire de l’assurance française correspond environ à 10% du PIB français En tenant compte du Chiffre d’Affaire de la Sécurité Sociale, environ 35% du PIB Obligations Emprunts d’Etat Actions Financement de l’Etat, des entreprises, de l’industrie.

Réassurance Non-Vie et Réassurance Vie: Assurances vie : montants relativement faibles et calculs précis Assurance non-vie : pertes potentiellement très élevées (ex : catastrophes naturelles), sommes couvertes potentiellement très élevées (ex : risques industriels) CA (chiffre d’affaires) de la Réassurance non-vie 2 fois supérieur à celui de la vie.

33

1.3 - Marché de l’Assurance Acteurs Principaux

Classement des 10 premiers groupes d’assurances Français – cotisations en milliards € - vision consolidées

Classement des 10 premiers groupes d’assurances Français – cotisations en milliards € - Vie / Non-Vie, en France

34

Introduction à L’Assurance Sommaire

35

1

Histoire de l’Assurance

2

Quelques Principes Fondamentaux

3

Marché de l’Assurance

4

Approche Statistique de l’Assurance

5

Assurance et Contraintes Réglementaires

1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Prime Notations n : nombre d’assurés i : ième assuré Xi ≥ 0 : variable aléatoire réelle de la prestation versée à l’assuré i Sn = 1/n ∑Xi : variable aléatoire réelle de la prestation moyenne versée à un assuré

Les différentes primes d’assurance πi = E(Xi): prime pure de la police. Elle compense en moyenne les dépenses des sinistres mais ne couvre pas les fluctuations de ces dépenses. πi’ = πi + CT : prime technique, où CT est le chargement technique (safety loading). Il doit permettre à l’assureur de faire face aux fluctuations de Xi. πi’’ = πi’ /(1 – g – c) : prime commerciale. Elle inclut : - g, le taux de chargement de gestion - c, le chargement d’acquisition La somme des prestations à payer est donc ∑Xi et les primes pures perçues n x π = ∑πii . La prime pure moyenne du contrat est donc π = E(Sn) = 1/n ∑ E(Xi).

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1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Loi des Grands Nombres et Prime Pure Inégalité de Bienaymé Tchebycheff Soit X une variable aléatoire de moyenne µ et de variance finie s2, alors on a: P( | X – µ | > ε) < s2/ε2 Pour tout ε > 0.

Loi des Grands Nombres (Rappel) Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d’espérance µ et variance s2 <+∞. On a alors: E(Sn) = E(1/n∑nj=1 Xj) = µ et var(Sn) = var(∑nj=1 Xj/n) = s2/n. Alors, d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff : P( |∑nj=1 Xj /n - µ| > ε) ≤ var(∑nj=1 Xj/n)/ε2 0 quand n tend vers l’infini, ie Sn = ∑nj=1 Xj /n converge en probabilité vers l’espérance µ.

Interprétation La charge moyenne de sinistre par police converge en probabilité vers la prime pure moyenne π . L’incertitude liée à n contrats n’est que de (n)1/2 l’écart-type d’un seul contrat. On a donc une diminution de l’incertitude relative liée aux prestations à verser.

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1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Hypothèses sous-jacentes à la loi des grands nombres Résultat asymptotique : portefeuille de contrats important Indépendance : inapplicable pour les catastrophes naturelles (forte corrélation des risques) Variables Identiquement Distribuées : groupes d’assurance homogènes Homogénéité des natures de risque (incendie / RC / …) Homogénéité des assurés (âge, sexe, …) Homogénéité des sommes assurées.

> Lorsque les conditions de la loi des grands nombres ne sont pas réunies, l’assureur peut faire appel à la réassurance

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1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Théorème de la Limite Centrale Théorème de la Limite Centrale (Théorème de Levy-Lindberg) Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d’espérance µ et variance s2 <+∞. Alors: (∑nj=1 Xj – nµ)/(s√n) = √n(Sn-µ)/s converge en loi vers N(0,1) ie P[√n(Sn-µ)/s ≤ x ] -> Φ(x) pour tout x quand n tend vers l’infini.

Interprétation : La charge moyenne de sinistre par police converge en probabilité vers la prime pure πi (loi des grands nombres). Lorsque le nombre de contrats est suffisamment grand, la charge moyenne par sinistre suit une loi normale de moyenne la prime pure et de variance s2/n (Théorème Central Limite).

39

1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Probabilité de Ruine Probabilité de ruine: probabilité que la charge totale des sinistres sur une période excède l’encaissement correspondant des primes, augmenté éventuellement du capital κ dont dispose la compagnie: PR = P[ ∑nj=1 Xj > nπ + κ ] Le calcul de PR se fait soit explicitement, soit en se basant sur des hypothèses comme la loi des grands nombres. Dans le cas où les hypothèses de la LGN sont réunies, on a alors: PR = 1 – Φ( (n(π-µ) + κ)/(s√n) ) > la probabilité de ruine diminue avec la différence (π-µ) et avec le capital κ > elle augmente lorsque la volatilité des contrats augmente

> Ajout d’un chargement technique ou de capital pour diminuer la probabilité de ruine. Remarque : en assurance vie, le chargement technique est souvent implicite, et découle de l‘utilisation de tables de mortalités « prudentes ».

40

1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Diminution de la Probabilité de Ruine On cherche à diminuer la probabilité de ruine, dans le cadre où π = µ (prime pure) et κ = 0, PR0 = 1 – Φ(1/(s√n)) Chargement de la prime pure PR2 = 1 – Φ( αµ/(s√n) ) < PR1 où αµ est le chargement technique. Autres exemples de chargements techniques : ct = ασ2 ct = ασ ct = αµ3, où µ3 est le moment centré d’ordre 3 (µ3(X) = E((X-E(X))3). Dans le cas où la distribution est étalée vers la droite, µ3>0. …

Introduction d’un réserve affectée au risque Soit R = montent de la réserve affecté au risque. Alors: PR3 = 1 – Φ( (R+αµ)/(s√n) ) < PR2 < PR1 Utilisation de la réassurance. Réassurance proportionnelle vs. Réassurance non-proportionnelle. Quote-part : τ = plein de conservation de l’assureur (exemple : τ = 50%). Si le réassureur applique le même chargement technique que l’assureur : PR4 = P[ τ∑nj=1 Xj > ταµ + R ] = 1 – Φ( (R/τ+αµ)/(s√n) ) 41

1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Probabilité de Ruine - Exemple Au 01/01/N, un assureur commence son activité. Son capital de départ est de M = 457 000 €

Il propose un contrat Auto pour lequel les statistiques professionnelles indiquent que: - la fréquence des sinistres est de f = 13,6% - le coût moyen d'un sinistre est de CM = 1 340 €

Il garantit n = 10 000 assurés moyennant une prime commerciale P = 230 € par assuré

Ses frais de gestion seront FG = 0,365 M€ en année N

Quelle est son espérance de résultat N : E(Résultat) ? 42

1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Probabilité de Ruine - Exemple Espérance du résultat E(résultat) : = nombre d’assuré X prime commerciale – Sinistres – Frais Généraux = n X P – S – FG

Avec: S = somme des sinistres de l’année : S= S Si E(résultat) = n X P – E(S) – FG

Loi des grands nombre: « Plus est grand le nombre de risques, plus la fréquence et le coût unitaire des sinistres se rapprochent de la fréquence et du coût unitaire probables »: E(S) = n X E(Si) = n X f X CM

43

1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Probabilité de Ruine - Exemple Donc : Si les risques sont indépendants et le nombre N assez grand, le remboursement moyen tend presque sûrement vers l'espérance mathématique du risque que l'on appelle prime pure.

Pp = E(Si) = f X CM = 13,6% X 1 340 = 182 €

E(S) = n X E(Si) = 10 000 X 182 = 1,8 M€

E(Résultat) = n X P – E(S) – FG = 0,11 M€

44

1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Probabilité de Ruine - Exemple Quelle est la probabilité de perte ? Probabilité de perte = P(Résultat <0) = P (R<0) = ?

45

1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Probabilité de Ruine - Exemple Quelle est la probabilité de perte ?

On peut « centrer - réduire »

 R − E (R ) − E(R ) P ( R < 0) = P <   σ (R ) σ (R ) 

Nous pouvons utiliser l ’approximation suivante: Soit Xn =

R − E(R ) → N ( 0,1) σ (R )

∑ Xi n

Théorème Central Limite: si les (Xi) sont indépendants, alors: Xn − E ( Xn) → N (0,1) suit asymptotiquement une loi normale centrée réduite σ ( Xn)

46

1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Probabilité de Ruine - Exemple  R − E (R ) − E(R ) P ( R < 0) = P <   σ (R ) σ (R )  = Proba (N(0,1) < t)

Avec lecture directe dans la table de la loi normale

Exp: si σ(R) = 87 900 alors E(R) / σ(R) = 112 600 / 87 900 = 1,281

 R − E ( R ) E ( R )   R − E ( R)  =10%  R − E ( R) − E ( R)   = P P( R < 0) = P < > = P > 1 , 281    R R σ ( ) σ ( )   σ ( R) σ ( R) σ ( R) 

47







1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Probabilité de Ruine - Exemple La probabilité de ruine = Proba (R < - Capital initial) = Proba (R < -M)

 R - E(R) − M − E( R )  P(R < -M) ⇔ P <   σ(R) σ( R)  nous obtenons une probabilité de ruine jugée trop grande:  − M − E( R)  P(R < -M) ⇔ P U <   σ ( R) 

Pour « diminuer la probabilité de ruine, il faut augmenter le paramètre:

M + E ( R) M + n × P − n × E ( Si ) − FG = σ ( R) n × σ ( Si ) 48

1.4 - Approche Statistique de l’Assurance Probabilité de Ruine - Exemple Si nous obtenons une probabilité de ruine jugée trop grande: pour « diminuer la probabilité de ruine, il faut augmenter le paramètre

M + n × P − n × E ( Si ) − FG n × σ ( Si ) Solutions possibles: Augmenter le capital M Augmenter le nombre de clients n (sans changer la structure des sinistres) Augmenter la prime P Diminuer les frais FG Diminuer la volatilité de la charge σ (par la réassurance par exemple)

49

Introduction à L’Assurance Sommaire

50

1

Histoire de l’Assurance

2

Quelques Principes Fondamentaux

3

Marché de l’Assurance

4

Approche Statistique de l’Assurance

5

Assurance et Contraintes Réglementaires

1.5 - Assurance et Contraintes Réglementaires Réglementation et indicateurs de solvabilité Solvabilité I : directive européenne de 1973 (non-vie) et 1979 (branche vie) -

Marge de Solvabilité (MS) : capacité à respecter à tout instant ses engagements. Obligation : MS > EMS

-

Exigence de Solvabilité (EMS) Non-Vie Elle concerne : IARD Incapacité, Invalidité Frais de santé, Décès Accidentel Dépendance

Elle est calculée comme le maximum de : - 18% des primes encaissées de l’année en cours sur la première tranche de 50 millions, 16% de ces primes au-delà. - 26% de la moyenne des sinistres des trois dernières années pour la première tranche de 35 millions, 23% au-delà. -

Exigence de Solvabilité (EMS) Vie Elle concerne : Décès Rentes Contrats Obsèques Epargne Retraite

Elle est calculée comme la somme de : - 4% des provisions mathématiques du fonds en euros et 1% des contrats en unités de compte, avec déduction partielle de la part réassurée - 0,1% à 0,3% des capitaux sous risques en fonction de la durée de l’engagement. -

Le Fond minimum de Garantie : minimum entre 33% de l’EMS et 2 à 3 millions € selon la branche.

Limites à Solvabilité I: -

51

-

Pas de distinctions entre les risques. Pas de différenciation de deux compagnies en fonctions des risques sous-jacents. Vision retrospective uniquement

1.5 - Assurance et Contraintes Réglementaires Réglementation et indicateurs de solvabilité Solvabilité II : directive de 2007. Application initialement prévue en 2010 Calcul du capital cible nécessaire à un assureur pour pouvoir supporter les risques encourus avec une probabilité insuffisante. -

Pilier I : les règles quantitatives – Marges de solvabilités minimales, provisions techniques.

-

Pilier II: droit de regard des autorité de contrôle CEIOPS, ACP et application de mesures ciblées pour réduire les risques.

-

Pilier III : information publique dans le cadre de la discipline de marché, vers les superviseurs, …

Minimal Capital Requirement (MCR). Niveau minimal en deçà duquel les capitaux ne doivent pas chuter. Action : augmentation de capital.

Solvency Capital Requirement (SCR): montant de capital requis pour couvrir le risque de probabilité de ruine de 0,5% sur un an. Il y a ruine si Valeur Actuelle Actif – Passif < 0 (en valeur de marché).

Deux approches possibles : Formule Standard vs. Modèle Interne.

52

Cours d’Introduction à l’Actuariat Annexe Partie 1 – Solvabilité II

53

From Solvency I to Solvency II S2 defines a risk based approach to measure capital

From Solvency I … • • • •

Different statutory capital rules across Europe (no level playing field) Simple formulas to assess capital requirements (premiums / reserves) No risk assessment on Asset side of b/s (concentration rules only) No incentives for sound Risk Management (prudence set by regulator)

… to Solvency II Key Principles •

•

•

54

Explicit measure of requirements by sub-risk categories

Measure of Capital •

Market consistent valuation framework

•

Risk sensitivity approach to calculate capital requirements

•

1-year VaR measure @ 99.5% quantile of “Basic Own Funds”

•

Solvency Ratio = Resources / Requirements = “AFR” / “SCR”

Some credit given to risk mitigation techniques (ALM, hedging, reinsurance) Recognition of diversification benefits at Group level (by risks & geographies)

•

New forms of soft capital (e.g. VIF)

•

Internal model tailored to company risk profile

Solvency II Directive Quantitative & qualitative pillars

Pillar 1

Pillar 2

Quantitative Capital Requirements

Qualitative Supervisory Review

• Technical Provisions

• Principles for Internal Control and Risk Management

• Minimum Capital Requirement (MCR) • Solvency Capital Requirement (SCR) • Investment Rules

• Use Test

• Market Consistent Valuation

• New supervisory focus

• Validation of Internal Models 55

• Supervisory Review Process

• Risk Mgmt fully embedded in industry value chain

Pillar 3 Market Discipline

• Transparent Disclosure • Quarterly Reporting Template (QRT) • Review of key model parameters by regulators • Alignment of QRT information with KPIs for financial reporting & business uses

Internal Model Framework

A specific measure of capital for each risk category Market Risk

• Equity • Interest Rates • Spread • Volatility • Inflation • Foreign Exchange • Govies Spread • Hedge Fund • Private Equity • Real Estate

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Credit Risk

P&C Insurance Risk

• Fixed Income • Reinsurance • Mortgage • Receivables

• Reserve • Premium • Catastrophe

Life Insurance Risk

• Catastrophe (Pandemic) • Mortality • Longevity • Disability / Medical Expenses • Lapses • Mass Lapse • Other Customer Behavior • Expenses

Operational Risk

• Internal Fraud • External Fraud • Employment Practices • Client, Product & Business Practices • Business Disruption & System Failure • Execution, Delivery & Process Mgmt