Matematika Keuangan Bunga Majemuk - Indra Maipita

Matematika Keuangan Dan Ekonomi Indra Maipita

BUNGA MAJEMUK

Pengertian Bunga Majemuk

™ Bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke nilai pokok pada akhir setiap periode compound atau periode perhitungan bunga untuk mendapatkan pokok yang baru (bunga berbunga) ™ Periode perhitungan bunga dapat dinyatakan dalam mingguan (j52), bulanan (j12), triwulanan (j4), semesteran (j2) atau tahunan (j1).

Contoh 1: Hitunglah bunga dari Rp 1.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 10% p.a. apabila bunga dihitung semesteran, dan bandingkan dengan bunga sederhana yang dihasilkan.

Jawab: Periode

Pokok Pinjaman

1

1.000.000

1.000.000

x 0,05 =

50.000

1.050.000

2

1.050.000

1.050.000

x 0,05 =

52.500

1.102.500

3

1.102.500

1.102.500

x 0,05 =

55.125

1.157.625

4

1.157.625

1.157.625

x 0,05 =

57.881

1.215.506,25

Perhitungan Bunga Majemuk

Nilai Pada Akhir Periode

Total bunga selama 2 tahun adalah Rp 215.506,25 ; sedangkan bila menggunakan bunga sederhana, total bunganya adalah Rp 200.000 (Rp 1.000.000 x 10% x 2)

Perhitungan Bunga Majemuk

S = P (1 +

i)n

dengan

Jm i= m

dengan P = Nilai pokok awal (principal) S = Nilai akhir n = Jumlah periode perhitungan bunga m = Frekuensi perhitungan bunga dalam setahun, yaitu 2 untuk semesteran, 4 untuk triwulanan, dst. Jm = Tingkat bunga nominal tahunan dengan periode perhitungan m kali per tahun i = Tingkat bunga per periode perhitungan bunga

Contoh 2 Berapakah nilai S dari P sebesar Rp 10.000.000 jika j12 = 12% selama : a. 5 tahun b. 25 tahun a. P = Rp 10.000.000 12% = 1% = 0,01 i = 12 n = 5 tahun × 12 = 60 bulan S = P (1 + i)n = Rp 10.000.000 (1 + 0,01)60 = Rp 18.166.967

b. P = Rp 10.000.000 i = 1% = 0,01 n = 25 tahun × 12 = 300 bulan S = P (1 + i)n = Rp 10.000.000 (1 + 0,01)300 = Rp 197.884.662,6

Bunga Efektif Dan Bunga Nominal

™ Bunga Nominal Æ tingkat bunga tahunan yang

dinyatakan, dan tidak terpengaruh periode perhitungan bunga ™ Bunga Efektif Æ tingkat bunga tahunan j1 yang

ekuivalen, tingkat bunga sebenarnya atau yang akan diperoleh

j1 = (1 + i)m – 1 atau 1 + j1 = (1 + i) m

Contoh 3 Hitunglah tingkat bunga efektif j1 yang ekuivalen dengan: 12 ⎛ 0 ,12 ⎞ b . j = a. j2 = 10% ⎜1 + ⎟ −1 1 12 ⎠ ⎝ b. j12 = 12% 12 j = ( 1 , 01 ) −1 1 c. j365 = 13,25% 2

0 ,1 ⎞ ⎛ a. j1 = ⎜1 + ⎟ −1 2 ⎠ ⎝ j1 = (1,05 ) − 1 2

j1 = 0 ,126825 = 12 ,68 % Tingkat bunga efektif = 12 ,68 %

0 ,1325 ⎞ ⎛ c. j1 = ⎜1 + ⎟ 365 ⎠ ⎝

365

−1

j1 = (1,14165 ) 365 − 1 Tingkat bunga efektif = 10 14 % j1 = 0 ,14165 = 14 ,17 % Tingkat bunga efektif = 14 ,17 % j1 = 0 ,1025 = 10 14 %

Menghitung Nilai Sekarang

S −n P= = S ( 1 + i ) n (1 + i) Contoh 4 Dengan menggunakan j12 = 12%, hitunglah nilai diskonto dari uang sejumlah Rp 100.000.000 yang jatuh tempo : a. 10 tahun lagi b. 25 tahun lagi

Jawab:

a. S = Rp 100.000.000 n = 10 × 12 = 120 12% i = = 1% = 0,01 12 S P= (1 + i)n Rp 100.000.000 P= (1 + 0,01)120 P = Rp 30.299.477,97

b. S = Rp 100.000.000 n = 25 × 12 = 300 i P P P

12% = = 1% = 0,01 12 S = (1 + i)n Rp 100.000.000 = (1 + 0,01)300 = Rp 5.053.448,75

Menghitung Tingkat Bunga Dan Jumlah Periode

1 ⎛ S ⎞n

i=⎜ ⎟ ⎝P⎠

−1

S log P n= log (1 + i)

Contoh 5 Berapa tingkat bunga j12 yang dapat membuat sejumlah uang menjadi tiga kali lipat dalam 12 tahun?

Jawab:

Kita asumsikan uang tersebut sebagai x. n = 12 x 12 = 144 Maka: x (1+i)144 = 3x (1+i) = (3)1/144 i = (3)1/144 – 1 i = 0,00765843 j12 = 12 x i j12 = 12 x 0,00765843 = 0,09190114 = 9,19% j12

Contoh 6

Berapa lama waktu yang diperlukan untuk membuat uang sebesar Rp 5.000.000 menjadi Rp 8.500.000 dengan j12 = 12%? Jawab: P = Rp 5.000.000 S = Rp 8.500.000 12% i = = 1% = 0,01 12

Jawab:

n

n n n

S log P = log (1 + i) Rp 8.500.000 log Rp 5.000.000 = log (1 + 0,01) log 1,7 = log 1,01 = 53,3277 bulan atau

n = 4 tahun 5 bulan 10 hari ≈ 4 tahun 6 bulan

Continuous Compounding ™ Digunakan untuk kasus-kasus yang memiliki tingkat pertumbuhan yang sangat cepat (continuous compounding), misalnya per detik.

S = P er t Contoh 7 Berapakah jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2010 apabila diketahui tahun 2004 Indonesia memiliki penduduk 220.000.000 jiwa dengan tingkat pertumbuhan penduduk per tahun 1,7%?

Jawab:

P2004 r t

= 220.000.000 = 1,7% = 6

P2010 P2010 P2010 P2010

= = = =

P2004 er t 220.000.000 e(1,7%)(6) 220.000.000 e(10,2%) 243.624.364 jiwa

Thank you for your attention

14