Logica Matematica

Lógica A Lógica surge na sua expressão primeira, na obra do filósofo grego Aristóteles (séc. IV a.C.), como uma “Analítica” das formas da linguagem através das quais se poderia concluir certas afirmações a partir de certas teses estabelecidas.

Lógica Matemática Breve Histórico, Definições e Conceitos Básicos

O que hoje podemos chamar de “Lógica”, enquanto atividade teórica da investigação, é bastante amplo e, até certo ponto, variável conforme a perspectiva teórica que se possa assumir. Uma definição razoável seria:

Fábio Gondim

Lógica é o estudo sistemático do pensamento que permite construir raciocínios válidos, e que possibilita distinguir os argumentos corretos dos incorretos.

fabio.iesp # gmail.com http://fabio.iesp.googlepages.com

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Uma boa explicação contida na Wikipédia (http://pt.wikipedia.org ) “A lógica é uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à Filosofia. Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida. Assim, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A aprendizagem da lógica não constitui um fim em si. Ela só tem sentido enquanto meio de garantir que nosso pensamento proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentos verdadeiros. (continua...)

Podemos, então, dizer que a lógica trata dos argumentos, isto é, das conclusões a que chegamos através da apresentação de evidências que a sustentam. O principal organizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra chamada Organon. Ele divide a lógica em formal e material. A Lógica Formal, também chamada de Lógica Simbólica, preocupa-se, basicamente, com a estrutura do raciocínio. A Lógica Formal lida com a relação entre conceitos e fornece um meio de compor provas de declarações. Na Lógica Formal os conceitos são rigorosamente definidos, e as sentenças são transformadas em notações simbólicas precisas, compactas e não ambíguas.” (...) Para ler o resto do artigo visite o endereço: http://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica (com acento)

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Personagens e Períodos Históricos

Lógica: surgimento da palavra

Período Aristotélico ( +/- 390 a +/- 1840 d.C.) Aristóteles (384 - 322 a.C) Gottfried Leibniz (1646-1716)

Originada na Filosofia grega, onde: Logos Linguagem-discurso e pensamentoconhecimento.

Período Booleano (+/- 1840 a +/- 1910) George Boole (1815-1864) Augustus de Morgan (1806-1871) Gotlob Frege (1848-1925) Giuseppe Peano

Conduziu os filósofos a indagarem se o logos obedecia ou não a regras, possuía ou não normas, princípios e critérios para o seu funcionamento.

Lógica 5

Período atual (1910-...) Bertrand Russel (1872-1970) David Hilbert (1862-1943) Kurt Gödel (1906-1978) , Tarski (1902-)

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Conceitos Básicos

Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional

Proposição: Na lógica proposicional é uma expressão, verbal ou simbólica, suscetível de ser dita verdadeira ou falsa. É, portanto, todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Para tanto deve ser uma declaração afirmativa ou negativa não podendo ser imperativa, exclamativa ou interrogativa.

A lógica matemática adota como regras fundamentais os seguintes princípios ou axiomas: (I) PRINCÍPIO DA IDENTIDADE - Aquele que afirma a identidade de determinada coisa com ela mesma. Pode ser assim enunciado: Toda coisa é o que é. (II) PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Ex: O ano de 2008 é bissexto. Não foi concluída a obra. “Joaquim, vá estudar sua lição” é imperativa logo não é uma proposição. “Qual foi o resultado da loteria?” é interrogativa logo, também não é uma proposição.

(III) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Qualquer proposição é verdadeira ou falsa, não podendo ser nada mais do que isso.

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Proposição simples ou atômica:

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Proposição composta ou molecular:

É aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.

É aquela que contém pelo menos uma outra proposição mais simples que ela mesma. Exemplo:

Exemplos:

Pedro estuda e trabalha.

1) A lua é quadrada.

Equivale a:

2) A lua é redonda.

Pedro estuda e Pedro trabalha.

Veja pelos exemplos acima que uma proposição pode ser falsa (A lua é quadrada) ou verdadeira (A lua é redonda).

É a conjunção de duas proposições simples, logo a conclusão dependerá do resultado de ambas. 9

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Modos de Negação de uma proposição:

Proposição fechada: É aquela que podemos garantir com toda certeza que é verdadeira ou que é falsa.

Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo: Jorge gosta de mamão. Jorge não gosta de mamão.

Ex.: 5 + 5 = 10.

Retirando-se a negação antes do verbo:

Proposição aberta:

Paulo não é dentista.

É aquela que contém uma variável, um elemento desconhecido, e, portanto não podemos tirar nenhuma conclusão sobre o seu resultado.

Paulo é dentista. Substituindo-se um termo da proposição por um antônimo: A casa é bonita.

Ex.: x + 5 = 10.

A casa é feia. 11

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Negação de “Todo”:

Negação de “Nenhum”:

Considere a afirmação:

Considere a afirmação:

Todo gato come alface.

Nenhum gato come alface.

Se você quiser negar esta afirmação não deverá argumentar que nenhum gato come alface. Existindo um gato que não come alface já muda o resultado da afirmação feita.

Se você quiser negar esta afirmação não deverá argumentar que todo gato come alface. Existindo um gato que coma alface já muda o resultado da afirmação feita.

Portanto a negação será:

Portanto a negação será:

Algum gato não come alface.

Algum gato come alface.

Ou se preferir:

Ou se preferir:

Pelo menos um gato não come alface.

Pelo menos um gato come alface. 13

Negação de “Algum”:

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Argumento:

Considere a afirmação: Algum gato come alface. Está sendo argumentado que pelo menos um gato come alface. Neste caso será necessário que nenhum gato coma alface para negar a afirmação que pelo menos um o faz. Portanto a negação será:

Raciocínio, indício ou prova pelo qual se tira uma conseqüência ou dedução (Dicionário Aurélio). Um argumento é um conjunto de proposições em que se pretende justificar ou defender uma delas, a conclusão, com base nas outras, que se chamam premissas.

Nenhum gato come alface.

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Um paradoxo que é muito encontrado em livros e sites da internet (com pequenas variações) é o paradoxo da prova surpresa:

Paradoxo (antinomia): Considere a sentença:

“Imagine que o período letivo acabe no próximo dia 30. Dez dias antes, o professor ameaça os alunos, dizendo que até o fim desse período letivo haverá uma prova surpresa.”

Esta sentença não é verdadeira. Há duas opções: A sentença é verdadeira ou é falsa. Suponha que a sentença seja verdadeira. Então, chegamos ao resultado de que a sentença é falsa. Agora suponha que a sentença seja falsa. Então, contraditoriamente chegamos ao resultado de que a sentença é verdadeira. Em ambos os casos, chega-se a conclusão de que a sentença é verdadeira e falsa. Este tipo de paradoxo ficou conhecido como paradoxo do mentiroso e foi descoberto pelo filósofo grego Eubúlides de Mileto (384-322 a.C.). 17

“Porém é impossível a aplicação dessa prova surpresa: a prova não pode ser no dia 30, que é o último dia de aula, pois, no fim do dia 29, não havendo ela ocorrido, ainda, os alunos já saberiam que a prova seria no dia 30 (e assim não seria mais surpresa). Sendo assim, o dia 29 passa a ser o último dia possível para que o professor aplique uma prova surpresa. Mas então, no fim do dia 28, os alunos já saberão que a prova seria no dia 29, e ela deixaria de ser surpresa. Esse raciocínio pode ser estendido dia por dia, de forma que não resta ao professor nenhum dia para a aplicação de uma prova realmente surpresa.” Por este raciocínio é impossível a aplicação da prova surpresa, mas se ela for aplicada no dia 25, por exemplo, terá sido sim uma surpresa, 18 pois os alunos não sabiam que seria naquele dia.

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Paradoxo (definição): “São raciocínios em que se parte de enunciados nãocontraditórios, mas as conclusões feitas são contraditórias. Um paradoxo demonstra tanto a veracidade quanto a falsidade de um argumento.” Henrique Rocha no livro Raciocínio Lógico (ver bibliografia)

De acordo com o dicionário Aurélio: 1.Conceito que é ou parece contrário ao comum; contrasenso, absurdo, disparate. (...) 5.Lóg. Dupla implicação entre uma proposição e sua negação, que caracteriza uma contradição insolúvel. (...) 6.Lóg. Dificuldade na conclusão de um raciocínio, seja pela vaguidade dos termos das suas proposições, seja pela insuficiência dos instrumentos lógicos formais. (...)

Sentenças auto-referentes: Assim como as sentenças imperativas, exclamativas e interrogativas, as sentenças auto-referentes, que se referem ao seu próprio valor verdade, também, devem ser evitadas. Este tipo de sentença pode resultar em paradoxos e impedir a atribuição de um valor verdade, como visto anteriormente no exemplo: “Esta sentença é falsa”.

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Ambigüidade:

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Alguns Tipos de Raciocínios

Segundo o dicionário Aurélio: 1.Qualidade ou estado de ambíguo. (...) 4.Lóg. Sofisma verbal.

O saco de feijões de Peirce

Ambíguo: 1.Que se pode tomar em mais de um sentido; equívoco. (...) Ex: Considera a sentença abaixo: Vejo uma amiga na praia com os meus binóculos. Quem está com os binóculos? O interlocutor ou a amiga dele? Veja que a frase fica aberta a duas interpretações. É ambígua. 21

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Dedução Regra: Todos os feijões deste saco são brancos. Caso: Estes feijões provêm deste saco. Resultado: ?

Alguns Tipos de Raciocínio Os exemplos, a seguir, foram empregados pelo filósofo, cientista e matemático norteamericano, Charles Sanders Peirce (18391914) .

Indução Regra: Estes feijões provêm deste saco. Caso: Estes feijões são brancos. Resultado: ? Abdução Regra: Todos os feijões deste saco são brancos. Caso: Estes feijões são brancos. Resultado: ?

PEIRCE C. S. Collected Papers of Charles Sanders Peirce, edição de Charles Hartshorne, Paul Weiss e Arthur W. Burks, 8 vol., Cambridge (Massachusetts), Harvard University Press, 1931-1966. 23

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Dedução (O resultado representa uma certeza) Regra: Todos os feijões deste saco são brancos. Caso: Estes feijões provêm deste saco. Resultado: Estes feijões são brancos.

Dedução (O resultado representa uma certeza) Regra: Todos os feijões deste saco são brancos. Caso: Estes feijões provêm deste saco. Resultado: Estes feijões são brancos.

Indução (O resultado representa uma probabilidade) Regra: Estes feijões provêm deste saco. Caso: Estes feijões são brancos. Resultado: Todos os feijões deste saco são brancos.

Indução (O resultado representa uma probabilidade) Regra: Estes feijões provêm deste saco. Caso: Estes feijões são brancos. Resultado: Todos os feijões deste saco são brancos.

Abdução ou Apagogia (O res. rep. uma hipótese) Regra: Todos os feijões deste saco são brancos. Caso: Estes feijões são brancos. Resultado: Estes feijões provêm deste saco.

Abdução ou Apagogia (O res. rep. uma hipótese) Regra: Todos os feijões deste saco são brancos. Caso: Estes feijões são brancos. Resultado: Estes feijões provêm deste saco. 25

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Dedução

Indução

Geral: Todos os feijões deste saco são brancos. Particular: Estes feijões provêm deste saco. Resultado: Estes feijões são brancos.

Regra: Estes feijões provêm deste saco. Caso: Estes feijões são brancos. Resultado: Todos os feijões deste saco são brancos.

Na dedução a partir de um conjunto de proposições, chamadas premissas, se tira, por inferência, uma outra, chamada conclusão. Neste tipo de raciocínio se caminha do geral para o particular, do todo para a parte, para daí chegar a um resultado. Em um argumento dedutivo válido, se as premissas forem verdadeiras é impossível que a conclusão seja falsa. Analise o exemplo acima e verifique que se as duas primeiras proposições forem verdadeiras a conclusão também será.

Neste tipo de raciocínio a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão. Apesar de haver uma relação entre as premissas, note que o fato de ter tirado apenas feijões brancos não garante que todos os feijões no saco sejam da mesma cor. No entanto, quanto maior a amostra de feijões exclusivamente brancos retirados do saco maior a probabilidade da conclusão acima ter sido correta. Mas certeza absoluta só teremos se tirarmos todos os feijões do saco. Neste curso veremos a lógica proposicional que não trata deste tipo de problema. Este tipo de raciocínio é estudado na estatística e outros tipos de lógica (ex.: lógica de 28 predicados).

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Silogismo: noções básicas

Abdução Regra: Todos os feijões deste saco são brancos. Caso: Estes feijões são brancos. Resultado: Estes feijões provêm deste saco. Veja que analisadas as duas premissas iniciais não existe nenhuma relação que comprove a conclusão. Podemos chegar, apenas, a conclusão que é possível que os feijões provenham do saco, e levantarmos uma hipótese que deverá ser investigada. A abdução é o processo de criação de uma hipótese explicativa. É a única operação lógica que apresenta uma idéia nova. A Dedução prova que algo deve ser; a Indução mostra a probabilidade de ser; a Abdução simplesmente sugere que alguma coisa pode ser. 29

Silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo em que, partindo-se de certas informações, infere-se uma determinada conclusão. Nos silogismos categóricos, formais ou regulares são postas duas proposições, chamadas premissa maior e premissa menor, e delas, por inferência, se tira uma terceira, chamada conclusão. A premissa maior é a premissa geral de maior extensão e que vem geralmente citada primeiro. A premissa menor é a premissa mais particular que vem geralmente em segundo. 30

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Silogismo

Falácia: Paralogismos e Sofismas

Exemplo clássico: Premissa maior: Todos os homens são mortais; Premissa menor: Sócrates é homem; Conclusão: Sócrates é mortal. Ou seja: Quando são dadas as seguintes proposições: Todos os homens são mortais. Sócrates é homem. A conclusão a que podemos chegar é: Sócrates é mortal.

Falácia é um falso raciocínio lógico com aparência de verdadeiro. O termo deriva do verbo latino fallere, que significa enganar. Algumas falácias são cometidas involuntariamente e, neste caso, são denominadas paralogismos; outras, elaboradas com o objetivo de confundir, são denominadas sofismas. As falácias podem ser elaboradas com base em premissas falsas ou premissas verdadeiras que, por representarem casos específicos (e não gerais), não podem ser generalizadas. Ex.: Premissa 1: Eu sou mortal; Premissa 2: Sócrates é mortal; Conclusão: Todos os homens são mortais.

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Bibliografia

Estes livros fazem parte do acervo de nossa biblioteca.

• ABE, Jair Minoro; SCALZITTI, Alexandre; FILHO, João I. da Silva. Introdução à lógica para a ciência da computação. São Paulo: Arte & Ciência, 2002. • ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002. • AZEREDO, Vânia Dutra de. Introdução à Lógica. 3. ed. Ijuí: Unijuí, 2004. • DAGHLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2006. • ROCHA, Enrique. Raciocínio lógico. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006. • SILVA, Flávio S. Corrêa da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana C. Vieira de. Lógica para computação. São Paulo: Thompson Learning, 2006. • SOUZA, João Nunes de. Lógica para ciência da computação. Rio de Janeiro: Elsevier, 2002.

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• Notas de Aulas do Professor Edson Holanda. • Novo Dicionário Eletrônico Aurélio versão 5.11a. • Pesquisas em sites voltados para o estudo da Filosofia, Lógica, Matemática e Computação. 34

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