Ejercicios De Logica Matematica
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- Words: 3,209
- Pages: 9
EJERCICIOS DE LOGICA MATEMATICA A ) Usando tablas demostrar: 1 ) ( p’ )’ ⇔ p p V F
p’ F V
( p’ )’ V F
p V F
p’ F V
p ∧ p’ F F
p V F
p’ F V
p ∨ p’ V V
p V F
V V V
p∨V V V
p V F
V V V
p∧V V F
p V F
F F F
p∨F V F
p V F
F F F
p∧F F F
2 ) p ∧ p’ ⇔ F
3 ) p ∨ p’ ⇔ V
4) p∨V ⇔ V
5) p∧V ⇔ p
6) p∨F ⇔ p
7) p∧F ⇔ F
8) p∧(p∨q) ⇔ p p V V F F
q V F V F
p∨q V V V F
p∧(p∨q) V V F F
q V F V F
p∧q V F F F
p∨(p∧q) V V F F
p∧q V F F F
( p ∧ q )’ F V V V
p’ ∨ q’ F V V V
p∨q V V V F
( p ∨ q )’ F F F V
p’ ∧ q’ F F F V
9) p∨(p∧q) ⇔ p p V V F F 10 ) ( p ∧ q )’ ⇔ p’ ∨ q’ q V F V F
p V V F F
p’ F F V V
q’ F V F V
11 ) ( p ∨ q )’ ⇔ p’ ∧ q’ q V F V F
p V V F F
p’ F F V V
q’ F V F V
12 ) ( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r ) p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
p∧q V V F F F F F F
q∧r V F F F V F F F
(p∧q)∧r V F F F F F F F
p∧(q∧r) V F F F F F F F
13 ) ( p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r ) q V V F F V V F F
p V V V V F F F F
r V F V F V F V F
p∨q V V V V V V F F
q∨r V V V F V V V F
(p∨q)∨r V V V V V V V F
p∨(q∨r) V V V V V V V F
14 ) ( p ↔ q ) ↔ r ⇔ p ↔ ( q ↔ r ) p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
p↔q V V F F F F V V
q↔r V F F V V F F V
(p↔q)↔r V F F V F V V F
p↔(q↔r) V F F V F V V F
15 ) p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
p∧q V V F F F F F F
p∧r V F V F F F F F
q∨r V V V F V V V F
p∧(q∨r) V V V F F F F F
(p∧q)∨(p∧r) V V V F F F F F
p∨(q∧r) V V V V V F F
(p∨q)∧(p∨r) V V V V V F F
16 ) p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p V V V V F F F
q V V F F V V F
r V F V F V F V
p∨q V V V V V V F
p∨r V V V V V F V
q∧r V F F F V F F
F
F
F
F
F
F
F
F
17 ) p’ ∨ q ⇔ p → q p V V F F
q V F V F
p’ F F V V
p’ ∨ q V F V V
p→q V F V V
18 ) p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ) p V V F F
q V F V F
p→q V F V V
q→p V V F V
(p→q)∧(q→p) V F F V
p↔q V F F V
19 ) p ↑ q ⇔ ( p ∧ q )’ p V V F F
q V F V F
p∧q V F F F
( p ∧ q )’ F V V V
p↑q F V V V
q V F V F
p∨q V V V F
( p ∨ q )’ F F F V
p↓q F F F V
20 ) p ↓ q ⇔ ( p ∨ q )’ p V V F F
21 ) p ⊕ q ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∧ q )’ p V V F F
q V F V F
p∧q V F F F
( p ∧ q )’ F V V V
p∨q V V V F
( p ∨ q ) ∧ ( p ∧ q )’ F V V F
p⊕q F V V F
B ) A partir de los conectivos negación ( ‘ ) y disyunción ( ∨ ) se definen: p ∧ q =def ( p’ ∨ q’ )’ p → q =def p’ ∨ q p ↔ q =def ( p → q ) ∧ ( q → p ) p ⊕ q =def ( p ∧ q’ ) ∨ ( p’ ∧ q ) p ↑ q =def ( p ∧ q )’ p ↓ q =def ( p ∨ q )’ Utilizando esas definiciones y las leyes de lógica matemática, demostrar las siguientes tautologías: 1 ) p → q ⇔ q’ → p’ q’ → p’ ⇔ ( q’ )’ ∨ p’ ⇔ q ∨ p’ ⇔ p’ ∨ q ⇔ p→q
( Definición ) ( Doble Negación ) ( Conmutatividad ) ( Definición )
2 ) ( p → q )’ ⇔ p ∧ q’ ( p → q )’ ⇔ ( p’ ∨ q )’ ( Definición ) ⇔ ( p’ )’ ∧ q’ ( De Morgan ) ⇔ p ∧ q’ ( Doble Negación ) 3 ) p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p’ p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p → F ( Complemento ) ⇔ p’ ∨ F ( Definición ) ⇔ p’ ( Identidad ) 4 ) ( q ∨ q’ ) → p ⇔ p ( q ∨ q’ ) → p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
( q ∨ q’ )’∨ p V’ ∨ p F∨p p
( Definición ) ( Complemento ) ( Complemento ) ( Identidad )
5) (p∧q)→r ⇔ p→(q→r) ( p ∧ q ) → r ⇔ ( p ∧ q )’ ∨ r ⇔ ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ⇔ p’ ∨ ( q’ ∨ r ) ⇔ p→(q→r)
( Definición ) ( De Morgan ) ( Asociatividad ) ( Definición )
6) p→(q→r) ⇔ q→(p→r) p → ( q → r ) ⇔ p’ ∨ ( q’ ∨ r ) ⇔ ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ⇔ ( q’ ∨ p’ ) ∨ r ⇔ q’ ∨ ( p’ ∨ r )
( Definición ) ( Asociatividad ) ( Conmutatividad ) ( Asociatividad )
⇔ q→(p→r)
( Definición )
7) (p→q)↔p ⇔ p∧q (p→q)↔p ⇔ ((p→q)→p)∧(p→(p→q)) ⇔ ( ( p → q )’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p → q ) ) ⇔ ( ( p’ ∨ q )’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ p ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ p ∧ ( ( p’ ∨ p’ ) ∨ q ) ⇔ p ∧ ( p’ ∨ q ) ⇔ ( p ∧ p’ ) ∨ ( p ∧ q ) ⇔ F∨(p∧q) ⇔ p∧q
( Definición ) ( Definición ) ( Definición ) ( De Morgan ) ( Absorción ) ( Asociatividad ) ( Idempotencia ) ( Distributividad ) ( Complemento ) ( Identidad )
8) (p→q)↔q ⇔ p∨q (p→q)↔q ⇔ ((p→q)→q)∧(q→(p→q)) ⇔ ( ( p → q )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p → q ) ) ⇔ ( ( p’ ∨ q )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( ( p’ )’ ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( q ∨ p’ ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( ( q’ ∨ q ) ∨ p’ ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( V ∨ p’ ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ V ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ q ) ⇔ (p∨q)∧V ⇔ p∨q
( Definición ) ( Definición ) ( Definición ) ( De Morgan ) ( Doble Negación ) ( Conmutatividad ) ( Asociatividad ) ( Complemento ) ( Identidad ) ( Identidad ) ( Distributividad ) ( Complemento ) ( Identidad )
9 ) p ↔ q ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p’ ∧ q’ ) p↔q ⇔ (p→q)∧(q→p) ⇔ ( p’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p ) ⇔ ( p’ ∧ ( q’ ∨ p ) ) ∨ ( q ∧ ( q’ ∨ p ) ) ⇔ ( ( p’ ∧ q’ ) ∨ ( p’ ∧ p ) ) ∨ ( ( q ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ p ) ) ⇔ ( ( p’ ∧ q’ ) ∨ F ) ∨ ( F ∨ ( q ∧ p ) ) ⇔ ( p’ ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ p ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p’ ∧ q’ )
( Definición ) ( Definición ) ( Distributividad ) ( Distributividad ) ( Complemento ) ( Identidad ) ( Conmutatividad )
10 ) p’ ↔ q’ ⇔ p ↔ q p’ ↔ q’ ⇔ ( p’ → q’ ) ∧ ( q’ → p’ ) ( Definición ) ⇔ ( ( p’ )’ ∨ q’ ) ∧ ( ( q’ )’ ∨ p’ )( Definición ) ⇔ ( p ∨ q’ ) ∧ ( q ∨ p’ ) ( Doble Negación ) ⇔ ( q’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ q ) ( Conmutatividad )
⇔ (q→p)∧(p→q) ⇔ (p→q)∧(q→p) ⇔ p↔q
( Definición ) ( Conmutatividad ) ( Definición )
11 ) ( p ↔ q )’ ⇔ p’ ↔ q ( p ↔ q )’ ⇔ ( ( p → q ) ∧ ( q → p ) )’ ⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p ) )’ ⇔ ( p’ ∨ q )’ ∨ ( q’ ∨ p )’ ⇔ ( ( p’ )’ ∧ q’ ) ∨ ( ( q’ )’ ∧ p’ ) ⇔ ( p ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ p’ ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( ( p ∧ q’ ) ∨ p’ ) ⇔ ( ( p ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ q ) )∧( ( p ∨ p’ ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) ) ⇔ ( ( p ∨ q ) ∧ V ) ∧ ( V ∧ ( q’ ∨ p’ ) ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) ⇔ ( ( p’ )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) ⇔ ( p’ → q ) ∧ ( q → p’ ) ⇔ p’ ↔ q 12 ) ( p → q ) ∧ ( p → r ) ⇔ p → ( q ∧ r ) ( p → q ) ∧ ( p → r ) ⇔ ( p’ ∨ q ) ∧ ( p’ ∨ r ) ( Definición ) ⇔ p’ ∨ ( q ∧ r ) ( Distributividad ) ⇔ p→(q∧r) ( Definición ) 13 ) ( p → q ) ∨ ( p → r ) ⇔ p → ( q ∨ r ) ( p → q ) ∨ ( p → r ) ⇔ ( p’ ∨ q ) ∨ ( p’ ∨ r ) ⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∨ p’ ) ∨ r ⇔ ( p’ ∨ ( q ∨ p’ ) ) ∨ r ⇔ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ∨ r ⇔ ( ( p’ ∨ p’ ) ∨ q ) ∨ r ⇔ ( p’ ∨ q ) ∨ r ⇔ p’ ∨ ( q ∨ r ) ⇔ p→(q∨r)
( Definición ) ( Asociatividad ) ( Asociatividad ) ( Conmutatividad ) ( Asociatividad ) ( Idempotencia ) ( Asociatividad ) ( Definición )
14 ) ( p → r ) ∧ ( q → r ) ⇔ ( p ∨ q ) → r ( p → r ) ∧ ( q → r ) ⇔ ( p’ ∨ r ) ∧ ( q’ ∨ r ) ⇔ ( p’ ∧ q’ ) ∨ r ⇔ ( p ∨ q )’ ∨ r ⇔ (p∨q)→r
( Definición ) ( Distributividad ) ( De Morgan ) ( Definición )
15 ) ( p → r ) ∨ ( q → r ) ⇔ ( p ∧ q ) → r ( p → r ) ∨ ( q → r ) ⇔ ( p’ ∨ r ) ∨ ( q’ ∨ r ) ⇔ p’ ∨ ( r ∨ ( q’ ∨ r ) ) ⇔ p’ ∨ ( ( r ∨ q’ ) ∨ r )
( Definición ) ( Asociatividad ) ( Asociatividad )
( Definición ) ( Definición ) ( De Morgan ) ( De Morgan ) ( Doble Negación ) ( Distributividad ) ( Distributividad ) ( Complemento ) ( Identidad ) ( Doble Negación ) ( Definición ) ( Definición )
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
p’ ∨ ( ( q’ ∨ r ) ∨ r ) p’ ∨ ( q’ ∨ ( r ∨ r ) ) p’ ∨ ( q’ ∨ r ) ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ( p ∧ q )’ ∨ r (p∧q)→r
16 ) p ⇒ p ∨ q Sea p Verdadero, entonces: p∨q ⇔ V∨q ⇔ V
(p ⇔ V) ( Identidad )
17 ) p ⇒ q → p Sea p Verdadero, entonces: q → p ⇔ q’ ∨ p ⇔ q’ ∨ V ⇔ V
( Definición ) (p ⇔ V) ( Identidad )
18 ) p’ ⇒ p → q Sea p’ Verdadero, entonces: p → q ⇔ p’ ∨ q ⇔ V∨q ⇔ V
( Definición ) ( p’ ⇔ V ) ( Identidad )
19 ) ( p ∧ p’ ) ⇒ q Equivale a demostrar: q’ ⇒ ( p ∧ p’ )’ Sea q’ Verdadero, entonces: ( p ∧ p’ )’ ⇔ F’ ⇔ V
( Contra recíproco ) ( Complemento ) ( Complemento )
20 ) ( p → q ) ∧ p ⇒ q Equivale a demostrar: q’ ⇒ ( ( p → q ) ∧ p )’ Sea q’ Verdadero, entonces: ( ( p → q ) ∧ p )’ ⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∧ p )’ ⇔ ( p’ ∨ q )’ ∨ p’ ⇔ ( ( p’ )’ ∧ q’ ) ∨ p’ ⇔ ( p ∧ q’ ) ∨ p’ ⇔ ( p ∧ V ) ∨ p’ ⇔ p ∨ p’ ⇔ V 21 ) ( p → q ) ∧ q’ ⇒ p’ Equivale a demostrar:
( Conmutatividad ) ( Asociatividad ) ( Idempotencia ) ( Asociatividad ) ( De Morgan ) ( Definición )
( Contra recíproco ) ( Definición ) ( De Morgan ) ( De Morgan ) ( Doble Negación ) ( q’ ⇔ V ) ( Identidad ) ( Complemento )
p ⇒ ( ( p → q ) ∧ q’ )’ Sea p Verdadero, entonces: ( ( p → q ) ∧ q’ )’ ⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∧ q’ )’ ⇔ ( ( p’ ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ q’ ) )’ ⇔ ( ( p’ ∧ q’ ) ∨ F )’ ⇔ ( p’ ∧ q’ )’ ⇔ p∨q ⇔ V∨q ⇔ V
22 ) p’ ⇔ p ↑ p p ↑ p ⇔ ( p ∧ p )’ ⇔ p’
( Definición ) ( Idempotencia )
23 ) p’ ⇔ p ↓ p p ↓ p ⇔ ( p ∨ p )’ ⇔ p’
( Definición ) ( Idempotencia )
( Contra recíproco ) ( Definición ) ( Distributividad ) ( Complemento ) ( Identidad ) ( De Morgan y Doble Negación ) (p ⇔ V) ( Identidad )
24 ) p ∧ q ⇔ ( p ↑ q ) ↑ ( p ↑ q ) ( p ↑ q ) ↑ ( p ↑ q ) ⇔ ( ( p ∧ q )’ ∧ ( p ∧ q )’ )’ ⇔ ( ( p ∧ q )’ )’ ⇔ p∧q
( Definición ) ( Idempotencia ) ( Doble Negación )
25 ) p ∧ q ⇔ ( p ↓ p ) ↓ ( q ↓ q ) ( p ↓ p ) ↓ ( q ↓ q ) ⇔ ( ( p ∨ p )’ ∨ ( q ∨ q )’ )’ ⇔ ( p’ ∨ q’ )’ ⇔ p∧q
( Definición ) ( Idempotencia ) ( Definición )
26 ) p ∨ q ⇔ ( p ↓ q ) ↓ ( p ↓ q ) ( p ↓ q ) ↓ ( p ↓ q ) ⇔ ( ( p ∨ q )’ ∨ ( p ∨ q )’ )’ ⇔ ( ( p ∨ q )’ )’ ⇔ p∨q
( Definición ) ( Idempotencia ) ( Doble Negación )
27 ) p ∨ q ⇔ ( p ↑ p ) ↑ ( q ↑ q ) ( p ↑ p ) ↑ ( q ↑ q ) ⇔ ( ( p ∧ p )’ ∧ ( q ∧ q )’ )’ ⇔ ( p’ ∧ q’ )’ ⇔ p∨q
( Definición ) ( Idempotencia ) ( De Morgan y Doble Negación )
Autor: NELSON LILLO TERAN http://www.eneayudas.cl
p’ F V
( p’ )’ V F
p V F
p’ F V
p ∧ p’ F F
p V F
p’ F V
p ∨ p’ V V
p V F
V V V
p∨V V V
p V F
V V V
p∧V V F
p V F
F F F
p∨F V F
p V F
F F F
p∧F F F
2 ) p ∧ p’ ⇔ F
3 ) p ∨ p’ ⇔ V
4) p∨V ⇔ V
5) p∧V ⇔ p
6) p∨F ⇔ p
7) p∧F ⇔ F
8) p∧(p∨q) ⇔ p p V V F F
q V F V F
p∨q V V V F
p∧(p∨q) V V F F
q V F V F
p∧q V F F F
p∨(p∧q) V V F F
p∧q V F F F
( p ∧ q )’ F V V V
p’ ∨ q’ F V V V
p∨q V V V F
( p ∨ q )’ F F F V
p’ ∧ q’ F F F V
9) p∨(p∧q) ⇔ p p V V F F 10 ) ( p ∧ q )’ ⇔ p’ ∨ q’ q V F V F
p V V F F
p’ F F V V
q’ F V F V
11 ) ( p ∨ q )’ ⇔ p’ ∧ q’ q V F V F
p V V F F
p’ F F V V
q’ F V F V
12 ) ( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r ) p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
p∧q V V F F F F F F
q∧r V F F F V F F F
(p∧q)∧r V F F F F F F F
p∧(q∧r) V F F F F F F F
13 ) ( p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r ) q V V F F V V F F
p V V V V F F F F
r V F V F V F V F
p∨q V V V V V V F F
q∨r V V V F V V V F
(p∨q)∨r V V V V V V V F
p∨(q∨r) V V V V V V V F
14 ) ( p ↔ q ) ↔ r ⇔ p ↔ ( q ↔ r ) p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
p↔q V V F F F F V V
q↔r V F F V V F F V
(p↔q)↔r V F F V F V V F
p↔(q↔r) V F F V F V V F
15 ) p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
p∧q V V F F F F F F
p∧r V F V F F F F F
q∨r V V V F V V V F
p∧(q∨r) V V V F F F F F
(p∧q)∨(p∧r) V V V F F F F F
p∨(q∧r) V V V V V F F
(p∨q)∧(p∨r) V V V V V F F
16 ) p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p V V V V F F F
q V V F F V V F
r V F V F V F V
p∨q V V V V V V F
p∨r V V V V V F V
q∧r V F F F V F F
F
F
F
F
F
F
F
F
17 ) p’ ∨ q ⇔ p → q p V V F F
q V F V F
p’ F F V V
p’ ∨ q V F V V
p→q V F V V
18 ) p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ) p V V F F
q V F V F
p→q V F V V
q→p V V F V
(p→q)∧(q→p) V F F V
p↔q V F F V
19 ) p ↑ q ⇔ ( p ∧ q )’ p V V F F
q V F V F
p∧q V F F F
( p ∧ q )’ F V V V
p↑q F V V V
q V F V F
p∨q V V V F
( p ∨ q )’ F F F V
p↓q F F F V
20 ) p ↓ q ⇔ ( p ∨ q )’ p V V F F
21 ) p ⊕ q ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∧ q )’ p V V F F
q V F V F
p∧q V F F F
( p ∧ q )’ F V V V
p∨q V V V F
( p ∨ q ) ∧ ( p ∧ q )’ F V V F
p⊕q F V V F
B ) A partir de los conectivos negación ( ‘ ) y disyunción ( ∨ ) se definen: p ∧ q =def ( p’ ∨ q’ )’ p → q =def p’ ∨ q p ↔ q =def ( p → q ) ∧ ( q → p ) p ⊕ q =def ( p ∧ q’ ) ∨ ( p’ ∧ q ) p ↑ q =def ( p ∧ q )’ p ↓ q =def ( p ∨ q )’ Utilizando esas definiciones y las leyes de lógica matemática, demostrar las siguientes tautologías: 1 ) p → q ⇔ q’ → p’ q’ → p’ ⇔ ( q’ )’ ∨ p’ ⇔ q ∨ p’ ⇔ p’ ∨ q ⇔ p→q
( Definición ) ( Doble Negación ) ( Conmutatividad ) ( Definición )
2 ) ( p → q )’ ⇔ p ∧ q’ ( p → q )’ ⇔ ( p’ ∨ q )’ ( Definición ) ⇔ ( p’ )’ ∧ q’ ( De Morgan ) ⇔ p ∧ q’ ( Doble Negación ) 3 ) p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p’ p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p → F ( Complemento ) ⇔ p’ ∨ F ( Definición ) ⇔ p’ ( Identidad ) 4 ) ( q ∨ q’ ) → p ⇔ p ( q ∨ q’ ) → p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
( q ∨ q’ )’∨ p V’ ∨ p F∨p p
( Definición ) ( Complemento ) ( Complemento ) ( Identidad )
5) (p∧q)→r ⇔ p→(q→r) ( p ∧ q ) → r ⇔ ( p ∧ q )’ ∨ r ⇔ ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ⇔ p’ ∨ ( q’ ∨ r ) ⇔ p→(q→r)
( Definición ) ( De Morgan ) ( Asociatividad ) ( Definición )
6) p→(q→r) ⇔ q→(p→r) p → ( q → r ) ⇔ p’ ∨ ( q’ ∨ r ) ⇔ ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ⇔ ( q’ ∨ p’ ) ∨ r ⇔ q’ ∨ ( p’ ∨ r )
( Definición ) ( Asociatividad ) ( Conmutatividad ) ( Asociatividad )
⇔ q→(p→r)
( Definición )
7) (p→q)↔p ⇔ p∧q (p→q)↔p ⇔ ((p→q)→p)∧(p→(p→q)) ⇔ ( ( p → q )’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p → q ) ) ⇔ ( ( p’ ∨ q )’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ p ∧ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ p ∧ ( ( p’ ∨ p’ ) ∨ q ) ⇔ p ∧ ( p’ ∨ q ) ⇔ ( p ∧ p’ ) ∨ ( p ∧ q ) ⇔ F∨(p∧q) ⇔ p∧q
( Definición ) ( Definición ) ( Definición ) ( De Morgan ) ( Absorción ) ( Asociatividad ) ( Idempotencia ) ( Distributividad ) ( Complemento ) ( Identidad )
8) (p→q)↔q ⇔ p∨q (p→q)↔q ⇔ ((p→q)→q)∧(q→(p→q)) ⇔ ( ( p → q )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p → q ) ) ⇔ ( ( p’ ∨ q )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( ( p’ )’ ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ ( q ∨ p’ ) ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( ( q’ ∨ q ) ∨ p’ ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( V ∨ p’ ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ V ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ q ) ⇔ (p∨q)∧V ⇔ p∨q
( Definición ) ( Definición ) ( Definición ) ( De Morgan ) ( Doble Negación ) ( Conmutatividad ) ( Asociatividad ) ( Complemento ) ( Identidad ) ( Identidad ) ( Distributividad ) ( Complemento ) ( Identidad )
9 ) p ↔ q ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p’ ∧ q’ ) p↔q ⇔ (p→q)∧(q→p) ⇔ ( p’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p ) ⇔ ( p’ ∧ ( q’ ∨ p ) ) ∨ ( q ∧ ( q’ ∨ p ) ) ⇔ ( ( p’ ∧ q’ ) ∨ ( p’ ∧ p ) ) ∨ ( ( q ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ p ) ) ⇔ ( ( p’ ∧ q’ ) ∨ F ) ∨ ( F ∨ ( q ∧ p ) ) ⇔ ( p’ ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ p ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p’ ∧ q’ )
( Definición ) ( Definición ) ( Distributividad ) ( Distributividad ) ( Complemento ) ( Identidad ) ( Conmutatividad )
10 ) p’ ↔ q’ ⇔ p ↔ q p’ ↔ q’ ⇔ ( p’ → q’ ) ∧ ( q’ → p’ ) ( Definición ) ⇔ ( ( p’ )’ ∨ q’ ) ∧ ( ( q’ )’ ∨ p’ )( Definición ) ⇔ ( p ∨ q’ ) ∧ ( q ∨ p’ ) ( Doble Negación ) ⇔ ( q’ ∨ p ) ∧ ( p’ ∨ q ) ( Conmutatividad )
⇔ (q→p)∧(p→q) ⇔ (p→q)∧(q→p) ⇔ p↔q
( Definición ) ( Conmutatividad ) ( Definición )
11 ) ( p ↔ q )’ ⇔ p’ ↔ q ( p ↔ q )’ ⇔ ( ( p → q ) ∧ ( q → p ) )’ ⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p ) )’ ⇔ ( p’ ∨ q )’ ∨ ( q’ ∨ p )’ ⇔ ( ( p’ )’ ∧ q’ ) ∨ ( ( q’ )’ ∧ p’ ) ⇔ ( p ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ p’ ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( ( p ∧ q’ ) ∨ p’ ) ⇔ ( ( p ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ q ) )∧( ( p ∨ p’ ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) ) ⇔ ( ( p ∨ q ) ∧ V ) ∧ ( V ∧ ( q’ ∨ p’ ) ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) ⇔ ( ( p’ )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) ⇔ ( p’ → q ) ∧ ( q → p’ ) ⇔ p’ ↔ q 12 ) ( p → q ) ∧ ( p → r ) ⇔ p → ( q ∧ r ) ( p → q ) ∧ ( p → r ) ⇔ ( p’ ∨ q ) ∧ ( p’ ∨ r ) ( Definición ) ⇔ p’ ∨ ( q ∧ r ) ( Distributividad ) ⇔ p→(q∧r) ( Definición ) 13 ) ( p → q ) ∨ ( p → r ) ⇔ p → ( q ∨ r ) ( p → q ) ∨ ( p → r ) ⇔ ( p’ ∨ q ) ∨ ( p’ ∨ r ) ⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∨ p’ ) ∨ r ⇔ ( p’ ∨ ( q ∨ p’ ) ) ∨ r ⇔ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ∨ r ⇔ ( ( p’ ∨ p’ ) ∨ q ) ∨ r ⇔ ( p’ ∨ q ) ∨ r ⇔ p’ ∨ ( q ∨ r ) ⇔ p→(q∨r)
( Definición ) ( Asociatividad ) ( Asociatividad ) ( Conmutatividad ) ( Asociatividad ) ( Idempotencia ) ( Asociatividad ) ( Definición )
14 ) ( p → r ) ∧ ( q → r ) ⇔ ( p ∨ q ) → r ( p → r ) ∧ ( q → r ) ⇔ ( p’ ∨ r ) ∧ ( q’ ∨ r ) ⇔ ( p’ ∧ q’ ) ∨ r ⇔ ( p ∨ q )’ ∨ r ⇔ (p∨q)→r
( Definición ) ( Distributividad ) ( De Morgan ) ( Definición )
15 ) ( p → r ) ∨ ( q → r ) ⇔ ( p ∧ q ) → r ( p → r ) ∨ ( q → r ) ⇔ ( p’ ∨ r ) ∨ ( q’ ∨ r ) ⇔ p’ ∨ ( r ∨ ( q’ ∨ r ) ) ⇔ p’ ∨ ( ( r ∨ q’ ) ∨ r )
( Definición ) ( Asociatividad ) ( Asociatividad )
( Definición ) ( Definición ) ( De Morgan ) ( De Morgan ) ( Doble Negación ) ( Distributividad ) ( Distributividad ) ( Complemento ) ( Identidad ) ( Doble Negación ) ( Definición ) ( Definición )
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
p’ ∨ ( ( q’ ∨ r ) ∨ r ) p’ ∨ ( q’ ∨ ( r ∨ r ) ) p’ ∨ ( q’ ∨ r ) ( p’ ∨ q’ ) ∨ r ( p ∧ q )’ ∨ r (p∧q)→r
16 ) p ⇒ p ∨ q Sea p Verdadero, entonces: p∨q ⇔ V∨q ⇔ V
(p ⇔ V) ( Identidad )
17 ) p ⇒ q → p Sea p Verdadero, entonces: q → p ⇔ q’ ∨ p ⇔ q’ ∨ V ⇔ V
( Definición ) (p ⇔ V) ( Identidad )
18 ) p’ ⇒ p → q Sea p’ Verdadero, entonces: p → q ⇔ p’ ∨ q ⇔ V∨q ⇔ V
( Definición ) ( p’ ⇔ V ) ( Identidad )
19 ) ( p ∧ p’ ) ⇒ q Equivale a demostrar: q’ ⇒ ( p ∧ p’ )’ Sea q’ Verdadero, entonces: ( p ∧ p’ )’ ⇔ F’ ⇔ V
( Contra recíproco ) ( Complemento ) ( Complemento )
20 ) ( p → q ) ∧ p ⇒ q Equivale a demostrar: q’ ⇒ ( ( p → q ) ∧ p )’ Sea q’ Verdadero, entonces: ( ( p → q ) ∧ p )’ ⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∧ p )’ ⇔ ( p’ ∨ q )’ ∨ p’ ⇔ ( ( p’ )’ ∧ q’ ) ∨ p’ ⇔ ( p ∧ q’ ) ∨ p’ ⇔ ( p ∧ V ) ∨ p’ ⇔ p ∨ p’ ⇔ V 21 ) ( p → q ) ∧ q’ ⇒ p’ Equivale a demostrar:
( Conmutatividad ) ( Asociatividad ) ( Idempotencia ) ( Asociatividad ) ( De Morgan ) ( Definición )
( Contra recíproco ) ( Definición ) ( De Morgan ) ( De Morgan ) ( Doble Negación ) ( q’ ⇔ V ) ( Identidad ) ( Complemento )
p ⇒ ( ( p → q ) ∧ q’ )’ Sea p Verdadero, entonces: ( ( p → q ) ∧ q’ )’ ⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∧ q’ )’ ⇔ ( ( p’ ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ q’ ) )’ ⇔ ( ( p’ ∧ q’ ) ∨ F )’ ⇔ ( p’ ∧ q’ )’ ⇔ p∨q ⇔ V∨q ⇔ V
22 ) p’ ⇔ p ↑ p p ↑ p ⇔ ( p ∧ p )’ ⇔ p’
( Definición ) ( Idempotencia )
23 ) p’ ⇔ p ↓ p p ↓ p ⇔ ( p ∨ p )’ ⇔ p’
( Definición ) ( Idempotencia )
( Contra recíproco ) ( Definición ) ( Distributividad ) ( Complemento ) ( Identidad ) ( De Morgan y Doble Negación ) (p ⇔ V) ( Identidad )
24 ) p ∧ q ⇔ ( p ↑ q ) ↑ ( p ↑ q ) ( p ↑ q ) ↑ ( p ↑ q ) ⇔ ( ( p ∧ q )’ ∧ ( p ∧ q )’ )’ ⇔ ( ( p ∧ q )’ )’ ⇔ p∧q
( Definición ) ( Idempotencia ) ( Doble Negación )
25 ) p ∧ q ⇔ ( p ↓ p ) ↓ ( q ↓ q ) ( p ↓ p ) ↓ ( q ↓ q ) ⇔ ( ( p ∨ p )’ ∨ ( q ∨ q )’ )’ ⇔ ( p’ ∨ q’ )’ ⇔ p∧q
( Definición ) ( Idempotencia ) ( Definición )
26 ) p ∨ q ⇔ ( p ↓ q ) ↓ ( p ↓ q ) ( p ↓ q ) ↓ ( p ↓ q ) ⇔ ( ( p ∨ q )’ ∨ ( p ∨ q )’ )’ ⇔ ( ( p ∨ q )’ )’ ⇔ p∨q
( Definición ) ( Idempotencia ) ( Doble Negación )
27 ) p ∨ q ⇔ ( p ↑ p ) ↑ ( q ↑ q ) ( p ↑ p ) ↑ ( q ↑ q ) ⇔ ( ( p ∧ p )’ ∧ ( q ∧ q )’ )’ ⇔ ( p’ ∧ q’ )’ ⇔ p∨q
( Definición ) ( Idempotencia ) ( De Morgan y Doble Negación )
Autor: NELSON LILLO TERAN http://www.eneayudas.cl
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