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Algorithmen und Wahrscheinlichkeit Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik

Kapitel 1.3

Zusammenhang

Zusammenhang Definition: Sei G = (V, E) ein Graph. G heisst zusammenhängend, wenn

⇤u, v

V, u ⇥= v gilt: es gibt einen u-v-Pfad in G.

Heute: Gegeben ein zusammenhängender Graph. Wie (sehr) zusammenhängend ist dieser Graph?

k-Zusammenhang Definition: Sei G = (V, E) ein Graph. G heisst k-zusammenhängend, wenn gilt: und

⇥X

V

mit

|X| < k

ist

G[V \ X]

zusammenhängend

Definition: Sei G = (V, E) ein Graph. G heisst k-kanten-zusammenhängend, wenn gilt:

8X ✓ E

mit

|X| < k

ist (V, E \ X) zusammenhängend

Heute:

Spezialfall

k=1

Artikulationsknoten Definition: Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. Ein Knoten v 2 V heisst Artikulationsknoten (engl. cut vertex) gdw. G[V \ {v}] nicht zusammenhängend ist

Brücken Definition: Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. Ein Kante e 2 E heisst Brücke (engl. cut edge) gdw. nicht zusammenhängend ist G e

Wie findet man Artikulationsknoten bzw Brücken effizient ?

Tiefensuche

9

3

root 1

4 12

2

8 7 5

10

6 11

Tiefensuche

9

3

root 1

4 12

2

8 7 5

10

6 11

Tiefensuche

9

3

root 1

4 12

2

8 7 5

10

6 11

Tiefensuche dfs / low 9/1

3/1

root 1

4/3 12/10

2/1

8/3 7/3 5/3 6/3

10/10 11/10

Tiefensuche dfs / low 9/1

3/1

s=root 1

4/3 12/10

2/1

8/3 7/3 5/3 6/3

10/10 11/10

Tiefensuche 9/1

3/3

root 1/1

4/3 4/4 2/2

8/8 8/3 7/7 7/3 5/5 5/3 6/6 6/3

Berechnung der low-Werte: - Initialisierung mit dfs-Wert - ggf update, wenn Rückwärtskanten gefunden werden - ggf update, wenn Algorithmus während des backtracks zum Knoten zurückkehrt

Tiefensuche

Brücken dfs / low 9/1

3/1

root 1

4/3 12/10

2/1

8/3 7/3

2/1

5/3 7/3 6/3

10/10 11/10 eine Kante e ={v,w} ist eine Brücke

gdw. e ∈ T (im DFS Baum) und

w ein Kind von v ist mit low[w] > dfs[v]

Artikulationsknoten und Brücken

Satz:

Die um die Berechnung von low[] ergänzte Tiefensuche berechnet in einem zusammenhängenden Graphen alle Artikulationsknoten und Brücken in Zeit O(m).

Blöcke Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph.
 Eine Block ist eine maximale Menge von Kanten, so dass je zwei dieser Kanten auf einem gemeinsamen Kreis liegen.

Kapitel 1.3

Kreise

Hamiltonkreise und Eulertouren

• Sei G = (V, E) ein Graph.


• Hamiltonkreis: • Ein Kreis in G, der jeden Knoten genau einmal enthält.

• Eulertour: • Ein geschlossener Weg in G, der jede Kante genau einmal enthält.

Königsberger Brückenproblem

Leonard Euler (1707 - 1783)

Gesucht:

Eulertour

Eulertour: Charakterisierung Satz: Ein zusammenhängender Graph G = (V, E) enthält eine Eulertour

gdw.

der Grad jedes Knotens gerade ist.

… und eine solche kann man in O(|E|) Zeit finden

Bem: Sind in einem zusammenhängenden Graphen G = (V, E) alle bis auf zwei Knotengrade gerade, so enthält der Graph einen Eulerweg

(Ein Eulerweg ist ein Weg, der alle Kanten des Graphen enthält — aber nicht notwendigerweise im gleichen Knoten startet und endet.)

Idee des Algorithmus

Idee des Algorithmus

Idee des Algorithmus

Idee des Algorithmus

Idee des Algorithmus

Idee des Algorithmus

Eulertour: Charakterisierung Satz: Ein zusammenhängender Graph G = (V, E) enthält eine Eulertour

gdw.

der Grad jedes Knotens gerade ist.

… und eine solche kann man in O(|E|) Zeit finden

Bem: Sind in einem zusammenhängenden Graphen G = (V, E) alle bis auf zwei Knotengrade gerade, so enthält der Graph einen Eulerweg

(Ein Eulerweg ist ein Weg, der alle Kanten des Graphen enthält — aber nicht notwendigerweise im gleichen Knoten startet und endet.)

Hamiltonkreise und Eulertouren

• Sei G = (V, E) ein Graph.


• Hamiltonkreis: • Ein Kreis in G, der jeden Knoten genau einmal enthält.

• Eulertour: • Ein geschlossener Weg in G, der jede Kante genau einmal enthält.

Hamiltonkreis

Sir William Hamilton (1805 - 1865) Ikosaeder Spiel

Gesucht:

Hamiltonkreis

Hamiltonkreis - Beispiele

Ikosaeder

Petersengraph

Hamiltonkreis - Beispiele

Satz:
 Ein n×m Gitter enthält einen Hamiltonkreis gdw

n*m gerade ist.

Hamiltonkreis - Beispiele

Satz:
 Ein n×m Gitter enthält einen Hamiltonkreis gdw

Beweis:
 „⇐“ siehe Skizze:

n*m gerade ist.