Skript_nus_ii_vl2.pdf

Netzwerke und Schaltungen II J. Biela

1

- Periodische Signalformen Zeigerdiagramme

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich

29

Laboratory for High Power Electronic Systems

Zeigerdiagramm Ia � 2 Z �

M

u u ωt 2 t ω 1 ωt 0 0 u

� 2 ωt1 ωt2

�

3� 2

2� ωt

3� 2

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich

30

Laboratory for High Power Electronic Systems

Zeigerdiagramm Ib 3

2

1 u^ '

4

2 3

u^ sin φ

φ

u^ cos φ

5

1 0

� 2

0

7

6

u^ sin φ

4 �

ωt 2�

3� 2 5

7 6

0 � 2

1

2

3

�

4

u^ cos φ

3� 2

5

2�

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich

6

7

ωt

31

Laboratory for High Power Electronic Systems

Zeigerdiagramm II i1 sin(ωt) i2

i2sin(ωt+φ2)

φ2 i1

� 2

0

3� 2

�

u,i

� 2

u

u

i u

� i 3� 2 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich

2� ωt φ2

φi

φ

i

ωt 0 0

� � 2 φi

32

3� 2

2� ωt

φ

Laboratory for High Power Electronic Systems

Zeigerdiagramm III u3 (t) = u1 (t) + u2 (t) = uˆ 3 sin(ωt + ϕ3 ) = uˆ 1 sin(ωt + ϕ1 ) + uˆ 2 sin(ωt + ϕ2 )

Summenspannung

u φ

φ

u

U

i φ

i

i

φ I

u

u

u

u1 u2

u1

Augenblickswerte für t=0

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich

u(ωt)

u

u2 u1 φ2 φu φ1

φ1 φu φ2

33

u1(ωt) ωt

u2(ωt)

Laboratory for High Power Electronic Systems

Zeigerdiagramm IV – Analytische Addition i3(ωt)

i2

i3 φ3

ωt

� 2

0

i1

I i3 (t) = ˆi3 sin(ωt+ϕ3 ) = ˆi1 sin(ωt+ϕ1 ) + ˆi2 sin(ωt+ϕ2 )

3� 2

�

2�

I Additionstheorem sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β : i1 (t) + i2 (t) = = ˆi1 (sin ωt cos ϕ1 +cos ωt sin ϕ1 ) +ˆi2 (sin ωt cos ϕ2 +cos ωt sin ϕ2 )

= ˆi1 cos ϕ1 + ˆi2 cos ϕ2 sin ωt + ˆi1 sin ϕ1 + ˆi2 sin ϕ2 cos ωt

φ2 - φ1 α

i2

φ2 - φ1

i3

= ˆi3 cos ϕ3 sin ωt

α

I Koeffizientenvergleich: ˆi3 sin ϕ3 = ˆi1 sin ϕ1 + ˆi2 sin ϕ2

i1

φ1

+ ˆi3 sin ϕ3 cos ωt = i3 (t)

ˆi3 cos ϕ3 = ˆi1 cos ϕ1 + ˆi2 cos ϕ2

i1 φ3 i1 cos φ1

i2 sin φ2

i2

i3

φ2

i1 sin φ1

φ1 i3 cos φ3

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich

i3 sin φ3

(1) (2)

I (1)2 + (2)2 und (1) / (2) mit tan ϕ = sin ϕ/ cos ϕ ⇒ q ˆi3 = ˆi2 + ˆi2 + 2ˆi1 ˆi2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) 1 2 ˆi sin ϕ1 + ˆi2 sin ϕ2 tan ϕ3 = 1 ˆi1 cos ϕ1 + ˆi2 cos ϕ2

i2 cos φ2

34

Laboratory for High Power Electronic Systems

- Periodische Signalformen Bauelemente im Wechselstromkreis

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich

36

Laboratory for High Power Electronic Systems

Widerstand im Wechselstromkreis i

I Wechselspannungsquelle u(t) = uˆ sin(ωt)

I Ohmschen Gesetz u(t) = Ri(t):

R

u^ sin(wt)

u(t) = uˆ sin(ωt) → i(t) =

u,i u i 0

u(t) uˆ = sin(ωt) = ˆi sin(ωt) R R

uˆ → ˆi = R

u

i ωt 0

�

2�

I Spitzenwert des Stromes ˆi = uˆ R I Effektivwert des Stromes I = U R I Wirkwiderstand R

u

i Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich

I Wirkleitwert G = 1 R

37

Laboratory for High Power Electronic Systems

Induktivität im Wechselstromkreis ^ i=isin(wt)

u

I u = L di dt

L I i = ˆi sin(ωt) ⇒

u,i u i 0

u=L

u

i 0

φ

u φ

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich

I Phasenverschiebungswinkel ϕ = π = 90◦ 2

ωt 2�

�

i

 di dˆi sin(ωt) ˆ π =L = iωL cos(ωt) = ˆiωL sin ωt+ dt dt 2

(Referenz: Strom / Spannung eilt vor)

I Effektivwert: U = ωLI Spitzenwert: uˆ = ωLˆi

I (Induktiver) Blindwiderstand/Reaktanz: XL = ωL I (Induktiver) Blindleitwert/Suszeptanz: BL = − 1 ωL

38

Laboratory for High Power Electronic Systems

Kondensator im Wechselstromkreis i u^ sin(wt)

u i

C

I u(t) = uˆ sin(ωt) ⇒  dq du dˆu sin(ωt) π =i=C =C = ωCuˆ cos(ωt) = ωCuˆ sin ωt+ dt dt dt 2

u,i

I Phasenverschiebungswinkel ϕ = π/2 = 90◦ (Strom eilt vor) Phasenverschiebungswinkel ϕu = −π/2 = −90◦

u

(Referenz: Strom / Spannung eilt nach)

i 0

I i(t) = C du(t) dt

0

φ

ωt 2�

�

u=

 ˆi π sin ωt − ωC 2

I Effektivwert: I = ωCU Spitzenwert: ˆi = ωCuˆ

i φ

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u

I (Kapazitiver) Blindwiderstand/Reaktanz: XC = − 1 ωC I (Kapazitiver) Blindleitwert/Suszeptanz: BC = ωC 39

Laboratory for High Power Electronic Systems

Beispiel – Konstruktion eines Zeigerdiagramms i2 (t)

1) Bezug: uˆ 1 (Amplitude uˆ 1 ?)

R2 iC(t)

u2 (t) û sin(ωt)

C

R1

i1 (t) u1 (t)

2) i1 in Phase mit u1 (Amplitude ˆi1 ?) 3) iC (t) → ˆiC = ωCuˆ 1 = ωCRˆi1 (Verhältnis ˆiC /ˆi1 bekannt) Eilt gegenüber u1 (t) um π/2 vor 4) Knotengleichung i2 (t) = iC (t) + i1 (t) → ˆi2 5) uˆ 2 in Phase zu i2 Amplitude: uˆ 2 = Rˆi2 =

uˆ R2 ˆi2 uˆ → 2 bekannt R1 ˆi1 1 uˆ 1

6) Maschengleichung uˆ sin(ωt) = u1 (t) + u2 (t) → uˆ 7) Länge uˆ → Spannungsamplituden uˆ 8) uˆ 1 → ˆi1 = R1 1

→

Stromamplituden

9) Phasenbeziehungen ergeben sich aus Zeigerdiagramm

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41

Laboratory for High Power Electronic Systems

Beispiel – Konstruktion eines Zeigerdiagramms i2 (t)

R2 iC(t)

u2 (t) û sin(ωt)

C

R1

i1 (t) u1 (t)

I Erstellen des Zeigerdiagramms: 1) Bezug: uˆ 1 Amplitude uˆ 1 ? 2) i1 in Phase mit u1 3) iC (t) → ˆiC = ωCuˆ 1 = ωCRˆi1 (Verhältnis ˆiC /ˆi1 bekannt) Eilt gegenüber u1 (t) um π/2 vor 4) Knotengleichung i2 (t) = iC (t) + i1 (t) → ˆi2 5) uˆ 2 in Phase zu i2 Amplitude: uˆ 2 = Rˆi2 = (R2 ˆi2 )/(R1 ˆi1 ) uˆ 1 → uˆ 2/uˆ 1 bekannt

i2

u^ 2

u^

iC

φ2

7) Länge uˆ → Spannungsamplituden

φ1

i1

6) Maschengleichung uˆ sin(ωt) = u1 (t) + u2 (t) → uˆ

u^ 1

u^ 2

uˆ

8) uˆ 1 → ˆi1 = R1 → Stromamplituden 1 9) Phasenbeziehungen ergeben sich aus Zeigerdiagramm

I Zeigerdiagramms: Momentaufnahme für t = 0 I Amplituden / Phasenbeziehungen der Zeiger sind zeitunabhängig

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Laboratory for High Power Electronic Systems

Grundbegriffe der komplexen Rechnung I j=

Reelle Zahl: X Imaginäre Zahl jY ⇒ Komplexe Zahl: Z = X + jY

Komplexe (Gauss’sche) Zahlenebene

Algebraische Darstellung

jY Y=Im{Z}

I Realteil Re(Z) = X = Z cos(ϕ) Imaginärteil Im(Z) = Y = Z sin(ϕ)

Z=X+jY |Z|=Z φ

0

√ −1

X

-φ Z

Y= -Im{Z}

Z*=X-jY

a) Darstellung von Zeigern mittels komplexer Zahlen.

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I Z = Z(cos ϕ + j sin ϕ) Exponentialform: Z = Zejϕ (Eulerschen Satz: cos ϕ + j sin ϕ = ejϕ )

X=Re{Z}

p I Betrag |Z| = Z = X 2 + Y 2 Y Winkel ϕ = arctan X

I Konjugiert komplexe Zahl Z ∗ ⇒ Z ∗ = X − jY Z∗ = X2 + Y 2 = Z2

43

Laboratory for High Power Electronic Systems

Rechenoperationen mit komplexen Zahlen jY

I Addition/Subtraktion: Real- und Imaginärteil werden addiert bzw. subtrahiert:

a)

Z 1 − Z 2 = X1 − X2 + j(Y1 − Y2 ) I Multiplikation:

φ1

π

jZ

= Zej(ϕ− 2 )

44

d)

φ1

Z1 X

φ2

Z1=Z1e jφ1 Z2=Z2e jφ2

Z1/Z2 φ1-φ2

0

c)

I Multiplikation und Division sind prinzipiell auch in der Komponentenform Z = X + jY möglich, jedoch aufwendiger.

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φ2

jY Z2

I Multiplikation mit j ⇒ Z wird um π gegen Uhrzeigersinn gedreht. 2 Division durch j ⇒ Z wird um π2 im Uhrzeigersinn gedreht. π

Z1=Z1e jφ1 Z2=Z2e jφ2

0

Z1

= Zej(ϕ+ 2 )

X

jY Z2

b)

Z ejϕ1 Z Z1 = 1 jϕ = 1 ej(ϕ1 −ϕ2 ) Z2 Z2 Z2 e 2

Z1=X1+jY1 Z2=X2+jY2

-Z2

Z1-Z2

φ1+φ2

I Division:

π 1 Z = −jZ = e−j 2 Zejϕ j

Z2

0

Z1Z2

Z 1 Z 2 = Z1 ejϕ1 Z2 ejϕ2 = Z1 Z2 ej(ϕ1 +ϕ2 )

π

Z1

Z2

Z 1 + Z 2 = X1 + X2 + j(Y1 + Y2 )

jZ = ej 2 Zejϕ

Z1+Z2

X jY

jY � 2 0

Z

Z X

0

-� 2

X -jZ

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Komplexe Wechselstromrechnung I u = uˆ sin(ωt + ϕu ) → Rotierender Zeiger: uˆ 0 = ℜ(ˆu0 ) + jℑ(ˆu0 )

j Im(u)

= uˆ cos(ωt + ϕu ) + jˆu sin(ωt + ϕu ) = uˆ ej(ωt+ϕu ) Zeigerlänge: uˆ Winkel: ϕu

u cos(ωt+φu ) ω ^ u'

j u sin(ωt+φu) ^ jφ ue

ωt φu

I Aufteilung in zeitunabhängigen und zeitabhängigen Faktor: uˆ 0 =

u

jϕu u|ˆ e{z }

·

Zeitunabhängig

ejωt |{z}

Zeitabhängig

u^ Re(u)

I Alle Netzwerkgrössen: Gleiche Kreisfrequenz ω → Rotation weglassen: uˆ = uˆ ejϕu

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45

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Zeiger für komplexe Wechselstromrechnung � 2

�

jy

u

u

I Definition über Sinusfunktion und Spitzenwert uˆ :

ωt 2 t ωt ω 1 u 0 x 0

M

ωt

� 2 ωt1 ωt2

3� 2

�

3� 2

2�

a) Definition über Sinusfunktion � 2

ωt 1

M 3� 2

ωt1 ωt2 �

u 0

u(t) = ℑ{ˆu0 }

Komplexe WSR

uˆ = uˆ e u  ℑ{ˆu} u(t) = uˆ sin ωt + arctan ℜ{ˆu}

u(t) = uˆ cos(ωt + ϕu )

x

Zeitfkt.

u

u

� 2 3� 2

ωt b) Definition über Kosinusfunktion

jϕ

I Definition über Kosinusfunktion und Spitzenwert uˆ :

Rotierender Zeiger 0

uˆ 0 = uˆ ejϕu · ejωt

Zeitfunktion

jy ωt 2

�

u(t) = uˆ sin(ωt + ϕu ) Rotierender Zeiger

u sin(ωt+ju)

Zeiger

^ jju ue

^ jju - p2 ue

Basis

Sinus

Kosinus

Zeitfkt.

Zeitfunktion Komplexe WSR

^ jju+ p2 ue

^ jju ue

Basis

Sinus

Kosinus

u(t) = ℜ{ˆu0 } uˆ = uˆ ejϕu u(t) = uˆ cos ωt + arctan

u cos(ωt+ju)

Zeiger

uˆ 0 = uˆ ejϕu · ejωt

ℑ{ˆu} ℜ{ˆu}



c) Darstellung von sin(wt) / cos(wt)-Funktion als Zeiger mit Sinus- oder Kosinus-Basis

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