Lab 3 1200.docx

POTENCIAL ELECTRICO ENTRE PLACAS 1. OBJETIVO:  

Determinar la relación entre la intensidad del campo eléctrico E en un punto fijo con respecto a la diferencia de potencial, manteniendo una distancia r fija, entre dos placas conductoras. Determinar la relación entre la intensidad de campo eléctrico E y la distancia r, entre dos placas conductoras.

2. FUNDAMENTO TEORICO El campo eléctrico E, en un punto del espacio se define como la fuerza eléctrica F que actúan sobre una carga de prueba positiva q0 colocada en ese punto, dividida entre la magnitud de la carga de prueba: ⃗𝑭 ⃗ = 𝑬 𝒒𝒐 Si una carga de prueba q0, se coloca a una distancia r de una carga puntual q, la magnitud de la fuerza que actúa sobre aquella está dada por la ley de Coulomb: 𝒒 |𝒒| ⃗𝑭 = 𝑲 𝒐 𝒓𝟐 La magnitud del campo eléctrico en el punto donde se localiza la carga de prueba debe ser:

⃗ = 𝑬

𝑲

𝒒𝒐 |𝒒| 𝒓𝟐 ; 𝒒𝒐

⃗ =𝑲 𝑬

|𝒒| 𝒓𝟐

La dirección E es la misma que la de F; en la línea que une a q y qo, y señala hacia q, si ésta es negativa y en dirección contraria si ésta es positiva.

POTENCIAL ELECTRICO La fuerza electrostática es conservativa, por lo que se puede calcular el cambio de energía potencial cuando la carga qo pasa de un punto “a” a otro “b” de un campo eléctrico. El cambio de energía potencial es igual al trabajo en contra del campo eléctrico producido por q cuando q0 se mueve de “a” a “b”.

Si el punto “a” se ubica en el infinito, (a una distancia tal que el campo producido por q no es perceptible) entonces se define el potencial eléctrico en el punto “b” como: Por definición la diferencia de potencial entre los puntos “a” y “b” es:

El potencial eléctrico en un punto cualquiera situado a una distancia r de una carga puntual q es:

POTENCIAL ELECTRICO ENTRE DOS PLACAS PARALELAS CONDUCTORAS Suponga que las placas están separadas por una distancia d. Una carga q situada en la región comprendida entre las placas experimentará una fuerza dada por: 𝐹 = 𝑞𝐸⃗ El trabajo realizado por esta fuerza para mover la carga q de la placa positiva a la carga negativa está dado por: 𝐹 𝑑 = (𝑞𝐸⃗ )𝑑 Pero este trabajo también es igual al producto de la carga q por la diferencia de potencial Va-Vb entre las dos placas, así que podemos escribir: 𝑑(𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 ) = 𝑞𝐸⃗ 𝑑 Si se divide entre q y se representa la diferencia de potencial mediante el símbolo V, se obtiene: 𝑉 = 𝐸⃗ ∗ 𝑑 La diferencia de potencial entre dos placas con cargas opuestas es igual al producto de la intensidad de campo por la separación de las placas. RELACION (Vr y E) La magnitud E del campo eléctrico se relaciona con el potencial eléctrico así:

El campo eléctrico expresado en volts por metro se conoce a veces como gradiente de potencial:

3. SISTEMA DE EXPERIMENTACION MATERIAL Medidor de campo eléctrico Placas de aluminio Fuente de alimentación Varilla de metal y aislante Riel graduado Soportes de Sujeción Dos multímetros digitales Resistencia de alto valor Cables de conexión

CARACTERISTICAS Sistema modular [KV/m] 283x283 mm (capacitor plano) De 0 a 600 V DC. Para sujeción de los platos De 0 a 250 mm 1 par para sujetar el capacitor De 0 – 1000 V DC. De 10 MΩ De varias longitudes

4. MONTAJE DEL EXPERIMENTO

5. EJECUCION DEL EXPERIMENTO PARTE A: RELACION V(R) y E. Intensidad de campo eléctrico E y potencial eléctrico entre dos placas conductoras 1. El equipo experimental se dispone tal como se muestra en la siguiente figura. 2. Mida una distancia r = 8 cm entre placa y placa. 3. Verifique que la fuente de alimentación del medidor de campo eléctrico se encuentre en su posición MINIMA, luego poco a poco aumente el voltaje hasta alcanzar aproximadamente 15 voltios (voltaje de trabajo del medidor de campo). 4. Verifique que los led ubicados en la parte trasera del medidor de campo eléctrico se estabilicen, quedando únicamente uno encendido. De no lograr que el medidor se estabilice, consulte con su docente.

5. Seleccione la escala de 1kV/m en el medidor de campo eléctrico (para ello presione el botón blanco “RANGE” ubicado en la parte trasera del medidor, presiónelo hasta posicionarse de la escala deseada). 6. Ajustar el medidor de campo eléctrico, manipulando la perilla plateada que se encuentra situado en la parte superior derecha del aparato hasta que el voltímetro llegue a cero. 7. Utilizando la fuente de alto voltaje proporcionar a las placas un potencial eléctrico de V(R) = 20V y leer el potencial eléctrico (Vr) censado por el voltímetro. 8. Manteniendo constante el valor de r, repetir el paso anterior para V(R) = 40V, 60V, 80V y 100V y obtener los valores respectivos de Vr en el voltímetro. 9. Con los datos obtenidos para cada medición, y los cálculos que considere necesarios, complete la tabla 1 de la sección hoja de datos y análisis de resultados. PARTE B: RELACION E(r) y r. 1. Realice los pasos del 3 al 6 de la parte A. 2. Mida una distancia de r=5 cm entre placa y placa. 3. Proporcione a la placa positiva un potencial V(R)=200 V y lea el potencial eléctrico Vr en el voltímetro. 4. Sin variar V(R), aleje la esfera 5 cm más, de la placa del capacitor del medidor de campo eléctrico (la cual se mantendrá fija). Es decir r=10 cm. Lea el potencial eléctrico Vr en el voltímetro y anote el resultado en la tabla 2. 5. Repita el paso 4 para valores de r= (15,20, 25) cm. 6. Con la información obtenida determine la magnitud del campo eléctrico para cada una de las mediciones realizadas. Complete la tabla 2. 6. OBTENCION DE DATOS Tabla 1 V(R) [V] 20 40 60 80 100

Vr [Voltios] 1,2 2,22 3,33 4,43 5,53

E [KV/m]

Vr [Voltios] 6,64 3,42 2,36 1,71 1,28 1

E [V/m]

Tabla 2 r [cm] 3 6 9 12 15 18

7. PROCESAMIENTO DE DATOS PARTE A: V(R) [V]

Vr [Voltios]

E [KV/m]

20 40 60 80 100

1,2 2,22 3,33 4,43 5,53

0,12 0,22 0,33 0,44 0,55

1. Construya la gráfica de E Vs VR (papel milimetrado) trazando la gráfica que mejor describa la tendencia que sugieren los puntos de los datos experimentales. 5. ¿Qué tipo de relación existe entre E y VR (Directa, inversa, exponencial, logarítmica, etc.)? R. Lineal 6. Determine la ecuación experimental que relaciona las variables. R. E = 0,1*V 7. ¿Qué representa la pendiente del gráfico anterior? R. la pendiente representa la diferencia del potencial eléctrico [V] Y como nos podemos dar cuenta el valor de error es mínimo ya que se pudo ver una línea casi perfecta

PARTE B: r [m]

Vr [Voltios] 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18

6,64 3,42 2,36 1,71 1,28 1

E [kV/m] 0,664 0,342 0,236 0,171 0,128 0,100

1. Construya la gráfica de E Vs r (papel milimetrado) En este caso trace una curva que mejor describa la tendencia de los puntos. 2. Determine la ecuación experimental que relaciona las variables en estudio. R. E = 0,7907e-12,13*V

3. Cuáles considera usted, en base el equipo y los procedimientos empleados en el experimento, que fueron los factores que contribuyeron a la obtención de ese porcentaje de error. R. más que todo el error nos podríamos dar cuenta en las mediciones, pero el que tuvo el factor de error más alto fue de la medición con regla en el Sensor. CALCULO DE ERRORES: PARTE A (y)E [KV/m] (x) Vr [Voltios] 1,2 2,22 3,33 4,43 5,53

0,12 0,22 0,33 0,44 0,55

Ahora también hacemos el cálculo de incertidumbre Nº 1 2 3 4 5 ∑

(x) Vr [Voltios] 1,2 2,22 3,33 4,43 5,53 16,71

(y)E [KV/m] 0,12 0,22 0,33 0,44 0,55 1,66

(x)^2

(y)^2

1,44 4,9284 11,0889 19,6249 30,5809 67,6631

0,0144 0,0484 0,1089 0,1936 0,3025 0,6678

Y= 0,1x 0,12 0,222 0,333 0,443 0,553

DESVIACION ESTANDAR DE “y” Desviación estándar de la función estimada ∑(Y − y)2 3,1 ∗ 10−5 𝑆𝑦 = √ =√ = 0,0032 𝑛−2 5−2 DESVIACION ESTANDAR DE LA PENDIENTE (𝝈𝑩 ) La Covarianza se determina por la relación. 1

1

𝑆𝑥𝑥 = ∑ 𝑥 2 − 𝑛 (∑ 𝑥)2 = 67,6631 − 5 (16,71)2 =11,81828 𝑆𝑦 0,0032 𝜎𝐵 = = = 0,00093 √𝑆𝑥𝑥 √11,81828 Determinación del coeficiente de confianza o valor critico ∇𝛼⁄2

(Y-y)^2 0 4E-06 9E-06 9E-06 9E-06 3,1E-05

Para el nivel de confianza del 95% le corresponde un error 5% en valor numérico 𝛼 = 0.05 ∇=

0.05 2

= 0.025

Para n = 5 medidas, los grados de libertad se determina por: v = n-2=5-2=3 Utilizando la tabla del “VALOR CRITICO DE LA DISTRIBUCION T DE STUDENT” DE LA TABLA: ∇𝛼⁄2 =3,182 El error absoluto de la pendiente es: 𝛿𝐵 = ∇𝛼⁄2 ∗ 𝜎𝐵 = 3,182 ∗ 0,00093 = 0,002959 Por propagación de errores, para este caso 𝛿𝐵 = ±0,002959

PARTE B r [m] 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18

E [kV/m] 0,664 0,342 0,236 0,171 0,128 0,100

Ahora también hacemos el cálculo de incertidumbre Nº (x)r [m] (y)E (x)^2 (y)^2 Y = 0,7907e^([kV/m] 12,13*x) 1 0,03 0,664 0,0009 0,440896 0,549505416 2 0,06 0,342 0,0036 0,116964 0,381884661 3 0,09 0,236 0,0081 0,055696 0,265394827 4 0,12 0,171 0,0144 0,029241 0,184438971 5 0,15 0,128 0,0225 0,016384 0,128177834 6 0,18 0,1 0,0324 0,01 0,089078556 ∑ 0,63 1,641 0,0819 0,669181 DESVIACION ESTANDAR DE “y” Desviación estándar de la función estimada 𝑆𝑦 = √

∑(Y − y)2 0,01586377 =√ = 0,06297 𝑛−2 6−2

(Y-y)^2 0,01310901 0,00159079 0,00086406 0,00018061 0,00000003 0,00011928 0,01586377

DESVIACION ESTANDAR DE LA PENDIENTE (𝝈𝑩 ) La Covarianza se determina por la relación. 1 1 𝑆𝑥𝑥 = ∑ 𝑥 2 − (∑ 𝑥)2 = 0,0819 − (0,63)2 = 0,01575 𝑛 6 𝑆𝑦 0,06297 𝜎𝐵 = = = 0,50176 √𝑆𝑥𝑥 √0,01575 Determinación del coeficiente de confianza o valor critico ∇𝛼⁄2 Para el nivel de confianza del 95% le corresponde un error 5% en valor numérico 𝛼 = 0.05 ∇=

0.05 2

= 0.025

Para n = 6 medidas, los grados de libertad se determina por: v = n-2=6-2=4 Utilizando la tabla del “VALOR CRITICO DE LA DISTRIBUCION T DE STUDENT” DE LA TABLA: ∇𝛼⁄2 =2,776

El error absoluto de la pendiente es: 𝛿𝐵 = ∇𝛼⁄2 ∗ 𝜎𝐵 = 2,776 ∗ 0,50176 = 1,3929 Por propagación de errores, para este caso 𝛿𝐵 = ±1,3929

CONCLUSIONES: El potencial eléctrico sólo se puede definir para un campo estático producido por cargas que ocupan una región finita del espacio. Para cargas en movimiento debe recurrirse a los potenciales de Liénard-Wiechert para representar un campo electromagnético que además incorpore el efecto de retardo, ya que las perturbaciones del campo eléctrico no se pueden propagar más rápido que la velocidad de la luz. Si se considera que las cargas están fuera de dicho campo, la carga no cuenta con energía y el potencial eléctrico equivale al trabajo necesario para llevar la carga desde el exterior del campo hasta el punto considerado. La unidad del Sistema Internacional es el voltio (V). Todos los puntos de un campo eléctrico que tienen el mismo potencial forman una superficie equipotencial. Una forma alternativa de ver al potencial eléctrico es que a diferencia de la energía potencial eléctrica o electrostática, él caracteriza sólo una región del espacio sin tomar en cuenta la carga que se coloca allí.

CUESTIONARIO 1. Definir los siguientes conceptos: a) Carga puntual. - Carga que actúa sobre un área muy pequeña o un punto muy concreto de una estructura. También llamada carga concentrada. b) Campo eléctrico.- El campo eléctrico (región del espacio en la que interactúa la fuerza es un campo físico que se representa por medio de un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica. Se puede describir como un campo vectorial en el cual una carga eléctrica puntual de valor sufre los efectos de una fuerza eléctrica dada por la siguiente ecuación: F= qE

c) Carga de prueba. - Una carga eléctrica puntual q (carga de prueba) sufre, en presencia de otra carga q1 (carga fuente), una fuerza electrostática Si eliminamos la carga de prueba, podemos pensar que el espacio que rodea a la carga fuente ha sufrido algún tipo de perturbación, ya que una carga de prueba situada en ese espacio sufrirá una fuerza. La perturbación que crea en torno a ella la carga fuente se representa mediante un vector denominado campo eléctrico. La dirección y sentido del vector campo eléctrico en un punto vienen dados por la dirección y sentido de la fuerza que experimentaría una carga positiva colocada en ese punto: si la carga fuente es positiva, el campo eléctrico generado será un vector dirigido hacia afuera (a) y si es negativa, el campo estará dirigido hacia la carga (b):

d) Líneas de campo eléctrico

El concepto de líneas de campo (o líneas de fuerza) fue introducido por Michael Faraday (1791-1867). Son líneas imaginarias que ayudan a visualizar cómo va variando la dirección del campo eléctrico al pasar de un punto a otro del espacio. Indican las trayectorias que seguiría la unidad de carga positiva si se la abandona libremente, por lo que las líneas de campo salen de las cargas positivas (fuentes) y llegan a las cargas negativas (sumideros):

Las propiedades de las líneas de campo se pueden resumir en:     

El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de campo en cada punto. Las líneas de campo eléctrico son abiertas; salen siempre de las cargas positivas o del infinito y terminan en el infinito o en las cargas negativas. El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a dicha carga. La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo eléctrico en dicho punto. Las líneas de campo no pueden cortarse. De lo contrario en el punto de corte existirían dos vectores campo eléctrico distintos.



A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas están igualmente espaciadas y son radiales, comportándose el sistema como una carga puntual.

e) Vector de campo eléctrico. - se define el vector Campo Eléctrico [E] en un punto en el espacio como la fuerza eléctrica [F] que actúa sobre una carga de prueba positiva colocada en ese punto y dividida por la magnitud de la carga de prueba qo. Es muy importante tener claro que el campo eléctrico NO es producido por la carga de prueba. f) Potencial eléctrico. - El potencial eléctrico en un punto es el trabajo a realizar por unidad de carga para mover dicha carga dentro de un campo electrostático desde el punto de referencia hasta el punto considerado, ignorando el componente irrotacional del campo eléctrico. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga positiva unitaria q desde el punto de referencia hasta el punto considerado, en contra de la fuerza eléctrica y a velocidad constante. Aritméticamente se expresa como el cociente:

g) Superficies equipotenciales. – Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos de un campo escalar en los cuales el "potencial de campo" o valor numérico de la función que representa el campo, es constante. Las superficies equipotenciales pueden calcularse empleando la ecuación de Poisson. El caso más sencillo puede ser el de un campo gravitatorio en el que hay una masa puntual: las superficies equipotenciales son esferas concéntricas alrededor de dicho punto. El trabajo realizado por esa masa siendo el potencial constante, será pues, por definición, cero. Cuando el campo potencial se restringe a un plano, la intersección de las superficies equipotenciales con dicho plano se llaman líneas equipotenciales.

2. Mencione 3 propiedades características de las líneas de campo eléctrico. Dibuje el bosquejo de las configuraciones de las líneas de campo eléctrico para los siguientes casos. a) Una carga puntual positiva b) Una carga puntual negativa c) Un dipolo eléctrico d) La región entre dos placas de cargas iguales y signos opuestos

Las propiedades de las líneas de campo se pueden resumir en: o o o o o o

El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de campo en cada punto. Las líneas de campo eléctrico son abiertas; salen siempre de las cargas positivas o del infinito y terminan en el infinito o en las cargas negativas. El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a dicha carga. La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo eléctrico en dicho punto. Las líneas de campo no pueden cortarse. De lo contrario en el punto de corte existirían dos vectores campo eléctrico distintos. A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas están igualmente espaciadas y son radiales, comportándose el sistema como una carga puntual.

3. Una carga de -8𝝁𝒄 colocada en un punto p, en un campo eléctrico, experimenta una fuerza hacia debajo de 0.006 N ¿ cuál será la magnitud y dirección del campo en dicho punto?