Ketikan Dasar2 Nilam.docx

Gelombang Elektrodinamika Persamaan Gelombang secara umum: 2  2u 2  u C t 2 x 2 2  2u  2u 2  u  C (  )  Persamaan 2 dimensi t 2 x 2 y 2

keterangan :

u = Amplitudo t = Waktu x = Panjang tali C = Cepat Rambat Gelombang

Solusi umum dan solusi khusus Metode pemisahan variabel 2  2u 2  u C  Gelombang tali t 2 x 2

Menggunakan metode pemisahan variabel

u ( x ,t )  X  x  , Tt   2 X  x Tt 

 2 X  x Tt 

C t 2 x 2 2 2 1  Tt  C 2  X x  Tt  t 2 X  x  x 2 2

asumsi bahwa 2 2 1  Tt  C 2  X  x    k2 2 2 Tt  t X  x  x

Misal 2 1  Tt   k 2 2 Tt  t

2 1  X x  k 2 X  x  x 2

d 2T(t )  2Tt  1 2   k  Tt  t 2 dt 2  2Tt  t

 k 2 c 2Tt 

2

D 2Tt   k 2 c 2Tt  D 2  kc D1  ikc

2

D2  ikc kc  

Tt   A exp (ikct) + B exp(-ikct) Tt   A ( cos(  t) + i sin (  t)) + B ( cos(  t) - i sin (  t)) Tt   A1cos(  t) + B1sin (  t) Tt  



cost  sint 

2 1  X x  k2 X  x  x 2

X  x   C1 coskx  D1 sin kx X x 



cos  kx  sin kx 

Subtitusi ke u (x,t) = u ( x ,t )  X  x  , Tt  =



coskx  sinkx 



cost  sint 

 fungsi solusi umum 1 dimensi

Ini merupakan solusi umum gelombang 1 dimensi. Solusi khusus

Gelombang tali (2 ujung = Fixed)

L Pada saat

x 0u  0 x  L u 0

syarat batas

Karena menggunakan syarat batas, maka: x=0 x=u u=0

L  cosk 0  0  sin k 0 

0  sin kL arcsin 0   kL

n  kL

n  0, 1, 2, 3, ... k

n L

 n   n    sin L x  cos L ct  u (x,t)    n   n  sin x  sin ct    L  L 

Syarat awal

u 0 t

Pada saat t = 0, maka

u    n   cos t t   L

  ct   

d   n    cos ct  dt   L   d  cos t  dt   sin t 



Dimana

n c di asumsikan x atau 1 L

 n   n  u  x, t   sin  x  cos ct   L   L   n   n  u  x, t   bn sin  x  cos ct   L   L    n   n  u   bn sin  x  cos ct   L   L  n 0

Asumsi

u 0 t

  n  u 0   bn sin  x  L  n 0 1  bn   f  x  sin nx dx





1 L  n  f  x  sin  x dx   L L  L  L 1 0  n   n   bn    f  x  sin  x dx   f  x  sin  x dx  0 L  L  L   L  

bn 

2x L 2 1 x L L x 2 y

Gelombang elektromagnetik Persamaan maxwell 1. Hukum gaus tentang kelistrikan ⃗∇𝐹 = 𝜌 ⃗ = 𝜀0 𝐸⃗ 𝐷 𝜀0

∇. 𝐷 = 𝜌 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜌 𝑑𝑖𝑣(𝐷) ⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑖𝑣(𝐸)

𝜌 𝜀0

𝜕𝐸⃗ 𝜕𝐸⃗ 𝜌 𝑖̂ + 𝐽̂ = (2𝐷) 𝜀0 𝜕𝑌 𝜀0 𝜕𝐸⃗ 𝜌 = (1𝐷) 𝜕𝑥 𝜀0 Perubahan medan listrik terhadap posisi berbanding lurus dengan kerapatan dan berbanding terbalik dengan 𝜀0 tetap dengan syarat perubahan posisi tadi dapat 𝑘𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛 =

𝜌

menghasilkan 𝜀 dan tidak bisa sebaliknya 0

𝑑𝑖𝑣 𝐸⃗ =

𝜕𝐸⃗ 𝜕𝐸⃗ 𝜕𝐸⃗ 𝑖̂ + 𝑗̂ + 𝑘̂ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝑑𝑖𝑣 𝐸⃗ =

𝜕𝐸⃗ 𝜕𝐸⃗ 𝑖̂ + 𝑗̂ 𝜕𝑥 𝜕𝑦

(2𝐷)

(3𝐷)

2. Hukum gauss tentang kemagnetan ⃗D. 𝐵 ⃗ =0 ⃗)=0 div(B 3. Hukum paraday −𝜕𝐵 ⃗∇. 𝐸⃗ = 𝜕𝑡 Dimana perputaran medan listrik menghasilkan perubahan medan magnet dengan waktu dan arahnya berlawanan.

4. Hukum Ampere 𝜕𝑡̂ ) 𝜕𝑡 Dari empat persamaan maxwell tersebut akan diperoleh persamaan gelombang 𝜕2𝑢 1 ∂2 E ⃗ 2 t2 = 2 ∇2 u → . C∇ 𝜕𝑡 𝐶 ∂t 𝜕𝐵2 = ∇2 𝐵 𝜕𝑡 2 ⃗∇𝑋𝐵 ⃗ = 𝜇0 (𝑗 + 𝜀0

Persamaan umum Gelombang Elektromagnetik

 2u  C 2 2u 2 t Persamaan Gelombang Elektromagnetik 1. Medan Listrik 

  2 E 2    B 2 t

2. Medan Magnet 

  2 B 2    B 2 t

Persamaan Maxwell 





 E 

 0











 E  0



 B  0



B  E   t 











0 J



 B  



 B   0  0



0



  0 0

E t

E t

Untuk menentukan persamaan gelombang pada medan listrik       E   

    B          B  t    t      E    0 0 t  t    

E   0 0 t

Persamaan divergen 

             E     E    2 E     



       E    2 0    2 E   

       E     2 E   2    E   0 0 2    2 E t



2 E 1 2    E  0 0 t 2 2 Dimana C 

1

 0 0

C 

1

 0 0

Sehingga 

  2 E 2 2  C  E 2 t   2 2 E 2  E   C  2   (Bentuk sinusoidal) t 2  x   

 2

 

    2 2 2 x y z

Maka persamaan: Medan listrik 

2 E 1 2    E  0 0 t 2 Medan magnet 

2 B 1 2    B  0 0 t 2

atau



      2 E  div   E     E  

Tentukan solusi umum 𝑑2 𝑥 = 𝑔 → 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑥

Misal 𝑑𝑡 = 1

∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑡

→

𝑥 + 𝑎 = 𝑡 + 𝑐2

𝑥(𝑡) = 𝑡 + 𝑐1

𝑥 = 𝑡 + 𝑐2 − 𝑐1

2=0+2

𝑥 =𝑡+𝑐

𝑐=2

𝑑2 𝑥 =𝑔 𝑑𝑡 2 ∫ 𝑑2 𝑥 = ∫ 𝑔 𝑑𝑡 2 𝑑𝑥 + 𝑐1 = 𝑔 + 𝑑𝑡 + 𝑐2 𝑑𝑥 = 𝑔 + 𝑑𝑡 + 𝑐 1 𝑥 + 𝐴 = 𝑔𝑡 2 + 𝑐 2 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2 Misal

𝑡=0→𝑥=2

𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 𝑔𝑡 + 𝑐

1 𝑥 + 𝑐3 = 𝑔𝑡 2 + 𝑐𝑡 − 𝑐4 2 1 𝑥 + 𝑐3 = 𝑔𝑡 2 + 𝑐1 + 𝑐4 − 𝑐3 2 1 𝑥 = 𝑔𝑡 2 + 𝑐𝑡 + 𝑐5 2 1 𝑥 = 𝑔𝑡 2 + 𝑣0𝑡 + 𝑥0 2 1 𝑥 = 𝑔𝑡 2 + 0𝑡 = 0 2 1 𝑥 = 𝑔𝑡 2 2 𝑎 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑐 𝑑2 𝑥 = 𝑥 … … … (1) 𝑑𝑡 2 𝑑

Misal 𝑑𝑡 = 𝐷

Maka persamaan 1 menjadi 𝐷2𝑥 = 𝑥 𝐷2𝑥 − 𝑥 = 0 (𝐷 2 − 1)𝑥 = 0 𝐷2 − 1 = 0 𝐷2 = 1 𝐷; ±1 𝐷(𝑡) = 𝐴exp(𝑡) + 𝐵exp(𝑡) (−2𝑡) → 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝐷=

𝑑 𝑑𝑡

(𝐷 2 𝑥) − (𝐷𝑥 − 𝐸𝑥) = 0 (𝐷 2 − 𝐷 − 𝐸𝑥) = 0 (𝐷 − 3) + (𝐷 + 2) = 0 𝐷1 = 3

𝐷2 = −2

𝑋𝑡 = 𝐴𝑒𝑥𝑝 (3𝑡) + 𝐵𝑒𝑥𝑝 (−2𝑡) 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑥 , 𝑦(𝑦) 𝜕 2 𝑥(𝑥) 𝑦𝑦 𝜕 2 𝑥(𝑥) 𝑦𝑦 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2 𝑦(𝑦) 𝑥

𝜕 2 𝑥(𝑥) 𝑦𝑦 𝜕 2 𝑥(𝑥) 𝑦𝑦 + 𝑥 =0 (𝑥) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 2 1

𝑥(𝑥)𝑦(𝑦)

1 𝜕 2 𝑥(𝑥) 1 𝑑2 𝑦(𝑦) 2 −𝑘 | | = −𝑘 2 𝑥(𝑡) 𝜕𝑥 2 𝑦(𝑦) 𝜕𝑦(𝑦) 𝑥(𝑥) = 𝐴exp(𝑖𝑘𝑥) + 𝐵exp(−𝑖𝑘𝑥) 𝑦(𝑦) = 𝐶 + 𝐷exp(−𝑖𝑘𝑥)

𝑢(𝑥,𝑦) = 𝑥(𝑥) 𝑦(𝑦) = 𝐴exp(𝑖𝑘𝑥) + 𝐵exp(−𝑖𝑘𝑥) 𝐶exp(𝑖𝑘𝑦) + 𝐷exp(−𝑖𝑘𝑦) = 𝐴𝐶exp(𝑖𝑘𝑥+𝑖𝑘𝑦) + 𝐴𝐷exp(−𝑖𝑘𝑥−𝑖𝑘𝑦) + 𝐵𝐶exp(𝑖𝑘𝑥+𝑖𝑘𝑦) + 𝐵𝐷exp(−𝑘𝑥−𝑖𝑘𝑦) = 𝐴1 exp(𝑘(𝑖𝑘𝑦)) + 𝐴2 exp(𝑘(𝑖𝑥𝑦)) + 𝐴3 exp(𝑘(𝑦−𝑖𝑥)) + 𝐴4 exp(−𝑘(𝑖𝑥+𝑦)) = 𝐴0 exp(±𝑖𝑘𝑥±𝑘𝑦) = 𝐴0 exp 𝑘(±𝑖𝑥±𝑦)