Kel 1 If E Revisi

Bab 5

Nilai dari sebuah Evaluasi Dalam bab ini • • •

Mengevaluasi pernyataan SL Mengidentifikasi operator utama pernyataan Mengetahui delapan bentuk dari pernyataan SL

Orang menyukai kesederhanaan. Have you ever read halfway through a movie review and then skipped to the end to find out whether the movie got a thumbs up or a thumbs down? Or, have you paged through a car magazine checking out how many stars every car received? I’m sure you never sat with a friend rating the guys or girls you both know on a scale of 1 to 10. Pernahkah anda membaca ulasan tentang film setengah jalan kemudian melompat ke akhir ulasan untuk mengetahui apakah film tersebut bagus atau tidak?. Atau kamu membolak-balik majalah mobil untuk mengetahui berapa banyak bintang yang diterima setiap mobil?.saya yakin anda tidak pernah duduk dengan teman merating laki-laki atau perempuan yang sama-sama kalian tahu dalam skala 1 sampai 10. Movies, cars, guys, and girls are complicated. There’s so much to understand. But people love simplicity. I’m sure you, like me, feel a sense of relief when you can reduce all of that complexity down to something small enough to carry in your pocket. Film , mobil , laki-laki , dan perempuan mereka semua rumit. Banyak hal yang harus dimengerti. Tetapi setiap orang menyukai kesederhanaan. Saya yakin kamu , seperti saya , akan merasa lega ketika kamu bisa mengurangi semua kompleksitas itu menjadi sesuatu yang cukup kecil untuk dibawa di dalam saku anda. Logic was invented with this need in mind. In Chapter 4, you discover how to take a complicated statement in English and write it with just a few symbols in SL. In this chapter, you take this one step further by figuring out how to take a

complicated statement in formal logic and reduce it to a single truth value: either T or F. Like the thumbs up or thumbs down of movie reviews, life doesn’t get much simpler than that. Logika diciptakan dengan kebutuhan dalam pikiran. Di bab 4 anda menemukan bagaimana mengambil pernyataan yang rumit dalam bahasa Inggris dan menulisnya hanya dengan beberapa simbol di SL. Dalam bab inin , anda akan mengambil satu langkah lebih jauh dengan mencari tahu bagaimana mengambil pernyataan rumit dalam logika formal dan menguranginya ke sebuah nilai kebenaran tunggal: baik T atau F. Seperti halnya diacungi jempol atau tidak sebuah ulasan film, hidup tidak jauh lebih sederhana dari itu. This conversion process is called evaluating a statement or computing a statement’s truth value. Whichever term you use, it’s one of the key skills you need in your study of logic. After you’ve mastered this process, a lot of locked doors will suddenly fling themselves open. Proses perubahan ini dinamakan mengevaluasi sebuah kalimat atau memperhitungkan nilai kebenaran sebuah kalimat. Apapun istilah yang Anda gunakan, inilah salah satu kunci kemampuan yang Anda butuhkan dalam pelajaran logika Anda. Setelah Anda menguasai proses ini, banyak pintu yang terkunci tiba-tiba akan terbuka sendiri. Value Is the Bottom Line An important aspect of SL is that it allows you to simplify complex statements through the process of evaluation. When you evaluate an SL statement, you replace all of its constants with truth values (T or F) and then reduce the statement to a single truth value. When you think evaluation, remember that it means to find the value of something. Sebuah aspek penting dari SL adalah bahwa hal tersebut memungkinkan anda untuk menyederhanakan pernyataan kompleks melalui proses evaluasi. Ketika anda mengevaluasi sebua pernyataan SL, anda mengganti seluruh konstantanya dengan nilai kebenaran (T atau F) dan kemudian mengurangi pernyataan menjadi nilai kebenaran tunggal. Ketika anda berfikir tentang evaluasi, ingat bahwa itu maksudnya adalah untuk menemukan nilai dari sesuatu. Correctly evaluating statements is probably the most important skill to master early on in your study of logic. Students who have trouble with this skill suffer for two reasons:  It’s time-consuming and frustrating if you don’t know how to do it well.  It’s the first step you need to handle a bunch of other stuff, as you see later on in the book.

Mengevaluasi pernyataan dengan benar mungkin adalah keterampilan paling penting untuk menguasainya lebih cepat dalam pembelajaran logika anda. Pelajar yang mempunyai masalah dengan keterampilan ini kesulitan dalam dua hal :  Ini memakan waktu dan membuat frustasi jika anda tidak mengetahui bagaimana melakukannya dengan benar.  Ini adalah langkah pertama yang anda butuhkan untuk mengatasi banyak hal, seperti yang akan anda temukan di buku ini. Here’s the good news: Evaluating is a plug-and-chug skill. It doesn’t require cleverness or ingenuity. You just need to know the rules of the game, and then you need to practice, practice, practice. Berikut kabar baiknya : mengevaluasi adalah kemampuan menyumbat dan bunyi letusan kecil. Tidak membutuhkan kepintaran atau kejeniusan. Anda hanya harus mengetahui aturan permainan, dan kemudian yang anda butuhkan adalah berlatih, berlatih, dan berlatih. Those rules of the game for evaluating SL statements are a lot like the rules you already know for evaluating arithmetic statements. (Check out Chapter 4, where I outline other similarities between SL and arithmetic.) For example, take a look at this simple arithmetic problem: 5 + (2 x (4 - 1)) = ? Peraturan-peraturan permainan itu untuk mengevaluasi pernyataan SL ada banyak seperti peraturan yang sudah anda ketahui untuk mengevaluasi pernyataan aritmatika. (Periksa bab 4 , dimana saya harus menggarisbawahi kemiripan antara SL dan aritmatika). Contohnya , lihat pada permasalahan aritmatika sederhana dibawah ini : 5 + (2 x (4 - 1)) = ? To solve the problem, first evaluate what’s inside the innermost set of parentheses. That is, because the value of 4 – 1 is 3, you can replace (4 – 1) with 3, and the problem becomes: 5 + (2 x 3) = ? Untuk memecahkan permasalahan, pertama mengevaluasi apa yang ada di dalam tanda kurung. Itu adalah, karena nilai dari 4 – 1 adalah 3 , anda bisa mengganti (4 - 1) dengan 3, dan permasalahan kemudian menjadi : 5 + (2 x 3) = ?

Next, evaluate what’s inside the remaining set of parentheses. This time, because the value of 2 × 3 is 6, you can make another replacement: 5+6=? Kemudian , mengevaluasi apa yang ada didalam tanda kurung yang tersisa. Kali ini, karena nilai dari 2 . 3 adalah 6, anda bisa membuat penggantian yang lain : 5+6=? At this point, the problem is easy to solve. Because 5 + 6 evaluates to 11, this is the answer. Through a series of evaluations, a string of numbers and symbols reduces to a single value. Pada titik ini, permasalahan mudah untuk dipecahkan. Karena 5 + 6 jika dievaluasi menjadi 11, inilah jawabannya. Melalui serangkaian evaluasi , serangkaian angka dan symbol dikurang kedalam sebuah nilai tunggal.

Getting started with SL evaluation Look at the following problem in SL: Evaluate the statement ~(~P → (~Q & R) Lihat pada permasalahan SL dibawah ini: Evaluasilah pernyataan ~(~P → (~Q & R) Here, the goal is the same as with an arithmetic problem: You want to evaluate the statement that you’re given, which means you need to find its value. Di sini, tujuannya adalah sama dengan permasalahan aritmatika : anda ingin mengevaluasi pernyataan yang diberikan kepada anda , yang artinya anda harus menemukan nilainya. In the arithmetic problem I discussed earlier in the chapter, though, you already knew the values of the four numbers (5, 2, 4, and 1). In the SL problem, you need to know the values of P, Q, and R. That is, you need to know an interpretation for the statement. Dalam permasalahan aritmatika yang sudah saya diskusikan di bab sebelumnya, walaupun , anda sudah mengetahui nilai dari keempat angka (5, 2, 4, dan 1). Pada permasalahan SL anda harus mengetahui nilai dari P, Q , dan R. Artinya, anda harus mengetahui sebuah penafsiran untuk pernyataan An interpretation of a statement is a fixed set of truth values for all of the constants in that statement.

Sebuah penafsiran dari sebuah pernyataan adalah seperangkat nilai kebenaran yang tetap untuk semua konstanta dalam pernyataan tersebut. For example, one possible interpretation for the statement is that P = T, Q = F, and R = T. Sebagai contoh, salah satu kemungkinan interpretasi untuk pernyataan ini adalah bahwa P = T, Q = F, dan R = T. Remember that P, Q, and R are constants and that T and F are truth values. So when I write P = T, this is doesn’t mean that these two things are equal. Instead, it is notation that means “the truth value of P is T. Ingat bahwa P, Q, dan R adalah konstanta dan bahwa T dan F adalah nilai-nilai kebenaran. Jadi ketika aku menulis P = T, ini tidak berarti bahwa ada dua hal yang sama. Sebaliknya, adalah notasi yang berarti "nilai kebenaran dari P adalah T”. You may not know for certain that this interpretation is correct, but you can still solve the problem under this interpretation — that is, under the assumption that it is correct. So, the full problem in this case would be: Anda mungkin tidak tahu dengan pasti bahwa penafsiran ini benar, tetapi Anda masih bisa memecahkan masalah di bawah penafsiran ini - yaitu, di bawah asumsi bahwa itu benar. Jadi, seluruh masalah dalam kasus ini adalah: Under the interpretation P = T, Q = F, R = T, evaluate the statement ~(~P → (~Q & R)). Di bawah penafsiran P = T, Q = F, R = T, mengevaluasi pernyataan ~(~P → (~Q & R)). Now you can solve this problem. The first thing to do is replace each constant with its truth value: ~(~T → (~F & T)) Sekarang Anda dapat memecahkan masalah ini. Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengganti setiap konstanta dengan nilai kebenaran: ~(~T → (~F & T)) After you replace the constants in an SL statement with their truth values, technically you don’t have a statement any more, and the purists may scowl. But while you are learning about evaluation, turning SL statements into expressions of this kind is helpful.

Setelah Anda mengganti konstanta dalam sebuah pernyataan SL dengan nilai-nilai kebenaran, secara teknis Anda tidak memiliki pernyataan lagi, dan orang-orang yang mempertahankan bahasa akan marah. Tetapi sementara Anda belajar tentang evaluasi, mengubah pernyataan SL menjadi ungkapan seperti ini akan sangat membantu. The second and third ~-operators are directly linked to truth values, which makes them easy to evaluate because the value of ~T is F and the value of ~F is T. (Check out Chapter 4 for a refresher on working with the logical operators that you find in this chapter.) So, you can rewrite the expression: ~(F→ (T & T)) Kedua dan ketiga ~-operator secara langsung terkait dengan nilai-nilai kebenaran, yang membuat mereka mudah untuk mengevaluasi karena nilai ~ T adalah F dan nilai ~ F adalah T. (Lihat Bab 4 untuk penyegaran pada kerja sama dengan operator logis yang Anda temukan dalam bab ini.) Jadi, Anda dapat menulis ulang persamaan: ~(F→ (T & T)) Parentheses in SL work just as they do in arithmetic. They break up an expression so that it’s clear what you need to figure out first. In this case, the innermost set of parentheses contains T & T. And because the value of T & T is T, this expression simplifies to: ~(F→ T) Tanda Kurung di SL bekerja seperti yang mereka lakukan dalam aritmatika. Mereka memisahkan sebuah ekspresi sehingga jelas apa yang Anda perlu ketahui terlebih dahulu. Dalam kasus ini, terdalam set kurung mengandung T & T. Dan karena nilai T & T adalah T, ungkapan ini disederhanakan menjadi: ~(F→ T) Now, evaluate what’s in the remaining set of parentheses. Because the value of F → T is T, the expression simplifies further to: ~ (T) Sekarang, evaluasi apa yang ada di tanda kurung yang tersisa. Karena nilai F → T adalah T, penyederhanaan ekspresi lebih jauh menjadi : ~ (T)

At this point, it’s easy to see that ~T evaluates to F, which is the answer. The result here is similar to the result of the arithmetic problem: You started with a complex statement and evaluated it by finding its value, which in logic is always either T or F. Pada titik ini, sangat mudah untuk melihat bahwa ~ T mengevaluasi ke F, yang merupakan jawaban. Hasilnya di sini adalah serupa dengan hasil masalah aritmatika: Anda mulai dengan pernyataan yang kompleks dan dievaluasi dengan mencari nilainya, yang dalam logika adalah selalu T atau F.

Stacking up another method The evaluation method I used in the previous section works for all statements in SL, no matter how complex they are. In this next example, I use the same method with a small cosmetic change: Instead of rewriting the entire equation at every step, I just accumulate truth values as I go along. Here’s a new problem: Metode evaluasi yang saya gunakan dalam bagian sebelumnya bekerja untuk semua pernyataan di SL, tidak masalah seberapa rumit mereka. Dalam contoh berikut ini, saya menggunakan metode yang sama dengan sedikit perubahan kosmetik: Alih-alih menulis ulang seluruh persamaan di setiap langkah, saya hanya mengumpulkan nilai-nilai kebenaran setiap saya maju. Berikut adalah masalah baru: Evaluasi ~(~P & (~Q↔R)) menggunakan penafsiran P = F, Q = T, and R = T. The first step is to replace the constants by their truth values. In the previous section’s example, I rewrote the whole equation. This time, just place the truth value for each constant directly below it: ~(~P & (~Q ↔ R)) F T T Langkah pertama adalah mengganti konstanta dengan nilai-nilai kebenarannya. Pada contoh bagian sebelumnya , saya menulis ulang seluruh persamaan. Kali ini, hanya menempatkan nilai kebenaran untuk setiap konstanta tepat di bawah ini: ~(~P & (~Q ↔ R)) F T T This example has two ~-operators that immediately precede constants. These operators are very easy to work with: Simply put the correct value under each operator. As you can see the new values are larger, and the underlined values next to them show you where these values came from. ~(~P & (~Q ↔ R)) TF FT T

Contoh ini memiliki dua ~-operator yang segera mendahului konstanta. Sangat mudah bekerja dengan operator-operator ini : Cukup meletakkan nilai yang benar di bawah masing-masing operator. Seperti yang dapat Anda lihat nilai-nilai yang baru lebih besar, dan nilai-nilai yang digarisbawahi di samping mereka menunjukkan kepada Anda darimana nilai-nilai ini berasal. ~(~P & (~Q ↔ R)) TF FT T At this stage, don’t try to evaluate any ~-operator that immediately precedes an open parenthesis. Because this operator negates everything inside the parentheses, you have to wait until you know the value of everything inside before you can put the operator into play. Pada tahap ini, jangan mencoba untuk mengevaluasi ~-operator yang segera mendahului kurung terbuka. Karena operator ini mengingkarkan segala sesuatu yang berada di dalam kurung, Anda harus menunggu sampai Anda tahu nilai dari segala sesuatu di dalam sebelum Anda meletakkan operator ke dalam permainan. Now you can work on what’s inside the parentheses. Be sure to start on the inside set. The operator you’re evaluating here is the ↔-operator. On one side of it, the value of ~Q is F. On the other side, the value of R is T. That gives you F↔T, which evaluates to F. Place this value, directly under the operator you just evaluated, which is the ↔-operator. Doing so allows you to see that the value of everything inside the parentheses is F: ~(~P & (~Q ↔ R)) TF FT F T Sekarang anda dapat bekerja dengan apa yang ada di dalam tanda kurung. Yakinlah untuk memulai dengan yang ada di dalamnya. Operator yang anda evaluasi disini adalah operator ↔ . Pada salah satu sisinya, nilai dari ~Q adalah F. Di sisi lain, nilai dari R adalah T . Itu memberikan anda F ↔ T , yang dievaluasi menjadi F. Tempatkan nilai ini, tepat dibawah operator yang baru saja anda eveluasi , yang adalah operator ↔. Hingga memberikan pandangan kepada anda bahwa setiap nilai dari segala sesuatu dalam tanda kurung adalah F : ~(~P & (~Q ↔ R)) TF FT F T

Now move outward to the next set of parentheses. Here, you’re evaluating the &operator. On one side, the value of ~P is T. On the other side, the value of everything inside the inner parentheses (that is, the value under the ↔) is F. That gives you T & F, which evaluates to F. Place this value under the &-operator:

~(~P & (~Q ↔ R)) TF F FT F T Sekarang pindah ke sisi luar ke perangkat tanda kurung berikutnya. Disini, anda mengevaluasi operator &. Pada satu sisi, nilai dari ~P adalah T. Di sisi lainnya, nilai dari segala sesuatu yang ada di dalam inti tanda kurung (yaitu, nilai dibawah ↔) adalah F. Itu memberikan anda T & F, yang dievaluasi menjadi F. Tempatkan nilai ini di bawah operator &: ~(~P & (~Q ↔ R)) TF F FT F T The final step is to evaluate the entire statement. The operator you’re evaluating now is the ~-operator. This negates everything inside the parentheses — meaning the value under the &-operator, which evaluates to F. Place this value under the ~-operator: ~(~P & (~Q ↔ R)) T TF F FT F T Langkah terakhir adalah mengevaluasi seluruh pernyataan. Operator yang sedang anda evaluasi sekarang adalah operator ~. Ini mengingkarkan segala sesuatu di dalam tanda kurung - yang berarti nilai di bawah operator &, yang dievaluasi menjadi F. Tempatkan nilai ini di bawah operator ~: ~(~P & (~Q ↔ R)) T TF F FT F T Now, everything is evaluated, so this last value, T, is the value of the whole statement. In other words, when P = F, Q = T, and R = T, the statement ~(~P & (~Q↔R)) evaluates to T. As you can see, evaluation allows you to turn a great deal of information into a single truth value. It doesn’t get much simpler than that! Sekarang, semuanya terevaluasi, sehingga nilai terakhir ini, T, adalah nilai dari seluruh pernyataan. Dengan kata lain, apabila P = F, Q = T, dan R = T, pernyataan ~ (~ P & (~ Q ↔ R)) dievaluasi menjadi T. Seperti yang Anda lihat, evaluasi memungkinkan Anda untuk mengubah banyak informasi ke dalam satu nilai kebenaran. Tidak bisa jauh lebih sederhana dari itu!

Making a Statement Now that you’ve had a taste of evaluation, I’m going to give you a closer look at how SL statements work. After you understand a little bit more about statements, you’ll find that they practically evaluate themselves.

Sekarang Anda sudah merasakan evaluasi, saya akan memberi Anda pandangan yang lebih dekat tentang bagaimana pernyataan SL bekerja. Setelah Anda memahami sedikit lebih banyak tentang pernyataan, Anda akan menemukan bahwa mereka hampir mengevaluasi diri mereka sendiri.

Identifying sub-statements A sub-statement is any piece of a statement that can stand on its own as a complete statement. Sebuah sub-pernyataan adalah setiap bagian dari sebuah pernyataan yang dapat berdiri sendiri sebagai sebuah pernyataan lengkap. For example, the statement P 0 (Q & R) contains the following two substatements that can stand on their own as complete statements:  Q&R  P Sebagai contoh, pernyataan P ˅ (T & R) berisi dua substatements berikut yang dapat berdiri sendiri sebagai pernyataan lengkap:  Q&R  P And here is an example of a piece of the statement P ˅ (Q & R) that is not a substatement: 0 (Q &. Even though this is a piece of the statement, it obviously isn’t a complete statement in its own right. Instead, it’s just a meaningless string of SL symbols. (In Chapter 13, you discover the fine points of how to tell a statement from a string of symbols.) Dan di sini adalah contoh dari sepotong pernyataan P ˅ (T & R) yang bukan sub-pernyataan: ˅ (Q &. Meskipun ini adalah bagian dari pernyataan, itu jelas bukanlah pernyataan lengkap pada dirinya sendiri. Sebaliknya, itu hanya rangkaian simbol SL yang tidak berarti. (Dalam Bab 13, Anda menemukan pokokpokok tentang bagaimana menceritakan sebuah pernyataan dari serangkaian simbol.)

When you evaluate a statement, you begin by placing values on the smallest possible sub-statements, which are the individual constants. Ketika Anda mengevaluasi sebuah pernyataan, Anda memulai dengan menempatkan nilai pada kemungkinan terkecil sub pernyataan, yang mana

merupakan konstanta individu. For example, suppose you want to evaluate the statement P 0 (Q & R) based on the interpretation P = T, Q = T, R = F. You begin by placing the truth value below each constant: P ˅ (Q & R) T T F Misalnya, Anda ingin mengevaluasi pernyataan P ˅ (T & R) berdasarkan penafsiran P = T, Q = T, R = F. Anda mulai dengan menempatkan nilai kebenaran di bawah setiap konstanta: P ˅ (Q & R) T T F Now you can evaluate the larger sub-statement Q & R: P ˅ (Q & R) T T FF Sekarang Anda dapat mengevaluasi sub-pernyataan yang lebih besar Q & R: P ˅ (Q & R) T T FF Finally, you can evaluate the whole statement: P ˅ (Q & R) T T T F F Akhirnya, anda dapat mengevaluasi seluruh pernyataan: P ˅ (Q & R) T T T F F As you can see, evaluation of a long statement works best when you break it down piece by piece into sub-statements that can be evaluated more easily. Seperti yang dapat Anda lihat, evaluasi pernyataan yang panjang bekerja sangat baik bila Anda memecahkannya satu per satu ke dalam sub-pernyataan yang dapat dievaluasi dengan lebih mudah.

Scoping out a statement Once you know what a sub-statement is, it’s easy to understand the scope of an operator. The scope of an operator is the smallest sub-statement that includes the operator in question. Setelah Anda tahu apa itu sub-pernyataan, mudah untuk memahami lingkup operator. Jangkauan dari sebuah operator adalah sub-pernyataan terkecil yang termasuk operator dalam pertanyaan. For example, take the statement (P → (Q ˅ R)) ↔S. Suppose you want to know the scope of the ˅-operator. Two possible sub-statements that include this operator are P → (Q ˅ R) and Q ˅ R. The shorter of the two is Q ˅ R, so this is the scope of the operator Contohnya, ambil pernyataan (P → (Q ˅ R)) ↔S. Anda ingin mengetahui jangkauan dari operator ˅. Dua kemungkinan sub-pernyataan yang termasuk operator ini adalah P → (Q ˅ R) and Q ˅ R. Yang paling pendek diantara keduanya adalah Q ˅ R, jadi inilah jangkauan dari operator. You can also think of an operator’s scope as the range of influence that this operator holds over the statement. Anda juga bisa berfikir tentang jangkauan sebuah operator sebagai range of influence (kisaran pengaruh) bahwa operator ini memegang pernyataan. To illustrate the range of influence, I’ve underlined the scope of the ˅ -operator in the following statement: (P → (Q ˅ R)) ↔S Untuk menggambarkan kisaran pengaruh , saya sudah menggarisbawahi jangkauan dari operator ˅ di pertanyaan dibawah ini : (P → (Q ˅ R)) ↔S This shows that the ˅-operator affects, or influences, the constants Q and R, but not the constants P or S. Hal ini menunjukkan bahwa operator ˅ mempengaruhi, atau pengaruh , konstanta Q dan R tetapi tidak konstanta Patau S. In contrast, I’ve underlined the scope of the →-operator in the same statement: (P → (Q ˅ R)) ↔S

Sebaliknya, saya sudah mengarisbawahi jangkauan dari operator → di dalam pernyataan yang sama : (P → (Q ˅ R)) ↔S This shows that the →-operator’s range of influence includes the constant P and the sub-statement (Q ˅ R), but not the constant S. Hal ini menunjukan bahwa kisaran pengaruh (range of influence) operator → termasuk konstanta P dan sub-pernyataan (Q ˅ R ), tetapi tidak konstanta S. Before you can evaluate an operator, you need to know the truth value of every other constant and operator in its scope. And, once you understand how to find the scope of an operator, it’s easy to see why you need to begin evaluating a statement from inside the parentheses. Sebelum Anda dapat mengevaluasi operator, Anda perlu mengetahui nilai kebenaran setiap konstanta dan operator lain dalam jangkauannya. Dan, setelah Anda memahami bagaimana menemukan jangkauan operator, akan mudah untuk melihat mengapa Anda perlu memulai mengevaluasi sebuah pernyataan dari dalam kurung. For example, in the statement (P → (Q ˅ R)) ↔S, the ˅ -operator is within the scope of the →-operator. This means that you can’t evaluate the →-operator until you know the value of the ˅-operator. Sebagai contoh, pada pernyataan (P → (Q ˅ R)) ↔S, operator ˅ berada didalam jangkauan operator → . Ini artinya anda tidak dapat mengevaluasi operator → sampai anda tahu nilai dari operator ˅. Be careful when figuring out the scope operators in statements with ~-operators. The scope of a ~-operator is always the smallest sub-statement that immediately follows it. When a ~-operator is in front of a constant, its scope includes only that constant. You can think of a ~-operator in front of a constant as being bound to that constant. For example, the scope of the first ~-operator is underlined: ~P & ~(Q & R) Hati-hati ketika mencari tahu jangkauan operator dalam pernyataan dan operator ~. Jangkauan operator ~ adalah selalu sub-pernyataan terkecil yang langsung mengikutinya. Ketika operator ~ berada didepan konstanta , jangkauannya hanya termasuk konstanta tersebut. Anda bisa berfikir bahwa operator ~ di depan konstanta sudah terikat dengan konstanta tersebut. Contohnya , jangkauan dari operator ~ pertama adalah yang digarisbawahi :

~P & ~(Q & R) In contrast, when a ~-operator is in front of an open parenthesis, its scope is everything inside that set of parentheses. For example, the scope of the second ~operator is underlined: ~P & ~(Q & R) Sebaliknya, ketika sebuah operator ~ di depan kurung terbuka, cakupannya adalah segala sesuatu di dalam kumpulan tanda kurung. Sebagai contoh, ruang lingkup operator ~ kedua digarisbawahi: ~P & ~(Q & R) Similarly, you might underline the scope of the 0-operator in the statement ~(P ˅ Q) as follows: ~(P ˅ Q)

wrong

Demikian pula, Anda mungkin menggarisbawahi lingkup operator ˅ dalam pernyataan ~(P ˅ Q) sebagai pengikutnya : ~(P ˅ Q)

salah

In this case, the ~-operator is outside the parentheses, so it’s outside the scope of the ˅-operator. ~(P ˅Q)

right

Dalam kasus ini, operator ~ di luar tanda kurung, jadi itu di luar lingkup operator ˅. ~(P ˅Q)

benar

So when you’re evaluating this statement, first evaluate the sub-statement P ˅Q, and then evaluate the entire statement. Jadi ketika anda mengevaluasi pernyataan ini, pertama evaluasi sub-pernyataan P ˅Q, terlebih dahulu kemudian evaluasi seluruh pernyataan.

The main attraction: Finding main operators The main operator is the most important operator in a statement, for the followingreasons:  Every SL statement has just one main operator.  The scope of the main operator is the whole statement. Thus, the main operator affects every other constant and operator in the statement.  The main operator is the last operator that you evaluate. This fact makes sense when you think about it: Because the scope of the main operator is everything else in the statement, you need to evaluate everything else before you can evaluate the main operator. For example, suppose you want to evaluate (P → (Q↔R)) & S under a given interpretation. First you need to evaluate the sub-statement Q↔R to get the value of the ↔operator. Doing this allows you to evaluate P →(Q↔R) to get the value of the →-operator. And finally, you can evaluate the whole statement, which gives you the value of the statement’s main operator, the &-operator. (I show you how to find the main operator laterin this section.)  The main operator’s value is the same as the value of the statement itself.  The main operator falls outside of all parentheses, except when the whole statement includes an extra (and removable) set of parentheses. I explain this in detail in the remainder of this section. Operator utama adalah operator yang paling penting dalam sebuah pernyataan, untuk beberapa alasan berikut :  Setiap pernyataan SL hanya mempunyai satu operator utama.  Jangkauan dari operator utama adalah seluruh pernyataan. Dengan

demikian, operator utama mempengaruhi setiap konstanta dan operator lain dalam pernyataan.  Operator utama adalah operator terakhir yang Anda evaluasi.

Kenyataan ini akan masuk akal ketika Anda berpikir tentang hal itu: Karena lingkup operator utama adalah segala sesuatu yang ada dalam pernyataan, Anda perlu mengevaluasi segalanya sebelum Anda dapat mengevaluasi operator utama. Misalnya, Anda ingin mengevaluasi (P → (Q↔R)) & S dengan penafsiran yang diberikan. Pertama anda perlu mengevaluasi sub-pernyataan Q↔R untuk mendapatkan nilai operator ↔. Dengan melakukan hal ini, memungkinkan Anda untuk mengevaluasi P →(Q↔R) untuk mendapatkan nilai dari operator →. Dan akhirnya, Anda dapat mengevaluasi seluruh pernyataan, yang memberi Anda nilai pernyataan dari operator utama,

yaitu operator &. (Saya akan menunjukkan bagaimana menemukan operator utama nanti dalam bagian ini.)  Nilai operator utama sama dengan nilai dari pernyataannya sendiri.  Operator utama berada diluar semua kurung, kecuali jika seluruh

pernyataan mencakup tambahan (dan dapat dipindahkan) berada dalam seperangkat tanda kurung. Saya menjelaskan hal ini secara rinci dalam pengingat di bagian ini. Because the main operator is so important, you need to be able to pick it out of any statement. Doing so is usually quite simple with a few quick rules of thumb. Every SL statement falls into one of the three cases I outline in the following sections. If you come across one that doesn’t, it isn’t well-formed, which means it really isn’t a statement at all. I discuss this more in Chapter 14. For now, though, any statement you run across will have a main operator that you can find without difficulty. Karena operator utama begitu penting, Anda harus mampu memilih keluar pernyataan apapun. Dengan melakukan hal itu biasanya cukup sederhana dengan beberapa aturan cepat yang hebat. Setiap pernyataan SL jatuh ke salah satu dari tiga kasus yang saya garisbawahi dalam bagian berikut. Jika kamu menemukan satu yang mustahil, itu tidak tebentuk dengan baik, yang berarti itu benar-benar bukanlah pernyataan sama sekali. Saya membahas hal ini lebih jauh dalam Bab 14. Untuk sekarang, meskipun, pernyataan apapun yang Anda jalankan akan memiliki operator utama yang dapat anda temukan tanpa kesulitan.

When only one operator is outside the parenthese s Ketika hanya satu operator yang berada di luar tanda kurung

Sometimes, it’s easy to find the main operator because it’s the only operator outside all parentheses. For example, take a look at this statement: (P ˅ ~Q) & (R → P) Kadang-kadang, mudah untuk menemukan operator utama karena itu satu-satunya operator yang berada di luar semua tanda kurung. Sebagai contoh, lihat pernyataan ini: (P ˅ ~Q) & (R → P)

The main operator here is the &-operator. Similarly, check out this statement: ~(P & (Q↔R)) The main operator here is the ~-operator. Operator utama di sini adalah operator &. Demikian pula, periksa pernyataan ini: ~(P & (Q↔R)) Operator utama di sini adalah operator ~.

When no operator is outside the parentheses If you find no operator outside the parentheses, you have to remove a set of parentheses. For example, in the following statement, the outer set of parentheses really isn’t necessary: ((~P↔Q) → R) But, removing them gives you this: (~P↔Q) → R) Now, the only operator outside the parentheses is the →-operator, which is indeed the main operator. In this book, I avoid using unnecessary parentheses because they take up space and don’t add anything useful to a statement. In Chapter 14, I discuss the nitty-gritty details of why a statement may contain extra parentheses.

Bila tidak ada operator di luar tanda kurung Jika Anda tidak menemukan operator di luar tanda kurung, Anda harus menghapus satu set kurung. Sebagai contoh, dalam pernyataan berikut, tanda kurung yang paling luar tidak benar-benar diperlukan: ((~P↔Q) → R)

Tapi, menghapus mereka memberi anda ini: (~P↔Q) → R Sekarang, satu-satunya operator di luar tanda kurung adalah operator →, yang memang operator utama. Dalam buku ini, saya tidak perlu menghindari penggunaan tanda kurung karena mereka mengambil ruang dan tidak menambahkan sesuatu yang berguna untuk sebuah pernyataan. Dalam Bab 14, saya membahas seluk-beluk rincian tentang mengapa sebuah pernyataan mungkin berisi tanda kurung ekstra.

When more than one operator is outside the parentheses In some statements, you may find more than one operator outside the parentheses. For example: ~(~P → Q) ˅~(P → Q) When there is more than one operator outside the parentheses, the main operator is always the one that isn’t a ~-operator. In the preceding example, the main operator is the ˅-operator.

Bila lebih dari satu operator di luar tanda kurung Dalam beberapa pernyataan, Anda mungkin menemukan lebih dari satu operator di luar tanda kurung. Contoh: ~(~P → Q) ˅~(P → Q) Bila ada lebih dari satu operator di luar tanda kurung, operator utama selalu salah satu yang bukan operator ~. Dalam contoh sebelumnya, operator utama adalah operator ˅. Eight Forms of SL Statements In SL, a variable can stand for an entire statement (or sub-statement). You can use variables to classify SL statements into eight different statement forms, which are generalized versions of SL statements. Table 5-1 shows the eight basic statement forms. Dalam SL, sebuah variabel dapat dilakukan untuk seluruh pernyataan (atau sub-pernyataan). Anda dapat menggunakan variabel untuk mengklasifikasi pernyataan SL ke dalam delapan pernyataan yang berbeda bentuk, yang merupakan versi umum SL pernyataan. Tabel 5-1 menunjukkan delapan bentuk pernyataan dasar.

Tabel 5-1 Bentuk positif x&y x˅y x→y x↔y

Delapan bentuk pernyataan SL Bentuk negatif ~ (x & y) ~ (x ˅ y) ~ (x → y) ~ (x ↔ y)

To see how these statements work, here are three statements whose main operators are all &-operators: Untuk melihat bagaimana pernyataan-pernyataan ini bekerja, berikut adalah tiga pernyataan-pernyataan yang seluruh operator utamanya adalah operator &: P&Q (P ˅ ~Q) & ~(R → S) (((~P↔Q) → R) ˅ (~Q & S)) & R

Bagian dari keseluruhan Secara pribadi, saya menemukan semua terminologi berikut untuk berbagai bagian dari sebuah pernyataan untuk menjadi sedikit di atas. Jika dosen Anda ingin anda tahu istilah-istilah ini, Anda harus menghafal mereka. Tapi bagi saya, yang penting adalah bahwa ketika Anda diberi sebuah pernyataan SL, Anda dapat menemukan operator utama dan memilih termasuk pada bagian mana dari yang dari delapan bentuk itu. Ketika itu menjadi penting untuk berbicara tentang berbagai bagian dari pernyataan, itu hanya mudah dengan mengatakan "Bagian pertama" dan "Bagian kedua." Berikut adalah beberapa aturan praktis cepat: Ketika sebuah pernyataan dalam bentuk x & y, itu adalah pernyataan &, yang juga disebut sebagai penambahan. Dalam kasus ini, kedua bagian dalam pernyataan ini disebut conjuncts. Ketika sebuah pernyataan dalam bentuk x ˅ y, itu adalah sebuah pernyataan ˅, yang juga disebut sebagai pemisahan. Dalam kasus ini, kedua bagian pernyataan ini disebut disjuncts. Ketika sebuah pernyataan dalam bentuk x → y, itu adalah pernyataan →, yang juga disebut sebagai implikasi. Dalam kasus ini, bagian pertama dari Pernyataan ini disebut anteseden, dan bagian kedua disebut konsekuen. Ketika sebuah pernyataan dalam bentuk x ↔ y, itu adalah pernyataan ↔, yang juga disebut sebagai implikasi ganda.

Although all of these statements are obviously different, you can represent each of them using the following statement form: x&y Meskipun semua pernyataan-pernyataan ini jelas berbeda, Anda dapat mewakili masing-masing dengan menggunakan bentuk pernyataan berikut: x&y For example, in the statement P & Q, the variable x stands for the substatement P, and the variable y stands for the sub-statement Q. Similarly, in the statement (P ˅ ~Q) & ~(R → S), x stands for the sub-statement (P ˅ ~Q), and y stands for the sub-statement ~(R → S). And finally, in the statement (((~P↔Q) → R) ˅ (~Q & S)) & R, x stands for (((~P↔Q) → R) ˅ (~Q & S))and y stands for R. Sebagai contoh, dalam pernyataan P & Q, variabel x adalah singkatan untuk sub pernyataan P, dan variabel y singkatan dari sub-pernyataan T. Demikian pula, dalam pernyataan (P ˅ ~Q) & ~(R → S), x merupakan singkatan dari subpernyataan (P ˅ ~ Q), dan y singkatan dari sub-pernyataan ~ (R → S). Dan akhirnya, dalam pernyataan (((~P↔Q) → R) ˅ (~Q & S)) & R , x singkatan dari (((~P↔Q) → R) ˅ (~Q & S)), dan y singkatan dari R When a statement’s main operator is one of the four binary operators (&, 0, →, or ↔), its statement form is one of the four positive forms in Table 5-1. However, when a statement’s main operator is the ~-operator, its form is one of the negative forms in Table 5-1. To find out which one, you need to look at the operator with the next-widest scope. For example: ~((P → Q) ↔(Q˅R)) Ketika operator utama pernyataan adalah salah satu dari empat operator biner (&,0, →, atau ↔), bentuk pernyataannya adalah salah satu dari empat bentuk positif di Tabel 5-1. Namun, ketika pernyataan operator utama adalah operator ~, bentuknya adalah salah satu dari bentuk negatif pada Tabel 5-1. Untuk mengetahui yang mana, Anda perlu untuk melihat pada operator dengan jangkauan terluas berikutnya. Contoh: ~((P → Q) ↔(Q˅R))

In this case, the main operator is the ~-operator. The &-operator has the nextwidest scope, covering everything inside the parentheses. So, you can represent this statement using this statement form: ~(x↔y) Dalam kasus ini, operator utama adalah operator ~. Operator & memiliki jangkauan terluas, meliputi segala sesuatu di dalam tanda kurung. Jadi, Anda dapat mewakili pernyataan ini menggunakan bentuk pernyataan ini: ~(x↔y) This time, the variable x stands for the sub-statement (P → Q), and the variable y stands for the sub-statement (Q ˅ R). Kali ini, variabel x singkatan dari sub-pernyataan (P → Q), dan variabel y singkatan dari sub-pernyataan (Q ˅ R). Learning to recognize the basic form of a given statement is a skill you’ll use in later chapters. For now, be aware that every statement can be represented by just one of the eight basic statement forms. Belajar mengenali bentuk dasar pernyataan yang diberikan adalah keterampilan yang akan Anda gunakan pada bab selanjutnya. Untuk saat ini, anda harus menyadari bahwa setiap pernyataan dapat diwakili hanya dengan salah satu dari delapan bentuk pernyataan dasar.

Evaluation Revisited After reading about the new concepts in this chapter, you’ll probably find that evaluation makes more sense. You’re less likely to make mistakes because you understand how all the pieces of the statement fit together. Setelah membaca tentang konsep-konsep baru dalam bab ini, anda mungkin akan menemukan bahwa evaluasi menjadi lebih masuk akal. Kita cenderung untuk membuat kesalahan karena kita memahami bagaimana semua bagian dari pernyataan cocok bersama-sama. For example, suppose you want to evaluate ~(~(P 0 Q) & (~R↔S)) under the Interpretation P = T, Q = F, R = F, and S = T. It looks hairy, but you should be up for the challenge! Misalnya, kita ingin mengevaluasi ~ (~ (P ˅ Q) & (~ R ↔ S)) dengan interpretasi P = T, Q = F, R = M, dan S = T. Kelihatannya rumit, tetapi Anda harus siap untuk tantangannya!

Before you begin, look at the statement. It’s in the form ~(x & y), with the first part of the statement being ~(P ˅ Q) and the second part being (~R ↔ S). You need to get the truth value of both of these parts before you can evaluate the &operator. Only then can you evaluate the first ~-operator, which is the statement’s main operator. Sebelum Anda mulai, lihat pada pernyataan. Hal ini ada dalam bentuk ~ (x & y), dengan bagian pertama dari pernyataan menjadi ~ (P ˅ Q) dan bagian kedua menjadi (~ R ↔ S). Anda perlu mendapatkan nilai kebenaran dari kedua bagian itu sebelum Anda dapat mengevaluasi operator &. Hanya dengan begitu Anda dapat mengevaluasi operator ~ pertama, yang merupakan pernyataan dari operator utama. You start out by placing the truth values under the appropriate constants: ~(~(P ˅Q) & (~R ↔ S)) T F F T Anda memulai dengan menempatkan nilai-nilai kebenaran di bawah konstanta yang sesuai: ~(~(P ˅ Q) & (~R ↔ S)) T F F T Now, you can write in the value of the ~-operator in front of the constant R: ~(~(P ˅Q) & (~R ↔ S)) T

F

TF

T

Sekarang, Anda dapat menulis dalam nilai operator ~ di depan konstanta R: ~(~(P ˅Q) & (~R ↔ S)) T

F

TF

T

At this point, you can get the value of both the ˅-operator and the ↔-operator: ~(~(P ˅ Q) & (~R ↔ S)) T T F TF T T Pada titik ini, Anda bisa mendapatkan nilai baik dari operator ˅ dan operator ↔: ~(~(P ˅ Q) & (~R ↔ S)) T T F TF T T

You may be tempted at this point to evaluate the &-operator, but first you need the value of the sub-statement ~(x ˅ y), which means that you need to get the value of the ~-operator: ~ ( ~ (P ˅ Q) & (~R ↔ S)) FT T F TF T T Anda mungkin tergoda pada titik ini untuk mengevaluasi operator &, tapi pertama-tama Anda membutuhkan nilai dari sub-pernyataan ~ (x ˅ y), yang artinya Anda perlu mendapatkan nilai dari operator ~: ~ ( ~ (P ˅ Q) & (~R ↔ S)) FT T F TF T T Now you can evaluate the &-operator: ~ (~ (P ˅ Q) & (~R ↔ S)) F T T F F TF T T Sekarang Anda dapat mengevaluasi operator &: ~ (~ (P ˅ Q) & (~R ↔ S)) F T T F F TF T T

And finally, after you’ve evaluated every other operator in the statement, you can evaluate the main operator: ~ ( ~ (P ˅ Q) & (~R ↔ S)) T F T T F F TF T T Dan akhirnya, setelah kita evaluasi setiap operator lainnya dalam pernyataan, Anda dapat mengevaluasi operator utama: ~ ( ~ (P ˅ Q) & (~R ↔ S)) T F T T F F TF T T The truth value of the main operator is the value of the whole statement, so you know that under the given interpretation, the statement is true. Nilai kebenaran dari operator utama adalah nilai dari seluruh pernyataan, jadi Anda tahu bahwa dengan penafsiran yang diberikan, pernyataan itu benar.

Anggota kelompok : 208700923 208700934 208700944 208700954 208700964

Risa Fithrasari Sanarotul Atiah Tasya Sukma Maftuhah Wandi Wanafhati Yuni Lestari